第2章 两自由度机械系统动力学

1 单自由度系统等效力学模型
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d 1 dJe d Je 2 2 Me dt d dt
2
2
微分形式运动方程
一般情况下都是非线性的。
2 数值解法
常用四阶龙格-库塔法。
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3.1 引言——力学的发展过程
在有些情况下，需要应用二自由度或更多自 由度的机械系统，如差动轮系、倒立摆（2自由 度）、机器手等装置（多自由度）。
2 1 2 2 2 1
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例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
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(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
1 4 3
g 0 l x
) m l F 去得（m1 m)( g 4 消 x l 3 3( m m) g 3F 即（4m1 m)l 1
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施加控制力：
) 取F m1 (a b 相当于PID控制 m 令 则有 m1 3b 3[a g (1 )] 0 (4 )l 特征方程为 (4 )lr 2 3br 3[a g (1 )] 0 特征根为 3b (3b) 2 12(4 )[a g (1 )]l r1, 2 2(4 )l
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本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
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3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
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3.3.3 广义力计算
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
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问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为T，则情况 如何？
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3.4 拉格朗日方程（第二类）
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用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述 如下： （1）确定系统自由度数，选取广义坐标； （2）计算系统动能E; （3）计算系统的广义力Q； （4）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动 微分方程； （5）求解方程。
W Fk rk 0
k
（3-3）
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也可以写成分解形式，即
W （X kxk Ykyk Z kzk ) 0
k
（3-4）
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说明：
（1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条 件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可 用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时 间冻结。
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
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得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
第3 章
二自由度机械系统动力学
1
第3章 二自由度机械系统动力学
本章内容 3.1 引言——力学的发展过程 3.2 自由度与广义坐标 3.3 虚位移原理与广义力 3.4 拉格朗日方程（重点） 3.5 二自由度机械系统动力学方程 3.6 二自由度机械手动力学问题
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前一章主要内容：
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当Dx D 0时，有 F m l （m m ) x
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另外，
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
（3-6）
叫广义力。
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则有：
W Qiqi 0
i 1
n
（3-7）
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由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移 是任意的，所以有
Qi 0
(i 1,2,, n)
即，在理想约束下，系统平衡的充分必要 条件是所有的广义力为零。
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对双摆系统，有：
关于约束
对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。 如单摆的约束方程为：
x y l
2 2
2
球摆的约束方程为：
x y z l
2 2 2
2
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约束分类： 1 几何约束与速度约束
约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度 时为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度 约束。 2 定常约束与非定常约束
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广义坐标
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设系统广义坐标为：q (i 1,2,, n)
i
则任一点位置矢量 可表示为：
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
也可以写成投影形 式：
xk xk (q1 , q2 ,, qn )
yk yk (q1 , q2 ,, qn )
zk zk (q1 , q2 ,, qn )
约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含 有时间t时为非定常约束。
x y l
2 2
2
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另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直 线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：
r x
为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。
x r c
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情 况。
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4）代入拉格朗日方程
d E E Q1 dt 1 1 d E E Q 2 dt 2 2
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E sin( ) m2l1l2 1 2 2 1 1 E 2 cos( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 d E 2 ( ) sin( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 dt 1 cos( ) m ll
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欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
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3.6 二自由度机械手动力学问题
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本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
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(4)代入方程 E E 0 m l2 d m glsin m l2 dt g sin 0 即 l


作业3：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
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例：拉格朗日方程的应用。
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广义力为
Q1 0 Q2 M
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M
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将位置矢量对时间求导，即可得到质点 的速度表达式： n drk rk k i （3-2） r q dt i 1 qi dq i 其中， i q dt
叫广义速度。
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对单摆系统，有：
x l sin y l cos
x A l1 sin 1 y A l1 cos1 xB l1 sin 1 l2 sin 2 y B l1 cos1 l2 cos 2
整理可得：
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例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗 日方程与等效力学模型是统一的。
证明：
dE 等效力学模型方程为： M e dt d E E 拉格郎日方程为 Qi i qi dt q 需要证明(1)是(2)的特例。
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非完整约束 (Nonholonomic constraint)为：含有速度的 约束且约束方程不可积分。
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。
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3.3 虚位移原理与广义力
3.3.1 虚位移原理 在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是 所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即
（2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移 原理也叫虚功原理。 （3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所 以约束力不在方程中出现。
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3.3.2 虚位移原理的广义坐标形式
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
求变分得
rk
i 1 n
rk qi qi
（3-5）


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代入拉格郎日方程得 d 1 dJe ( J e ) 2 Me dt dt dJe d 1 dJe Je 2 Me dt dt dt d 2 1 dJe J e M e 2 dt dt d 1 2 J M e 2 e dt dE M e dt
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v A l1 1 2 2 l 2 2 2l l cos( ) vB l12 1 2 2 1 2 1 2 2 1 系统动能为 1 1 2 2 2 2 E (m1 m2 )l1 1 m2l1l212 cos(2 1 ) m2l2 2 2 2
即


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3.5 二自由度机械系统动力学方程
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3.5.1 系统动能的确定
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3.5.2 广义力的确定
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3.5.3 运动微分方程
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3.5.4 运动微分方程的求解
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(1) (2)wenku.baidu.com
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证明：对于单自由度系 统，拉格郎日方程应为 d E dt E Me 2 1 E 2 J e E J e
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d ( ) dt


E 1 2 2 1 J e J 2 e 2 1 dJe dt 2 2 dt d 1 dJe 2 dt