最新圆的切点弦方程
切点弦方程公式
切点弦方程公式
切点弦方程公式是一种广泛应用于数学分析中的概念，它的概念能够帮助我们更准确地研究几何形状的属性。
它的发明主要是为了解决在几何学中某些问题而发明的。
这个公式的发明者是古希腊的几何学家启发，他在研究几何形状的问题时发明了这个公式，以便更准确地研究几何形状的属性。
切点弦方程公式是由等式弦长与弦的两点的切点的距离的四次平方关系组成的，公式为：D=k^2+m^2+n^2，其中，D为两点切点的距离，k，m，n分别为弦的长短三边长度，用英文字母呈现出来就是：D=k^2+m^2+n^2。
该方程式与弦理论有着紧密的联系，用它来求取等腰三角形弦（Chord）长度可以更加准确，简单，有效地解决等腰三角形弦长度问题。
在将这个方程式应用到等腰三角形中时，只要将三角形其中两点的坐标求出，,然后将它们的绝对值相加即可得出弦的长度。
此外，这个公式也可以应用于圆形的情况，当今，它也被广泛应用在机器学习、计算机视觉等方面，用来检测物体形状和求取物体距离。
切点弦方程公式可以用来检测两个点之间的距离，也就是说，如果给定两个点的位置，那么就可以用切点弦方程求出它们之间的距离。
归纳起来，切点弦方程公式是一种比较简单的数学方程，它有着广泛的应用范围，可以用来求取几何形状的属性以及实现机器学习的检测等功能。
此外，它也可以帮助我们更好地理解距离的概
念。
从这些例子中我们可以看出，切点弦方程公式为几何学和机器学习等研究提供了极大的帮助。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。
二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。
为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。
三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。
下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。
事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。
另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。
圆的切点弦所在直线方程的求法
圆的切点弦所在直线方程的求法
过圆外一点作圆的两条切线，两切点所在直线方程的求法，虽然这不是什么很难的问题，但好些同学还是不能熟练掌握。
下面我们从一道简单例题出发，对这一问题做一做初步探讨。
同学们也可用其它方法论证。
若把圆用一般方程表示，能否得到相关结论？同学们若有兴趣，请自己研究。
以上我们从一道例题出发，探讨得出了三种解题方法和两个结论。
虽然探讨得到的结果价值不是很高、但过程却很重要。
这个过程对同学们今后的学习和研
究各类问题能有所帮助。
6.2.1圆的切线方程和切点弦方程
结论 3.过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P( x0 , y0 )
作与圆相切的两直线的切点弦所在直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
2 2 2
且与圆相切的直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
变式训练 1 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切的 直线方程.
变式训练 2 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切直 线有两条，切点分别为 A，B，求过 A，B 两点的直线方 程。
6.2.1
圆的切线方程和切点弦方程
例 1.求过点 A(2, 2) 且与圆 C : x2 y 2 8 相切的直 线 l 的方程.
变式 1-1.求过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与
2 2 2
圆相切的直线方程.
变式 1-2. 求证 : 过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 上一点
（2015 重庆）若点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆 在点 P 处的切线方程为________．
2 （2013 山东）过点（3，1）作圆 x 1 y 1 的两条切线， 2
切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 A． 2 x y 3 0 C． 4 x y 3 0 B． 2 x y 3 0 D． 4 x y 3 0
结论 1.过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与圆相
2 2 2
切的直线方程为 x0 x y0 y r 2 .
切线方程和切点弦所在直线方程
（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（ ）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。
【高中数学】高中数学知识点：圆的切线方程
【高中数学】高中数学知识点：圆的切线方程
圆的切线方程：
1、已知圆
，
（1）若已知切点
在圆上，则切线只有一条，其方程是
；
（2）当
圆外时，
表示过两个切点的切点弦方程。
（3）过圆外一点的切线方程可设为
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线。
（4）斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b，必有两条切线。
2、已知圆
，
（1）过圆上的
点的切线方程为
；
（2）斜率为k的圆的切线方程为。
圆的切线方程的求法：
①代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个交点，将直线方程代入圆的方程，从而△=0，可求解；
②几何法利用几何特征：圆心到切线的距离等于圆的半径，可求解．
过定点的圆的切线方程：
①过圆上一点的切线方程：
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
与圆
的切线方程是
②过圆外一点的切线方程：设
外一点，求过P
点的圆的切线．
方法l：设切点是
，解方程组
求出切点P
1
的坐标，即可写出切线方程。
方法2：设切线方程是
，再由
求出待定系数k，就可写出切线方程.
特别提醒:一般说来，方法2比较简便，但应注意，可能遗漏k不存在的切线．因此，当解出的k值唯一时，应观察图形，看是否有垂直于x轴的切线．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题，现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然，点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢？已知点M，当然设点斜式啊.可是，斜率一定存在吗？所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难，但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点：过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来，一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图，从M出发的切线有两条，设切点分别为A和B，连接AB，我们称AB为圆的切点弦.顾名思义，切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢？我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现，这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于：
当然，如果圆心不在原点，类比圆的切线方程的小公式，有这样的结论.
如果圆的方程为一般式，同样类比圆的切线方程的小公
式，也有这样的结论.
我们现学现卖，练下面一道题，体会一下这个公式好不好用？
审完题，判断求解的是切点弦所在直线的方程，可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析：PQ为切点弦，考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结：1.点在圆上，小公式对应的是切线方程；2.点在圆外，小公式对应的是切点弦所在的直线方程；3.小公式如何记忆：对称原则，即把圆方程中的x和y保留一半，替换一半.。
圆内一点代入切点弦方程
圆内一点代入切点弦方程当我们在学习圆的相关知识时，我们往往会遇到一个需要用到“圆内一点代入切点弦方程”的问题。
今天，我们就来探讨一下这个问题。
首先，我们需要知道什么是切点弦。
在圆的内部随机取一点，连接该点和圆心，并在圆上任取一点作为另一个端点，连接这两点所形成的弦就称为切点弦。
我们可以发现，圆的所有切点弦都会经过圆心。
现在，我们需要求解的是，在圆内某一点与圆相切时，切点弦的方程。
解决这个问题的关键在于找到圆的切点。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径；2. 假设点P(x1,y1)在圆内，且到圆心的距离为r；3. 根据两点之间的距离公式，我们可以列出方程：sqrt((x1-a)^2 + (y1-b)^2) = r；4. 将上式平方化简，得到(x1-a)^2 + (y1-b)^2 = r^2，即点P在圆上；5. 求出圆心到点P的斜率k = (y1-b)/(x1-a)；6. 我们已经知道切线的斜率为-k，通过点斜式可以得到切线方程为y-y1 = -k(x-x1)；7. 再次假设圆上某点为Q(x2,y2)，则切点弦的端点分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)；8. 利用两点式可以求出切点弦的方程为(y1-y2)x + (x2-x1)y + x1y2 - x2y1 = 0。
现在，我们已经得到了圆内某一点的切点弦方程，可以用它来解决一些实际问题，例如求解动点在圆内的轨迹问题等。
总的来说，“圆内一点代入切点弦方程”是圆的常见问题之一，它们的解决方法需要我们掌握点斜式、两点式等相关知识。
通过不断练习，我们不仅能够理解圆的相关概念，还能够熟练运用相关知识实现圆的求解。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
高中数学平面几何中的圆的切线与弦解析
高中数学平面几何中的圆的切线与弦解析在高中数学的学习中，平面几何是一个重要的内容。
而圆作为平面几何中的一个基本图形，其性质和应用也是我们需要了解和掌握的。
其中，圆的切线与弦是圆的重要性质之一，对于解题来说具有一定的难度。
本文将从解析的角度，详细介绍圆的切线与弦的相关知识，并通过具体的例子进行分析和说明。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个交点的直线。
在解析中，我们可以通过圆的方程和切线的斜率来确定切线的方程。
下面通过一个例子来说明：例题：已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=9，求过点P(4,5)的切线方程。
解析：首先，我们需要确定点P是否在圆C上。
将点P的坐标代入圆的方程，得到(4-2)²+(5-3)²=4+4=8≠9，所以点P不在圆C上。
其次，我们需要确定切线与圆的交点。
根据切线与圆的性质，切线与圆的交点是切点。
由于已知点P在切线上，所以切点就是点P。
然后，我们需要确定切线的斜率。
由于切线与圆的切点是点P，所以切线的斜率等于圆的切点的斜率。
切点的斜率可以通过圆的方程和点P的坐标来求解。
将圆的方程和点P的坐标代入，得到(4-2)²+(5-3)²=9，化简得到8=9，显然不成立。
所以，切点不存在斜率。
综上所述，过点P(4,5)的切线不存在。
通过这个例子，我们可以看出，确定切线的方程需要先确定切点，然后通过切点的斜率来求解。
同时，切点的存在与否也是需要注意的。
二、圆的弦圆的弦是指圆上两点之间的线段。
在解析中，我们可以通过圆的方程和两点的坐标来确定弦的方程。
下面通过一个例子来说明：例题：已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=9，过点P(4,5)和点Q(3,1)的弦的方程是什么？解析：首先，我们需要确定点P和点Q是否在圆C上。
将点P和点Q的坐标代入圆的方程，得到(4-2)²+(5-3)²=4+4=8≠9，(3-2)²+(1-3)²=1+4=5≠9，所以点P和点Q都不在圆C上。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程之欧侯瑞魂创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。
二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。
为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。
三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。
下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。
事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。
另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。
点关于圆的切点弦方程的探求
点关于圆的切点弦方程的探求
圆的切点弦方程是对圆的深入理解的一种方式，在我们的日常生活中，我们接
触到的圆的切点弦方程体现在很多方面，以下整理了有关圆的切点弦方程的几种探求方法。
所谓圆的切点弦方程，即指由圆心到圆上任一切点的距离，就是固定的一个值，可用弦长表示，此时，对于任何一个圆，都有具体的切点弦方程，其公式为
{x^2+y^2=r^2}，其中，x为圆心到切点的横坐标，y为圆心到切点的纵坐标。
首先，可以先根据圆心位置和半径确定圆的切点弦方程，即以圆心的位置作为
原点，圆的半径即为弦的长度，确定后带入切点弦方程即可。
其次，可根据圆上的给定点，求解出其他点的坐标，即求出圆心到切点的距离，然后带入切点弦方程，进行积分求出。
最后，可从圆的切点弦方程出发，进行反推，求出圆心的位置和半径。
圆的切点弦方程不仅涉及数学的角度，也应用于我们的日常生活中，如工业生产、建筑设计等，中，都有各自的圆的切点弦方程的运用，积极的研究与探索，可以帮助我们更好的学习与运用。
总之，圆的切点弦方程是一种深入理解圆的概念，用于探求圆形相关事物的有
效方式，无论是从数学角度，或从实际应用角度，都有着重要且重要的作用。
圆切点弦方程公式
圆切点弦方程公式
圆切点弦方程公式是指在圆上取一点作为圆上的切点，连接该点和圆上的任意一点，得到的线段称为弦。
圆切点弦方程公式可以用来描述弦的几何性质，即弦的长度、斜率、截距等。
其中，圆切点弦方程公式的基本形式为：
y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)
其中，(x1, y1)为圆的切点坐标，(x2, y2)为圆上的任意一点坐标，x和y分别表示弦上任意一点的坐标。
此外，根据弦的对称性，可以得到另一种形式的圆切点弦方程公式：
(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r^2
其中，r为圆的半径。
以上两种形式的圆切点弦方程公式都具有广泛的应用价值，在几何学、物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
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2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程(含解析)
2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
切点弦过定点公式
切点弦过定点公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：切点弦过定点公式在几何学中是一个重要的概念，它描述了圆与直线的关系，并且在解决很多几何问题时具有重要的应用价值。
在本文中，我们将介绍切点弦过定点公式的定义，推导过程以及一些具体的例子，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。
让我们来看一下切点弦过定点公式的定义。
在圆上画一条弦AB，P 是这条弦的中点，P点到弦的距离为d，我们将这个长度定义为定点P 到弦AB的距离。
而切点弦过定点公式则指出，对于任意一条直线PQ 过圆O的切点A和弦AB的中点P，定点P到直线PQ的距离等于定点P到弦AB的距离的平方除以AP的长度。
接下来，让我们来推导一下切点弦过定点公式。
假设直线PQ与圆O相交于点C，连接AC和BC，设AP=x，PB=y，AC=z，BC=t。
根据相似三角形的性质可知，AP/AC=BP/BC，即x/z=y/t，所以y=xt/z。
又根据垂线定理可知，d^2=x*y，所以d^2=xt^2/z。
又由于AP=y+x，所以d^2=(y+x)y=x(y+x)，所以定点P到直线PQ的距离等于d^2/x=y。
通过上述推导过程，我们可以得到切点弦过定点公式：定点P到直线PQ的距离等于定点P到弦AB的距离的平方除以AP的长度。
根据切点弦过定点公式，我们可以得到定点P到直线PQ的距离等于d^2/AP。
而AP等于AB的一半，即r/2。
所以，定点P到直线PQ 的距离等于d^2/(r/2)=2d^2/r。
这样，我们就可以通过切点弦过定点公式求解出定点P到与圆O相切于A点的直线PQ的距离。
第二篇示例：切点弦过定点公式是解决圆与直线相关问题时常用的一个技巧，通过这个公式可以快速求解圆与直线的交点和切点的坐标，进而解决相关的几何问题。
在几何学中，圆是一个非常重要的概念，而圆与直线的关系更是几何学中常见且重要的问题。
假设我们有一个圆，圆心坐标为（a，b），半径为r。
我们有一条直线，直线方程为Ax + By + C = 0。
切线方程和切点弦所在直线方程
（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（ ）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。
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圆的切点弦方程
222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。
22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。
【方法】1.设出直线，再求解；
2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：2
22r
y x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：
一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。
二、当点M 在圆O 外时，
1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2
020
∴
r d <，故直线L 与圆O 相交.
2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。
22
0r x =
2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)
从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，
故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），
如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:2
22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2
01022
0101r
y y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程2
00r y y x x =+，
由于两点确定一条直线
∴直线AB 的方程为2
00r y y x x =+。
所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。
三、当点M 在圆O 内时，
1.直线L 也不是圆O 的切线。
下面给出证明： ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
，由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2
020
∴
r d > 故直线L 与圆O 相离.
2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征： 由上述探讨过程易知，
直线L ⊥OM ，
此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。
事实上（另证）， ∵直线L 的斜率00y x k l -=，而直线OM 的斜率0
0x y
k om =， ∴OM L ⊥
一方面，过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2
02
000y x y y x x +=+
另一方面，将直线OM 与L 的方程联立⎪⎩
⎪
⎨⎧==+x x y y r y y x x 00
2
00， 得到它们的交点P 的坐标为),
(
2
2
0202
2
020y x r y y x r x ++，
由（二）可知过点P 的圆的切点弦所在直线的方程为
22
2
0202
2
020r y y x r y x y x r x =⋅++
⋅+，
即2
02000y x y y x x +=+，即为直线0L 的方程。
由此我们看到L ∥0L ，直线L 是由点M 确定的。
另外，直线L 是过点M 的弦（除O ，M 的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，
证明如下：
设(,),P x y ''由（二）可知动弦AB 的方程为2
x x y y r ''+=，
又因为点M 在AB 上，则200x x y y r ''+=，以x ，y 分别代,x y ''，则2
00r y y x x =+。
初中化学知识点全面总结
(完整版)
第1单元走进化学世界
1、化学是研究物质的组成、结构、性质以及变化规律的基础科学。
2、我国劳动人民商代会制造青铜器，春秋战国时会炼铁、炼钢。
3、绿色化学-----环境友好化学 (化合反应符合绿色化学反应)
①四特点P6（原料、条件、零排放、产品）②核心：利用化学原理从源头消除污染
4、蜡烛燃烧实验（描述现象时不可出现产物名称）
（1）火焰：焰心、内焰（最明亮）、外焰（温度最高）
（2）比较各火焰层温度：用一火柴梗平放入火焰中。
现象：两端先碳化；结论：外焰温度最高
（3）检验产物 H2O：用干冷烧杯罩火焰上方，烧杯内有水雾
CO2：取下烧杯，倒入澄清石灰水，振荡，变浑浊
（4）熄灭后：有白烟（为石蜡蒸气），点燃白烟，蜡烛复燃。
说明石蜡蒸气燃烧。
5、吸入空气与呼出气体的比较
结论：与吸入空气相比，呼出气体中O2的量减少，CO2和H2O的量增多（吸入空气与呼出气体成分是相同的）
6、学习化学的重要途径——科学探究
一般步骤：提出问题→猜想与假设→设计实验→实验验证→记录与结论→反思与评价
化学学习的特点：关注物质的性质、变化、变化过程及其现象；
7、化学实验（化学是一门以实验为基础的科学）
一、常用仪器及使用方法
（一）用于加热的仪器－－试管、烧杯、烧瓶、蒸发皿、锥形瓶
可以直接加热的仪器是－－试管、蒸发皿、燃烧匙
只能间接加热的仪器是－－烧杯、烧瓶、锥形瓶（垫石棉网—受热均匀）
可用于固体加热的仪器是－－试管、蒸发皿
可用于液体加热的仪器是－－试管、烧杯、蒸发皿、烧瓶、锥形瓶
不可加热的仪器——量筒、漏斗、集气瓶
（二）测容器－－量筒
量取液体体积时，量筒必须放平稳。
视线与刻度线及量筒内液体凹液面的最低点保持水平。
量筒不能用来加热，不能用作反应容器。
量程为10毫升的量筒，一般只能读到0.1毫升。
（三）称量器－－托盘天平（用于粗略的称量，一般能精确到0.1
克。
）
注意点：（1）先调整零点
（2）称量物和砝码的位置为“左物右码”。