公开课、竞赛课课件 弧长和扇形面积
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弧长和扇形面积
教学目标
在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长 、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将 计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一 部分来解决，体会转化、类比的数学思想．
了解圆锥及其母线、侧面积、全面积等概念，会计算圆 锥的侧面积和全面积．
教学重点 弧长和扇形面积公式的推导及运用． 圆锥的侧面积和全面积的计算．
思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分． 想一想，如何计算半径为 R 的圆的周长？
圆周长 C = 2πR
圆的周长可以看作多少度的圆心角所 对的弧长？
360°
思考 1°的圆心角所对的弧长是多少？
n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长公式 n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长 如何推导弧长公式？ 如何利用弧长公式计算？
圆心角越大，扇形面积也就越大 ． 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．
如何计算半径为的 R 圆的面积呢？
圆面积可以看作是多少度圆心角所 对的扇形的面积呢？
360°
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？
答案：R=4r.
已知一个圆锥的轴截面 △ABC 是等边三角形，它的表面Biblioteka Baidu 为75π ，求这个圆锥的底面半径和母线的长． 提示：底面半径与母线长之比是1：2．
答案：底面半径是5，母线的长是10．
答案：15π.
练习——公式2
练习——公式2
已知扇形的面积为24π，弧长为8πcm，则扇形的半径是_____cm ，圆心角是______度．
练习——公式2 答案：19.
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后 两位）．
在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_______． 答案：4π cm.
在半径为50cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为_______．
扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 ．
可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关外，还与组成扇形的 圆心角的大小有关．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 a/2为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S ．
圆锥的相关概念 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线．
圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形
圆锥的侧面积
练习——公式1
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为 ________．
练习——公式1 扇形半径为12，面积为9π，它的圆心角等于________．
答案：22.5°.
练习——公式1
已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半径为________ ．
练习——公式2 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 _______．
例题——底面半径，母线，圆心角的关系
已知圆锥的底面半径为8cm， 母线长20cm，求它的侧面展开 图的圆心角． 由侧面扇形的弧长等于底面周长可知：
这是底面半径、母线、圆心
角之间的固定关系，已知其
中任意两个都可以求第三个
n=144
．
所以圆锥的侧面展开图的圆心角是144° ．
底面半径和母线的比与圆心角的关系 底面半径和母线的比与圆心角有什么关系？
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r． 那么侧面展开扇形的半径是___l ___． 侧面展开扇形的弧长与_底__面__周___长__相等 ，等于__2_π_r______． 圆锥的侧面积等于___________________.
圆锥的全面积等于________________.
圆锥 圆锥底面周长和侧面弧长有什么关系？ 怎么算圆锥的侧面积和全面积？
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm．求它的侧面展 开图的圆心角和圆锥的全面积．
2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是50 cm，制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，若他们恰好 能围成一个圆锥模型，圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形 的圆心角等于90°，则 r 与 R 之间的关系是________．
一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长5cm ，则它的侧面积是_____________．
圆锥的底面半径是1cm，母线是2cm，则高是________，侧面 积是_________，全面积是________．
解： 圆柱的底面圆半径
圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为
n°的圆心角所对的扇形面积是多少？
扇形面积公式 圆心角为n°的扇形面积是
扇形面积 如何求扇形的面积？
另一个公式 比较扇形面积公式与弧长公式
可以发现
扇形面积等于弧长与半径乘积的一半
另一个公式
类比记忆：可以扇形看做一个三角形 弧长看做三角形的底 半径看做三角形的高 如此一来， 扇形面积公式就与三角形面积公式一致了．
教学目标
在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长 、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将 计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一 部分来解决，体会转化、类比的数学思想．
了解圆锥及其母线、侧面积、全面积等概念，会计算圆 锥的侧面积和全面积．
教学重点 弧长和扇形面积公式的推导及运用． 圆锥的侧面积和全面积的计算．
思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分． 想一想，如何计算半径为 R 的圆的周长？
圆周长 C = 2πR
圆的周长可以看作多少度的圆心角所 对的弧长？
360°
思考 1°的圆心角所对的弧长是多少？
n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长公式 n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长 如何推导弧长公式？ 如何利用弧长公式计算？
圆心角越大，扇形面积也就越大 ． 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．
如何计算半径为的 R 圆的面积呢？
圆面积可以看作是多少度圆心角所 对的扇形的面积呢？
360°
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？
答案：R=4r.
已知一个圆锥的轴截面 △ABC 是等边三角形，它的表面Biblioteka Baidu 为75π ，求这个圆锥的底面半径和母线的长． 提示：底面半径与母线长之比是1：2．
答案：底面半径是5，母线的长是10．
答案：15π.
练习——公式2
练习——公式2
已知扇形的面积为24π，弧长为8πcm，则扇形的半径是_____cm ，圆心角是______度．
练习——公式2 答案：19.
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后 两位）．
在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_______． 答案：4π cm.
在半径为50cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为_______．
扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 ．
可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关外，还与组成扇形的 圆心角的大小有关．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 a/2为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S ．
圆锥的相关概念 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线．
圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形
圆锥的侧面积
练习——公式1
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为 ________．
练习——公式1 扇形半径为12，面积为9π，它的圆心角等于________．
答案：22.5°.
练习——公式1
已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半径为________ ．
练习——公式2 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 _______．
例题——底面半径，母线，圆心角的关系
已知圆锥的底面半径为8cm， 母线长20cm，求它的侧面展开 图的圆心角． 由侧面扇形的弧长等于底面周长可知：
这是底面半径、母线、圆心
角之间的固定关系，已知其
中任意两个都可以求第三个
n=144
．
所以圆锥的侧面展开图的圆心角是144° ．
底面半径和母线的比与圆心角的关系 底面半径和母线的比与圆心角有什么关系？
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r． 那么侧面展开扇形的半径是___l ___． 侧面展开扇形的弧长与_底__面__周___长__相等 ，等于__2_π_r______． 圆锥的侧面积等于___________________.
圆锥的全面积等于________________.
圆锥 圆锥底面周长和侧面弧长有什么关系？ 怎么算圆锥的侧面积和全面积？
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm．求它的侧面展 开图的圆心角和圆锥的全面积．
2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是50 cm，制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，若他们恰好 能围成一个圆锥模型，圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形 的圆心角等于90°，则 r 与 R 之间的关系是________．
一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长5cm ，则它的侧面积是_____________．
圆锥的底面半径是1cm，母线是2cm，则高是________，侧面 积是_________，全面积是________．
解： 圆柱的底面圆半径
圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为
n°的圆心角所对的扇形面积是多少？
扇形面积公式 圆心角为n°的扇形面积是
扇形面积 如何求扇形的面积？
另一个公式 比较扇形面积公式与弧长公式
可以发现
扇形面积等于弧长与半径乘积的一半
另一个公式
类比记忆：可以扇形看做一个三角形 弧长看做三角形的底 半径看做三角形的高 如此一来， 扇形面积公式就与三角形面积公式一致了．