刚体力学基础

质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量
说明 质点系的内力矩不能改变质点系的角动量
3. 质点系动量矩守恒定律


对质点系 M外 0 dL 0
投影形式,以 z 轴为例,如
L 常矢量
Mz 0
LZ 常量
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
LO'
r'mv
(O'O r ) m(v //
v)
z
v //
v
LO'z

?


LO' k [(O'O r ) m(v // v )] k

[r

mv
]

k
O rm
O' r' A
v
若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则
§3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律
主要内容：
1. 刚体绕定轴转动的角动量定理 2. 角动量守恒定律 3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用
3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
质点系对参考点O 的角动量
LO


LO i

ri
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
支架S
外环
陀螺G 内环
陀螺仪的特点：具有轴对称性和 绕对称轴有较大的转动惯量。
演示
陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的 大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不 能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。
直升机螺旋桨的设置
得
2

(J0 (J0

2mr12 2mr22
) )
1
r1 r2

系统机械能的变化
Ek

1 2
(
J
0
2mr22 )22

1 2
(
J
0
2mr12 )12

1 2
(
J
0

2mr12
)12
(
J J
0 0

2mr12 2mr22
1)
非保守内力作正功，机械能增加。
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航

LO'zk r mv LO
z
显然，结论与O’在 轴上的位置无关.
质点系：Lz
k

(ri

mivi
)
O r

Lzk
i
(ri mivi（) 指出各部分的含义） O'
r' A
v
i
Lz rimiv i sin i M zdt dLz（针对刚体进行讨论）
变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩
Lz rimivi ri2mii Jii C
i
i
i
m
r1 r2

演示
Mz 0
角动量守恒时，J变大，则角速度变小；J变小，则角速度变大。
动量矩守恒举例
花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿
有轻微的损伤。为什么会这样呢？
在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质 心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。
分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯 量、转动角速度和机械能的变化情况。
由角动量守恒，有
m
(J0 2mr12 )1 (J0 2mr22 )2
i
含有刚体的力学系统的机械能
ri2mii Jii J
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
i
i
E Ek Ep 恒量
定轴转动刚体的机械能:
质点系的角动量定 理 M zdt
M外dt dL (微分形式) 质点系动量矩守恒定律


E
dLz

1 2
t2
t1
J
M外
2
dt
mghC
L2
L1
t2
t1
MZ
dt

L2Z

Biblioteka Baidu
L1Z
(积分形式)
M外 0
L 常矢量
投影形式: M z 0
LZ 常量
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航
§3.6 进 动
进动现象 现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，
i
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动的角动量
Lz rimiv i sin i rimiv i ri2mi
i
i
i

Lz J (所有质元对Z轴的角动量之和)
2. 刚体定轴转动的角动量定理
O
Mzdt dLz dJ
角动量定理 微分形式
演示
尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。
对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。
刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果
dA Md d 1 J 2 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）
2
A
2 Md
1

1 2
J22

1 2
J12
刚体的重力势能 Ep mghC
（刚体绕定轴转动的动能定理）
LZ rimiv（i 绕定轴的转动）
M J
t2
t1
Mz
dt

2 1
dJ


J2

J1（角动量定理积分形式）
z
ri
v
Pmi
z
定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量
O r
3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
dLz 0
Jω 常量
O' r' A
v
讨论：质点系角动量守恒 M zdt dLz
mivi

i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
(所有质点的角动量之和)
O
2. 质点系的角动量定理





Midt dLi Midt dLi M外dt dL 微分形式
t2
t1
M外
dt

L2 L1
dL
i

L2

L1

i
L
积分形式
M zdt dLz