微弱信号的检测提取及分析方法
微弱信号的检测方案设计
微弱信号的检测方案设计一、原理分析针对微弱信号的检测的方法有很多，比如滤波法、取样积分器、锁相放大器等。
下面就针对这几种方法做一简要说明。
方案一：滤波法。
在大部分的检测仪器中都要用到滤波方法对模拟信号进行一定的处理，例如隔离直流分量，改善信号波形，防止离散化时的波形混叠，克服噪声的不利影响，提高信噪比等。
常用的噪声滤波器有：带通、带阻、高通、低通等。
但是滤波方法检测信号不能用于信号频谱与噪声频谱重叠的情况，有其局限性。
虽然可以对滤波器的通频带进行调节，但其噪声抑制能力有限，同时其准确性与稳定性将大打折扣。
方案二：取样积分器取样积分法是利用周期性信号的重复特性，在每个周期内对信号的一部分取样一次，然后经过积分器算出平均值，于是各个周期内取样平均信号的总体便呈现出待测信号的真实波形。
由于信号的取样是在多个周期内重复进行的，而噪声在多次重复的统计平均值为零，所以可大大提高信噪比，再现被噪声淹没的波形。
其系统原理图如图2-1所示。
Vo(t) Vr(t)一个取样积分器的核心组件式是取样门和积分器，通常采用取样脉冲控制RC 积分器来实现，使在取样时间内被取样的波形做同步积累，并将累积的结果保持到下一次取样。
取样积分器通常有定点式和扫描式两种工作模式。
定点式是测量周期信号的某一瞬态平均值，经过m 次取样平均后，其幅值信噪比改善为ni sin s V V m V V ；扫描式取样积分器利用取样脉冲在信号波形上延时取样，可用于恢复与记录被测信号的波形，由于其采样过程受到门脉冲宽度的限制，只有在门宽范围内才能被取样。
方案三：锁相放大器锁相放大器也称为锁定放大器（Lock-In-Amplifier,LIA ）。
它主要作为一个极窄的带通滤波器的作用，而非一般的滤波器。
它的原理是基于信号与噪声之间相关特性之间的差异。
锁相放大器即是利用互相关原理设计的一种同步相关检测仪，利用参考信号与被测信号的互相关特性，提取出与参考信号同相位和同频率的被测信号。
微弱信号检测
5、离散量的计数统计（适合符合统计的离散信号）
随被检测信号中，有时是随机的或按概率 分布的离散信息。例：光子 需要分辨离散信号，减小噪声。
在弱光检测中主要的噪声源是大量的二次电子发 射、热激发和放大器噪声，它们都有很高的计数 概率，所以要求光电器件对二次电子发射等的输 出脉冲幅度要低，对要求检测的光子脉冲幅度尽 可能的要趋于一致，对宇宙射线要尽量屏蔽防止 进入。
依据功率谱对噪声的分类
白噪声： 如果噪声在很宽的频率范围内具有恒定功 率谱密度，这种噪声称白噪声 (注意：功率谱不包 括相位信息)。 有色噪声：反之，若噪声功率谱密度不是常数则称 为有色噪声 谱密度随频率的减小而上升，称为红噪声 谱密度随频率的升高而增加，则称为蓝噪声 这些都是以光的颜色与频率的关系来比拟的。
微弱信号检测技术进步的标志是仪器检测 灵敏度的提高。更确切地说，应是信噪比 (SNlR)改善。 它的定义为 ，是输出信噪比 与输入信噪比之比。SNIR越大，表示处理 噪声的能力越强，检测的水平越高。
一方面，如果分辨率要求高，或光谱扫描速度要求快，则 信噪比必然降低。 另—方面，如果利用微弱信号检测技术将传感器降温到液 He温度(4.2K)，而使S/N提高20倍。这时，若要求测量的S ／N不变，却可使光谱扫描速度提高400倍，或分辨率提 高3.3倍。 因此，应尽力降低传感器的噪声。
2 i11 2KTg f 11
(3)闪烁噪声（1/f噪声）：由于材料生产过程中的 非均匀性造成的晶体缺陷，引起载流子迁移过程 中局部的不规则行为产生的噪声。其频率近似与 fn(n=0.9～1.35)，通常取为1。 其形式与频率有关，属于红噪声。 对于有源器件，此种噪声是最重要的。
三、信噪比的改善
PMT不是理想的光电转换传感器，它不仅接受光信息， 其输出还因杂散光、漏电流和暗电流的存在而使总电流增 加，真正的信号电流却被淹没在其中。
微弱信号检测方法的现状分析
Ａｎ ｌｓｓｏ ｅｈ ｄ ｆ ｅ ｋ Ｓｇ ａ ｔｃｉｎ ａｙ ｉ ｆＭ ｔ ｏ ｓｏ ａ ｉｎ ｌ Ｗ Ｄｅｅ ｔ ｏ
ＸＩ Ｊ ｎ ｚ ｎ １ Ａ ｕ － ｈｏ ｇ ７ ， Ｙ ａ ｈｏ ｇ ＬＥＮ ｏ ｇ－ ｎ ． ＧＥ ｉｔ ｏ ｕ ｎ－ ｎ １ ７ Ｙ ｎ ｇａ ｇ Ｊ —ａ
微弱信 号检测 方法 的现 状分析
ｌ７ ５
１ 时域检测法
微 弱特 征 信 号 的 时 域 检 测方 法 主要 有 相 关 检 测 、 样积分与 数字式平 均 、 取 时域 平均等 方法 。
１ 相 关检测 ． １
过程 用模 拟 电路实现 ， 字式平 均 过程 用计 算机 的 数
数字处 理方式 实现 ［ ” １ ０ 。 － 取 样 积分 技 术包 括取 样 和积 分 两个 连续 过 程 ，
的控制 下 ， 成 对输 入信 号３ 的取 样 ， 分仅 在取 完 ２） ’ （ 积
样 时间 内进行 ， 其余 时间积分 结果处 于保持状 态。
相 关检 测 主 要 是 对 信 号 和 噪 声 进 行相 关 性 分 析 ， 关 函数 Ｒ（ 是相 关性 分析 的主 要物 理量 。确 相 ｒ ）
微弱信号的检测方法
微弱信号的检测方法微弱信号的检测是指在噪声背景下，检测和提取出非常弱的信号。
这是许多领域中重要的问题，如无线通信、雷达、天文学和生物医学等。
由于微弱信号可能与噪声相似，因此检测方法需要对噪声进行有效的抑制，并提高信号的可观测性。
本文将介绍一些常用的微弱信号检测方法，并对其原理和应用进行详细讨论。
一、相关检测方法相关检测方法是一种常见的微弱信号检测方法。
它基于信号和噪声之间的相关性，通过计算信号与预先定义的模板之间的相关度来判断是否存在微弱信号。
相关检测方法的主要步骤包括预处理、相关运算和判决。
预处理阶段通常包括滤波、降噪和增强信号质量等操作，以提高信号的可观测性。
相关运算阶段使用相关函数来衡量信号和模板之间的相似度。
最后，在判决阶段根据相关度的阈值来判断是否存在微弱信号。
二、统计检测方法统计检测方法是基于概率统计理论的一种微弱信号检测方法。
根据噪声和信号的统计特性，通过建立适当的统计模型来描述信号和噪声之间的差异，并利用统计推断方法进行信号检测。
常用的统计检测方法包括最大似然检测、Neyman-Pearson检测和贝叶斯检测等。
最大似然检测通过计算信号和噪声模型的似然函数来估计信号存在的概率。
Neyman-Pearson检测通过设置假设和备择假设来最小化错误检测概率。
贝叶斯检测方法则利用贝叶斯公式，结合先验概率和后验概率来判断信号是否存在。
三、小波变换方法小波变换是一种多尺度分析方法，可以将信号分解成不同频率的子信号。
因此，它在微弱信号检测中具有广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以将微弱信号从噪声中分离出来。
小波变换方法包括连续小波变换和离散小波变换。
连续小波变换是通过对信号应用一组连续小波基函数来分析信号的频谱特性。
离散小波变换则是对信号进行离散化处理，以在有限的时间和频率分辨率下进行分析。
小波变换方法具有时频局部化的性质，能够有效地检测和提取微弱信号。
四、自适应滤波方法自适应滤波是一种广泛应用于微弱信号检测的方法。
duffing方程微弱信号检测算法原理
duffing方程微弱信号检测算法原理一、Duffing方程简介Duffing方程是一种描述受迫振动的非线性微分方程，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
在微弱信号检测中，Duffing方程常被用作信号模型，以提取微弱信号中的有用信息。
二、微弱信号检测原理微弱信号检测是指从强噪声环境中提取弱信号的过程。
常用的微弱信号检测方法有匹配滤波法、调制频率法、自相关法等。
在这些方法中，基于Duffing方程的检测算法是一种有效的手段。
该算法通过建立Duffing方程与待测信号的匹配关系，利用其非线性特性实现对微弱信号的检测。
1. 参数估计：首先，根据Duffing方程的参数，如振动幅度、频率、阻尼等，对系统进行参数估计。
这可以通过最小二乘法、卡尔曼滤波等方法实现。
2. 噪声抑制：利用估计得到的参数，通过调整系统参数，实现对噪声的抑制。
这可以通过自适应滤波等方法实现。
3. 微弱信号提取：在噪声抑制的基础上，通过观察Duffing方程的解，寻找与微弱信号匹配的模式，实现对微弱信号的提取。
这需要借助频谱分析、小波变换等工具。
4. 算法实现：在实际应用中，可以根据需要选择合适的数值求解方法（如龙格库塔法）来求解Duffing方程，并采用合适的滤波器来实现噪声抑制和微弱信号提取。
值得注意的是，Duffing方程的非线性特性可能导致其解的不稳定性，因此在实际应用中需要对算法进行稳定性分析和优化。
同时，对于不同的问题和场景，可能需要选择不同的Duffing方程模型和参数估计方法，以适应不同的需求和约束条件。
此外，由于Duffing方程微弱信号检测算法涉及到物理、工程、数学等多个领域的知识，因此在实际应用中需要综合考虑各种因素，并进行充分的实验验证和性能评估。
总之，Duffing方程微弱信号检测算法是一种有效的手段，通过利用Duffing方程的非线性特性，可以实现微弱信号的检测和提取。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法和参数估计方法，并进行充分的实验验证和性能评估。
微弱信号检测技术概述
1213225王聪微弱信号检测技术概述在自然现象和规律的科学研究和工程实践中, 经常会遇到需要检测毫微伏量级信号的问题, 比如测定地震的波形和波速、比如测定地震的波形和波速、材料分析时测量荧光光强、材料分析时测量荧光光强、材料分析时测量荧光光强、卫星信号的接收、卫星信号的接收、红外探测以及电信号测量等, 这些问题都归结为噪声中微弱信号的检测。
在物理、化学、生物医学、遥感和材料学等领域有广泛应用。
材料学等领域有广泛应用。
微弱信号检测技术是采用电子学、微弱信号检测技术是采用电子学、微弱信号检测技术是采用电子学、信息论、信息论、计算机和物理学的方法, 分析噪声产生的原因和规律, 研究被测信号的特点和相关性, 检测被噪声淹没的微弱有用信号。
微弱信号检测的宗旨是研究如何从强噪声中提取有用信号, 任务是研究微弱信号检测的理论、探索新方法和新技术, 从而将其应用于各个学科领域当中。
微弱信号检测的不同方法( 1) 生物芯片扫描微弱信号检测方法微弱信号检测是生物芯片扫描仪的重要组成部分, 也是生物芯片技术前进过程中面临的主要困难之一, 特别是在高精度快速扫描中, 其检测灵敏度及响应速度对整个扫描仪的性能将产生重大影响。
随着生物芯片制造技术的蓬勃发展, 与之相应的信号检测方法也迅速发展起来。
根据生物芯片相对激光器及探测器是否移动来对生物芯片进行扫读, 有扫描检测和固定检测之分。
扫描检测法是将激光器及共聚焦显微镜固定, 生物芯片置于承片台上并随着承片台在X 方向正反线扫描和r 方向步进向前运动, 通过光电倍增管检测激发荧光并收集数据对芯片进行分析。
激光共聚焦生物芯片扫描仪就是这种检测方法的典型应用, 这种检测方法灵敏度高, 缺点是扫描时间较长。
固定检测法是将激光器及探测器固定, 激光束从生物芯片侧向照射, 以此解决固定检测系统的荧光激发问题, 激发所有电泳荧光染料通道, 由CCD 捕获荧光信号并成像, 从而完成对生物芯片的扫读。
微弱信号检测实验报告
微弱信号检测实验报告微弱信号检测实验报告引言在科学研究和工程应用中，微弱信号的检测是一项具有重要意义的任务。
微弱信号的检测可以帮助我们探测宇宙中的奥秘、改善通信系统的性能、提高医学影像的分辨率等。
本实验旨在探索微弱信号检测的原理和方法，并通过实验验证其可行性。
实验装置本实验使用了一套精密的实验装置，包括信号源、放大器、滤波器、检测器和示波器等。
信号源产生微弱信号，放大器将信号放大到可以被检测器检测的范围内，滤波器用于去除噪声和干扰，检测器将信号转换为电压信号，示波器用于显示信号的波形和幅值。
实验步骤1. 首先，将信号源连接到放大器的输入端，并将放大器的输出端连接到滤波器的输入端。
2. 调节信号源的频率和幅值，使其产生一个微弱的正弦信号。
3. 调节放大器的增益，使信号的幅值适合检测器的输入范围。
4. 将滤波器的输出端连接到检测器的输入端。
5. 调节检测器的灵敏度，使其能够检测到微弱信号。
6. 将检测器的输出端连接到示波器的输入端。
7. 调节示波器的触发模式和时间基准，使其能够显示信号的波形和幅值。
实验结果经过一系列的调节和优化，我们成功地检测到了微弱信号，并通过示波器观察到了信号的波形和幅值。
实验结果表明，我们设计的实验装置能够有效地检测微弱信号，并具有较高的灵敏度和准确性。
讨论与分析在实验过程中，我们发现调节放大器的增益是关键步骤之一。
如果增益过低，信号将被放大得不够，无法被检测器检测到；如果增益过高，放大器可能会引入噪声和干扰，影响信号的检测结果。
因此，需要根据实际情况选择适当的增益值。
另外，滤波器的选择和调节也对信号的检测结果有重要影响。
滤波器可以去除噪声和干扰，提高信号与噪声的信噪比。
在实验中，我们使用了带通滤波器，将信号源产生的特定频率范围内的信号通过，而去除其他频率的信号。
这样可以有效地提高信号的检测灵敏度。
此外，检测器的灵敏度也是影响信号检测结果的重要因素。
较高的灵敏度意味着检测器能够检测到较小幅值的信号，但也可能引入更多的噪声。
宇宙微弱信号的探测与分析技术研究
宇宙微弱信号的探测与分析技术研究在宇宙的浩瀚星空中，隐藏着许多微弱的信号，它们或许是来自遥远星系的消息，或者是神秘的宇宙现象的痕迹。
为了解开宇宙的奥秘，科学家们致力于研究宇宙微弱信号的探测与分析技术。
本文将探讨宇宙微弱信号的研究进展及其在科学研究中的应用。
一、宇宙微弱信号的探测技术宇宙微弱信号的探测是一项极具挑战性的任务。
由于信号极其微弱，需要采用高灵敏度的仪器来进行探测。
目前主要的宇宙微弱信号探测技术包括：射电天文学、微波背景辐射探测、宇宙射线测量等。
在射电天文学中，科学家们使用射电望远镜等设备来探测宇宙微弱信号。
射电望远镜可以接收来自宇宙中的射电波，并将其转化为电信号进行分析。
通过精确测量信号的强度、频率等参数，科学家们可以获取关于星系结构、脉冲星等信息。
微波背景辐射探测是探索宇宙起源和演化的重要手段之一。
科学家们通过测量微波背景辐射的微小波动来获取宇宙早期宏观结构的信息。
这一技术的成功应用包括宇宙背景辐射观测卫星（COBE）、威尔逊云台和宅空间探测器等。
另外，宇宙射线测量也是探索宇宙微弱信号的重要手段之一。
通过测量宇宙射线的强度、能谱和组成等参数，科学家们可以研究宇宙粒子物理和空间天气等现象。
二、宇宙微弱信号的分析技术除了探测技术，宇宙微弱信号的分析也是十分关键的环节。
科学家们需要借助数学模型和计算方法，对信号进行处理和解读。
首先，为了提取微弱信号中的有用信息，科学家们通常使用滤波技术。
滤波可以去除噪声和背景干扰，提高信号与噪声的比值，从而增强信号的可见度。
其次，信号处理与分析技术是宇宙微弱信号研究的重要组成部分。
科学家们使用多种算法和技术来识别、提取和分析信号中的特征。
例如，频谱分析可以帮助确定信号的频率特征，时频分析可以揭示信号的时域和频域变化规律。
此外，数据处理和图像重建也是宇宙微弱信号分析的关键环节。
科学家们需要处理大量数据并使用图像重建技术恢复信号在空间中的分布。
通过对数据进行模型拟合和优化算法，可以获得更精确的信号信息。
微弱信号
微弱信号检测与处理关于本课程：检测技术，研究内容，信息提取与处理的理论，方法和技术。
信息提取：指从自然界中，社会中，生产过程中和科学实验中获取需要的信息信息处理：把获取的信息进行加工，运算，分析或综合，以便进行预报，检测，计量，保护，控制和管理等等。
目的：预防自然灾害，预报事故，正确计量，改善产品质量，顺利科学实验，文明生产和科学管理等。
因此，检测技术是一门综合性很强的技术。
微弱信号检测：采用物理学，电子学，信息论以及数理统计等分方法，利用有关技术对淹没于噪声中的微弱信号进行检测。
课程内容主要包括：1．噪声理论与噪声检测技术2．微弱信号的检测理论课时：36学时第一章：概述§1－1 微弱信号检测的背景，意义检测技术，人们获取信息的方式，常规手段，方法：传感器技术问题：科学发展需要检测微弱信号（淹没于噪声中），传统方法不能解决，因此，微弱信号检测技术应运而生，顺应了检测技术发展的需要。
归纳：①科学发展对检测技术提出新的要求。
②科学发展为微弱信号检测技术开展提供了保证§1－2 微弱信号检测技术的概念，方法一．微弱信号检测的概念1．微弱信号检测检测被噪声淹没的微弱有用信号任务：研究从噪声中提取有用信号的理论、方法、技术有用信号：能传递信息的信号。
如压力、流量、温度等。
对于本课程，指电信号。
2．微弱信号的概念两个方面理解1）相对性10-信号幅值相对于噪声很微弱，如输入信噪比≤12）绝对性信号幅值极小，如nV，甚至更小。
3．微弱信号检测的目的提高检测灵敏度和系统信噪比。
二. 微弱信号检测基本方法主要有：1）利用相关技术提取信号的振幅或相位信息2）利用取样积分方法提取或恢复信号波形3）利用锁相技术检测调制信号相关知识：物理学、数学、电路理论、电子技术、传感器技术、数理统计等。
第二章：噪声特性微弱信号检测：从噪声中提取有用信号的技术为了有效实现这一目的，需对噪声特性进行研究，以便找到抑制噪声的方法。
微弱信号检测技术
同步检测法通过将输入信号与参考信号进行相关运算，提取 出目标信号。该方法能够有效地抑制噪声干扰，提高信噪比 。在实际应用中，同步检测法常用于雷达、通信等领域。
滤波器法
总结词
一种利用滤波器对信号进行筛选和处理的微弱信号检测方法。
详细描述
滤波器法通过设计合适的滤波器对输入信号进行筛选和处理，提取出目标信号。该方法具有简单易实 现的特点，适用于多种类型的微弱信号检测。在实际应用中，滤波器法常用于音频、图像等领域。
射级跟踪放大器法
总结词
一种通过调整放大器的增益来跟踪输入信号幅度的微弱信号检测方法。
详细描述
射级跟踪放大器法利用射级反馈电路来调整放大器的增益，使得放大器的输出信 号幅度与输入信号幅度保持一致。该方法能够有效地提高信噪比，降低噪声干扰 。
同步检测法
总结词
一种利用相关技术对信号进行同步检测的微弱信号检测方法 。
环境监测领域
噪声污染检测
在噪声污染控制和环境保护方面，微弱的噪声信号往往代表着环境质量的恶化，微弱信号检测技术能够对这些信 号进行准确的监测和分析，为环境治理提供科学依据。
放射性检测
在核能和核工业领域，放射性物质释放的微弱信号对人类健康和环境安全具有重要影响，微弱信号检测技术能够 实时监测和评估放射性水平，保障公共安全。
微弱信号检测技术的发展历程
基础理论建立
早期的研究主要集中在噪声抑制和放大技术上，为微弱信号检测奠 定了基础。
技术突破
随着电子技术和数字化技术的发展，如放大器技术、数字滤波技术、 相关检测技术等，微弱信号检测的灵敏度和分辨率得到显著提高。
应用拓展
随着微弱信号检测技术的不断发展，其应用领域也在不断扩大，涉及 到众多领域和行业。
微弱信号检测基本理论和技术
微弱信号检测的基本理论和技术微弱信号检测技术是采用电子学、信息论、计算机和物理学的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点和相关性，检测被噪声淹没的微弱有用信号。
微弱信号检测的宗旨是研究如何从强噪声中提取有用信号，任务是研究微弱信号检测的理论、探索新方法和新技术，从而将其应用于各个学科领域当中。
在微弱信号检测中，总是伴随着噪声，噪声属于电路中的随机扰动，它可能来自电路中元器件中的电子热运动，或者是半导体器件中载流子的不规则运动。
噪声是限制信号检测系统性能的决定性因素，因此它是信号检测中的不利因素。
对于微弱信号检测来说，如能有效克服噪声，就可以提高信号检测的灵敏度。
电路中噪声是一种连续型随机变量，即它在某一时刻可能出现各种可能数值。
电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一般不再随时间变化，这时噪声电压称为广义平稳随机过程。
若噪声的概率分布密度不随时间变化，则称为狭义平稳随机过程(或严格平稳随机过程>。
显然，一个严格平稳随机过程一定为广义平稳随机过程，反之则不然。
1.滤波器被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。
这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值。
现在，在各种信号检测仪器中均离不开各种滤波器，它起到了排除干扰，分出信号的功能。
常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成(例如，RC低通滤波器、LC谐振回路等>，它对于滤去某些干扰谱线(例如，电源50Mz滤波，收音机、电视机中干扰的滤波>，有较好的效果。
对于混在随机信号中的噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路。
这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
因此需要寻找一种使误差最小的最佳滤波方法，有称为最小最佳滤波准则。
维纳线性滤波理论就是一种在最小均方误差准则下的最佳线性滤波方法。
出于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。
这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波。
微弱信号检测技术的原理及应用(含卡尔曼滤波与维纳滤波)
微弱信号检测技术的原理及应用2018年1月一、微弱信号检测的基本原理、方法及技术在自然现象和规律的科学研究和工程实践中，经常会遇到需要检测诸如地震的波形和波速、材料分析时测定荧光光强、卫星信号的接收、红外探测以及生物电信号测量等。
这些测量量被强背景噪声或检测电路的噪声所淹没，无法用传统的测量方法检测出来。
微弱信号，为了检测被背景噪声淹没的微弱信号，人们进行了长期的研究工作，分析背景噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点、相关性以及噪声的统计特性，以寻找出从背景噪声中检测出目标信号的方法。
微弱信号检测技术的首要任务是提高信噪比，这就需要采用电子学、信息论和物理学的方法，以便从强噪声中检测出有用的微弱信号。
微弱信号检测技术不同于一般的检测技术，主要是考虑如何抑制噪声和提高信嗓比，因此可以说，微弱信号检测是一门专门抑制噪声的技术。
抑制噪声的现代信号处理手段的理论基础是概率论、数理统计和非线性科学。
1、经典检测与估计理论时期这一时期检测理论主要是建立在统计学家工作的基础上的。
美国科学家WienerN .将随机过程和数理统计的观点引入到通信和控制系统中，提出了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波理论，即维纳滤波理论。
NorthD.O.于1943年提出以输出最大信噪比为准则的匹配滤波器理论；1946年卡切尼科夫(BA.K)提出了错误判决概率为最小的理想接收机理论，证明了理想接收机应在其输出端重现出后验概率为最大的信号，即是将最大后验概率准则作为一个最佳准则。
1950年在仙农信息理论的基础上，WoodwardP.M.把信息量的概念用于雷达信号的检测中，提出了理想接收机应能从接收到的信号加噪声的混合波形中提取尽可能多的有用信息。
但要知道后验概率分布。
所以，理想接收机应该是一个计算后验概率分布的装里。
1953年以后，人们直接利用统计推断中的判决和统计理论来研究雷达信号检测和参盘估计。
密德尔顿(Middleton D)等用贝叶斯准则(最小风险准则)来处理最佳接收问题，并使各种最佳准则统一于风险理论。
微弱信号特征提取方法
微弱信号特征提取方法第一部分信号检测理论基础 (2)第二部分噪声背景下的特征识别 (4)第三部分时频域分析方法应用 (7)第四部分自适应滤波器设计 (11)第五部分非线性信号处理技术 (14)第六部分特征提取算法比较 (18)第七部分信号分类与模式识别 (23)第八部分特征提取的实验验证 (26)第一部分信号检测理论基础# 微弱信号特征提取方法## 信号检测理论基础### 引言在现代通信与信息处理领域，微弱信号的特征提取是至关重要的环节。
由于微弱信号往往淹没在噪声之中，其有效识别与分析对于提高系统性能具有显著意义。
本文将探讨信号检测理论的基础知识，为后续的特征提取方法提供理论支撑。
### 信号与噪声的基本概念#### 信号定义信号可以定义为携带信息的物理量，它通常以时间函数的形式存在，如电压、电流或声波等。
根据其统计特性，信号可以分为确定性和随机两大类。
确定性信号具有固定的数学表达式，而随机信号则表现为一系列不确定的样本值。
#### 噪声定义噪声是指那些对信号传输和处理产生干扰的无用信息。
从统计角度来看，噪声通常被建模为随机过程，它的存在增加了信号处理的难度。
### 信号检测模型#### 假设检验信号检测理论基于统计学中的假设检验原理。
假设检验是一种统计推断方法，用于判断一个样本集是否来自于已知分布的总体。
在信号检测的背景下，我们通常有两个相互竞争的假设：-**H0**（Null hypothesis）: 无信号存在，仅有噪声；-**H1**（Alternative hypothesis）: 有信号存在，信号叠加在噪声之上。
#### 判决准则信号检测的任务是在给定观测数据的情况下，决定应该接受哪个假设。
这通常涉及到设定一个决策阈值，当观测值超过这个阈值时，就认为信号存在。
这种决策规则被称为“判决准则”。
### 信号检测性能指标#### 正确率与错误率在信号检测过程中，正确地检测到信号的存在称为“击中”（H i t），而错误地将噪声误判为信号称为“虚警”（False Alarm）。
微弱信号检测资料
1、微弱信号检测特点 WSD目的：提取需要检测到的微弱信息。
微弱：一般幅值小，但其实是相对噪声。
检测特点：遏制噪声（内部、外部）、放大信号、提高信噪比。
对象：研究噪声、信号。
研究两者区别，并且利用该区别研发设备和方法相对性：信号噪声可转换2、信号和噪声相关理论研究方法：（1）时域：均值、中值滤波、相关性、高斯分布（2）频率域：FFT 、采样定理、低通、带通、带阻（3）其他：小波、分形等，特征分析信号分析方法信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。
频域分析常采用傅里叶分析法。
时域分析主要包括卷积和相关函数。
3、噪声：通常把由于材料或器件（内部电路器件）的物理原因产生的扰动称为噪声，频谱分布一般比较宽。
4、信噪比：噪声对信号的覆盖程度信噪改善比：改善的效果，评价一个放大器或者一个测试系统遏制噪声的能力当信号通过一个放大器或者一个测试系统后，信噪比可能提高，也可能降低。
引入信噪比改善系数SNIR 来描述放大器或测试系统对信噪比的改善作用，定义为，y 产生可观察到变化5、微弱信号蕴含着两层含义：第一层含义是信号本身非常微弱，是一个绝对意义上的微弱；第二层含义是相对意义上的微弱，也就是信号对于强背景噪声而言，是非常微弱的，简而言之就是信噪比极低。
6、常规小信号检测方法：滤波、调制和解调7、电噪声的主要统计特征包括：（1）频域统计特征：功率谱密度（2）时域统计特征：相关函数（3）幅域统计特征：概率密度函数8、对于电压或电流型的随机变量，均值表示的是其直流分量；表示对均值的偏离程度，表明随机噪声的起伏程度；均方值反映的是随机噪声得到归一化功率，它表示的是随机电压或电流在1Ω电阻上消耗的功率9、相关函数：衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度。
是其时域特征的平均量度，它反映同一个随机噪声n(t)在不同时刻t1和t2取值的相关程度10、自相关函数在τ=0处取得最大值 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
微弱信号检测
微弱信号检测引言微弱信号检测是一种在噪声背景下探测和提取微弱信号的技术，广泛应用于无线通信、地质勘探、生物医学等领域。
由于噪声的存在，使得微弱信号很难被准确地捕获和识别。
本文将介绍常见的微弱信号检测方法以及在实际应用中的一些注意事项。
常见的微弱信号检测方法统计方法统计方法是最常用的微弱信号检测方法之一。
基于统计学的原理，通过对观测数据进行统计分析，计算信号的统计特性，从而达到检测信号的目的。
常用的统计方法包括最小二乘法、方差分析和卡尔曼滤波等。
时频分析方法时频分析方法是一种将信号在时域和频域进行联合分析的方法，可以捕捉信号在不同时间和频率上的变化。
通过时频分析，可以提高对微弱信号的检测能力。
常见的时频分析方法包括小波变换、短时傅里叶变换和Wigner-Ville分析等。
自适应滤波方法自适应滤波方法是一种通过对信号进行滤波来提高微弱信号检测的方法。
该方法通过对滤波器的参数进行自适应调整，以适应不同噪声环境下的信号特性。
常见的自适应滤波方法包括最小均方差滤波和递归自适应滤波等。
特征提取方法特征提取方法是一种通过对信号的特征进行提取来实现微弱信号检测的方法。
该方法通过提取信号的频率、幅值、相位等特征，从而分离出微弱信号。
常见的特征提取方法包括功率谱密度分析、相关分析和熵分析等。
微弱信号检测的注意事项噪声抑制在进行微弱信号检测之前，首先需要进行噪声抑制。
由于噪声的存在，会干扰和掩盖微弱信号，因此必须采取适当的方法对噪声进行抑制。
常见的噪声抑制方法包括滤波、降噪算法和信号增强等。
多样性处理由于微弱信号往往具有多样性，不同的信号可能有不同的统计特性和时频特性。
因此，在进行微弱信号检测时，需要采用多样性处理方法，以适应不同信号的特点。
常见的多样性处理方法包括特征级联、多传感器融合和多分类器组合等。
实时性要求在某些应用场景中，微弱信号的检测需要具备实时性要求。
这就要求微弱信号检测算法具备较高的计算速度和低延迟。
随机共振微弱周期信号检测方法
随机共振微弱周期信号检测方法随机共振是指在一个线性动力系统中，当外界激励频率接近系统的固有频率时，系统会产生共振效应。
共振效应会使系统的能量在固有频率附近积累并放大，从而导致系统响应增强。
在实际应用中，我们常常需要检测微弱的周期信号，因此，随机共振微弱周期信号的检测方法成为研究的热点之一1.激励响应法：该方法通过对系统施加一定频率范围内的随机激励，并测量系统的输出响应来检测微弱周期信号。
该方法的关键是选择适当的激励频率范围，以保证信号被识别出来，并尽量避免其他噪声的干扰。
2.非线性特征法：该方法基于随机共振系统对非线性特征的敏感性。
通过测量系统输出响应的非线性特征，如振荡幅值、周期等，可以检测到微弱的周期信号。
该方法对信号和噪声的幅值要求较高，适用于信噪比较高的情况。
3.统计特征法：该方法通过对系统输出信号的统计特征进行分析来检测微弱周期信号。
常用的统计特征有平均值、功率谱密度、自相关函数等。
通过对这些统计特征的计算和分析，可以提取出微弱周期信号的特征，并判断其是否存在。
4.相关函数法：该方法通过计算系统输出信号和模版信号之间的相关函数来检测微弱周期信号。
模版信号可以是事先给定的标准周期信号，也可以是根据已知周期信号估计得到的。
通过计算相关函数的峰值位置和幅值，可以判断系统中是否存在微弱周期信号。
需要注意的是，不同的检测方法适用于不同的场景和要求。
在实际应用中，需要综合考虑信号特征、噪声情况以及系统的可靠性和复杂性等因素来选择合适的检测方法。
此外，设计合适的实验装置和算法也是保证检测精度的重要因素之一总之，随机共振微弱周期信号的检测方法是一个复杂的问题，需要综合考虑信号特征、噪声情况以及系统的可靠性和复杂性等因素。
目前，研究者们正在不断探索和改进相关技术，以提高微弱周期信号检测的精度和可靠性。
宇宙微弱信号的探测和分析方法
宇宙微弱信号的探测和分析方法引言：宇宙是一个浩瀚而神秘的存在，其中蕴藏着无数的奥秘等待我们去揭开。
而在这个宇宙中，微弱信号是我们了解宇宙的重要窗口之一。
本文将探讨宇宙微弱信号的探测和分析方法，以期对宇宙的奥秘有更深入的了解。
一、宇宙微弱信号的探测方法1. 电磁波观测电磁波观测是目前最常用的宇宙微弱信号探测方法之一。
通过使用望远镜等设备，我们可以捕捉到来自宇宙各个角落的电磁波信号。
这些信号经过仔细分析和处理后，可以揭示出宇宙中的星系、恒星、行星等天体的信息。
2. 引力波观测引力波观测是一种新兴的宇宙微弱信号探测方法。
引力波是由质量分布不均匀引起的时空弯曲所产生的波动，它们传播的速度与光速相同。
通过使用精密的引力波探测器，我们可以探测到宇宙中的引力波信号。
这些信号可以揭示出宇宙中黑洞、中子星等极端天体的存在和性质。
3. 宇宙射线观测宇宙射线观测是一种间接探测宇宙微弱信号的方法。
宇宙射线是一种高能粒子流，它们来自宇宙中的恒星爆发、超新星爆炸、星系碰撞等现象。
通过使用宇宙射线探测器，我们可以测量到宇宙射线的能量和强度，从而了解宇宙中的高能现象和宇宙射线的起源。
二、宇宙微弱信号的分析方法1. 数据处理和图像重建对于电磁波观测和引力波观测所得到的原始数据，首先需要进行数据处理和图像重建。
这包括对数据进行噪声滤除、背景减除、信号增强等操作，以提高信号的质量和可靠性。
然后，通过使用图像重建算法，将处理后的数据转化为可视化的图像，以便更好地分析和理解宇宙中的微弱信号。
2. 光谱分析光谱分析是一种常用的宇宙微弱信号分析方法。
通过将信号分解为不同频率的成分，我们可以了解信号的频谱特性。
光谱分析可以揭示出宇宙中不同天体的光谱特征，从而推断它们的组成成分、温度、运动速度等信息。
3. 时序分析时序分析是一种用于分析宇宙微弱信号的时间变化特性的方法。
通过对信号的时间序列进行分析，我们可以了解信号的周期性、脉冲性等特征。
时序分析可以揭示出宇宙中的周期性现象，如脉冲星的脉冲信号、变星的光变等。
宇宙微弱信号的测量与分析
宇宙微弱信号的测量与分析引言：宇宙是一个广袤而神秘的存在，其中蕴含着各种微弱信号。
这些微弱信号是我们探索宇宙奥秘的重要线索。
本文将探讨宇宙微弱信号的测量与分析方法，以及其在宇宙学研究中的应用。
一、宇宙微弱信号的来源宇宙微弱信号是指那些来自宇宙各个角落的微弱电磁波、粒子或引力波等信号。
这些信号源自于宇宙中的各种天体和宇宙事件，如恒星爆发、黑洞活动、宇宙微波背景辐射等。
由于宇宙微弱信号的强度非常低，因此需要精密的测量和分析技术来捕捉和解读这些信号。
二、宇宙微弱信号的测量技术1. 电磁波测量技术电磁波测量技术是宇宙微弱信号测量中最常用的方法之一。
通过使用射电望远镜、光学望远镜等设备，我们可以捕捉到来自宇宙的电磁波信号。
这些设备可以对信号进行放大、滤波和频谱分析等处理，以获取有关信号的详细信息。
2. 粒子探测技术粒子探测技术是用于探测宇宙微弱信号中的粒子成分的方法。
通过使用探测器、加速器等设备，我们可以探测到宇宙中的高能粒子，如宇宙射线和中微子等。
这些粒子携带着关于宇宙起源和演化的重要信息，通过对其能量、轨迹和相互作用等特性的测量和分析，可以揭示宇宙的奥秘。
3. 引力波探测技术引力波是由质量分布不均匀引起的时空弯曲而产生的波动。
引力波探测技术是近年来兴起的一种新型测量方法。
通过使用激光干涉仪、振动探测器等设备，我们可以探测到宇宙中微弱的引力波信号。
这些信号可以帮助我们研究黑洞、中子星和宇宙大爆炸等重大宇宙事件。
三、宇宙微弱信号的分析方法1. 信号处理与滤波宇宙微弱信号的强度非常低，常常淹没在背景噪声中。
因此，在信号分析之前，我们需要对信号进行处理和滤波，以提高信噪比。
常用的方法包括数字滤波、小波变换和谱分析等。
2. 数据挖掘与模式识别宇宙微弱信号的测量往往产生大量的数据。
为了从这些数据中提取有用信息，我们需要使用数据挖掘和模式识别技术。
这些技术可以帮助我们发现信号中的模式和规律，从而揭示宇宙的结构和演化过程。
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/detail/kerenigma/4462916全部代码和工程报告基于多重自相关的微弱信号检测及提取方法研究Study on Weak Sigusodial Signal Based on Multi-layerAutocorrelation目录一摘要二选题背景与目的三实验特点与原理3.1高斯白噪声3.1.1概念： (5)3.1.2基本数字特征及其Matlab实现： (5)3.2检测及提取方法的原理3.2.1自相关检测方法 (6)3.2.2多重自相关法 (7)3.3本实验采取的微弱信号检测及提取的方法四实验设计与实现4.1高斯白噪声的产生与数字特征4.1.1产生 (8)4.1.2均值 (8)4.1.3 方差 (9)4.1.4 均方值 (9)4.1.5 自相关函数 (9)4.1.6 频谱（傅里叶变换）： (10)4.1.7 功率谱密度： (10)4.2 原始正弦信号的产生与数字特征4.2.1 产生 (10)4.2.2均值 (11)4.2.3方差 (11)4.2.4均方值 (11)4.2.5自相关函数 (11)4.2.6频谱（傅里叶变换） (11)4.2.7功率谱密度 (12)4.3 混合信号的产生与提取4.3.1混合信号产生 (12)4.3.2 混合信号的部分数字特征 (13)4.3.3信号的提取与分析 (14)五实验结论六参考文献七附件analysis.m extract.m一摘要摘要：对高斯白噪声的主要数字特性进行了分析，并通过对在高斯白噪声环境下的正弦信号的检测与提取。
并利用Matlab工具，通过wgn 函数生成高斯噪声，通过多重自相关方法，对高斯白噪声环境下的正弦信号进行分析与提取，并给出仿真结果。
关键字：随机信号，弱信号检测提取，多重自相关二选题背景与目的2.1 选题背景在随机信号处理的许多应用场合，噪声中信号的检测是一个重要的课题，尤其是微弱信号检测。
微弱信号检测的目的是从强背景噪声中提取有用信号，或用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比。
对噪声中正弦信号参量估计研究领域已有很多种方法，比如自相关法、多重自相关法、互相关法以及互功率谱法等。
这些方法已在实际中得到广泛的应用，但这些方法都有各自的优缺点，并不是某一种方法就能适用于所有的场合，也没有一种方法所检测得到的各个参数效果都是最佳的。
比如，有的方法如自相关检测就要求检测对象必须满足高斯条件的假设，并且在观测信号的信噪比显著下降时，系统的检测性能也会随之急剧下降。
2.2 选题目的1.了解随机信号分析理论如何在实践中应用，掌握随机弱信号的检测及分析的几种方法。
2.掌握随机信号的基本数字特征及其Matlab实现。
包括：均值，方差，均方值，相关函数，频谱和功率谱密度。
3.掌握微弱信号的检测提取及分析方法。
三实验特点与原理3.1高斯白噪声3.1.1概念白噪声(White noise)：是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。
白噪声的数学期望为0。
其自相关函数为狄拉克δ函数。
需要指出，相关性和概率分布是两个不相关的概念。
“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。
因此，白噪声分为“高斯白噪声”，“泊松白噪声”，“柯西白噪声”等。
高斯白斯噪声(Gaussian White noise)：是一种具有正态分布(Normal Distribution)（也称作高斯分布(Gaussian Distribution))概率密度函数的噪声。
也就是说，高斯噪声的值遵循高斯分布或者它在各个频率分量上的能量具有高斯分布。
3.1.2基本数字特征及其Matlab实现基本数字特征有：均值：高斯白噪声的均值为0；可用函数mean实现。
其意义为直流分量。
方差：高斯白噪声的方差为1；可用函数var实现。
其意义为信号绕均值的波动程度均方值：高斯白噪声的均方值为1；可用sum(y.*conj(y))/length(y)实现，其中y为白噪声信号。
其意义为信号的平均能量相关函数：高斯白噪声的自相关函数为狄拉克δ函数；可用xcorr函数实现。
其意义为波形自身不同时刻的相似程度。
频谱：可用fft函数实现。
其意义为信号的频域特征。
其意义为在频域上了解信号的特征功率谱密度：高斯白噪声的功率谱密度为一常数，可用其频谱的傅里叶变换实现。
其意义是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值。
3.2检测及提取方法的原理因为噪声总是会影响信号检测的结果，所以信号检测是信号处理的重要内容之一，低信噪比下的信号检测是目前检测领域的热点，而强噪声背景下微弱信号的提取又是信号检测的难点，其目的就是消除噪声，将有用的信号从强噪声背景中提取出来，或者用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比。
噪声主要来自于检测系统本身的电子电路和系统外的空间高频电磁场干扰等，通常从两种不同的途径来解决：①降低系统的噪声，使被测信号功率大于噪声功率，达到信噪比S /N >1。
②采用相关接收技术，可以保证在被测信号功率<噪声功率的情况下，仍能检测出信号。
在电子学系统中，采用低噪声放大技术，选取适当的滤波器限制系统带宽，以抑制内部噪声和外部干扰，保证系统的信噪比大大改善，当信号较微弱时，也能得到信噪比> 1 的结果。
但当信号非常微弱，比噪声小几个数量级甚至完全被噪声深深淹没时，上述方法就不会有效。
当我们已知噪声中的有用信号的波形时，利用信号和噪声在时间特性上的差别，可以用匹配滤波的方法进行检测。
但当微弱信号是未知信号时，则无法利用匹配滤波的方法进行检测。
经过分析，白噪声为一个具有零均值的平稳随机过程，所以，我们在选取任一时间点，在该点前一段时间内将信号按时间分成若小段后，然后在选取时间点处将前面所分的每小段信号累加，若为白噪声信号，则时间均值依然为零，但当噪声中存在有用信号时，则时间均值不为零，由此特性，就可对强噪声背景中是否存在微弱信号进行判定。
白噪声信号是一个均值为零的随机过程。
任意时刻是一均值为0的随机变量。
所以，将t时刻以前的任一时间段将信号分成若干小段并延时到t时刻累加，得到的随机变量均值依然为0。
而混有微弱信号，将t时刻以前的信号分断延时，并在t时刻点累加，得到的不再是均值为零的随机变量。
所以，我们可以在t时刻检测接收到的强噪声的信号的均值，由其均值不为零可判定强噪声信号中混有有用信号。
利用白噪声信号在任一时间t均值为零这一特性，将强噪声信号分段延时，到某一时刻累加，由此时刻所得的随机变量的均值是否为零来判断t时刻以前的信号中是否含有有用信号。
利用这种检测方法可以在不知微弱信号的波形的情况下，对强噪声背景中的微弱信号进行有效的检测。
而对微弱信号检测与提取有很多方法，常采用以下方法进行检测，这些检测方法都可以在与信号处理相关书籍和论文中查找到。
3.2.1自相关检测方法传统的自相关检测技术是应用信号周期性和噪声随机性的特点，通过自相关运算达到去除噪声的检测方法。
由于信号和噪声是相互独立的过程，根据自相关函数的定义，信号只与信号本身相关与噪声不相关，而噪声之间一般也是不相关的。
假设信号为s (t)，噪声为n (t)，则输入信号x ( t) = s ( t) + n ( t) (1)其相关函数为:Rx (τ) = E[ x ( t) ·x ( t +τ) ]= Rs (τ) + E[ s ( t) ·n ( t +τ)]+ E[ s ( t +τ) ·n ( t) ] + Rn (τ) (2)对于具有各态历经性的过程，可以利用样本函数的时间相关函数来替代随机过程的自相关函数。
3.2.2多重自相关法多重自相关法是在传统自相关检测法的基础上，对信号的自相关函数再多次做自相关。
即令：)()()()(111t n t s R t x x +==τ(3)式中，)(1t s 是)(τn R 和E[ s ( t +τ) ·n ( t ) ]的叠加；)(1t n 是E[ s ( t) ·n ( t +τ) ]和)(τn R 的叠加。
对比式(1) 、(3)，尽管两者信号的幅度和相位不同，但频率却没有变化。
信号经过相关运算后增加了信噪比，但其改变程度是有限的，因而限制了检测微弱信号的能力。
多重相关法将)(1t x 当作x( t) ，重复自相关函数检测方法步骤，自相关的次数越多，信噪比提高的越多，因此可检测出淹没于强噪声中的微弱信号，如图5-1所示。
图5-1 多重自相关3.3本实验采取的微弱信号检测及提取的方法微弱信号不仅意味着信号的幅度小，而且主要指的是被噪声淹没的信号。
提取微弱信号时，其关键因素在于提高信噪比。
所以我们首先要进行滤波，利用滤波器的频率选择特性，可把滤波器的通带设置得能够覆盖有用信号的频谱，所以滤波器不会使有用信号衰减或使有用信号衰减很少。
而噪声的频带通常较宽，当通过滤波器时，通带外的噪声功率受到大幅度衰减，从而使信噪比得以提高。
另外，我们使用sin信号，在高斯白噪声的环境下，提取该信号。
本次实验中，我们采用多次自相关的方法来提取信号。
将混合信号经多次自相关后，我们便能够得到所需信号。
四实验设计与实现4.1高斯白噪声的产生与数字特征4.1.1高斯白噪声的产生调用函数wgn；语句如下：y=wgn(1,10000,0);这样，我们就产生了一个1行，10000列的服从高斯分布的随机数序列，即高斯白噪声。
如下图所示，为我们声称的高斯白噪声。
4.1.2均值：调用函数mean; 语句如下：meany=mean(y); %均值我们便能够得到白噪声的均值。
由于我们采样点的个数有限（10000个），所以在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：0）。
实验如图所示。
4.1.3 方差：调用函数var; 语句如下：vary=var(y); %方差我们便能够得到白噪声的方差为 1.0055。
在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：1）。
4.1.4 均方值：调用函数sum；语句如下：rmsy=sum(y.*conj(y))/length(y); %均方值我们知道：均方值=方差+均值^2;此时所得的均方值为1.0054，在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：1）。
4.1.5 自相关函数：调用函数cory；语句如下：[cory,t]=xcorr(y,'unbiased') ；%自相关函数由图像我们可以知道，其自相关函数为狄拉克δ函数，符合预期。