浙江大学自动控制原理课第二章控制系统的数学模型
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自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件
FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微 分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章 控制系统的数学模型
• 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示 和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述
状态空间描述 方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在 复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与 输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量 为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
自动控制原理第二章自动控制系统的数学模型
5
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
量及其各阶导数，在t= 0 时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
G ( s ) U c( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
14
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
15
可得
df y dx |x0
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
10
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
量及其各阶导数，在t= 0 时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
G ( s ) U c( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
14
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
15
可得
df y dx |x0
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
10
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
《自动控制原理》第2章 自动控制系统的数学模型
2020年2月4日
EXIT
第2章第3页
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以 进行仿真研究）。
（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工 作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分 方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿 定律和热力学定律等等。
（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量） 关系的微分方程，即元件的数学模型。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2020年2月4日
EXIT
第2章第24页
2.建立步骤 ① 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分 方程。 ② 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作 状态。 ③ 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若 符合就进行线性化处理。 ④ 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量 直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 ⑤ 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系 统总输入和总输出增量的线性化方程。
exit2020年2月18日exit2020年2月18日2121控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立2222非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2323传递函数传递函数2424控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2525自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数2626信号流图信号流图2727脉冲响应函数脉冲响应函数exit2020年2月18日数学模型1
自动控制理论第二章 控制系统的数学模型
y y0 k1 ( x1 x10 ) k2 ( x2 x20 )
f k1 x1
( x10 , x20 )
f k2 x2
( x10 , x20 )
如何进行线性化
使用小偏差法
连续可导的非线性特性
本质非线性特性
小偏差理论
• 具有连续变化的非线性函数
y f ( x)
A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以 线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小
线性化方法步骤：
• (1)建立系统（环节）运动方程；
• (2)利用Taylor级数或一次微分方法，将输出－输入
实验法：给系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信 号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经 过数据处理而拟合辨识出系统的数学模型。
反映元件及系统 的特性要正确 写出的数学式子 要简明 数 学 模 型
微分方程 传递函数 频率特性 结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
§2.1
控制系统的微分方程
Fi k k －弹性系数 f －阻尼系数 m m－物体质量 x
f
由牛二：
外力
弹性阻力
粘滞阻力 代入整理
例
电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图
（1）列写原始方程式。
La dia Ra i K e ua dt
J
d ML Md dt
（2）消去中间变量。 M d K m ia
c S dH c(Qs Q f )dt dH 1 或 (Qs Q f ) dt s
Qf H
非线性的
3、消去中间变量
Qf 有 ：
自动控制理论第二章 自动控制系统的数学模型课件
四、拉氏变换的基本性质 下面给出拉氏变换的几个基本性质，这些性质今后会经常用到，特
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理第二章-控制系统的数学模型1
2
零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零
在零初始条件下，
dn f (t)
L
dtn
snF(s)
4.积分定理：
L[
f
(t)dt]1F(s) s
5.初值定理：假设函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，那么函数 f(t) 的初值为
f(0 )tl 0 im f(t)ls i s m ( F s)
c1 3et (s1) 4
c3ls i0m ss(ss1)2(2s3)3 2
c4sl i3(m s3)s(ss1) 2(2s3)112
f(t)21e t(t3)1e 3 t
32
2 12
c3 2 s3
c4 1 e3t (s3) 12
9
第二章 控制系统的数学模型
2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2 传递函数 2-3 控制系统的结构图及其等效变换
cr sl ism 1(ss1)rF(s)
cr1sl ism 1dd[ss(s1)rF(s)]
crj 1j!sl im s1dd(jjs)[s(s1)rF(s)]
c1(r 11)s!l is1 m d d(rr s1 1 )[s(s1)rF(s)]
其余各极点的留数确定方法与上同。
8
例2 求 F(s) s2 的原函数 f (t ) s(s1)2(s3)
c 1s l i1 (m s 1 )F (s)s l i1 (m s 1 )(s (s 1 ) s 2 ( )3 )
12 13
1 2
c2sl im 3(s3)F(s)1 2
f(t)1(et e3t)
2
7
◆F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s ) ( s c r s 1 ) r ( s c r s 1 1 ) r 1 ( s c 1 s 1 ) ( s c r s r 1 1 ) ( s c n s n )
零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零
在零初始条件下，
dn f (t)
L
dtn
snF(s)
4.积分定理：
L[
f
(t)dt]1F(s) s
5.初值定理：假设函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，那么函数 f(t) 的初值为
f(0 )tl 0 im f(t)ls i s m ( F s)
c1 3et (s1) 4
c3ls i0m ss(ss1)2(2s3)3 2
c4sl i3(m s3)s(ss1) 2(2s3)112
f(t)21e t(t3)1e 3 t
32
2 12
c3 2 s3
c4 1 e3t (s3) 12
9
第二章 控制系统的数学模型
2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2 传递函数 2-3 控制系统的结构图及其等效变换
cr sl ism 1(ss1)rF(s)
cr1sl ism 1dd[ss(s1)rF(s)]
crj 1j!sl im s1dd(jjs)[s(s1)rF(s)]
c1(r 11)s!l is1 m d d(rr s1 1 )[s(s1)rF(s)]
其余各极点的留数确定方法与上同。
8
例2 求 F(s) s2 的原函数 f (t ) s(s1)2(s3)
c 1s l i1 (m s 1 )F (s)s l i1 (m s 1 )(s (s 1 ) s 2 ( )3 )
12 13
1 2
c2sl im 3(s3)F(s)1 2
f(t)1(et e3t)
2
7
◆F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s ) ( s c r s 1 ) r ( s c r s 1 1 ) r 1 ( s c 1 s 1 ) ( s c r s r 1 1 ) ( s c n s n )
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型自动控制是现代工业和科学技术的重要组成部分，它在各种自动化系统中起着关键作用。
通过对自动控制系统的数学建模，我们可以对系统的行为进行分析和预测，并设计合适的控制策略来实现系统的稳定性和性能要求。
本章主要介绍自动控制系统的数学模型及其应用。
自动控制系统的数学模型主要包括线性时不变系统和非线性时变系统两类。
1.线性时不变系统线性时不变系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间的推移而变化。
线性时不变系统的数学模型可以用常微分方程或差分方程来表示，其中常微分方程适用于连续系统，差分方程适用于离散系统。
常见的线性时不变系统包括电路、机械系统等。
2.非线性时变系统非线性时变系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系，并且系统的性质随时间的推移而变化。
非线性时变系统的数学模型可以用偏微分方程、泛函方程等形式来表示。
非线性时变系统由于具有更复杂的动力学特性，通常需要借助数值方法来求解。
二、数学模型的建立方法建立自动控制系统的数学模型有多种方法，常用的方法包括物理模型法、数据模型法和状态空间法。
1.物理模型法物理模型法主要通过物理规律来建立系统的数学模型。
它基于系统的物理特性及其输入输出关系，通过建立微分方程或差分方程来描述系统的动态行为。
物理模型法适用于那些具有明确的物理意义和物理规律的系统。
例如，对机械系统可以利用牛顿定律建立系统的动力学方程。
2.数据模型法数据模型法是通过分析实验数据来建立系统的数学模型。
它基于系统的输入输出数据，借助统计方法和系统辨识技术来进行模型识别和参数估计。
数据模型法适用于那些难以建立明确物理模型的系统。
例如，对于生物系统或经验性系统，可以通过数据模型法来建立系统的数学模型。
3.状态空间法状态空间法是一种以状态变量和输出变量为基础的建模方法。
它将系统的动态行为表示为一组一阶微分方程或差分方程的形式。
状态空间法对于较复杂的系统具有较好的描述能力，能够反映系统的内部结构和动态特性。
自动控制原理第二章 控制系统的数学模型
零状态响应 零输入响应
(1) 输入 u r (t) —— 规定 r(t) = 1(t) (2) 初始条件 —— 规定0 初始条件
(3) 系统的结构参数 —— 自身特性决定系统性能
作业
课堂小结 控制系统的时域模型 — 微分方程
•系统微分方程的建立 • 非线性微分方程的线性化 • 微分方程的求解
2.3 控制系统的复数域数学模型——传递函数
例7 已知
4s 4 G(s ) 3 s 3s 2 2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
解. G ( s )
4( s 1) 4( s 1) s 3 3s 2 2s s( s 1)(s 2)
首1标准型
4 G( s) 2
s 1 ( s 1) 2 尾1标准型 1 2 3 1 s( s s 1) s( s 1 )( s 1) 2 2 2
第二章 控制系统的数学模型
2.1 2.1 引言 引言 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 2.3 控制系统的复域数学模型 线性系统的传递函数 2.4 2.4 系统的结构图 系统的结构图 2.5 2.5 信号流图及梅逊公式 信号流图及梅逊公式
End
自动控制原理课程体系结构
2.1 引言
1.定义：数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间动 态关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；
4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态 特性；零初始条件含义要明确。 6)传递函数的局限性： (a)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； (b)适合于描述单输入/单输出系统； (c)只能用于表示线性定常系统。
(1) 输入 u r (t) —— 规定 r(t) = 1(t) (2) 初始条件 —— 规定0 初始条件
(3) 系统的结构参数 —— 自身特性决定系统性能
作业
课堂小结 控制系统的时域模型 — 微分方程
•系统微分方程的建立 • 非线性微分方程的线性化 • 微分方程的求解
2.3 控制系统的复数域数学模型——传递函数
例7 已知
4s 4 G(s ) 3 s 3s 2 2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
解. G ( s )
4( s 1) 4( s 1) s 3 3s 2 2s s( s 1)(s 2)
首1标准型
4 G( s) 2
s 1 ( s 1) 2 尾1标准型 1 2 3 1 s( s s 1) s( s 1 )( s 1) 2 2 2
第二章 控制系统的数学模型
2.1 2.1 引言 引言 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 2.3 控制系统的复域数学模型 线性系统的传递函数 2.4 2.4 系统的结构图 系统的结构图 2.5 2.5 信号流图及梅逊公式 信号流图及梅逊公式
End
自动控制原理课程体系结构
2.1 引言
1.定义：数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间动 态关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；
4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态 特性；零初始条件含义要明确。 6)传递函数的局限性： (a)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； (b)适合于描述单输入/单输出系统； (c)只能用于表示线性定常系统。
自动控制原理课件 第2章 控制系统的数学模型
P
R
Q散
，加热电功率为P，热效率为η；
P ( t ) mc 由热平衡方程得： dt R
d ( t )
0
把当成干扰输入则有
( s ) R G ( s ) 1 P ( s ) mc s s 1 R Rmc P P
( s ) R s G ( s ) e P ( s ) Rmc s 1 P
j 1 m
或
2 2 b ( s 1 )( s 2 s 1 ) ( s 1 ) m1 2 2 i G ( s ) 2 2 a ( T s 1 )( T s 2 T s 1 ) ( T s 1 ) n1 2 2 j
K * 称为根轨迹增益
4、方框（环节）：表示信号进行的数学变换。 画方框图时，必须注意各环节间的负载效应。
示例 2-11 p40,
2-13 p42
P24 速度控制系统
二、结构图的等效变换与简化 见表2-1 （P49）
1、串联框图的简化
R G 1 ( s ) G 2 ( s ) C
R G 1 ( s ) G 2 ( s ) C
由拉氏变换得传递函数为
其中
m m 1 s b s b s b C ( s )b ( s ) 0 1 m 1 mM G ( s ) n n 1 R ( s )a s a s a s a ( s ) 0 1 n 1 n N
m m 1 M ( s ) b s b s b s b 0 1 m 1 m
d ( t ) （6） J f ( t ) K ( t ) dt T ( t ) dt
{
di ( t ) 1 L Ri ( t ) i ( t ) dt u ( t ) （1）} r dt C
R
Q散
，加热电功率为P，热效率为η；
P ( t ) mc 由热平衡方程得： dt R
d ( t )
0
把当成干扰输入则有
( s ) R G ( s ) 1 P ( s ) mc s s 1 R Rmc P P
( s ) R s G ( s ) e P ( s ) Rmc s 1 P
j 1 m
或
2 2 b ( s 1 )( s 2 s 1 ) ( s 1 ) m1 2 2 i G ( s ) 2 2 a ( T s 1 )( T s 2 T s 1 ) ( T s 1 ) n1 2 2 j
K * 称为根轨迹增益
4、方框（环节）：表示信号进行的数学变换。 画方框图时，必须注意各环节间的负载效应。
示例 2-11 p40,
2-13 p42
P24 速度控制系统
二、结构图的等效变换与简化 见表2-1 （P49）
1、串联框图的简化
R G 1 ( s ) G 2 ( s ) C
R G 1 ( s ) G 2 ( s ) C
由拉氏变换得传递函数为
其中
m m 1 s b s b s b C ( s )b ( s ) 0 1 m 1 mM G ( s ) n n 1 R ( s )a s a s a s a ( s ) 0 1 n 1 n N
m m 1 M ( s ) b s b s b s b 0 1 m 1 m
d ( t ) （6） J f ( t ) K ( t ) dt T ( t ) dt
{
di ( t ) 1 L Ri ( t ) i ( t ) dt u ( t ) （1）} r dt C
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理第2章控制系统的数学模型
传递函数： 初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
01
线性定常系统微分方程的一般表达式
02
为系统输出量， 为系统输入量。
03
在初始情况为零时，两端取拉氏变换：
04
2.3.1 传递函数的定义
或写为
传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
电动机机械微分方程
（2-2）（2-1） Nhomakorabea若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
其中
，通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
消去中间变量
将（2-3）带入（2-4）得
（2-3）
（2-5）
（2-6）
则当电机空载时有
（2-4）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
（2-7）
令：
结论：
B
(1) 相加点前移 1．相加点等效移动规则 相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 (2) 相加点后移 相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。 2.4.5 结构图的简化
1)分支点前移
2、分支点等效移动规则 分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。 (2) 分支点后移 分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数的方框。
由
(1)
I2(s)
I1(s)
I(s)
+
+
例：试绘制如图所示 无源网络的结构图。
例2-6 图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为
零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得
RC网络方框图
自动控制原理 课件 第二章 控制系统的数学模型
sX
(s)
x(0)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X (s)
sx(0)
x (0)
若 x(0) x(0) 0 ,则
… L
dx(t dt
)
sX
(s)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X
(s)
L
d
n x(t dt n
)
sn
X
(
s)
3)积分定律
L x(t)dt 1 X (s) 1 x(1)(0)
C
的网络微分方程式。
uc(t)
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略 输出端负载效应。
RL
（3）由KVL写原始方程： L di Ri uc ur
ur(t)
C
dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i C duc dt
存在，则
x(0
)
lim
s
sX
(
s)
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
L
x
t a
aX
(as)
8)卷积定理
X1 ( s)
X2(s)
L
t 0
x1 (t
)
x2
(
)d
4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
1) 微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2) 传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3) 频率特性：频域 分析方法不同，各有所长
自动控制原理控制系统的数据模型第二章控制系统的
电路系统 ur L R 1/C q
i
(3) 模拟技术：有了相似系统的概念，可以利用对一种系
统的研究来代替对另一种系统的研究，这就是所谓的模拟
技术。特别是用电子模拟装置模拟机械系统及其它物理系 统。
12
2、用复阻抗概念求电路的传递函数
L
R2
Ls
R2
＋
＋
＋
＋
＋
ur
u1 R1 C uc Ur(s) U1(s) R1 1/Cs
d(h0 h)
dt
Cv (
h0
2
1 h0
h)
Q10
Q1
17
AF
d(h0 h)
dt
Cv (
h0
2
1 h0
h)
Q10
Q1
在工作点处的平衡关系 Q10 Q20 Cv h0
线性化方程式
AF
dh
dt
Cv 2 h0
h
Q1
可以省略Δ，简写成
AF
dh dt
Cv 2 h0
h
Q1
那么，传递函数
G(s) H(s)
第二章 控制系统的数学模型
2.1 传递函数 2.2 闭环控制系统的动态结构图 2.3 动态结构图的等效变换 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 典型环节的传递函数 2.6 信号流图与梅逊公式
1
2.1 传递函数
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用和初始条件下，解微 分方程可以得到系统的输出响应。系统结构 和参数变化时分析较麻烦。
an1
d dt
c(t)
anc(t)
dm
d m1
d
b0 dtm r(t) b1 dtm1 r(t) bm1 dt r(t) bmr(t)
自动控制原理胡寿松第2章 控制系统的数学模型
m n
b1 s
m 1 n 1
bm 1 s bm a n 1 s a n
M ( s) N ( s)
a 0 s a1 s
例1：试求：P6 RLC 串联无源网络的传递函数：
G ( s)
2
U 0 (s) U i (s)
LC
d u0 (t ) dt
2
RC
2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
学习本课程，不必过分追求数学论证上的严密性，但 一定要注意数学结论的准确性与物理概念的明晰性。
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
本章主要内容
本章介绍了建立 控制系统数学模型和 简化的相关知识。包 括线性定常系统微分 方程的建立、非线性 系统的线性化方法、 传递函数概念与应用、 方框图及其等效变换、 梅逊公式的应用等。
KC
KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
整理得控制系统数学模型（微分方程）为：
Tm d dt Kg dui dt K g ui K C M C
3.线性系统的性质：
具有可加性： f 1 ( t ) y 1 ( t )
f 2 (t ) y 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y 2 (t )
线性系统的数学模型
控制系统数学模型概述 一、为什么要建立控制系统的数学模型？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 二、什么是控制系统的数学模型？ 描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？
b1 s
m 1 n 1
bm 1 s bm a n 1 s a n
M ( s) N ( s)
a 0 s a1 s
例1：试求：P6 RLC 串联无源网络的传递函数：
G ( s)
2
U 0 (s) U i (s)
LC
d u0 (t ) dt
2
RC
2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
学习本课程，不必过分追求数学论证上的严密性，但 一定要注意数学结论的准确性与物理概念的明晰性。
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
本章主要内容
本章介绍了建立 控制系统数学模型和 简化的相关知识。包 括线性定常系统微分 方程的建立、非线性 系统的线性化方法、 传递函数概念与应用、 方框图及其等效变换、 梅逊公式的应用等。
KC
KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
整理得控制系统数学模型（微分方程）为：
Tm d dt Kg dui dt K g ui K C M C
3.线性系统的性质：
具有可加性： f 1 ( t ) y 1 ( t )
f 2 (t ) y 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y 2 (t )
线性系统的数学模型
控制系统数学模型概述 一、为什么要建立控制系统的数学模型？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 二、什么是控制系统的数学模型？ 描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？
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自动控制理论
➢ 直流他励电动机 被控制量是电动机的转速n 。 控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL
由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得
ia R L
dia dt
Cen
EG
GD2 dn Te TL 375 dt
Te Cuia
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
10
上式中消去中间变量 Te和ia 后得到
的转速n为系统的输出量,经消元后得
τm τa τG
d 3n dt 3
τm
τa
τG
d 2n dt 2
τG
τm
dn dt
1
Ka Ce
n
K Ce
Ug
R CeCu
τGτa
d 2TL dt 2
τa
TG
dTL dt
TL
式中, K K1K 2 , R R G R m
2020/4/27
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
➢ 根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式 ➢ 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的 微分方程式
举例
一、电气网络系统
例2-1求Uc与Ur的微分方程 式
解：由基尔霍夫定律得
iR
l
di dt
uc
ur
uc
1 C
idt,
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为
2020/4/27
y=f(x)
（2-13）
图 2-9 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型
13
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
uc
ur
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
4
自动控制理论
二、机械位移系统
例2-3. 求外力F(t)与质量块m位移ｙ(t)之间的微分方程 解 由牛顿第二定律列出方程
F (t) ky(t)
f
dy (t ) dt
m
d
2 y(t) dt 2
即 m d 2 y(t) f dy(t) ky(t) F (t)
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
7
自动控制理论
➢ 放大器
u1 ue
K1
(2-4)
➢ 直流他励发电机
假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发 电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁 化曲线为一直线 ，即Φ/iB =L。
图2-6 直流他励发电机电路图
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
1
1
C2 i2dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2
i2dt uc
消去中间变量i1 、 i2 得
i1
图2-2 R-C滤波网络
R1R2C1C2
d 2uc dt 2
R1C1 R2C2 R1C2
duc dt
uc
ur
或写作
T1T2
d 2uc dt 2
T1 T2
T3
duc dt
普通高等教育“九五”部级重点教 材
自动控制理论
第二章
控制系统的数学模型
2020/4/27
作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
第二章 控制系统的数学模型
1
自动控制理论
数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变 量之间关系的数学表达式
描述系统运动的数学模型的方法
➢ 输入－输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图
第二章 控制系统的数学模型
(2-12)
12
自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
➢ 变量对于平衡工作点的偏离较小 ➢ 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
微偏法
在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶以 上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。
输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假设 测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
11
自动控制理论
ufn an 而
(2-10)
ue ug -ufn
(2 -11)
引起系统运动的输入量是给定电压ug和负载转矩TL(扰动),电动机
m a
d 2n dt 2
m
dn dt
n
1 Ce
EG
R CeCu
TL
a
dTL dt
(2-8)
式中， m
GD2 375
R Cu
为电动机的机电时间常数；
a
L R
为电动机的电气时间常数。
当TL 0时，电动机空载运行至稳态时，式2 8 便蜕化为
n0
1 Ce
EG
（n0为电动机的空载转速）
（2-9）
➢ 测速发电机
8
自动控制理论
由电机学原理得：
L
diB dt
iB R
U1
（2-5）
EG C1 C1LiB C2iB （2-6）
把式（2-6）代入（2-5），则得
τG
dEG dt
EG
K2U1
（2-7）
式中
G
L R
;
K2
C1L R
图2-7 直流他励电动机电路图
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
9
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
6
图2-5 G-M 直流调速系统的框图
写微分方程式的一般步骤：
列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与
输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写
在等号的右方，列写系统中各元件输入－输出微分方程式，消去中
间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式
dt 2
dt
图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统
式中，ｆ——为阻尼第数；ｋ——为弹簧的弹性系数。k y(t)——弹性拉力 f dy ——阻尼器阻力
dt
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
5
自动控制理论
三、直流调速系统
例2-4. 试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式
图2-4 G-M 直流调速系统原理图
等其它模型均由它而导出 ➢状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式
建立系统数学模型的方法
➢ 实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
➢ 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理
定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。
2020/4/27
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
即i C duc dt
消去中间变量 i，则有:
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
ur
2020/4/27 图2-1 Ｒ-L-C电路 第二章 控制系统的数学模型
3
自动控制理论
例2-2. 试写出图2-2电路的微分方程
解 由基尔霍夫定律列出下列方程组
1
C1
(i1 i2 )dt i1R1 ur