向量加法运算及其几何意义 PPT课件
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向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
向量加法运算和几何意义
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运 算规则之一，表示两个向量在二维平面上的 合成。
详细描述
根据平行四边形法则，两个向量 $overset{longrightarrow}{A}$和 $overset{longrightarrow}{B}$可以合成一个 向量$overset{longrightarrow}{C}$，其长度 和方向由$overset{longrightarrow}{A}$和 $overset{longrightarrow}{B}$共同决定。具 体来说，$overset{longrightarrow}{C}$的长 度等于$overset{longrightarrow}{A}$和 $overset{longrightarrow}{B}$的长度之和， 而方向则与平行四边形的对角线相同。
05
向量加法的运算性质
向量加法的模的性质
总结词
向量加法的模的性质是指两个向量之和的模 等于两个向量模的和。
详细描述
向量加法的模的性质是向量加法的一个重要 性质，它表明两个向量的和的模长等于两个 向量模长的和。具体地，如果$vec{A}$和 $vec{B}$是两个向量，那么$|vec{A} + vec{B}| = |vec{A}| + |vec{B}|$。这个性质 在解决物理问题、解析几何问题等方面有着 广泛的应用。
向量加法的定义及性质
向量加法的定义
两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的加法定义为平行四边 形的对角线向量，记作$mathbf{A} + mathbf{B}$。
向量加法的几何意义
在平面上，向量加法可以理解为将一 个向量按另一个向量的方向和大小进 行平移。在三维空间中，向量加法可 以理解为将一个向量绕另一个向量旋 转一定的角度。
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
向量加法运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解： 如图，AB表示水流的速度，AD表示小船的速度.由已知得，AB 7.5km/ h, AD 15km/ h, BAD 120.以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 表示小船的实际航行速度，BC AD 15km/ h，ABC 60.延长BA到点E， 使BE BC.又ABC 60，所以三角形BCE是等边三角形.在三角形BCE中， AC是三角形BCE的中线，所以AC BE，从而BAC 90. 在直角三角形ABC 中，AC BCsin 60 15 3 (km/ h).
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
高一数学必修4课件：2-2-1向量加法运算及其几何意义
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
向量加法的实际应用
[例3]
如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根
绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30° ，60° ，求 当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
规律总结：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下 步骤解题： 弄清实际问题 → → → 数学问题 向量运算 → → 正确画出图形 回扣实际问题
用向量表示实际量
→ 作出解答
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶，速度为v1＝ 2 3 km/h，河水流动的速度v2＝2.0km/h，试求小船过河实际 行驶速度的大小和方向．
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
4．设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量 中， → (1)找出与FE共线的向量； → (2)找出与FE相等的向量； → → (3)向量OA与BC相等吗？
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ → → (1)OA，BC (2)BC
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
→ → → 在平行四边形ABCO中， AC ＝ AB ＋ AO ＝a＋a＋b＝2a＋ → → → → b.AD＝2AO＝2a＋2b.而FE＝AO＝a＋b， → → → 由三角形法则得：AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b. → → → → → → → → → → (2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0.
6.2.1向量的加法运算及其几何意义
如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时， 如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法： 三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc
向量的加法运算及其几何意义课件
作平移,首尾连， 作平移,首尾连，由起点指终点
当向量 a ，是共线向量时，a + b 又如何 b是共线向量时， 作出来？ 作出来？
(1) 同向
a
(2)反向
a
b
A a a+b B b C
b
a+b C b A a B
AC = a + b
AC = a + b
规定： + 0 = 0 + a = a a
向量的加法
探究一： 探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
AB + BC = AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB + BC = AC
已知 a = 8, b = 6, 则 a + b 的最大值和最小值是 ___
14 2
数的加法满足交换律与结合律,即对任 数的加法满足交换律与结合律 即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 有 任意向量a,b的加法是否也满足交换律 任意向量 的加法是否也满足交换律 与结合律? 与结合律
∴ tan ∠DAB = 3 ∴ ∠ D A B = 6 0 o
答:船实际行驶速度的大小为 船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角60 o . 方向与水流速度间的夹角 船实际行驶速度的大小为
课时小结 课时小结
１.向量加法的定义 向量加法的两种法则： ２.向量加法的两种法则：
2.1.2向量加法运算及其几何意义
o o
A
答 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30
.
b
a
A
a
O
b
B
ab
三角形法则
两个向量的和仍然是向量，那么它的大小和方向怎样呢？
探究
a， 与 a b 的关系： b
A a b
B
a
b
C
1.由例1知,当a,b不共线时, a b a b 有__________________. 2.当a,b共线时,且
(1)当a与b同向时，
A
a
A1
思考题：
(1)A2A3+OA1;
(2) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
小结
1、向量加法的几何意义；
２、向量加法交换律和结合律； ３、注意：a b a b a b 当且仅当方向相同或相反时取等号.
课本 P101 – 习题 2.2A组1、2、3
验证向量加法交换律
解： 在Rt ABC中，AB | 2,| BC | 2 3 (2) | 2 2 AC | | AB | | BC | |
22 (2 3) 2 4
D
C
2 3 tan CAB 3 2
A
B
CAB 60 .
②（a+b)+c=a+(b+c)
成立
以上两个性质可以推广到任意多个向量
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
A
答 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30
.
b
a
A
a
O
b
B
ab
三角形法则
两个向量的和仍然是向量，那么它的大小和方向怎样呢？
探究
a， 与 a b 的关系： b
A a b
B
a
b
C
1.由例1知,当a,b不共线时, a b a b 有__________________. 2.当a,b共线时,且
(1)当a与b同向时，
A
a
A1
思考题：
(1)A2A3+OA1;
(2) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
小结
1、向量加法的几何意义；
２、向量加法交换律和结合律； ３、注意：a b a b a b 当且仅当方向相同或相反时取等号.
课本 P101 – 习题 2.2A组1、2、3
验证向量加法交换律
解： 在Rt ABC中，AB | 2,| BC | 2 3 (2) | 2 2 AC | | AB | | BC | |
22 (2 3) 2 4
D
C
2 3 tan CAB 3 2
A
B
CAB 60 .
②（a+b)+c=a+(b+c)
成立
以上两个性质可以推广到任意多个向量
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
人教A版必修4第二章《向量》课件 2.2.1向量加法运算及其几何意义
方法与技巧：
5化简下列各式：
1.PB OP OB
2.( AB MB) BO OM
6.对于任一四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是（D）
A. BA AD DC
B. BD DA AC
C. AB BD DC
D. DC BA AD
例1、如图,已知向量a, b, 求作向量a b.
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
学习目标:
1、向量的加法运算，及其几何意义
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量
C
1、位移
AB + BC = AC
A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
r r r r a+ b = b+ a r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )
uuu r r r AC = a + b
当向量a , b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
a b
r r
r
r
u r a o· r r a+ b
A
r b
B
r r r r | a+ b|< | a| + | b|
r r r r 一般地，有 | a + b | < | a | + | b |
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a
数学：2.2.1《向量加法运算及其几何意义》课件(新人教A版必修4)
c f
f g
A
a
cBLeabharlann bC(3)a b d (4)c d e
练一练
如图,已知 a b 用向量加法的三角形法则作出
（1） （2）
ab
b
b
ab
a
b
（3）
ab
（4）
C
a b
B
a
b
b
ab
O
b a
A
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b b a
ab
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a a a 0 （ ）（ ） a
ab
2.零向量和任一向量
3.a b , a b 和 a b 的大小关系如何?
ab
a 的和为什么? a0 0a a
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
a
b a b
B a+b
O
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
两种特例(两向量平行)
a b a
b
C A
A
a b AC
B
C
B
a b AC
方向相同
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以2 3km/h的速度垂直 向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C
A
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
向量加法运算及几何意义
向量加法的向量场意义表明，向量的加法运算可以用于描述物理现象和空间关系。
详细描述
在向量场中，向量表示空间中某点的方向和大小。通过向量的加法运算，可以描述物体在空间中的运动和相互作用。例如，力场中的合力、速度场中的合速度等都可以通过向量的加法运算得到。
向量加法的向量场意义
03
向量加法的性质
VS
向量加法的交换律是指两个向量相加时，交换两个向量的位置，其和向量不变。
详细描述
04
向量加法在实际问题中的应用
力的合成
当一个力产生的效果与多个力共同作用产生的效果相同时，可以将这些力合成为一个力。力的合成可以通过向量加法实现，即平行四边形法则或三角形法则。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力共同作用产生与原力相同的效果。力的分解是力的合成的逆运算，同样可以通过向量加法实现。
几何表示法
字母表示法
向量的表示方法
用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
用黑体字母或加下划线的字母表示向量，如$overset{longrightarrow}{AB}$表示向量AB。
定义：将两个向量首尾相接，形成一个新的向量，称为这两个向量的和，记作$\overset{\longrightarrow}{AB} + \overset{\longrightarrow}{CD}$。
向量加法的结合律
向量加法与数乘的结合律
数乘与向量加法的结合律是指数乘向量与另一个向量相加时，改变相加的顺序，其和向量不变。
总结词
数乘与向量加法的结合律也是基本的数学性质之一，表示数乘与向量加法不满足结合律。即，对于任意实数$k$、向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，有$(koverset{longrightarrow}{a}) + overset{longrightarrow}{b} = k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b})$。
详细描述
在向量场中，向量表示空间中某点的方向和大小。通过向量的加法运算，可以描述物体在空间中的运动和相互作用。例如，力场中的合力、速度场中的合速度等都可以通过向量的加法运算得到。
向量加法的向量场意义
03
向量加法的性质
VS
向量加法的交换律是指两个向量相加时，交换两个向量的位置，其和向量不变。
详细描述
04
向量加法在实际问题中的应用
力的合成
当一个力产生的效果与多个力共同作用产生的效果相同时，可以将这些力合成为一个力。力的合成可以通过向量加法实现，即平行四边形法则或三角形法则。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力共同作用产生与原力相同的效果。力的分解是力的合成的逆运算，同样可以通过向量加法实现。
几何表示法
字母表示法
向量的表示方法
用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
用黑体字母或加下划线的字母表示向量，如$overset{longrightarrow}{AB}$表示向量AB。
定义：将两个向量首尾相接，形成一个新的向量，称为这两个向量的和，记作$\overset{\longrightarrow}{AB} + \overset{\longrightarrow}{CD}$。
向量加法的结合律
向量加法与数乘的结合律
数乘与向量加法的结合律是指数乘向量与另一个向量相加时，改变相加的顺序，其和向量不变。
总结词
数乘与向量加法的结合律也是基本的数学性质之一，表示数乘与向量加法不满足结合律。即，对于任意实数$k$、向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，有$(koverset{longrightarrow}{a}) + overset{longrightarrow}{b} = k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b})$。
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B
C
起连
b
ab
点对 相角
O
ar
同
A
以同一点O为起点的两个向量a, b 为邻边
作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC
就是 a与 b 的和,即 a b OA OB OC
我们把这种作两个向量和的方法叫做向 量加法的平行四边形法则.
对于零向量与任一向量a
ar
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
力F的分解为平行四边形法则.
三角形法则:首尾相接连端点； 平行四边形法则:起点相同连对角.
rr
rr
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法1：u在uur平面r内任uu取ur 一点r O， b
1 a+b < a + b
r ur r ur
2 a+b = a + b
r ur a，b不共线或共线反向 r ur a，b共线且同向
r ur r ur
3 a+b = a - b
r ur
r ur
a，b反向且 a ≥ b
r ur ur r
4 a+b = b - a
r ur
r ur
a，b反向且 a ≤ b
向量加法
AB BC CD DF FA
0
2. O是四边形ABCD对角线的交点,使得
AO OB DO OC 成立的四边形ABCD是 B
A.等腰梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
uuur r uuur ur uuur r
3.有边长为1的正方形ABCD, 设AB = a,BC =b, AC = c
2 r ur r
r ur r ur r ur 结论： a - b ≤ a+b ≤ a + b
r ur
r ur
练习：已知 a = 8, b = 6, 则 a+b 的最大值和
最小值是_1_4_,_2__
多个向量相加的运算法则
两个向量相加有三角形法则,多个向量相加怎么办?
向量求和的三角形法则,可以推广到多个向量 求和的多边形法则:
n个向量经过平移,依次使它们首尾相接,组成一个向 量折线,这n个向量的和等于折线的起点到折线的终点的
向量,即 A0 A1 A1A2 A2 A3 An1An A0 An
A4
A0
An
A3
An-1
A1
A2
思考:
如果非零向量 a, b, c 满足 a b c 0 ,那么以 a,b, c
为有向线段的三条线段能否组成一个三角形?
uuur OC
uuur OA
uuur OB
r a
r b.
O
a
A
ab
b
B
C
练习:P84,第1,2,3题 平行四边形法则
课堂练习
教材rP84页ur 练习u3u.ur
1a+d= ___D_A___
r ur uuur
2c+b= ___C_B___
C
D ur d
r c
O
r
ur
a
b
A
B
课堂练习
向量加 法
教材P84页练习2.
C
AB BC AC
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作是向 量的加法。
思考2：力的合成
F1
G
E
O
C
它们之间有
什么关系？
G
E
F2
F为F1与 F2的合力 G
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
向量加法运算及其几何意义
向量的加法：
a
C
首首
r b
ab
r b
尾指 顺向 次尾
A
相为
a
B 接和
rr
uuur r uuur r
则 | a+b+c |=
2
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
作业布置: P91,第2,4(1)(2)(3)
作 OA a，AB b，
r
uuur r r
a
则 OB a b 。
O
a
Ar b
ab
B
三角形法则
rr
rr
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
uuur r uuur r 作 OA a，OB b，
b
r
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB， a
连结OC,则
课堂练习
教材r Pu8r4页练r习4.
1 a+b = ___c___
r ur r
2c+d = ___f___
r ur r r
3 a+b+c = ___f___
r ur r
ur
4c+d+e = ___g___
ur D
e
E
r
ur g
f
r c
Ar
a
ur d
C
ur b
B
向量加法的运算律
rr
数的加法满足交换律和结合律，那么对任意向量 a, b 的加法
是否也r 满足r 交换r律和r结合律？请画图进r 行探r 索。r r r r
a b b a,
(a b) c a (b c)
向量加法的交换律
向量加法的结合律
D
B
b
r a ab
O
r a
C
b
A
abc
c
bc
A
ab
a
B
C
b
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
D
C
A
B
解: (1)如图, AD表示船速, AB表示水速,
以AD, AB为邻边作平行四边形ABCD,
则AC表示船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
2、（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
课堂练习
教材P84页练习1.
向量加法
1、（1）
ab
b
（2）
a
b
a b
ab
（3） a b
b
a
b
（4） a b
b
a
b
向量加 法
请选用合适符号连接：
r ur
r ur
a+b ____ a + b (<,>,≤,≥,≠)
r ur
非零向量a,b处于什么位置时？
探究
r ur r ur
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。 uuur
uuur
解：(2)在RtABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
uuur uuur uuur
| AC | | AB |2 | BC |2
D
C
22 (2 3)2
4
Q tan CAB 2 3 3 2
A
B
CAB 60o.
既有大小又有方向的 量是否可以相加呢？
两个实数可以相加，从而给数赋 予了新的内涵.如果向量仅停留在概念 的层面上，那是没有多大意义的.我们 希望两个向量也能相加，拓展向量的 数学意义，提升向量的理论价值，这 就需要建立相关的原理和法则.
思考1：位移的合成 如图，某人从点A到点B，再从点B改变方 向到点C，则两次位移的和可用什么来表 示？由此可得什么结论？
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的 夹角为60º。
例题3:
化简：(1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB __M__N____
(3)AB BD CA DC ___0_____
uuur uuur uuur uuur uuur 1.化简 : AB+DF+CD+BC+FA
不一定. 如:
c
a
b
c
b
a
向量加法的平行四边形法则和三角形的区别和联系:
三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边 形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所 有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共 线的两个向量求和.三角形法则和平行四边形法则都是向 量和的基本方法.
练习:P84,第4题
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A, 作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
a b AB BC AC
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
向量的加法：