刚体力学基础
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刚体力学基础
mB
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
刚体力学基础
v p 0
1。微分形式
M dt d L
dL M r F dt
L2 L1
2。积分关系
dL
t2
t1
M dt
刚体→质点系(连续体)
L
t2
M外 d t d L
dL M外 dt
t1
M dt
t2 L M 外 d t
3.刚体的转动（rotation): 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。这条直线称作转轴。
定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。但线 位移、线速度、线加速度不同。
4.复杂运动可视为平动和转动的叠加。 二、刚体定轴转动的角量描述 1。转动平面：刚体定轴转动时，任一 质点作圆周运动的垂直于转轴的平面 某一时刻， 不同点的：
二、转动惯量J 1.定义：
Moment of inertia
J mi ri2
第i质元到转轴的垂直距离
J 的单位：kg· m2
m
第i质元的质量
如质量连续分布，则有：
2 r dm J lim mi ri 0
2 m i 0
质量分布
2。物理意义：物体转动惯性大小的量度
t1
[例题6]一棒长l,质量m,其质量分布与到 O点的距离成正比，将细 棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速 度为ω0 棒与桌面的摩擦系数为μ。 求:(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 （3）细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。 解：
(1) d m d r
2 2
J c md 0
2.2 刚体力学基础
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc 其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。
质量分布均匀而
有一定几何形状的
X
刚体，质心的位置
为它的几何中心。
例2.22 质量为m ，长为 l 的匀质细杆，可绕杆端的固
定轴在铅直平面内转动。最初杆处于水平位置，放手
后让其自由摆下，试求杆下摆到 角时的角速度和角加
当质点做平面圆周运动时， 由牛顿第二定律:
用矢径叉乘上式两边
rv
v F
rv
d
pv
d
v F
d
pv
dt
(rv pv)
v dt dt
v M
dL
dt
合外力矩
做圆周运动的质点角动量对时间的变化率等于其所受到的 合外力矩。——质点的角动量定理
2. 定轴转动刚体的角动量定理
vv
由转动定理 M J
J
d v
d( J v)
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV ：体积元
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J miri2 r2dm dm ：质量元
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
离时两物体的速度和加速度.
解: 以两物体、两滑轮、地球
成为一系统，A外 0，A内非 0 ，
故机械能守恒.以 m1 下降 x 时
的位置为重力势能零点，则有
m1gx
m2
gx
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
刚体力学基础的原理
刚体力学基础的原理
刚体力学是研究刚体在外力作用下的平衡和运动规律的学科。
它基于一些基本原理来描述刚体运动和受力情况。
1. 刚体的定义：刚体是指其内部各点在运动过程中的相对位置保持不变的物体。
2. 牛顿定律：刚体力学基于牛顿定律的第二定律。
根据该定律，一个刚体的动力学性质可以用质量和加速度之间的关系来描述。
牛顿第二定律的数学表达式是F = ma，其中F 表示作用在刚体上的合力，m 是刚体的质量，a 是刚体的加速度。
3. 刚体平衡：刚体平衡指刚体在受力作用下，其内部各点的加速度为零。
根据刚体平衡条件，合力的矢量和为零，合力矩的矢量和为零。
刚体平衡可以分为平衡在平面内和平衡在平面外两种情况。
4. 刚体运动：刚体运动分为平动和转动两种。
平动指刚体的任意两点保持相对位置不变地移动，转动则是刚体围绕某个轴线旋转。
刚体运动有三个基本定理：质心运动定理、角动量定理和动能定理。
5. 刚体受力分析：刚体力学中受力分析是重要的一步。
常见的外力有重力、支持力、摩擦力等。
通过分析受力情况，可以确定刚体受力平衡的条件，进而解决力学问题。
总之，刚体力学基于牛顿定律和刚体平衡原理，用于描述刚体的运动和受力情况。
熟悉这些基础原理可以帮助我们理解和解决刚体力学问题。
第3章 刚体力学基础
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
刚体力学基础知识点总结
刚体力学基础知识点总结一、刚体的定义与特性刚体是指物体在力的作用下，无论受到多大的力或力矩，形状和体积都不发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 刚体的质点间距不变：刚体上的质点在受力作用下，相对位置保持不变。
2. 刚体不发生形变：刚体的内部结构在受力作用下不发生变化，保持原有的形状和体积。
二、刚体的平衡条件刚体的平衡条件是指刚体处于平衡状态时，满足的力学条件。
刚体平衡有两个条件：1. 力的平衡条件：刚体平衡时，合外力和合内力矩均为零。
2. 力矩的平衡条件：刚体平衡时，对于刚体上的任意一点，合外力和合内力矩的代数和为零。
三、刚体的转动刚体的转动是指刚体围绕某个轴线或转动点进行旋转的运动。
刚体的转动有以下特点：1. 轴线：刚体转动的轴线是指固定刚体上任意两质点连线的延长线的交点。
2. 转动角速度：刚体绕轴线旋转时，每个质点的角速度相等。
3. 转动惯量：刚体绕轴线旋转时，转动惯量是刚体抵抗转动的物理量，与刚体的质量分布有关。
4. 转动定律：刚体绕轴线旋转时，转动定律描述了刚体的转动状态和转动惯量之间的关系。
四、刚体的平动与转动刚体的平动是指刚体作为一个整体沿直线运动的运动形式，而刚体的转动是指刚体围绕某个轴线旋转的运动形式。
刚体的平动与转动有以下关系：1. 平动转动定理：刚体的平动和转动可以相互转化，平动转动定理描述了平动和转动之间的转化关系。
2. 转动轴与平动方向垂直：刚体的转动轴与刚体的平动方向垂直。
五、刚体静力学刚体静力学是研究刚体在不动力学平衡状态下的力学性质和相互作用的学科。
刚体静力学包括以下内容：1. 刚体的受力分析：通过力的平衡条件和力矩的平衡条件，分析刚体所受到的各个力和力矩的大小和方向。
2. 支持反力：刚体在平衡状态下，受到支持反力的作用，支持反力可以分为支持力和摩擦力。
3. 杠杆原理：杠杆原理描述了杠杆平衡的条件，即杠杆两边所受的力矩相等。
六、刚体的碰撞刚体的碰撞是指两个或多个刚体之间发生的相互作用过程。
大学物理刚体力学基础
i
1 2
mi
vi2
i
1 2
mi
ri
2
2
1 2
(
i
miri2 ) 2
1 J2
2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方
乘积的一半。
转动动能
Ek
1 2
J2
注意比较
平动动能
Ek
1 mv 2 2
2、力矩的功
对于i 质点 其受 外力为 Fi，
dAi Fi dri Fi cosi dri Fidsi
§3-1刚体 刚体的定轴转动的描述
一、 刚体
质点模型基本上只能表征物体的平动特征。
当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不 可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体 的空间方位时，我们可以引入刚体模型。
刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。
大于零的常数)，当ω＝ 1 现在经历的时间是多少？3
0
时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到
解 (1)由题知 M k 2 ，故由转动定律有 k2 J
即
k2
J
将
1 3
0
代入，求得这时飞轮的角加速度为
k02
9J
(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即
M J J d
转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量度。因为：
M一定时J J
即 J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性 就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态 的能力越弱，或者说转动惯性越小。
如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒， 若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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t1
J
M外
2
dt
mghC
L2
L1
t2
t1
MZ
dt
L2Z
L1Z
(积分形式)
M外 0
L 常矢量
投影形式: M z 0
LZ 常量
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航
§3.6 进 动
进动现象 现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，
刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果
dA Md d 1 J 2 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）
2
A
2 Md
1
1 2
J22
1 2
Hale Waihona Puke J12 刚体的重力势能 Ep mghC
（刚体绕定轴转动的动能定理）
LZ rimiv（i 绕定轴的转动）
LO'zk r mv LO
z
显然，结论与O’在 轴上的位置无关.
质点系：Lz
k
(ri
mivi
)
O r
Lzk
i
(ri mivi（) 指出各部分的含义） O'
r' A
v
i
Lz rimiv i sin i M zdt dLz（针对刚体进行讨论）
得
2
(J0 (J0
2mr12 2mr22
) )
1
r1 r2
系统机械能的变化
Ek
1 2
(
J
0
2mr22 )22
1 2
(
J
0
2mr12 )12
1 2
(
J
0
2mr12
)12
(
J J
0 0
2mr12 2mr22
1)
非保守内力作正功，机械能增加。
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航
§3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律
主要内容：
1. 刚体绕定轴转动的角动量定理 2. 角动量守恒定律 3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用
3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
质点系对参考点O 的角动量
LO
LO i
ri
i
含有刚体的力学系统的机械能
ri2mii Jii J
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
i
i
E Ek Ep 恒量
定轴转动刚体的机械能:
质点系的角动量定 理 M zdt
M外dt dL (微分形式) 质点系动量矩守恒定律
E
dLz
1 2
t2
变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩
Lz rimivi ri2mii Jii C
i
i
i
m
r1 r2
演示
Mz 0
角动量守恒时，J变大，则角速度变小；J变小，则角速度变大。
动量矩守恒举例
花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿
有轻微的损伤。为什么会这样呢？
在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质 心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。
分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯 量、转动角速度和机械能的变化情况。
由角动量守恒，有
m
(J0 2mr12 )1 (J0 2mr22 )2
质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量
说明 质点系的内力矩不能改变质点系的角动量
3. 质点系动量矩守恒定律
对质点系 M外 0 dL 0
投影形式,以 z 轴为例,如
L 常矢量
Mz 0
LZ 常量
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
mivi
i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
(所有质点的角动量之和)
O
2. 质点系的角动量定理
Midt dLi Midt dLi M外dt dL 微分形式
t2
t1
M外
dt
L2 L1
dL
i
L2
L1
i
L
积分形式
M zdt dLz
演示
尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。
对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。
M J
t2
t1
Mz
dt
2 1
dJ
J2
J1（角动量定理积分形式）
z
ri
v
Pmi
z
定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量
O r
3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
dLz 0
Jω 常量
O' r' A
v
讨论：质点系角动量守恒 M zdt dLz
i
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动的角动量
Lz rimiv i sin i rimiv i ri2mi
i
i
i
Lz J (所有质元对Z轴的角动量之和)
2. 刚体定轴转动的角动量定理
O
Mzdt dLz dJ
角动量定理 微分形式
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
支架S
外环
陀螺G 内环
陀螺仪的特点：具有轴对称性和 绕对称轴有较大的转动惯量。
演示
陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的 大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不 能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。
直升机螺旋桨的设置
LO'
r'mv
(O'O r ) m(v //
v)
z
v //
v
LO'z
?
LO' k [(O'O r ) m(v // v )] k
[r
mv
]
k
O rm
O' r' A
v
若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则
J
M外
2
dt
mghC
L2
L1
t2
t1
MZ
dt
L2Z
L1Z
(积分形式)
M外 0
L 常矢量
投影形式: M z 0
LZ 常量
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航
§3.6 进 动
进动现象 现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，
刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果
dA Md d 1 J 2 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）
2
A
2 Md
1
1 2
J22
1 2
Hale Waihona Puke J12 刚体的重力势能 Ep mghC
（刚体绕定轴转动的动能定理）
LZ rimiv（i 绕定轴的转动）
LO'zk r mv LO
z
显然，结论与O’在 轴上的位置无关.
质点系：Lz
k
(ri
mivi
)
O r
Lzk
i
(ri mivi（) 指出各部分的含义） O'
r' A
v
i
Lz rimiv i sin i M zdt dLz（针对刚体进行讨论）
得
2
(J0 (J0
2mr12 2mr22
) )
1
r1 r2
系统机械能的变化
Ek
1 2
(
J
0
2mr22 )22
1 2
(
J
0
2mr12 )12
1 2
(
J
0
2mr12
)12
(
J J
0 0
2mr12 2mr22
1)
非保守内力作正功，机械能增加。
3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航
§3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律
主要内容：
1. 刚体绕定轴转动的角动量定理 2. 角动量守恒定律 3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用
3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
质点系对参考点O 的角动量
LO
LO i
ri
i
含有刚体的力学系统的机械能
ri2mii Jii J
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
i
i
E Ek Ep 恒量
定轴转动刚体的机械能:
质点系的角动量定 理 M zdt
M外dt dL (微分形式) 质点系动量矩守恒定律
E
dLz
1 2
t2
变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩
Lz rimivi ri2mii Jii C
i
i
i
m
r1 r2
演示
Mz 0
角动量守恒时，J变大，则角速度变小；J变小，则角速度变大。
动量矩守恒举例
花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿
有轻微的损伤。为什么会这样呢？
在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质 心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。
分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯 量、转动角速度和机械能的变化情况。
由角动量守恒，有
m
(J0 2mr12 )1 (J0 2mr22 )2
质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量
说明 质点系的内力矩不能改变质点系的角动量
3. 质点系动量矩守恒定律
对质点系 M外 0 dL 0
投影形式,以 z 轴为例,如
L 常矢量
Mz 0
LZ 常量
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）
mivi
i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
(所有质点的角动量之和)
O
2. 质点系的角动量定理
Midt dLi Midt dLi M外dt dL 微分形式
t2
t1
M外
dt
L2 L1
dL
i
L2
L1
i
L
积分形式
M zdt dLz
演示
尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。
对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。
M J
t2
t1
Mz
dt
2 1
dJ
J2
J1（角动量定理积分形式）
z
ri
v
Pmi
z
定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量
O r
3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
dLz 0
Jω 常量
O' r' A
v
讨论：质点系角动量守恒 M zdt dLz
i
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动的角动量
Lz rimiv i sin i rimiv i ri2mi
i
i
i
Lz J (所有质元对Z轴的角动量之和)
2. 刚体定轴转动的角动量定理
O
Mzdt dLz dJ
角动量定理 微分形式
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
支架S
外环
陀螺G 内环
陀螺仪的特点：具有轴对称性和 绕对称轴有较大的转动惯量。
演示
陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的 大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不 能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。
直升机螺旋桨的设置
LO'
r'mv
(O'O r ) m(v //
v)
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LO'z
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O' r' A
v
若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则