理论力学第07轴向拉伸与压缩

横截面上只有正应力 横截面上各点应力都相等
N ζ= A--拉伸、压缩时横截面上的正应力计算公式
应力正负的规定：拉为正，压为负。
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轴向拉伸与压缩
• 圣文南原理
实验： 应力分布不均匀 作用在弹性体某一局 部区域上的外力系， 若用静力等效的外力 系代替，则在外力系 作用附近区域的应力 分布将有显著变化， 但在较远处，其影响 可以忽略不计。
2
2
29
轴向拉伸与压缩
三、拉伸或压缩的超静定问题
超静定次数：未知力的数目比独立的平衡方程的数目超出的个数。
关键问题是建立补充方程：从变形的几何关系方面入手， 建立与超静定次数相当的补充方程。
30
例 10
如图所示为固定于间隔不变的两刚性壁间的直杆，总长度 为l及拉压刚度EA均为已知。试求在P力作用下杆的轴力， 并绘轴力图。
13
轴向拉伸与压缩
塑性材料能够缓和应力集中，脆性材料应考 虑应力集中的影响。
14
轴向拉伸与压缩
• § 7-2 拉、压杆的强度计算 许用应力
脆性材料：当应力达到强度极限时，构件断裂破坏。 塑性材料：当应力达到屈服应力时，将产生显著的 塑性变形，常会使构件不能正常工作。
工程中将构件断裂和显著的塑性变形统称为破坏。 材料破坏时的应力称为极限应力，用 ζ u 表示。
冷作硬化现象 在常温下，材料经加载到 产生塑性变形后卸载，由于材 料经历过强化，从而使其比例 极限提高，塑性性能降低的现 象称为冷作硬化。
P = p×
πD 2
4
= 9.24kN
活塞杆轴力 N = P = 9.24kN
πd 2 9.24 × 10 N
−42
2
d ≥ 0.012m
≥== 1.16 ×10 mA=
设计截面 [ζ ] 80 ×10
6
19
例
7
• 已知如图所示吊架，AB为木杆，BC为钢杆，
242
AAB = 10 mm , ABC = 600mm ,
[ζ ]AB = 7 MPa, [ζ ]
BC
= 160MPa.
试求B处可吊的最大许可载荷。 解： 取出两杆受力如图所示
ο
Fy = 0 N BC sin 30 − P =
ο
0
∑F ∑
x
= 0 N AB − N BC cos 30 = 0
N AB = 3P
N BC = 2 P
20
例
7
由强度条件：
N AB = 3PAB ≤ AAB [ζ ]AB = 70kN
例
4
• 求例2中杆件的最大正应力。 γlπd 2
解：
4
γlπd 2
ζ max
N max 4 = γl==
2
⊕
πdA
4
10
轴向拉伸与压缩
• 拉伸或压缩时斜截面上的应力
斜截面上的应力是均 匀分布的
∑F
x
=0
p α Aα − ζ A = 0
A pα = ζ= ζ cos α Aα
2
1
11
η α = pα sin α = ζ sin 2α 斜截面上的正应力和切应力是截面方位角的函数。
平行于杆件的纵向截
ο
α = 90ζα = 0 η α = 0
面上，没有任何应力 的作用
12
轴向拉伸与压缩
• 应力集中的概念
在弹性体的形状发生剧烈变化的局 部区域，应力显著增高，这种现象称为 应力集中。
k=
ζ max ζn
P 名义应力 ζ n = (b − d )t
理论应力集中系数： 反映应力集中的程度
ζb
ζe
ζ p ζs
εp
εe
δ
当应力达到强度极限时， 受拉杆件出现颈缩并随 即发生断裂。是衡量材 料强度的指标。
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轴向拉伸与压缩
延伸率或伸长率 δ
l1 − l0 δ=×100% l0 衡量材料塑性的指标。
ζb
ζe
ζ p ζs
ψ 截面收缩率
A0 − A1 ψ=×100% A0
εp
εe
δ
38
轴向拉伸与压缩
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轴向拉伸与压缩
• § 7-4 材料在拉伸和压缩时的机械性能
材料的机械性质或力学性质是指材料在外力作用下所表 现出变形和破坏的特性。不同的材料具有不同的机械性 质，相同的材料在不同的工作条件下也具有不同的性质。 材料的机械性质主要由实验测定。测定材料最基本的试 验为常温、静载拉伸试验—在室温下，以缓慢平稳加载 方式进行拉伸试验。对某些材料压缩试验也是基本试验。
• 已知： C = 2kN ，PB = 3kN 。试绘杆的轴力图。 解： 作杆的计算简图如图所示。
1、求固定端A处的约束力。
∑F
x
=0
PB − PC − RA = 0
RA = 1kN
4
例1
2、分段求轴力
∑F
AB段：
x
=0
N1 − RA = 0
N1 = 1kN
N 2 − RA + PB = 0
BC段： ∑ Fx = 0
--圣文南原理
8
例
3
• 已知例1中杆件为正方形截面，边长为a=10mm，槽孔宽度 d=4mm，试求杆的最大拉应力和最大压应力。
解：
由例1知： N1 = 1kN N 2 = −2kN
RA
PB
PC
ζ
t max
ζc max
N1 == 16.7MPa a(a − d ) N2 = 2 = 20MPa a
9
安全系数的选择
与材料有关 与构件的wk.baidu.com体工作环境有关
安全系数的选择是重要的，安全系数过大会造成 浪费，过小不安全。
16
轴向拉伸与压缩
强度条件
ζ max
N = ( ) max ≤ [ζ ]
A 强度计算中的三类问题
强度校核 设计截面尺寸 确定许用载荷
17
例
5
• 已知某压力机立柱如图所示， = 300kN ，立柱截面的最P 小直径为42mm，材料的许用应力 [ζ ] = 140MPa 。试对立 柱进行强度校核。
试件加工和试验条件等参照GB228-76《金属拉力试验 法》
33
轴向拉伸与压缩
34
轴向拉伸与压缩
一、低碳钢拉伸试验
低碳钢的拉伸图 第Ⅰ阶段：弹性变形阶段 第Ⅱ阶段：屈服或流动阶段 屈服或流动：低碳钢似乎失 去了对变形的抵抗能力，外 力不需增加，变形却继续增 加。出现滑移线。 第Ⅲ阶段：强化阶段 抵抗变形的能力增强 第Ⅳ阶段：局部变形阶段 出现颈缩现象。
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轴向拉伸与压缩
低碳钢拉伸时的机械性质
比例极限 ζ P 和弹性模量E
ζ = Eε
ζb
ζe
ζ p ζs
E反映材料对弹性变形 抵抗的能力
弹性极限 ζ e
εp
εe δ
应力-应变曲线
卸载后不产生塑性变形 的最大应力。
对于低碳钢 ζ p = ζe
36
轴向拉伸与压缩
屈服极限 ζ s 将下屈服点对应的应力 定义为屈服极限，应力 达到屈服极限时，材料 将产生塑性变形。是衡 量材料强度的指标。 强度极限 ζ b
−3
=0
26
例9
2 外径 d = 90mm ，横截面积 A = 1400mm 的等截面空心钢管， 受轴向拉力P作用后，测得外径减小0.0129mm。问拉力P值？
已知：E =
200GPa ， ν = 0.3 。
解
设 d1 为变形后钢管的外径，则 πd1 − πd Δd ε '== πdd ε'Δd
ε =− =− ννd Δd P = EεA = E (−) A = 134kN νd
ε'
泊松比 横向变形系数
ν= ε
ε ' = −νε
E G= 2(1 +ν )
23
轴向拉伸与压缩
思考：
某轴向拉杆总伸长为零，那么杆内的应变和各点的位移 是否等于零？
24
例
8
P 在如图所示的阶梯杆中，已知：PA = 10kN ， B = 20kN l = 100mm ，AB段和 BC段的横截面面积分别为
第七章
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩
• 特点：都是直杆，所受外力的合力与杆件轴线重 合，沿轴线发生伸长或缩短。--轴向拉伸或压缩
桁架的支杆
计算简图
2
轴向拉伸与压缩
• § 7-1 拉、压杆的内力与应力 • 轴力
N= P
轴力正负的规定： 拉为正，压为负
轴力图：用图形表示出轴力随截面位置的变化情况。
3
例1 P
[ζ ]
=
ζu
n
脆性材料
ζ b 安全系数： [ζ ] =nb nb = 2 − − 3 . 5
许用 应力
塑性材料
[ζ ] =
ζs
ns
n s = 1 .2 − − 2 .5
15
轴向拉伸与压缩
引入安全系数的原因：
载荷估计不准确、杆件尺寸制造上的偏差等情况，使计 算结果与实际情况有偏差，出于安全的考虑。 给构件一定的强度储备，以避免意外载荷或恶劣的工作 条件而招致破坏。
27
轴向拉伸与压缩
二、拉伸或压缩时的变形能
弹性体受外力作用要发生变形，变形的同时外力做功， 并且转变为能量储存于该弹性体内，这种能量称为弹性变形 势能，简称变形能。当逐渐卸去外力，弹性体又将所储存的 变形能释放而做功，使变形逐渐消失。若外力增加的十分缓 慢，可忽略弹性体的动能及其他能量损失，可以认为外力功 全部转化为变形能
U =W
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轴向拉伸与压缩
dW = P1 d (Δl1 )
1 W = PΔl 21
Nl U = W = PΔl U= 2 2 EA Nl Δ l = 杆件单位体积储存的变形能称为比能或应变能密度。 EA 杆件应力均匀时，各单位体积的应变能均相同。
2
1 PΔl U 21 u= == ζε VAl2
1ζEε u = ζε == 22E2
A
Nl Δl = EA
ζ = Eε
--轴向拉伸或压缩变形公式
拉压刚度
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轴向拉伸与压缩
P
P
b1 − b
对于均匀、连续、各向同性的材料， 方向的横向线应变均相等。 ε '= 横向线应变 轴向拉、压杆件内任一点沿横截面任意 试验结果表明：当杆件在弹性变形范围内，其横向线应变 b 与纵向线应变的比为一常量。
ζ α = pα cos α = ζ cos α
轴向拉伸与压缩
• 讨论：几种特殊截面上的应力
α =0
ζα = ζ ηα = 0
ζ
2
轴向拉伸时横截面上 的正应力是最大的， 该截面切应力为零
α = 45
ο
ζα =
ηα =
ζ
2
轴向拉伸时与横截面 成45度角的斜截面上 的切应力是最大的， 正应力与切应力数值 相等
解
建立平衡方程 N1 − N 2 − P = 0
变形协调条件 Δl = Δl AB + Δl BC = 0 1 2 Δl AB N1 l Δl BC N2 l 3 3 = = N1 + 2 N 2 = 0 EA EA
2P N1 = 3
P N2 = − 3
31
轴向拉伸与压缩
求解超静定问题主要包括以下三个方面： 力学方面 建立静力平衡方程 变形方面 建立变形协调条件 物理方面 建立变形和力之间关系式 温度应力：当构件温度均匀变化时，将使杆件发生伸长 和缩短变形。对于静定问题，杆件可以自由伸缩，温度 变化不会在杆件内部引起应力。但对于超静定问题，由 于杆的变形受到约束，所以温度变化会在杆内引起应力， 这种由于温度变化引起的应力称为温度应力。 装配应力：对于静定问题，杆件的制造误差，不会在杆 内引起应力，但对于超静定问题，制造误差将给装配带 来困难，经强迫装配以后，杆件内会产生应力，这种应 力称为装配应力。装配应力是一种初应力。
N 2 = −2kN
3、绘制轴力图
5
例2
• 已知：直径为d的圆截面直杆，长为l，重度为 γ，铅直放 置，上端固定。试求因杆的自重引起的轴力并画轴力图。
解：
γlπd 2
4
∑F
x
=0
N −γ N =γ
πd 2
4 πd 2 4
x=0 x
⊕
提问：轴力能否判定杆的强度？
6
轴向拉伸与压缩
• 横截面上的应力
观察杆的变形
解： 立柱轴力
P N = = 150kN 2 150 ×10N
ζ max
3
==
−3 2
Amin π ×
满足强度要求
(42 ×10 ) 4
强度校核 = 108MPa < [ζ
]
18
例
6
• 已知气动夹具如图所示，气缸内径D=140mm，气压
2
p = 0.6MN/m ，活塞杆材料为20号钢，许用应力
为 [ζ ] = 80MPa。设计活塞杆的直径。 解： 活塞杆受力如图所示
22
ABC = 200mm ， AAB = 100mm ，材料的弹性模量 E = 200GPa 。 试求杆的总伸长量及端面A与D-D截面间的相对位移。
25
例8
解
AB段和BC段的轴力分别为 N AB = PA = 10kN
N BC = PA − PB = −10kN
杆的总伸长量为 N AB l N BC ⋅ 2l Δl = Δl AB + Δl BC =+ EA ABEA BC −3 3 2 × 100 10 ×10 3×100 ×10− 10 × 10 × ×10 =+ 9−69−6200 × 10 × 100 ×10200 ×10 × N AB l N BC l u AD = Δl AD 200 × 10 −5=+= 2.5 × 10 m
70 PAB ≤= 40.4kN 3
N BC = 2 PAB ≤ ABC [ζ ]BC = 96kN
96 = 48kNPBC ≤ 2
[P] = 40.4kN
计算许用载荷
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轴向拉伸与压缩
• § 7-3 拉、压杆的变形计算 一、拉伸或压缩变形
P P
Δl = l1 − l Δl ε= l
纵向线应变
N
ζ=