因子分析法详细步骤

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七、因子分析应用实例
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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八、因子分析应用的注意事项
• 应用条件 （1）变量是计量的，能用线性相关
系数（Pearson积叉相关系数）表 示。 （2）总体的同质性
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• 样本量 没有估计公式。至少要保证样本相
关系数稳定可靠。
• 因子数目 一般认为，累积贡献要达到80%以
（factor）
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• e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子 （specific factor）
f和e均为不可直接观测的随机变量
• μ=(μ1,μ2,…,μp)’为总体x的均值 • A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）
（factor loading）矩阵
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通常先对x作标准化处理，使其均值为零， 方差为１．这样就有
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三、因子分析的步骤
• 输入原始数据xn*p，计算样本均值和方 差，进行标准化计算（处理）；
• 求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p；
• 求相关系数矩阵的特征根λi (λ1,λ2,…,λp>0)和相应的标准正交的 特征向量li；
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• 确定公共因子数； • 计算公共因子的共性方差hi2; • 对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地
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• Heywood现象 • 残差矩阵
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五、因子旋转
• 目的：使因子负荷两极分化，要么 接近于0，要么接近于1。
• 常用的旋转方法：
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（1）方差最大正交旋转（varimax
orthogonal rotation）
• 基本思想：使公共因子的相对负荷 （lij/hi2）的方差之和最大，且保持原 公共因子的正交性和公共方差总和不 变。
• x的方差可表示为
设V a r(x i) 1 a i2 1 a i2 2 a i2 m i
h i2a i2 1a i2 2 a i2 m
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（１）hi2是m个公共因子对第i个变 量的贡献，称为第i个共同度 （communality）或共性方差， 公因子方差（common variance）
设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆 矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差 的初始值取为逆相关矩阵对角线元 素的倒数，δi’=1/rii。则共同度 的初始值为(hi’)2=1- δi’=1-1/rii。
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以(hi’)2代替相关矩阵中的对角线上的元素， 得到约化相关矩阵。
(h1’)2 r12 … r1p
上。但要注意Heywood现象。
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谢谢！
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六、因子得分
• Thomson法，即回归法
回归法得分是由Bayes思想导出的，得 到的因子得分是有偏的，但计算结果 误差较小。
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• Bartlett法
Bartlett因子得分是极大似然估计，也是 加权最小二乘回归，得到的因子得分 是无偏的，但计算结果误差较大。
• 因子得分可用于模型诊断，也可用作 进一步分析的原始资料。
解释公共因子；
• 对公共因子作出专业性的解释。
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四、因子分析提取因子的方法
• 主成分法（principal component
factor）
aij jlji
i 1,2,..., p; j 1,2,...,m
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每一个公共因子的载荷系数之平方和 等于对应的特征根，即该公共因子的 方差。
p
j
ai2j
g
2 j
i1
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• 极大似然法（maximum likelihood factor）
假定原变量服从正态分布，公共因 子和特殊因子也服从正态分布，构 造因子负荷和特殊方差的似然函数， 求其极大，得到唯一解。
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• 主因子法（principal factor）
（２）δi称为特殊方差（specific variance），是不能由公共因子解 释的部分
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• 因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与 公共因子fj的相关系数。
•设
p
g
2 j
a
2 ij
i1
j 1, 2,..., m
称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是 衡量公共因子fj重要性的一个指标。
因子分析
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一、前言
• 变量的相关性
公共因子？
• 将多个实测变量转换成少数几 个不相关的综合指数
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二、因子分析模型
一般地，设X=(x1, x2, …,xp)’为可观 测的随机变量，且有
X ii a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
• f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子 （common factor），简称因子
r21 (h2’)2 … r2p
R’= .
. ….
.
. ….
rp1 rp2 … (hp’)2
R’的前m个特征根及其对应的单位化特征向 量就是主因子解。
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• 迭代主因子法（iterated principal factor）
主因子的解很不稳定。因此，常以估计 的共同度为初始值，构造新的约化矩 阵，再计算其特征根及其特征向量， 并由此再估计因子负荷及其各变量的 共同度和特殊方差，再由此新估计的 共同度为初始值继续迭代，直到解稳 定为止。
• 可使每个因子上的具有最大载荷的变 量数最小，因此可以简化对因子的解 释。
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（2）斜交旋转
（oblique rotation）
• 因子斜交旋转后，各因子负荷发生了 较大变化，出现了两极分化。各因子 间不再相互独立，而彼此相关。各因 子对各变量的贡献的总和也发生了改 变。
• 适用于大数据集的因子分析。
x i a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
假定（１）fi的均数为０，方差为１； （２）ei的均数为０，方差为δi； （３） fi与ei相互独立．
则称x为具有m个公共因子的因子模型
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如果再满足（４）fi与fj相互独立（i≠j）， 则称该因子模型为正交因子模型。
正交因子模型具有如下特性：