第2章 两自由度机械系统动力学
二自由度动力学方程推导
二自由度动力学方程推导一、引言在机械工程领域，动力学方程是研究机械系统的运动规律和相互作用力的重要工具。
本文将介绍如何推导二自由度机械系统的动力学方程，通过此方程可以描述系统的运动行为和相互作用力。
二、二自由度机械系统的建模二自由度机械系统由两个相互连接的质点或刚体组成，例如双杆摆、双摆锤等。
为了推导动力学方程，首先需要对系统进行建模。
2.1笛卡尔坐标系考虑一个二自由度机械系统，我们选择合适的笛卡尔坐标系来描述系统的运动。
假设系统的质点一的坐标为$(x_1,y_1)$，质点二的坐标为$(x_2,y_2)$，则可以用位移矢量$\ve c{r}_1$和$\v ec{r}_2$来表示质点一和质点二的位置。
2.2动力学变量为了研究系统的运动行为，我们引入广义坐标$q_1$和$q_2$来描述系统的状态。
广义坐标可以是位移、角度或者它们的组合。
在本文中，我们选择关节角度作为广义坐标，记为$\th et a_1$和$\th et a_2$。
定义广义坐标的变化率为广义速度$q_1'$和$q_2'$，广义速度的变化率为广义加速度$q_1''$和$q_2''$。
2.3势能和动能系统的能量可以通过势能和动能进行描述。
势能表示系统由于位置而具有的能量，动能表示系统由于运动而具有的能量。
势能$V$和动能$T$可以表示为：$V=V(q_1,q_2)$$T=T(q_1',q_2')$2.4广义力广义力用于描述系统中各个自由度受到的相互作用力。
对于二自由度机械系统，广义力可以表示为：$\ta u_1=Q_1(q_1,q_2,q_1',q_2')$$\ta u_2=Q_2(q_1,q_2,q_1',q_2')$其中，$\t au_1$和$\t au_2$分别表示广义坐标$q_1$和$q_2$的广义力，$Q_1$和$Q_2$为相应的广义力函数。
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析资料讲解
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析平面二自由度机械臂动力学分析［摘要］机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
［关键字］平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程一、介绍机器人是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
机器人动力学问题有两类：■ ■■(1)给出已知的轨迹点上的■J- ■■■■■■，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩■ ■■向量T求机器人所产生的运动風&及&。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量O r , r=l, 2,…,n。
(2)选定相应关节上的广义力F r :当O r是位移变量时，F r为力；当O r是角度变量时, F r为力矩。
(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
1平更二自由度机械臂1、分别求出两杆的动能和势能设齐、B 2是广义坐标，Q i、Q2是广义力。
两个杆的动能和势能分别为:式中，’是杆1质心C i.，\ ）的速度向量，\是杆2质心C i （ ' , J ）的速度向量。
自由度机械系统动力学分析
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力 学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度 机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、 自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特 别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴 领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
THANK YOU
感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有 特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理 论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
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141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械动力学第二章——两自由度振动讲解
k1 c1
F1(t)
m1
x1 k2
c2
F2(t)
m2
x2 k3
c3
建立坐标：x1，x2的原点分别取在m1，m 2的静平衡位置
受力分析：
F1(t)
F2(t)
k1x1
c1 x1
k2(x2-x1) m1
k2(x2-x1) m2
c2 (x2 x1) c2 (x2 x1)
k3x2
c3 x2
8
两自由度系统的振动微分方程
特解 2： x12 (t) sin 02t 2 , x22 (t) 2 sin 02t 2
由特解线性叠加可以得到通解：
x1(t) C1 sin 01t 1 C2 sin 02t 2
x2
(t
)
1C1
sin
01t
1
2C2
sin
02t
2
20
教学内容
两自由度系统的振动微分方程 两自由度系统的无阻尼自由振动 两自由度系统的强迫振动
21
两自由度系统的强迫振动
装在梁上或者板上的的转动电机，由于转子的不 平衡，或者说转子质量不均匀，在电机高速转动下，梁 或者板将发生上下振动。试问如何减小振动。 （1）提高电机质量 （2）增加阻尼 （3）动力吸振器
14
两自由度系统的无阻尼自由振动
图示两自由度系统，无阻尼，无激励
k1
k2
k3
m1
m2
振动微分方程为：
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 (k2 k3 )x2 k2 x1 0
令：
自由度机械系统动力学
采用轻质材料如碳纤维、钛合金 等，降低系统重量，提高动态性 能。
02
03
高强度材料
智能材料
利用高强度材料如超高强度钢、 陶瓷等，提高系统承载能力和耐 磨性。
集成传感器和执行器的智能材料， 能够实时感知和响应外部激励， 优化系统动态行为。
多学科交叉研究
机械工程
结合机械设计、制造和控制技 术，优化系统结构、性能和可
04 自由度机械系统的应用
机器人学
工业机器人
在制造业中，自由度机械系统动 力学用于设计和控制工业机器人， 实现高效、精确的生产线作业。
服务机器人
在服务行业中，自由度机械系统 动力学也广泛应用于服务机器人， 如家政机器人、医疗机器人等，
提高服务质量和生活便利性。
仿生机器人
通过模拟生物的运动机制，自由 度机械系统动力学有助于设计和 制造具有生物相似性的仿生机器 人，实现复杂环境的探索和作业。
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化的基本规律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的改变与作用力成正比，加速度的大小与作用 力成正比，方向与作用力相同。
拉格朗日方程
总结词
描述系统运动状态的变分方程。
详细描述
拉格朗日方程基于拉格朗日函数，描述了系统运动状态的变分关系，是分析自由度机械系统动力学的重要工具。
航空航天工程
1 2
飞行器设计
自由度机械系统动力学在航空航天工程中用于优 化飞行器的设计和控制，提高飞行器的稳定性和 机动性。
航天器姿态控制
通过自由度机械系统动力学，实现对航天器姿态 的精确控制，确保航天任务的顺利完成。
3
航空发动机控制
在航空发动机控制中，自由度机械系统动力学有 助于提高发动机的效率和稳定性，降低故障率。
二自由度动力学模型状态方程
二自由度动力学模型状态方程动力学是研究物体运动的学科，它涉及物体的力学性质以及力对物体的影响。
在动力学中，二自由度动力学模型是一种常用的模型，它描述了具有两个自由度的物体在外力作用下的运动规律。
通过建立二自由度动力学模型的状态方程，可以研究和预测物体的运动轨迹、力学特性和动力学行为。
在二自由度动力学模型中，物体的运动可以用两个广义坐标来描述，通常分别表示为q1和q2。
这两个广义坐标可以代表物体在空间中的位置、方向或其他物理量。
状态方程是描述物体运动的微分方程组，它表达了物体的广义坐标随时间的变化规律。
为了建立二自由度动力学模型的状态方程，需要确定物体的受力情况和运动方程。
受力情况包括作用在物体上的外力和内力，外力可以是重力、弹性力、摩擦力等。
内力可以是物体内部的相互作用力。
运动方程描述了物体的加速度与受力之间的关系，可以通过牛顿第二定律来得到。
根据物体的受力情况和运动方程，可以得到二自由度动力学模型的状态方程。
状态方程是一个包含广义坐标和其导数的微分方程组，通常是二阶微分方程。
通过求解状态方程，可以得到物体的广义坐标随时间的变化规律，从而了解物体的运动情况。
在实际应用中，二自由度动力学模型的状态方程可以用于研究各种物理系统的动力学行为。
例如，在机械系统中，可以通过建立二自由度动力学模型的状态方程来分析机械结构的振动特性和稳定性。
在控制系统中，可以利用状态方程设计控制器，实现对物体运动的控制和稳定。
除了状态方程，二自由度动力学模型还可以通过能量方法进行分析。
能量方法是一种基于能量守恒原理的分析方法，通过建立物体的能量方程来描述物体的运动规律。
能量方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别适用于复杂的动力学问题。
二自由度动力学模型的状态方程是研究物体运动的重要工具。
通过建立和求解状态方程，可以得到物体的运动规律和力学特性，为物体的设计、控制和优化提供理论依据。
在实际应用中，二自由度动力学模型的状态方程在机械、控制、物理等领域发挥着重要作用，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
机械动力学.第二章
将（a）和（b）写成矩阵形式
m ml 3 x c 2 J ml 3 c ml 3 k1 k 2 0 x c Fc 2 2 k 1 l 4 k 2 l 5 c T c 0
m1 M 0 0 0 m2 0 0 0 m3
(2-4)
式中； 称为质量矩阵，是一个对角矩阵，其对角 元素为质量m1, m2，m3。
k 11 K k 21 k 31 k 12 k 22 k 32 k 13 k1 k 2 k 23 k2 k 33 0 k2 k2 k3 k3 k3 k3 k4 0
3 影响系数法
影响系数法分为刚度影响系数法和柔度影响系数法。 在实际使用中， 针对不同的系统结构，可以采用不同的方 法。 （1）刚度影响系数法。它又称为单位位移法，是把动力 系统当作静力系统来处理，用精静力学方法来确定系统 所有的刚度系数，借助于这些系数即可建立系统的运动 微分方程。 刚度影响系数法kij是指在系统的j点产生单位位移（即 xj=1），二其余各点的位移均为零时，在系统的i点所需 要施加的力。
K
2、拉格朗日方程
对于复杂的多自由度系统用拉格朗日方程建立方程比较方 便，步骤是选取广义坐标qi, 求系统的动能T和势能U，将 其表示为广义坐标qi、广义速度qi时间t的函数，然后代入 拉格朗日方程求解
d T dt q i Fi T U F i , i 1 , 2 , , k q i q i F x
11
9l
3
768 EL
式中：E为梁材料的弹性模量；I为梁的截面惯性矩。由 于结构对称，α33=α11。 同理，α21表示m1上作用一个单位力F1=1，而单位力m2， m3上无作用力（即F2=0，F3=0）时，梁上m2处产生的位 移，得 3 11 l 21
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
机械动力学——两自由度系统习题
解：
以 0 为零势能点
系统势能：U (m1 m2 )gl(1 cos)
系统动能： T
1 2
m1 2l 2
1 2
m2 (l 2 2
x 2
2xl
cos )
1 4
m2 x 2
U x
0
U
(m1 m2 )gl sin
T 0 x
T x
3 2
m2
x
m2l
cos
d dt
T x
3 2
m2x
m2l cos
解：
（1）系统水平方向运用动量定理： d[m1x m(x l cos )] 2kx dt
m1 mx ml cos ml sin2 2kx 0
对 m 进行受力分析，沿垂直于杆的方向：
ml m cosx mg sin ml 2 ml cosx mgl sin 0
因为自由微振动 cos 1 、 sin 、2 0 ，得微分方程组：
k
k
k k
12
0 0
K M 0
频率方程
自然频率：
1 I 22 2Ik k 2 0 2
12
1
2
(2
2
)k
I
(2 2)k
I
固有振型：
1211
1
2
,
1222
1
2
主振型图：
2 1
-3/11-
机械系统动力学作业 4
3. 如图所示，一质量为 m1 的水平台用两根长度为 l 的绳子悬挂起来，其上有一半 径为 r，质量为 m2 的圆柱体，沿水平台作无滑动滚动。试用 和 x 为广义坐标建立 系统的运动微分方程。
弹簧无初始应力，
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型是一种广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域的数学模型，由于其简单清晰的结构和易于求解的特点，成为了研究系统动力学特性的重要工具。
本文将详细介绍二自由度动力学模型的相关知识和应用方法。
一、什么是二自由度动力学模型？
二自由度动力学模型是指一个由两个质点通过弹簧和阻尼器连接而成的物理系统，其中每个质点只能沿一个方向（通常是水平和垂直方向）运动。
该模型的动力学特性可以描述为一个二阶非齐次线性微分方程组，其中包含了质点的运动方程和能量守恒方程。
二、如何建立二自由度动力学模型？
建立二自由度动力学模型需要以下步骤：
1、绘制系统结构示意图，包括两个质点、弹簧和阻尼器的连接方式。
2、确定系统的自由度，即质点可以进行的运动方向。
3、根据受力分析和牛顿第二定律，建立质点的运动方程。
4、利用能量守恒原理，建立能量守恒方程。
5、将质点的运动方程和能量守恒方程组合起来，得到二阶非齐次线性微分方程组。
6、利用数值解或解析解的方法，求解微分方程组，得到系统的运动特性。
三、二自由度动力学模型的应用
二自由度动力学模型广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域，是许多控制系统的核心部分。
具体应用包括：
1、建立机械振动控制系统的模型，分析系统的稳定性和响应特性，优化控制策略。
2、研究结构物的振动特性，评估地震对建筑物的影响，提高建筑结构的抗震性能。
3、分析风力发电机、桥梁等大型结构的振动特性，提高其安全性和稳定性。
总之，二自由度动力学模型是一种非常重要和有用的工具，可以用于解决各种动力学问题，为实际应用提供了有效的支持。
两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
两自由度机械臂是指由两个旋转关节连接的机械臂，可以在二维平面内进行运动。
建立两自由度机械臂的动力学模型，可以用于控制器设计和路径规划。
1. 机械臂的动力学建模：
a. 首先，需要确定机械臂的连杆长度、质量以及旋转关节的惯性参数等。
这些参数可以通过实验或者手动测量获得。
b. 建立机械臂的正运动学方程，即通过旋转关节的角度计算连杆末端的位置和姿态。
c. 利用拉格朗日方程，可以得到机械臂的动力学方程。
动力学方程描述了系统的运动方程和力矩平衡关系。
2. 控制器设计：
a. 常用的控制方法有位置控制、速度控制和力控制等。
选择适合机械臂的控制方法，根据控制要求设计闭环控制系统。
b. 设计适当的控制算法，如PID控制器、模糊控制器或者神经网络控制器等，以实现期望的控制性能。
c. 在控制器设计过程中，需要对系统进行参数辨识和系统模型验证，以确保控制器的稳定性和鲁棒性。
3. 控制系统实现与调试：
a. 根据控制器的设计结果，实现完整的控制系统，包括硬件的搭建、传感器
的连接和信号处理等。
b. 进行控制系统的调试和参数调整，通过实验验证控制器的性能，并进一步优化控制算法和参数。
总结：建立两自由度机械臂的动力学模型是实现精确控制和路径规划的前提。
通过合适的控制器设计和系统实现，可以使机械臂实现所需的任务和运动轨迹。
机械原理(第二章自由度培训课件
机械系统中的自由度数等于系统 中独立构件的数目乘以每个构件 的自由度。
自由度在机械系统中的作用
确定机械系统的运动状态
自由度数决定了机械系统的运动状态，即系统能够完成的运动类型和数量。
判断机构的运动性质
通过计算自由度，可以判断机构是否具有确定的运动性质，即是否能够实现预 定的运动轨迹。
计算自由度的方法
详细描述
在机械设计阶段，通过绘制机构运动简图可以初步评估 机构的运动性能和自由度，为后续的设计优化提供依据 。在机构分析阶段，机构运动简图可用于研究机构的运 动规律、动态特性和稳定性等。在机械制造阶段，机构 运动简图可以用于指导生产装配和调试，确保机构的正 常运转。此外，机构运动简图还可以用于教学和培训， 帮助学生和工程师更好地理解机构的运动原理和工作方 式。
机械原理在工程实践中具有广泛 的应用价值，对于推动机械工程 领域的发展和技术进步具有重要
意义。
机械原理的发展历程
古代机械原理
古代人类在制造工具和机械时就开始积累机械知识，如轮子、杠杆、斜面等简单机械的发 明和应用。
工业革命时期的机械原理
随着工业革命的兴起，人们对机械系统的需求不断增加，促进了机械原理的发展。蒸汽机 、内燃机等复杂机械系统的出现和应用推动了机械工程领域的进步。
若要增加机构的自由度，可以通过增加活动构件数、减少低 副数或减少高副数来实现。
05 空间机构的自由度计算
空间机构自由度的计算公式
自由度的定义
自由度是指机构在空间中独立运动的 数量，用于描述机构在空间中的运动 状态。
计算公式的应用
通过将机构的构件数、运动副数和局 部自由度代入公式，即可求出机构的 自由度。
计算每个独立构件的自由度
第二章 机器人静力分析与动力学
图2.3 杆i上的力和力矩
连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力 和力矩平衡方程式为
式中：ri–1，i —坐标系{i}的原点相对于坐标系{i+1}的位置矢量；
ri，Ci —质心相对于坐标系{i}的位置矢量。
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可以 由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆 上的受力情况。
δ W = τ 1δ q1 + τ 2δ q2 + ⋯ + τ nδ qn − f n,n +1d − nn,n +1δ
或写成 根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符 合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合杆件的 几何约束条件。利用式δX=Jδq
式中：δq表示从几何结构上允许位移的关节独立变量。对任意的 δq，欲使δ W =0成立，必有 上式表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节力矩τ之间的 线性映射关系。JT与手部端点力F和广义关节力矩τ之间的力传递有关，称 为机器人力雅可比。显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。
∂X ∂q 1 ∂Y ∂q 1 ∂Z ∂X ∂q1 J (q) = T = ∂ϕ X ∂q ∂q1 ∂ϕY ∂q1 ∂ϕ Z ∂q1 ∂X ∂q2 ∂Y ∂q2 ∂Z ∂q2 ∂ϕ X ∂q2 ∂ϕY ∂q2 ∂ϕ Z ∂q2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂X ∂qn ∂Y ∂qn ∂Z ∂qn ∂ϕ X ∂qn ∂ϕY ∂qn ∂ϕ Z ∂qn
反之，假如给定机器人手部速度，可由式(2.10)解出 相应的关节速度为
机械系统的动力学分析
机械系统的动力学分析1.简介机械系统的动力学分析是指通过对机械系统的运动和力学行为进行研究和分析，从而揭示其内在的运动规律和力学特性的过程。
在机械工程领域中，动力学分析是设计、优化和控制机械系统的重要基础研究。
2.机械系统的基本概念机械系统是由多个相互作用的物体（或刚体）组成的系统，其内部存在着相对运动的关系。
例如，一个简单的机械系统可以包含一个刚性杆件和一个旋转关节。
机械系统的动力学分析主要关注以下几个方面：•自由度：机械系统具有多个自由度，即能够在多个坐标方向上独立运动的能力。
自由度的数量决定了机械系统的运动自由度和力学特性。
•运动：机械系统的运动可以通过描述物体的位移、速度和加速度来表达。
在动力学分析中，我们关注的是机械系统的运动规律和运动参数的变化。
•力：在机械系统中，存在着各种各样的力，如重力、摩擦力、弹簧力等。
力的大小和方向会影响机械系统的运动行为和力学特性。
•动力学方程：通过运用牛顿定律和欧拉-拉格朗日方程等力学定律，可以建立机械系统的动力学方程，用于描述运动和力学特性之间的关系。
3.动力学分析的方法在机械系统的动力学分析中，一般采用以下几种方法：3.1.牛顿定律牛顿定律是描述刚体运动的基本定律，它建立了力与加速度之间的关系。
在机械系统的动力学分析中，可以利用牛顿定律来推导物体的运动方程，从而得到物体的位移、速度和加速度等运动参数。
3.2.欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是描述刚体和弹性体运动的重要工具，它基于能量的变化来建立运动方程。
在机械系统的动力学分析中，可以利用欧拉-拉格朗日方程来推导机械系统的运动方程，并求解系统的运动参数。
3.3.运动学分析运动学分析是机械系统动力学分析的基础，它研究机械系统的运动规律和运动参数。
通过对机械系统的位移、速度和加速度等进行测量和分析，可以获得系统的运动特性，并为后续的动力学分析提供基础数据。
3.4.力学模型在动力学分析中，需要建立机械系统的力学模型，即建立力和运动之间的关系。
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(4)代入方程 E E 0 m l2 d m glsin m l2 dt g sin 0 即 l
作业3：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
57
例：拉格朗日方程的应用。
58
广义力为
Q1 0 Q2 M
59
M
60
(1) (2)
66
证明：对于单自由度系 统，拉格郎日方程应为 d E dt E Me 2 1 E 2 J e E J e
67
d ( ) dt
E 1 2 2 1 J e J 2 e 2 1 dJe dt 2 2 dt d 1 dJe 2 dt
44
45
46
v A l1 1 2 2 l 2 2 2l l cos( ) vB l12 1 2 2 1 2 1 2 2 1 系统动能为 1 1 2 2 2 2 E (m1 m2 )l1 1 m2l1l212 cos(2 1 ) m2l2 22
63
64
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例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗 日方程与等效力学模型是统一的。
证明：
dE 等效力学模型方程为： M e dt d E E 拉格郎日方程为 Qi i qi dt q 需要证明(1)是(2)的特例。
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48
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4）代入拉格朗日方程
d E E Q1 dt 1 1 d E E Q 2 dt 2 2
50
E sin( ) m2l1l2 1 2 2 1 1 E 2 cos( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 d E 2 ( ) sin( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 dt 1 cos( ) m ll
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
14
对双摆系统，有：
关于约束
对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。 如单摆的约束方程为：
x y l
2 2
2
球摆的约束方程为：
x y z l
2 2 2
2
15
约束分类： 1 几何约束与速度约束
约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度 时为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度 约束。 2 定常约束与非定常约束
10
广义坐标
11
设系统广义坐标为：q (i 1,2,, n)
i
则任一点位置矢量 可表示为：
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
也可以写成投影形 式：
xk xk (q1 , q2 ,, qn )
yk yk (q1 , q2 ,, qn )
zk zk (q1 , q2 ,, qn )
26
3.3.3 广义力计算
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
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30
31
32
33
34
35
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问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为T，则情况 如何？
37
3.4 拉格朗日方程（第二类）
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39
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42
43
用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述 如下： （1）确定系统自由度数，选取广义坐标； （2）计算系统动能E; （3）计算系统的广义力Q； （4）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动 微分方程； （5）求解方程。
23
另外，
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
（3-6）
叫广义力。
24
则有：
W Qiqi 0
i 1
n
（3-7）
25
由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移 是任意的，所以有
Qi 0
(i 1,2,, n)
即，在理想约束下，系统平衡的充分必要 条件是所有的广义力为零。
即
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3.5 二自由度机械系统动力学方程
70
71
3.5.1 系统动能的确定
72
73
74
75
76
77
78
79
3.5.2 广义力的确定
80
3.5.3 运动微分方程
81
82
3.5.4 运动微分方程的求解
83
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85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
W Fk rk 0
k
（3-3）
19
也可以写成分解形式，即
W （X kxk Ykyk Z kzk ) 0
k
（3-4）
20
说明：
（1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条 件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可 用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时 间冻结。
12
将位置矢量对时间求导，即可得到质点 的速度表达式： n drk rk k i （3-2） r q dt i 1 qi dq i 其中， i q dt
叫广义速度。
13
对单摆系统，有：
x l sin y l cos
x A l1 sin 1 y A l1 cos1 xB l1 sin 1 l2 sin 2 y B l1 cos1 l2 cos 2
143
144
（2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移 原理也叫虚功原理。 （3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所 以约束力不在方程中出现。
21
3.3.2 虚位移原理的广义坐标形式
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
求变分得
rk
i 1 n
rk qi qi
（3-5）
17
非完整约束 (Nonholonomic constraint)为：含有速度的 约束且约束方程不可积分。
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。
18
3.3 虚位移原理与广义力
3.3.1 虚位移原理 在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是 所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即
2 1 2 2 2 1
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例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
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(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含 有时间t时为非定常约束。
x y l
2 2
2
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另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直 线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：
r x
为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。
x r c
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情 况。
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代入拉格郎日方程得 d 1 dJe ( J e ) 2 Me dt dt dJe d 1 dJe Je 2 Me dt dt dt d 2 1 dJe J e M e 2 dt dt d 1 2 J M e 2 e dt dE M e dt
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
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117
118
119
120
121
122
123
当Dx D 0时，有 F m l （m m ) x
第3 章
二自由度机械系统动力学
1
第3章 二自由度机械系统动力学
本章内容 3.1 引言——力学的发展过程 3.2 自由度与广义坐标 3.3 虚位移原理与广义力 3.4 拉格朗日方程（重点） 3.5 二自由度机械系统动力学方程 3.6 二自由度机械手动力学问题