割圆术-PPT课件
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千古绝技割圆术ppt课件
13
刘徽是怎样割圆的
割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣
14
深邃的极限思想
古希腊人在精神上对“无穷” 怀有恐惧
阿基米德的著作总是谨慎地回 避“取极限”
“割圆术” 涵盖大学高等数 学教材中 有关数列极限的 基本知识 诸如 极限的定 义 收敛性的判别 无穷 小量概念等
“中国的牛顿”?
史称古率
从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是 古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)
阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 3.14
公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉
古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算
就此沉寂一千多年
8
焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
S2n + 0 (S2n - Sn ) < S * < S2n +1 (S 2n - Sn )
加速逼近 S* ≈ S2n + ω (S2n - Sn )
0< ω<1
关键在于松弛因子ω 的选择
刘徽适当选取 ω 考察加速公式
S* S192 + ω (S192 - S96 )
其中数据 S96 ,S192 很粗糙 阿基米德早已掌握 21
标准的计算机程序 19
一份珍贵的文化遗产
用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂
刘徽是怎样割圆的
割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣
14
深邃的极限思想
古希腊人在精神上对“无穷” 怀有恐惧
阿基米德的著作总是谨慎地回 避“取极限”
“割圆术” 涵盖大学高等数 学教材中 有关数列极限的 基本知识 诸如 极限的定 义 收敛性的判别 无穷 小量概念等
“中国的牛顿”?
史称古率
从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是 古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)
阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 3.14
公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉
古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算
就此沉寂一千多年
8
焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
S2n + 0 (S2n - Sn ) < S * < S2n +1 (S 2n - Sn )
加速逼近 S* ≈ S2n + ω (S2n - Sn )
0< ω<1
关键在于松弛因子ω 的选择
刘徽适当选取 ω 考察加速公式
S* S192 + ω (S192 - S96 )
其中数据 S96 ,S192 很粗糙 阿基米德早已掌握 21
标准的计算机程序 19
一份珍贵的文化遗产
用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂
刘徽割圆术精品PPT课件
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
数学视野：经典算法割圆术
数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
割圆术_精品课件
转相除法可得，85和357的最大公约数应该是17， 故选C.
4．(2013～2014·山西省太原五中月考)用秦九韶算
法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值
时，先算的是( )
A．4×4＝16
B．7×4＝28
C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34
[答案] D
[解析] 本题考查秦九韶算法的计算原理．因为f(x) ＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－ 1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多 项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先
x2＋1 x＞0 ＝2x＋7 x＝0
3x2－5 x＜0
，当输出的值为 1 时，易知输入的值为－ 2.
故选 C.
2．如果下边程序执行后输出的结果是 132，那么在程序
UNTIL 后面的“条件”应为( )
i＝12 s＝1
DO s＝s*i i＝i－1
LOOP UNTIL “条件”
PRINT S END
A．i＞11
(3)分别用辗转相除法和更相减损术求357和105的最 大公约数，并求最小公倍数．
[解析] (1)因为394＝82×4＋66， 82＝66×1＋16， 66＝16×4＋2， 16＝2×8， 所以共做了4次除法运算，且最大公约数是2.
(2)123－51＝72， 72－51＝21， 51－21＝30， 30－21＝9， 21－9＝12， 12－9＝3， 9－3＝6， 6－3＝3， 所以共做了8次减法．
所以f(3)＝391.
[答案] (1)A (2)391
规律总结：用秦九韶算法时要正确将多项式的
形式进行改写，然后由内向外依次计算．当多项式函
4．(2013～2014·山西省太原五中月考)用秦九韶算
法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值
时，先算的是( )
A．4×4＝16
B．7×4＝28
C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34
[答案] D
[解析] 本题考查秦九韶算法的计算原理．因为f(x) ＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－ 1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多 项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先
x2＋1 x＞0 ＝2x＋7 x＝0
3x2－5 x＜0
，当输出的值为 1 时，易知输入的值为－ 2.
故选 C.
2．如果下边程序执行后输出的结果是 132，那么在程序
UNTIL 后面的“条件”应为( )
i＝12 s＝1
DO s＝s*i i＝i－1
LOOP UNTIL “条件”
PRINT S END
A．i＞11
(3)分别用辗转相除法和更相减损术求357和105的最 大公约数，并求最小公倍数．
[解析] (1)因为394＝82×4＋66， 82＝66×1＋16， 66＝16×4＋2， 16＝2×8， 所以共做了4次除法运算，且最大公约数是2.
(2)123－51＝72， 72－51＝21， 51－21＝30， 30－21＝9， 21－9＝12， 12－9＝3， 9－3＝6， 6－3＝3， 所以共做了8次减法．
所以f(3)＝391.
[答案] (1)A (2)391
规律总结：用秦九韶算法时要正确将多项式的
形式进行改写，然后由内向外依次计算．当多项式函
刘徽割圆术
（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日 建议将 月 日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日 日 寓意3﹒ ） 美国麻省理工学院首先倡议将 日14日（寓意 ﹒14）定为国际 圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler， 圆周率日 。 年 ， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周 来表示圓周率， 是圓周 音 的字頭。直到現在， 的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已 英文为 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日 快乐！ 快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学 ！ 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼 英 同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物 文pie，与圆周率英文 同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， ，与圆周率英文pi同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， 举行圆周率背诵比赛。 举行圆周率背诵比赛。 全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月 日举行 日举行Party庆 全球各地的一些著名大学的数学系，也在 月14日举行 庆 在圓周率日當天， 祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来 庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。 月 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝 的生日。所以他们还会「择时辰」 ， 圆周率日：选择在下午1時 分开始庆祝 分开始庆祝， 圆周率日：选择在下午 時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至 准确至 六位小数) 的圓周率近似值。 六位小数 的圓周率近似值。
割圆术ppt课件
于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去， 一试果然有效。他发明了亘古未有的“割圆术”。
他沿着割圆术的思 路，从圆内接正六 边形算起，边数依 次加倍，相继算出 正12边形，正24边 形……直到正192边 形的面积，得到圆 周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后 来，他又算出圆内 接正3 072边形的面 积，从而得到更精 确的圆周率近似值： 兀≈3927/1 250(3.1416)。
刘徽首创割圆术的方法可以说他是中国古代极限思想思想的杰出代表不仅为200年后祖冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据也对中国古代的数学研究产生了很大影响
与割
圆
洛 龙 区
尹
术
屯 明 德
小
学
刘徽是公元三世纪世 界上最杰出的数学家， 他在公元263年撰写 的著作《九章算术注》 以及后来的《海岛算 经》，是我国最宝贵 的数学遗产，从而奠 定了他在中国数学史 上的不朽地位。
刘徽首创“割圆术” 的方法，可以说他是中国古 代极限思想思想的杰出代表，不仅为200年后祖 冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据， 也对中国古代的数学研究产生了很大影响。
在生活中，我们也要善于观察、勤于思考， 养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数 学家哦！
The end
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢一直 潜心钻研着。
一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得 很有趣就仔细观察了起来。
“哇！原本一块 方石，经石匠师 傅凿去四角，就 变成了八角形的 石头。再去八个 角，又变成了十 六边形。”
一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱。
谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发 了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法， 可不可以用在圆周率的研究上呢？”
《刘徽割圆术》课件
形状，从而方便计算和推导。
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的 概念，它描述了当某量变化时 ，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用 ，即通过不断增加多边形的边 数，使得多边形的周长无限接 近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽 能够利用有限的手段来逼近无 限的数值，从而得到圆周率的 近似值。
感谢您的观看
THANKS
计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术 的思想被广泛应用于生成平滑的曲线 和曲面，例如在制作动画、游戏、电 影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广 泛应用于现代科学中的数值分析领域 ，例如在计算物理、工程等领域中， 可以利用刘徽割圆术的方法进行数值 模拟和计算。
04
刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后 来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行 割圆术时无法获得精确的数值和比例 。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘 徽只能通过直观和实践来验证割圆术 ，这使得其结果的可靠性和准确性存 在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全 支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方 法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用 于数学建模中，为解决实际问题提供新 的思路和方法。例如，在物理、工程、 经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的 思想来建立数学模型，解决复杂的问题 。
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的 概念，它描述了当某量变化时 ，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用 ，即通过不断增加多边形的边 数，使得多边形的周长无限接 近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽 能够利用有限的手段来逼近无 限的数值，从而得到圆周率的 近似值。
感谢您的观看
THANKS
计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术 的思想被广泛应用于生成平滑的曲线 和曲面，例如在制作动画、游戏、电 影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广 泛应用于现代科学中的数值分析领域 ，例如在计算物理、工程等领域中， 可以利用刘徽割圆术的方法进行数值 模拟和计算。
04
刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后 来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行 割圆术时无法获得精确的数值和比例 。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘 徽只能通过直观和实践来验证割圆术 ，这使得其结果的可靠性和准确性存 在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全 支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方 法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用 于数学建模中，为解决实际问题提供新 的思路和方法。例如，在物理、工程、 经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的 思想来建立数学模型，解决复杂的问题 。
《刘徽割圆术》课件
刘徽割圆术在中国数学史上具有重要的地位，它不仅为后来 的数学家提供了研究圆周率的方法，而且对整个数学的发展 产生了深远的影响。
刘徽割圆术的提出标志着中国古代数学的发展达到了一个新 的高度，为后来的数学家提供了研究数学的新思路和新方法 。
01
刘徽割圆术的数学 原理
圆周率的定义
圆周率：圆的周长与其直径的比值，记作π。 圆周率在数学和科学中具有广泛的应用，是研究圆和其他几何图形的基础。
传承价值
刘徽割圆术的传承价值不仅在于其数学成果，更在于其背 后所蕴含的数学思想和智慧，对于中国古代数学的发展和 现代数学的研究都具有重要的意义。
刘徽割圆术的发展现状
学术研究
现代学者对刘徽割圆术的研究主 要集中在对其数学思想和方法的 探讨，以及其在现代数学中的应
用等方面。
普及教育
刘徽割圆术作为中国古代数学的瑰 宝，已经被纳入到中小学数学教材 中，成为学生了解中国古代数学的 重要内容。
国际影响
随着中国数学文化的传播，刘徽割 圆术也逐渐受到国际数学界的关注 和认可，成为世界数学史上的重要 篇章。
刘徽割圆术的未来展望
学术研究深化
随着数加深入，有望在数 学史和数学思想方面取得更多的
突破。
文化传承与创新
刘徽割圆术作为中国传统文化的 重要组成部分，未来需要在传承 的基础上进行创新，以适应现代
03
刘徽割圆术的提出，使得中国数学在当时的国际数学界获得了
高度评价和认可。
对世界数学的影响
丰富了世界数学文化宝库
刘徽割圆术作为一种独特的数学思想和算法，为世界数学的发展 做出了重要贡献，丰富了世界数学文化宝库。
促进了东西方数学的交流
刘徽割圆术的传播，使得东西方数学在圆周率研究方面得以相互借 鉴和交流，推动了数学的发展。
刘徽割圆术.
（一）刘徽简介
（二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形 算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边 形，正二十四边形，……以至于正九十六 边形每边的长，并且求出正一百九十二边 形的面积。 这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了 π=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正 三千零七十二边形的面积，验证了前面的 结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
（二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形 算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边 形，正二十四边形，……以至于正九十六 边形每边的长，并且求出正一百九十二边 形的面积。 这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了 π=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正 三千零七十二边形的面积，验证了前面的 结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
六年级数学上册- 刘徽割圆术
刘徽割圆术
同学们：你们知道在古代，人们还没有推导出圆周长计算公式的时 候，他们是怎么计算圆的周长的吗？
请你试一试，完成下面的表格。
……
（3 ）边形
（ 6）边形
（ 12）边形
圆
边长：5.1cm 边长：3cm
边长：1.6cm
半径：3cm
周长：15.3cm 周长：18cm
周长：19.2cm
周长：18.84cm
割圆计算的刘徽算法
l6 l12 l24 l48 S12 S24 S48
L
取 r l6 1 递推计算
l2n 2
S2n
n 2
ln
4 ln2
证明基于勾股定理
小
股
勾 勾小
股小
弦
弦
8
从先秦时期开始 “周三径一” 误差很大
正六边形的周长
其数值要比实际的圆 周长小得多
刘徽割圆术
正30பைடு நூலகம்2边形
π≈3.14和3.1416
这个结果是当时世界上圆周 率计算的最精确的数据。
刘徽割圆术
极限
无穷小分割
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实 可靠的理论基础，在人类历史上首次将极限和无穷小 分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。
谢谢！
我的发现： 1. 边长×边数=正多边形的周长。
2.画的正多边形边数越多，越接近圆，正多边形周长也越接近圆 的周长。 3. 如果这样一直画下去，就可以无限接近圆。
千古绝技
割圆术
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少。 割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。
刘徽割圆术
刘徽割圆术
不 断 分 割
……
同学们：你们知道在古代，人们还没有推导出圆周长计算公式的时 候，他们是怎么计算圆的周长的吗？
请你试一试，完成下面的表格。
……
（3 ）边形
（ 6）边形
（ 12）边形
圆
边长：5.1cm 边长：3cm
边长：1.6cm
半径：3cm
周长：15.3cm 周长：18cm
周长：19.2cm
周长：18.84cm
割圆计算的刘徽算法
l6 l12 l24 l48 S12 S24 S48
L
取 r l6 1 递推计算
l2n 2
S2n
n 2
ln
4 ln2
证明基于勾股定理
小
股
勾 勾小
股小
弦
弦
8
从先秦时期开始 “周三径一” 误差很大
正六边形的周长
其数值要比实际的圆 周长小得多
刘徽割圆术
正30பைடு நூலகம்2边形
π≈3.14和3.1416
这个结果是当时世界上圆周 率计算的最精确的数据。
刘徽割圆术
极限
无穷小分割
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实 可靠的理论基础，在人类历史上首次将极限和无穷小 分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。
谢谢！
我的发现： 1. 边长×边数=正多边形的周长。
2.画的正多边形边数越多，越接近圆，正多边形周长也越接近圆 的周长。 3. 如果这样一直画下去，就可以无限接近圆。
千古绝技
割圆术
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少。 割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。
刘徽割圆术
刘徽割圆术
不 断 分 割
……
九年级中考数学复习课件第6单元 数学文化——割圆术
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4．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章 计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)．孤田是由圆弧和其所对 的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆 心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB)可以求解．现已 知弦 AB＝8 米，半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为__1_0___平方米．
【笔记】依照题意画出图象，如图所示． ∵六边形 ABCDEF 为正六边形，∴△ABO 为等边三角形， ∵⊙O 的半径为 1，∴OM＝1， ∴BM＝AM＝ 33，∴AB＝233， ∴S＝6S△ABO＝6×12×233×1＝2 3.
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2．(2019·孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割 圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接 正十二边形的面积 S1 来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1，则 S－S1＝__0_.1_4__.
赢在 中考
讲 练通
第一部分 教材同步复习
第六单元 圆
数学
数学文化——割圆术
数学
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1．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积 S 来近似估计圆 O 的面积，则 S＝__2__3___.(结果保留根号)
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解：(1)∵O、I、N 三点共线，∴OI＋IN＝ON ∴IN＝ON－OI＝R－d，故答案为：R－d； (2)BD＝ID，理由如下： 如图，过点 I 作⊙O 直径 MN，连接 AI 交⊙O 于 D，连接 MD，BI，BD， ∵点 I 是△ABC 的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI ∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，∠DBI＝∠DBC＋∠CBI ∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID (3)由(2)知：BD＝ID，∴IA·ID＝DE·IF ∵DE·IF＝IM·IN，∴2R·r＝(R＋d)(R－d)
2019年最新-人教版高中数学必修三刘徽割圆术ppt课件
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周 近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是 总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深 造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要内容和
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，作正十二边形，从勾股定理出发， 二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正 的长，可以求出圆内接正2n边形每边的长。
祖冲之的圆周率
No Image
（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年）字文远 郡遒县（今河北省保定市涞水县）人，是我国南 代一位成绩卓著的科学家。他不仅在天文、数学 有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等方面也 发明创造。他的发明为促进社会生产的发展，建 可磨灭的功绩，受到了中国人民和世界人民的尊
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 又是怎样找到既精确又方便的密率的呢？这至今仍是困 谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他对圆周 成果。但当时“学官莫能究其深奥，是故废而不理”， 传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一项了 密率355／113传到了日本后，1913年日本数学史家三上 将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致 之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到 国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率 但是“祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却
在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸 计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。
父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大 越多，3072边、6144边……边数越多，边长越短。父子俩蹲在地上 一个细心地算，谁也不敢走神。
割圆术 PPT
割圆术
圆周率的历史
The history of PI
无论怎样改变
车轮的大小， π
周长/直径 = K
实测法
工具：细线、直尺
任务：测量3个圆片的周长和直径， 并求出它们的比值。
历史纪实
点击请替换文字内容
邢云路
邢云路是中国明代天文学家， 著有《古今履历考》72卷，他通过 36年冬至时刻的实测工作，算出了 回归年长度值为365.24219日，与 理论值之差仅为2秒，是中国古代、 亦是当今世界上的最佳值。
hn )
割圆术 用圆的外切正多边形的面积逼近圆的面积
割圆术
平面图形的面积为： S6 2 S12 S6
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
小结
化圆为方 内外夹逼
谢谢观看
刘徽的割圆术
圆
正六边形
正十二边形
用内接正多边形的面积无限逼近圆的面积
割圆术
E
H
A
B
F
1
O
割圆术
E
A
x2n
xn
B
F
hn
1
O
设圆内接正n边形边长为 xn ,面积为 Sn ，
你能表示出圆内接正2n边形的面积 S2n吗？
hn
1
xn 2
2
x2n
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1hnBiblioteka 2S2nSn
n
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圆周率的历史
The history of PI
无论怎样改变
车轮的大小， π
周长/直径 = K
实测法
工具：细线、直尺
任务：测量3个圆片的周长和直径， 并求出它们的比值。
历史纪实
点击请替换文字内容
邢云路
邢云路是中国明代天文学家， 著有《古今履历考》72卷，他通过 36年冬至时刻的实测工作，算出了 回归年长度值为365.24219日，与 理论值之差仅为2秒，是中国古代、 亦是当今世界上的最佳值。
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割圆术 用圆的外切正多边形的面积逼近圆的面积
割圆术
平面图形的面积为： S6 2 S12 S6
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
小结
化圆为方 内外夹逼
谢谢观看
刘徽的割圆术
圆
正六边形
正十二边形
用内接正多边形的面积无限逼近圆的面积
割圆术
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割圆术
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设圆内接正n边形边长为 xn ,面积为 Sn ，
你能表示出圆内接正2n边形的面积 S2n吗？
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刘徽与割圆术ppt课件
6
▪ 刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并
给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 得到π=3927/1250=3.14▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。
正48邊形
7
谢谢观看
8
4
②刘徽原理 在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
▪ 刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并
给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数 倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积， 得到π=3927/1250=3.14▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。
正48邊形
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谢谢观看
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4
②刘徽原理 在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 ③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 ④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
割圆术的方法
割圆术的方法割圆术是一种古老而神奇的几何构造方法，用于将一个圆分成等分的部分。
通过割圆术，我们可以实现将圆分成任意数量的相等部分，这在几何学和数学中具有重要的应用。
割圆术最早可以追溯到古希腊时代，由著名的古希腊数学家阿基米德提出。
他发现了一种使用直尺和圆规的方法，可以将圆分成6、8、10等等相等的部分。
这种方法被称为阿基米德割圆术。
阿基米德割圆术的基本思想是利用几何构造来实现割圆。
首先，我们需要一个已知半径的圆。
然后，我们使用直尺在圆上划出一条直径线段。
接下来，我们使用圆规将这个直径线段分成所需的等分部分。
最后，我们通过连接这些等分部分的端点，得到了将圆分成相等部分的结果。
除了阿基米德割圆术，还有其他一些割圆方法。
例如，可以使用正方形和圆规来实现割圆。
具体方法是，将正方形内接于圆内，然后使用圆规在正方形的边上划出一系列等距离的点。
最后，通过连接这些点和圆心，就可以将圆分成相等的部分。
割圆术在几何学和数学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要将圆形的建筑物分成相等的部分，以实现结构的均衡和美观。
割圆术可以帮助我们实现这一目标。
另外，在制作轮胎、钟表等圆形物品时，割圆术也可以用于确定切割和制作的位置。
虽然割圆术在几何学和数学中有着重要的应用，但它并不是一种精确的方法。
由于割圆术是通过几何构造来实现的，所以存在一定的误差。
这意味着我们无法完全精确地将圆分成相等的部分。
然而，随着数学和几何学的发展，我们可以使用更精确的方法来实现割圆。
总结起来，割圆术是一种古老而有趣的几何构造方法，用于将圆分成相等的部分。
它有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种几何和数学问题。
然而，由于割圆术是通过几何构造来实现的，存在一定的误差。
因此，在实际应用中，我们需要结合其他精确的方法来实现割圆。
割圆术的研究和应用将不断推动数学和几何学的发展，为我们提供更多的解决问题的方法和思路。
阅读与思考 割圆术-PPT课件
❖ 2．十进制与二进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制 数的运算规则计算出结果。
2020/4/25
❖ 3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k 取余法） 用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商 为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成 一个数，就是相应的k进制数。
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
20所20/4以/25：89=1011001（2）
另解（除2取余法的另一直观写法）：
注意：
2 89 2 44 2 22
2 11 25 22
21 0
余数
1 0 0 1 1 0 1
(1)算法步骤: 第一步，输入a,k和n的值； 第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；
第三步，b=b+ai*ki-1, i=i+1
第四步，判断i>n是否成立.若是,则执行第五步,否则, 返回第三步； 第五步，输出b的 输入a,k,n
b=0 i=1
2020/4/25
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1x102+3x101+3x100 +5x10-1+9x1
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。
2020/4/25
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制 数的运算规则计算出结果。
2020/4/25
❖ 3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k 取余法） 用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商 为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成 一个数，就是相应的k进制数。
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
20所20/4以/25：89=1011001（2）
另解（除2取余法的另一直观写法）：
注意：
2 89 2 44 2 22
2 11 25 22
21 0
余数
1 0 0 1 1 0 1
(1)算法步骤: 第一步，输入a,k和n的值； 第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；
第三步，b=b+ai*ki-1, i=i+1
第四步，判断i>n是否成立.若是,则执行第五步,否则, 返回第三步； 第五步，输出b的 输入a,k,n
b=0 i=1
2020/4/25
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1x102+3x101+3x100 +5x10-1+9x1
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。
2020/4/25
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
割圆术介绍
割圆术介绍割圆术是一种古老的几何方法，用来将一个圆切割成若干个相等的部分。
这种方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，尤其在计算机图形学和工程设计中起着重要的作用。
割圆术最早出现在古希腊的数学研究中，由希腊数学家阿基米德首次提出。
他利用割圆术解决了很多几何问题，例如计算圆的周长和面积，以及求解圆的切线等。
这一发现对于当时的数学发展起到了重要的推动作用。
割圆术的基本原理是通过将圆分割为一系列相等的弧，然后再将这些弧拼接起来，得到所需的形状。
这个过程可以通过绘制一系列的切线来实现。
具体来说，我们可以从圆的边界上任意选取一个点作为起始点，然后用直尺将这个点与圆心连接。
接下来，我们沿着这条直线继续延伸，直到与圆的边界相交。
然后，我们在与圆的边界相交的地方作垂直于切线的直线，将圆分割成两个相等的弧。
重复这个过程，不断分割圆的弧，直到得到所需的形状为止。
割圆术的应用非常广泛。
在计算机图形学中，割圆术可以用来生成曲线和曲面，例如贝塞尔曲线和贝塞尔曲面。
这些曲线和曲面可以用于设计二维和三维图形，实现平滑的过渡和变形效果。
在工程设计中，割圆术可以用来绘制精确的圆形零件和旋转体，保证其尺寸和形状的准确性。
此外，割圆术还可以应用于建筑设计、机械加工、航空航天等领域。
尽管割圆术在数学和工程领域中有着广泛的应用，但它也存在一些限制。
首先，割圆术只能将圆分割为有限个相等的部分，无法得到无限小的弧。
其次，割圆术需要进行多次的切割和拼接过程，操作起来比较繁琐。
此外，割圆术在处理复杂形状时可能会产生误差，需要结合其他几何方法进行修正。
割圆术是一种重要的几何方法，被广泛应用于数学和工程领域。
它通过将圆切割为相等的部分，实现了对圆形的精确控制和处理。
在计算机图形学和工程设计中，割圆术发挥着重要的作用，帮助我们实现各种复杂的图形和零件设计。
未来随着技术的进步，割圆术还有望进一步发展和应用，为我们带来更多的创新和便利。
刘徽割圆术
.
13
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
.
14
（三）圆周率的发展
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个 固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的 说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的 周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。 东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西 晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的 圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这 里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术” （在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3 倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的 周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
.
7
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
.
8
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
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17
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
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我们不能墨守成规，拘泥于一种现成 的方法，要注意创新。
七.激趣求知、延伸课堂
1.试用圆周率的定义（圆周长与直径之比）， 借助计算机变成完成圆周率的计算。
2.根据研究圆周率过程中的收获与体会，撰 写一篇数学小论文。
人教版必修3阅读与思考
割圆术
伤定伊始忆吾旧， 爱路吾深悟。 布鹃雀鸠甚爱甚， 不时遛爱路。
3.14159 26535 8979323 84626
一.追本溯源、感受辉煌
• 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了 计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家 为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
问题3.如何利用S
表示圆内接正十二边形的面积。
6
OB 1
PQ x6
三.传承知识、体会方法
OR 1
PB x12
设圆的半径为1，弦心距为 hn， 正 n边形的边长为 xn面积为 Sn
hn
1
xn
2
2
xn
xn
2
2
2
1
hn
2
2
不难发现，正 2n边形的面积等于
正 n 边形的面积加上n 个等腰三
南北朝时期祖冲之：
3.1415926 p 3.1415927
二.抽丝剥茧、感悟思想
割圆术
公元263年左右刘徽
《九章算术》 《圆田术注》
当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形的面积可无限逼近圆面积
割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。
三.传承知识、体会方法
四.古法新用、自主探究
• 问题.请同学们通过小组合作完成该循环结构的程 序框图。
开始 四.古法新用、自主探究
输入n
i=i+1
i
log
2
n 6
是
否
输出 s 结束
五.再接再厉、完善方法
“破缺的外切正多边形”
S Sn nS矩形CDHG Sn 2SCBD
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
Hale Waihona Puke 角形的面积，即S2n Sn n
正六边形的面积 正十二边形的面积
1 2
xn 1 hn
3 S6 6 4
S12 3
“以直代曲”
2.598
“无限趋近”
正二十四边形的面积 S24 3.132628
由于圆的半径是1，所以随着n 的增大，S2n的值不断
的趋近于单位圆的面积 p
• 【数学史介绍】“割圆术”从理论上能够把圆周
S2n S圆 S2n S2n Sn
“上限探求”
“内外夹逼”
• 【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求 圆周率的方法
• 比如：阿基米德的穷竭法，开普勒与沃利斯在创
造并发展穷竭法的基础上利用无穷小分析方法得
到 p 2• 2 4• 4 6•6 8•8
2 1•3 3•5 5•7 7•9
率p 的值计算到任意精度。刘徽一直计算到192
边形，得到了圆周率 精确到小数点后两位的
近似值3.14，化成分数为 157 这就是著名的“徽
率”；
50
• 我国南北朝数学家祖冲之继承并发展了刘徽的 割圆术，求得了圆周率 p 的范围为
3.1415926 p 3.1415927 ，把圆周率精确到小 数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家 韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.
• 回顾历史，人类对 p 的认识过程，反映了数学和计算 技术发展情形的一个侧面。 p 的研究，在一定程度上
反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说： “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以 作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。” • 为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。
一.追本溯源、感受辉煌
• 另外还有欧拉的无穷级数法
p 2 1 1 1 1
6 12 22 32 42
,等等
• 1844年，达赛利用的反正切函数表达式把π值计 算到了小数点后200位。
六.感悟提升、展望未来
请从知识、思想、方法等方面谈一下你的收获和体 会。
割圆术完美的体现了以直代曲、无 限趋近、“内外夹逼”的思想。
关于圆周率的早期记录
《莱因纸草算经》 旧约圣经
《周髀算经》
公元前1850年·古埃及
最早发现了圆周率 取圆直径的8/9，
作为正方形的边长，
公元前950年
最早记载圆周率为3
公元前2世纪·中国古代
记载口诀"径一周三"
就可以得到与圆等面
积的正方形。
一.追本溯源、感受辉煌
公元263年刘徽：p 3.14（割圆术）
七.激趣求知、延伸课堂
1.试用圆周率的定义（圆周长与直径之比）， 借助计算机变成完成圆周率的计算。
2.根据研究圆周率过程中的收获与体会，撰 写一篇数学小论文。
人教版必修3阅读与思考
割圆术
伤定伊始忆吾旧， 爱路吾深悟。 布鹃雀鸠甚爱甚， 不时遛爱路。
3.14159 26535 8979323 84626
一.追本溯源、感受辉煌
• 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了 计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家 为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
问题3.如何利用S
表示圆内接正十二边形的面积。
6
OB 1
PQ x6
三.传承知识、体会方法
OR 1
PB x12
设圆的半径为1，弦心距为 hn， 正 n边形的边长为 xn面积为 Sn
hn
1
xn
2
2
xn
xn
2
2
2
1
hn
2
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不难发现，正 2n边形的面积等于
正 n 边形的面积加上n 个等腰三
南北朝时期祖冲之：
3.1415926 p 3.1415927
二.抽丝剥茧、感悟思想
割圆术
公元263年左右刘徽
《九章算术》 《圆田术注》
当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形的面积可无限逼近圆面积
割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。
三.传承知识、体会方法
四.古法新用、自主探究
• 问题.请同学们通过小组合作完成该循环结构的程 序框图。
开始 四.古法新用、自主探究
输入n
i=i+1
i
log
2
n 6
是
否
输出 s 结束
五.再接再厉、完善方法
“破缺的外切正多边形”
S Sn nS矩形CDHG Sn 2SCBD
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
Hale Waihona Puke 角形的面积，即S2n Sn n
正六边形的面积 正十二边形的面积
1 2
xn 1 hn
3 S6 6 4
S12 3
“以直代曲”
2.598
“无限趋近”
正二十四边形的面积 S24 3.132628
由于圆的半径是1，所以随着n 的增大，S2n的值不断
的趋近于单位圆的面积 p
• 【数学史介绍】“割圆术”从理论上能够把圆周
S2n S圆 S2n S2n Sn
“上限探求”
“内外夹逼”
• 【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求 圆周率的方法
• 比如：阿基米德的穷竭法，开普勒与沃利斯在创
造并发展穷竭法的基础上利用无穷小分析方法得
到 p 2• 2 4• 4 6•6 8•8
2 1•3 3•5 5•7 7•9
率p 的值计算到任意精度。刘徽一直计算到192
边形，得到了圆周率 精确到小数点后两位的
近似值3.14，化成分数为 157 这就是著名的“徽
率”；
50
• 我国南北朝数学家祖冲之继承并发展了刘徽的 割圆术，求得了圆周率 p 的范围为
3.1415926 p 3.1415927 ，把圆周率精确到小 数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家 韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.
• 回顾历史，人类对 p 的认识过程，反映了数学和计算 技术发展情形的一个侧面。 p 的研究，在一定程度上
反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说： “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以 作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。” • 为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。
一.追本溯源、感受辉煌
• 另外还有欧拉的无穷级数法
p 2 1 1 1 1
6 12 22 32 42
,等等
• 1844年，达赛利用的反正切函数表达式把π值计 算到了小数点后200位。
六.感悟提升、展望未来
请从知识、思想、方法等方面谈一下你的收获和体 会。
割圆术完美的体现了以直代曲、无 限趋近、“内外夹逼”的思想。
关于圆周率的早期记录
《莱因纸草算经》 旧约圣经
《周髀算经》
公元前1850年·古埃及
最早发现了圆周率 取圆直径的8/9，
作为正方形的边长，
公元前950年
最早记载圆周率为3
公元前2世纪·中国古代
记载口诀"径一周三"
就可以得到与圆等面
积的正方形。
一.追本溯源、感受辉煌
公元263年刘徽：p 3.14（割圆术）