函数极限的定义的多种表达

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第三节函数的极限

数列极限：
相当于
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无限增大的运动过程中，函数的变化趋势。函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
一、自变量 x x0 时函数的极限
如何刻画 x x0 ?
即 x0 的去心邻域，是个较小的正数。
如何刻画对应函数值的变化？要有对应函数值，就要先使函数在 x0 的去心邻域内有定义，而函数在 x0 有无定义则无要求。如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数 A ？
1. 自变量 x x0 时函数的极限定义
设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 A ，对任意给定的正数（无论它有多小），总存在正数，使得当 x 满足 0 < | xx0 | < 时，对应的函数值都有 | f (x) A |< ，则称 A 为函数 f (x) 当x x0 时的极限, 记作或几何解释:
有时找到使不等式| f (x) －A | < 成立的几个正数，
再取其最小者作为证明部分需要的 . 而证明部分的
思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到，
意味着满足定义条件的正数存在，这就完成了证明。
2. 左极限与右极限（单侧极限）左极限 :

右极限 : 易见，
x x0
其中 X 是个较大的数。如何刻画对应函数值 f (x)的变化？要有对应函数值，首先要使函数在| x | > X 内有定义。
如何刻画对应的函数值 f (x) 无限接近于某个常数 A ？
1.
自变量 x 时函数的极限定义

描述极限的概念

描述极限的概念描述极限概念简介描述极限是数学分析中的一个重要概念，用于刻画函数在某一点处的局部行为。

在现实生活和实际问题求解中，描述极限也被广泛应用于物理、工程等领域。

极限的定义极限的定义可以分为数列极限和函数极限两种情况。

数列极限对于数列 {an}，当其趋于无穷大时，如果存在实数A，对任意给定的正数ε（epsilon），总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-A|<ε成立，则称数列 {an} 的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。

函数极限对于实函数 f(x)，当自变量 x 趋于某一实数a时，如果存在实数A，对任意给定的正数ε（epsilon），总存在正数δ（delta），使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称函数 f(x) 在 x=a 处的极限为A，记作lim (x→a) f(x) = A。

极限的性质和计算方法极限具有一些重要的性质，可以通过这些性质来计算极限。

极限唯一性一个数列或者函数的极限只能有一个唯一确定的值。

四则运算法则对于数列或函数的四则运算，如果可以将其拆分为多个已知极限的数列或函数，则可以利用极限的四则运算法则计算最终的极限。

夹逼准则当函数 f(x) 处于两个其他已知函数 g(x) 和 h(x) 之间，并且g(x) 和 h(x) 的极限在某一点 a 处相等时，可以利用夹逼准则求得f(x) 在点 a 处的极限。

常见极限值有一些常见的极限值可以直接根据定义或通过运算法则进行计算，如lim (x→0) sin(x)/x = 1。

应用领域极限在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

数学分析极限是数学分析中的核心概念，它在微积分、级数收敛性、函数连续性等方面起着重要作用。

物理学在物理学中，极限被用来描述粒子在物理过程中的变化趋势，例如速度的极限可以表示加速度。

工程学在工程学中，极限可以用来描述材料的耐力和荷载的极限承载能力，有助于工程结构的设计和安全性分析。

函数极限的定义

该点附近的变化趋势.
例函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.
引例设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0

函数的极限 (2)

x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
11
A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
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1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
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单侧极限：若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线。
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二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性定理函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.

极限定义的总结

极限定义的总结
极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。

我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：
函数的变化趋势自变量变化趋势=)(lim x f
自变量的变化趋势主要有六种：
-+→→→-∞→+∞→∞→0
00,,,,,x x x x x x x x x 函数的变化趋势主要有四种：
-∞→+∞→∞→→)(,)(,)(,)(x f x f x f A x f 自变量的描述格式如下：
,0>∃X 当X |x |>时；（∞→x ）
,0>∃X 当X x >时；（+∞→x ）
,0>∃X 当-X x <时；（-∞→x ）
,0>∃δ当δ<<|x -x |00时；（0x x →）
,0>∃δ
当δ<<0x -x 0时；（+→0x x ） ,0>∃δ 当δ<<|x -x |00时；（-→0x x ）
函数的描述格式如下：
,0>∀ε ,
恒时：ε<-|)(|A x f （A x f →)(） ,0>∀ε ,
恒时：M x f >|)(|（∞→)(x f ） ,0>∀ε , 恒时：M x f >)(（+∞→)(x f ）
,0>∀ε ,
恒时：M x f ->)(（-∞→)(x f ）那么函数极限的定义可以是这241416=⋅C C 种中的任意一种。

当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。

它是一种自
变量的变化不连续的特殊情形。

极限的二十四种定义

极限的二十四种定义“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近a点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。

此变量永远趋近的值a叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值a不断地逼近而“永远不能够重合到a”(“永远不能够等于a，但是取等于a‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中。

数列音速定义可定义某一个数列{xn}的发散：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。

如果存在实数a，对于任意正数ε (不论其多么小)，总存在正整数n，使得当n\uen时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

记作或。

如果上述条件不设立，即为存有某个正数ε，无论正整数n为多少，都存有某个n\uen，使，就说道数列{xn}不发散于a。

如果{xn}不发散于任何常数，就表示{xn}收敛。

对定义的理解：1、ε的任意性定义中ε的促进作用是来衡量数列通项与常数a的吻合程度。

ε越大，则表示吻合得越将近;而正数ε可以任一地变大，表明xn与常数a可以吻合至任何不断地紧邻的程度。

但是，尽管ε存有其任意性，但一经得出，就被暂时地确认下来，以便依靠它用函数规律xi出来n;又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。

同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

2、n的适当性一般来说，n随ε的变大而变小，因此常把n文学创作n(ε)，以特别强调n对ε的变化而变化的依赖性。

但这并不意味著n就是由ε唯一确认的：(比如说若n\uen并使设立，那么似乎n\uen+1、n\ue2n等也并使设立)。

关键的就是n的存有性，而不是其值的大小。

连续函数极限

连续函数极限极限是一种经典问题，是数学中非常重要的概念，它把不同的概念联系起来，使得我们可以建立更为普遍的概念和数学模型，例如对函数求极限和对应的定义。

极限描述的是一个函数当其变量趋近某一数值时，函数值的取值情况。

极限函数的一般定义为：在某一点的极限值，只要在一定的接近区域内，函数值都非常接近该极限值，那么就称该极限值为该点的极限。

二、极限的分类极限有很多分类，我们重点讨论连续函数的极限。

极限可以分为有限极限和无限极限，有限极限是指在某一点的极限值是有限的，而无限极限则是指该点的极限值是无限大或无限小。

例如：函数f(x)=2x+2，其中在点x=2的极限为有限的6，而对于函数g(x)=1/x，其中在点x=0的极限值为无限小。

三、连续函数极限在前文中，我们简单介绍了极限的分类，在数学中，极限可以分为连续函数极限和间断函数极限。

连续函数是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性性质，即函数值的变化是比较连续的，而间断函数则是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性是不能保证的。

关于连续函数极限，需要注意以下几点：1.于连续函数，某一点的极限可以称为函数定义域中该点的值。

2.于连续函数，极限只能通过对其定义域中某一点的值来确定，而不能通过其函数值。

3.于连续函数，极限可以用其偏导数来表示，偏导数的计算可以用公式的形式表示，并且可以用来求极限的值。

4.于不满足连续性性质的函数，连续函数极限的计算仍然可以采用偏导数的方法，但是该函数的连续性性质会给求取极限的过程带来困难。

四、总结连续函数极限是数学中一个重要的概念，它把函数的分段性和连续性联系起来，让我们可以计算函数极限的值，而这些值具有重要的意义，对于分析函数特性有着重要意义。

高三数学函数的极限

第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数
的极限是a，
记作
也就是说：当
=
=a时，才
有
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，
如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0
xx0
xx0
xx0
；优游；
在沙丘顶上列队，一大排地立起身子，把它们光滑的背甲对着同一个方向，在太阳还没有升起的时候，会有一阵清风从这个方向吹来，抚过沙丘的表面，最后，吹到小虫的身体。风缓缓地、软软地、悄悄地轻拂着，小虫长时间一动不动，在它们的背甲上就悄悄地凝起了水珠，这是晨风带来的仅有的一点湿润，水珠越聚越大，它们相互融合，终于，成了一颗水滴。水滴从小虫的背上流下来，流过它的脖子、脑袋、鼻子，最后流到它的嘴边，成了这只小小的甲壳虫一天赖以维系生命的甘露。 73、农村教育要有自己独特的视角目前我国每年约有1000万左右的农村中小学毕业生因为不能升入高一级学校而回到家乡。一些中小学毕业生因为缺乏生活技能，进城打工没门，搞二三产业无路，只好在家里闲着，面临“升学无望、就业无门、致富无术”的尴尬。出现这样的情况，主要是农村教育长期以来迷失于城市教育话语权之下。农村不存在真正属于自己的教育。农村孩子所接受的实际上是城市知识人设计的教育模式，而这种教育模式显然预设、渗透“城市取向”的价值。在这种价值取向中，农村基础教育的终极目标不是为农村培养合格的劳动者和建设者，只是为高一级学校输送优秀人才。而对于大部分农村学生而言，最后的归宿只能是回到生养他们的土地。农村教育要适应农村的发展与建设，必须立足于农村，确立自己的教育视角。农村地域文化中原本就潜藏着丰富的教育资源，比如，经过长期积淀而形成的地域、民俗文化传统，这都是对于农村生活以及农村生活秩序建构弥足珍贵的价值成份。同时，立足于农村建设、作为现代农民必须的技能、知识，也是教育的重点。学校可采取正规教育与自然野趣之习染相结合，专门训练与口耳相授相结合，理论的传授与田野实践相结合，知识的启蒙与农村情感的孕育相结合，就能培养出农村欢迎的、能适应未来发展的新型农村劳动者和建设者。 74、加强女童教育联合国儿童基金会发表了《2004年世界儿童状况报告》，报告主题是女童教育，强调教育是改变女童未来命运的基础。报告说，目前全球还有1.21亿儿童辍学，其中6500万是女童。在发展中国家，女童教育是最迫切需要解决的问题之一。儿童教育中的男女不平等，使女童在以后的发展和社会生活中处于不利的地位。保女童得到教育，无论对家庭还是国家都有益的。根据报告的统计，各国在儿童教育方面的差距非常大。在小学入学率方面，绝大多数发达国家和一些比较好的发展中国家入学率已经达到或接近100％。但在一些最不发达国家，女童的入学率只有 30％左右。报告要求各国政府从多方面加强对女童的教育。报告还建议将国际官方援助的10％用于基础教育。发达国家应至少拿出国内生产总值的0.7％作为官方发展援助。 75、教育不能缺失人文精神反思我们的教学，虽然在知识这个层面上，我们存在的问题也不少，但更缺的是人文性。我们缺乏对学生的尊重，缺乏教学民主，缺乏对人性的关注。我们忽略了比知识、能力更重要的东西，即人的情感、态度和价值观。而这些方面不是靠说教所能奏效的，是靠感化，是在学生和教师相处中（即教学中、活动中），靠老师言行的感化。理性说教和作用极其有限，有时很可能等于零——当老师在学生心目中什么地位也没有的时候。当学生遇到困难的时候（不论是学习上的，还是生活上的），老师要伸出援助的手，让学生在感受老师的关爱中学会关爱别人；当学生受到挫折时，老师要予以鼓励，在老师的鼓励下变得坚强；当学生在取得进步时，老师要及时激励，让学生在激励中获得更多的成功体验；当学生不能正确对待自己、对待别人，老师要以自己的人格，自己的言行告诉学生应该怎样去做……古人说：“学高为师，身正为范。”“身正”指的就是人文性，就是一个“善”字。为什么说当老师不易？因为既做到“学高”，又做到“身正”，要付出巨大努力，要不断地修炼。 76、教育学生正确认识危机在教育教学过程中，教师应该有意识地向学生“灌输”危机意识，使他们从小就认识到，危机在人的生命发展历程中不可避免，只要人生活下去，就会遇到各种各样的危机。虽然危机会中断正常连续的生活过程，甚至给人们的生活带来麻烦和灾难，但是只要通过自己的努力克服了危机的威胁，就能够获得生命发展的新起点，就会变得更加坚强和成熟。危机是一把“双刃剑”，在给人带来危险的同时也带给人们成长的机会，当人们能够认识危机，战胜危机时，心理就会更加成熟，就能够拥有更大的信心和能力来面对真实的生活。机吓倒。 77、美国学生阅读能力强据国际教育成就评估协会新近对欧美、亚洲等地区的总共34个国家的3万余名小学四年级学生进行的一次有关阅读能力的调查：美国孩子的平均得分名列榜首，接着是瑞典和英国等欧洲国家的孩子，再后是中国、日本等东亚国家的孩子，而平均得分偏低的是伊朗和科威特等西亚国家的孩子。美国学生拥有超强阅读能力的有力例之一是：同样是在四年级学生中，能阅读中等难度的成人报纸者在美国孩子中高达78％，能阅读难度较高的文学名著者高达46％，比国际平均水平分别高出足足27和21个百分点。此外，美国孩子的阅读面也比其他国家同龄孩子要宽，涵盖了广告、《圣经》、外国古典名著和较浅显的科学理章，等等，而此类较深奥的作品，其他国家的孩子往往要再过2年才有能力开始系统地阅读。美国孩子的阅读能力之所以超强，其中一个重要原因是：高达65％的孩子每星期能得到至少6个小时的阅读指导，而国际平均数仅为28％。在美国几乎所有的学校都强调阅读的重要性，而国际平均数仅为78％。此外，就像在世界其他国家一样，在美国，女孩子的阅读能力普遍比男孩子强。 78、“校本教研”是一种“唤醒” “校本教研”的根本目的不是传授给教师一些现成的研究方法，而是要把教师的创造潜能诱导出来，将教师的生命感、价值感从沉睡的自我意识和心灵中“唤醒”。教学研究绝非仅仅是教育研究机构的事情，它的主体应是教师自身，教师是教学原理的创造者。正如德国教育家斯普朗格认为的，“唤醒”这一概念是作为人的本体结构的全面“震颤”。教育过程不仅需要从外部解放成长者，而且首先要考虑的问题应是解放成长者内部的力量。又如德国教育家鲍勒诺夫认为，“唤醒”可以使主体的人在灵魂震颤的瞬间感受到从未体味过的内在敞亮，他因主体性空前张扬而获得一次心灵的解放。通过“唤醒”，可以使一个真正认识自己和自己所处的世界，认识自己存在的处境、生命的历史和未来的使命，使自己成为一个真正具有自我意识和充满生命希望的人。因此，“校本教研”就是要“唤醒”教师沉睡的研究意识，增强其自我意识，使教师获得一种生命的升华。 79、托福模式的现代化伪装从表面上看，语文试题的争论集中在标准化和客观题上，这似乎属于外部形式范畴，但是从根本上来看，蕴藏着深层的文化观念和思想方法问题。改革不是表面考题形式的变化，而是价值观念的颠覆和重构。潜藏在托福模式下面的思维模式，其特点就是任何事情都有一个绝对正确的、惟一的、标准的、客观的答案。这种答案的正确性是不须要任何因果分析来支持的，与命题者确认的答案哪怕是有微小差异的表述，都是绝对错误的。这种绝对化的思维模式，不仅仅对于人文精神、审美的多元价值是一种背离，而且对于当代科学创造所不可或缺的想像力，也是一种扼杀。但是，它却潜藏在高考这种决定命运的选拔形式的深层，就不能不在青少年的思想深处打上深深的烙印，对于他们的世界观产生长期消极的影响。托福模式曾经使中国根深蒂固的考试传统获得了一副现代化的伪装，十多年来对中国青少年的个性和创造力的扼杀惨烈到什么程度，是很难以某种统计数字来量化的。 80、教学结构无定式随着课型研究的不断深入，各种形式的课堂教学结构应运而生，各种形式的“模式”教学法让人目不暇接。受这种气氛的影响，不少老师的公开课教学都追求一种多变的形式、花哨的结构，总想把课堂教学设计成一件精致的工艺品，在程序的制定和细节的安排上挖空心思，不断翻新，结果弄巧成拙，使得一堂课就像一个绣花枕头，华而不实，收效甚微。其实，结构只是一种外在的框架，并不能反映问题的本质。如果一节课双基教学不扎实，思维训练不到位，教育功能不体现，即使结构再精巧，也只是徒有其表。反言之，就算课堂结构不尽完美，但是较好地体现了知识、能力和觉悟的有机统一，体现了教师为主导、学生为主体和训练为主线的和谐结合，那也不失为一节好课。此外，结构的安排也要因法，如果一成不变，机械通用，必将步入“包装”的误区，就会画虎类犬。 ? 81、美味的咖啡一位女儿对父亲抱怨说，生命是如何痛苦、无助，她想要快乐地走下去，但是她已失去方向。父亲二话不说，拉起女儿的手走向厨房。他烧了三锅水，水滚了后在第一个锅里放萝卜，第二个锅里放蛋，第三个锅里放咖啡。过了一会儿，父亲把锅里的萝卜、蛋捞起来放进碗中，把咖啡倒进杯子里。父亲要女儿摸摸经过沸水烧煮的萝卜，萝卜已被煮得软烂；他要女儿敲碎薄薄的蛋壳，细心观察；最后他要女儿尝尝咖啡，女儿喝着咖啡，闻着浓浓的香味。她问，爸，这是什么意思？父亲解释，这三样东西面对相同的逆境，也就是滚烫的水，反应却各不相同。原本粗硬、坚实的萝卜，在滚水中变软了；蛋原本非常脆弱，薄薄的外壳经过滚水沸腾，蛋壳却变硬了；而粉末似的咖啡在滚烫的热水中竟然改变了水。 “你呢？我的女儿！”父亲慈爱地说：“当逆境来时，你作何反应？你看似坚强的萝卜，但痛苦与逆境来时却变得软弱，失去力量。或者你原本是一颗蛋，有着柔顺易变的心，但却在经历死亡、分离、困境后，变得又倔强又固执。或者你就像咖啡，将那带来痛苦的沸水变成了美味的咖啡，愈沸腾愈美味。我的女儿！你要让逆境摧折你，还是转变逆境，让身边的一切事物感觉更美好？”

微积分(6)函数极限的概念

x x0 ；
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数，只要求充分接近于的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列中的 n 类似，充分接近于的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分大的正数。显然， X 刻画了 x 接近的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ，总可以找到某个正数 X ，使得当 x X 或 x X 时，函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图）。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下结论：定理：函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即

函数极限的定义24种

函数极限的定义24种函数极限是指计算函数值时，这个函数接近某个值的情况。

它的定义有24种，如下：1. 左极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于L。

2. 右极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于M。

3. 对称的极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于N。

4. 在点a上的极限：如果存在L使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ时，f(x)都 > L，那么，f在点a处的极限就是L。

5. 在点a上的右极限：如果存在M使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ 当x→a右时，f(x)都 < M，那么，f在点a处的右极限就是M。

6. 在点a上的对称极限：如果存在N使得对于任意δ>0，当0< |x-a | <δ时，当x→a时，f(x) → N，那么，f在点a处的对称极限就是N。

7. 内极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

8. 内右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

9. 内对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

10. 外极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

11. 外右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

12. 外对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

13. 下无穷极限：当x→-∞ 时，f(x)趋近于L。

14. 上无穷极限：当x→+∞ 时，f(x)趋近于M。

15. 无穷极限：当x→ ± ∞时，f(x)趋近于N。

16. 上渐近极限：当x趋近于a时，f(x)逐渐趋近于L。

17. 下渐近极限：当x取越大值时，f(x) 逐渐趋近于M。

18. 上唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的L。

19. 下唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的M。

1.2极限的定义

1.2极限的定义经济数学⼀、函数的极限1. ⾃变量趋于⽆穷的情形⾃变量趋于⽆穷可分为趋于正⽆穷和负⽆穷，先讨论当x →+∞时，函数的极限。

定义1 设函数a a x f y (),()(+∞=在为某个实数)内有定义，如果当⾃变量x ⽆限增⼤时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为+∞→x （读作“x 趋于正⽆穷”）时函数)(x f 的极限，记作A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f例题求1limx x→+∞ 由图像可知，当x 趋于正⽆穷时，1x趋于零，故1lim x x →+∞＝0定义 2 设函数()y f x =∞在(-,a)(a 为某个实数)内有定义，如果当⾃变量x ⽆限增⼤且0x <时，相应的函数值()f x ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为x →-∞（读作“x 趋⽯家庄财经职业学院于负⽆穷”）时函数()f x 的极限，记作lim ()x f x A →-∞=或)()(-∞→→x A x f例题求1limx x→-∞ 由图像可知，当x 趋于负⽆穷时，1x趋于零，故1lim x x →-∞＝0定义3 设函数)(x f y =在b x >b (为某个正实数)时有定义，如果当⾃变量x 的绝对值⽆限增⼤时，相应的函数值⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为∞→x （读作“x 趋于⽆穷”）时函数)(x f 的极限记作A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f由上述两个例题可知，1lim0x x →∞=，同理可证，21lim 0x x→∞= 定理1当x →∞时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件是当x →+∞时和x →-∞时函数()f x 的极限都存在⽽且相等。

即lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==．2.⾃变量趋于有限值0x 的情形引例对于函数21()1x f x x -=-当1x →时, 21()1x f x x -=-于常数2，此时我们称当x 趋近于1时，函数21()1x f x x -=-的极限为2定义4设函数)(x f y =在点0x 的去⼼邻域内有定义，如果当⾃变量x 在),?(0δxN 内⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某⼀个固定的常数A ，则称A 为当0x x →（读作“x 趋近于0x ”）时函数)(x f 的极限，记作A x f x x =→)(lim 0或)()(0x x A x f →→注意：1.()f x 在0x x →时的极限是否存在,与()f x 在0x 点处有⽆定义以及在点0x 处的函数值⽆关．2.在定义5中, x 是以任意⽅式趋近于0x 的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x 从0x 的⼀侧趋近于0x 时，函数()f x 的变化趋向．例题求23lim x x →由函数图像可知,⽆论x 从哪⼀侧趋近于3时,函数值总是⽆限接近于9,故23lim 9x x →=定义5 设函数)(x f y =在点0x 的左半邻域),(00x x δ-内有定义，如果当⾃变量x 在此半邻域内从0x 左侧⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某个固定的常数A ，则称A 为当x 趋近于0x 时函数)(x f 的左极限,记作A x f x x =-→)(lim 0或0()()f x A x x -→→定义6 设函数)(x f y =的右半邻域)(0,0δ+x x 内有定义，如果当⾃变量x 在此半邻域内从0x 右侧⽆限接近于0x 时，相应的函数值)(x f ⽆限接近于某个固定的常数A ，则称A 为当x 趋近于0x 时函数)(x f 的右极限,记作0lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→函数的左右极限有如下关系:定理2 0lim ()x x f x A →=的充分必要条件是00lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．例题设函数()xf x x=,求()f x 在0x =处的左、右极限,并讨论()f x 在0x =处是否有极限存在.解: 因为当0x <时, ()1f x =-,因此0lim ()1x f x -→=-,⼜当0x >时, ()1f x =,因此0lim ()1x f x +→= 由定理2可知， 0lim ()x f x →不存在。

函数的极限(左右极限)

不等于1）时，函数的变化趋势（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
2 y
1
-1 0 1 x
(2) 结论：自变量 x 从 x 轴上点 x=1 的左右两边无限趋近
x 2 1 于1，函数 y 的值无限趋近于2. x 1
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
x 1 ( x 0 ) 3．考察函数 y (x 0) 0 x 1 ( x 0 )
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2） l i m f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，而 lim f( x ) 、 lim f( x ) 都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单
x x 0 x x 0
x x 0
侧极m f(x) lim f(x) a
x x 0 x x 0
四例析概念,深化理解
例1 当x→ 时，写出下列函数的极限 2 ①y=x2 ②y=sinx ③y=x
④y=5
设C为常数，则
x x0
lim C C
例2 ①
写出下列函数当x→0时的左右极限，哪些有极限？
x (x 0) f ( x ) 0 ( x 0 ) x 2 ( x 0 )
从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的极限是4．记作：l i mx 2
x 2
4
强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．
x 2 1 2. 考察函数 y （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
函数在一点处的极限与左、右极限的定义

高三数学函数的极限

第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
也就是说：当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时，才
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。作文题三十八阅读下面的材料，根据要求作文。
人生，而以怎样的态度，持怎样的价值观，就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观，拟题者并未厚此薄彼，学生亦无需定势思维，完全可以从自己的生活体验出发，以自己的人生判断为尺度，真诚地表达自己要说的话，风行水上，自然成文，就是好文章。作文题三十
四阅读下面的材料，根据要求作文。我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮，电视上几个戏曲节目备受欢迎，书市上古代文化类的图书也在悄悄升温，在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会，也提出

极限重要知识点总结

极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。

数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。

对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。

1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。

在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。

这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。

2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。

在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。

2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。

这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。

2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。

函数极限的定义

数学表述：只要x充分接近x0，(0< x − x0 <δ ) f ( x) − A < ε (ε是一个任意给定的正数).
定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义，如
果存在常数 A，对于任意给定的正数ε,总存在正数δ
使得满足0 < x − x0 < δ的一切 x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A < ε,那末常数 A就叫
函数 f ( x)当 x → x0时的极限,记作
lim f ( x) =
x→ x0
注：(1)
ε反映
A f(
x
或 f ( x) → A(当x )与A的接近程度，
→ x0 )
δ反映在
x无限
接近 x0的过程中， x与x0接近到什么程度就能
使f ( x)与A的距离小于 ε，δ依赖于 ε .
(2)由定义可知极限 lim f ( x) = A存在与否与 x→ x0
x≥0
y
lim f ( x) = lim x = 0
x → 0+
x → 0+
f(x)=-x
f(x)=x
lim f ( x) = lim (− x) = 0
x → 0−
x → 0−
0
x
所以 lim | x |= 0. x→0
x −1 例3. 设 f ( x) = 0 x + 1
x<0 x=0 x>0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
说明

数学中的极限概念及其应用

数学中的极限概念及其应用极限是数学中一种重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。

极限用于描述函数的趋势和变化，解决许多实际问题，并且是微积分的基础概念之一。

本文将首先介绍极限的定义和基本性质，然后探讨它在微积分、数列和级数以及物理学中的应用。

极限可以简单地理解为函数在某个特定点的趋近情况。

具体而言，给定一个函数和一个点，当自变量趋近于该点时，函数的值是否趋近于某个特定值。

数学上，我们用极限符号"lim"来表示，比如lim(x→a)f(x)。

在定义极限时，我们需要考虑函数在该点的左右两侧。

如果当自变量从左侧趋近于该点时，函数的值趋近于某个特定值，我们称之为左极限。

同样地，当自变量从右侧趋近于该点时，函数的值趋近于某个特定值，我们称之为右极限。

只有当左极限和右极限相等时，函数才有极限，否则就是无极限。

极限有许多有用的性质。

其中一个是极限的唯一性，即一个函数在某个点只能有一个极限值。

另一个是极限的保号性，即当函数的极限为正时，函数在该点的右侧值也必须为正。

此外，还有极限的四则运算法则和复合函数的极限法则等。

这些性质使得我们可以通过对已知函数的极限进行简单的计算来获得新的函数的极限。

极限在微积分中扮演着重要的角色。

微积分研究函数的变化和趋势，而极限正是描述函数在某一点的趋近情况。

通过计算函数在特定点的极限，我们可以了解函数在该点的行为，比如函数是否连续或者是否存在切线。

例如，求解函数在某点的导数时，我们可以通过极限的定义来计算函数的变化率。

极限在数列和级数中也有广泛的应用。

数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。

当数列中的元素趋近于某个数时，我们称之为数列的极限。

通过求解数列的极限，我们可以了解数列的增长方式、收敛性以及散度性。

类似地，级数是由一系列项按照一定规律相加而得到的无穷序列。

通过计算级数的部分和的极限，我们可以判断级数的收敛性和散度性。

此外，极限在物理学中也具有重要的应用。

函数的极限函数的连续性

记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a，记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x

x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B

函数的极限函数的连续性

极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数指各；数式型有(极00限和；型），通过变形使得根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4

x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a

函数的极限(定义及性质)

保号性定理
思考与练习
与左右极限等价定理
1. 若极限 2. 设函数
a
lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
？
f (x)
a x2 , x 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
3.
第四节
若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限,
记作
lim f (x) A
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释: 直线 y = A 为曲线
y A
A
A
X O
X
的水平渐近线 .
y f (x) x
两种特殊情况 :
lim f (x) A
0, X 0,当
时, 有
x
f (x) A
函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
lim f (x) A 或
x x0
当
时, 有
y
A
A

y f (x)
x0
x
几何解释
2. 左极限与右极限
左极限 :
f
且A>0, (A<0)
则存在
f (x) 0. ( f (x) 0)
推论若在
的某去心邻域内
则 A 0. (A 0)
f (x) 0 ,且 ( f (x) 0)
思考: 若条件改为