态和力学量的表象
量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
量子力学中的表象
算符的表象
描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。 设在x表象中，算符 作用于波函数ψ (x,t)后得到一新的波函数
( x, t ) F ( x,i
并设在Q表象中波函数ψ (x,t)和Φ （x,t）分别以{a1(t),a2(t),…,an(t),…} 和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)为 本征函数，则可得
( x, t ) a (t )u (t )d
aλ (t)就是Q表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。 从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表 象的概念与几何学中坐标系的概念类似。 一个特定的Q表象→一个特定的坐标系 本征函数→基矢 波函数是态矢量ψ 在各基矢方向“分量”→坐标分量
) ( x, t ) x
b (t )u ( x) a (t ) F ( x,i x ) u ( x)
n n n n n n
以
乘等式两边，再对整个空间积分，得 bm (t ) Fmn an (t ), (m 1,2, )
n
其中
Fmn um ( x) F ( x,i
w( x, t )dx ( x, t ) dx
2
由c(p,t）可知，粒子动量在p到p+dp之间的概率
w( p, t )dp c( p, t ) dp
2
如果ψ (x,t)所描写的状态是具有动量p’的自由粒子的状态，即 ψ (x,t)=ψ p’(x,t),则
iEp't / c( p, t ) p' ( x, t ) dx p ( x)dx p ' ( x) p ( x)e
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
第四章-表象—态和力学量的表达方式
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
量子力学 态和力学量表象
1 *( x, t)( x.t)dx
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在
?F
bn (t )
Fnm am (t )
m
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
n 1,2,
简写成
写成矩阵形式
b1(t) F11 F12 F1m a1m a2(t)
bn(t)
Fn1
Fn2
Fnm
２ 算符的矩阵表示
（1）力学量算符的矩阵表示 （2）Q 表象中力学量算符F的性质 （3）Q 有连续本征值的情况
（1）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
量子力学 态和力学量的表象
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
态的表象
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
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第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
4.态和力学量的表象
例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：
B表象(vn(x)) ：
当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象
的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符
占2/2
作业
4.1，4.2，4.3
作1/1
例：d势阱
普通的性方程
最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示
Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符
厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵
算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2
Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象
动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数
坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样
量子力学4态和力学量的表象
(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))
态和力学量的表象
r 称为矢量A在球坐标中的表示。
基矢或者说基底有无穷多种取法， 因此一个矢量有无穷多种表示。
4.1 态的表象
4.1.2 波函数ψ ( x , t ) 在Q表象的表示(分立谱) 1、定义 波函数 ψ ( x , t ) 用力学量算符Q的本征函数展开所得到的 全部展开系数组，称为量子态 ψ ( x , t ) 在Q表象的表示。 2、矩阵表示 若
= ∫ dpC ( p, t )C ( p, t )
*
4.1 态的表象
例:自由粒子的波函数 自由粒子的德布洛意平面波是 它在动量表象中的表示是 r
* r p
ψ =
1
(2πh ) 2
3
i r r ( p ′ ⋅ r − E ′t ) h
e
i r r ( p′⋅ r − E ′t ) h
C ( p , t ) = ∫ ψ ( x )ψ d τ = =
ψ ( x ) = ∫ ψ ( x ′ )δ ( x − x ′ )dx ′
可见 ψ ( x )就是波函数在坐标表象 中的表示 。
4.1 态的表象
v 4.1.5 动量表象的波函数——c ( p , t )
ˆ ψ p ( x ) = pψ p ( x ) p
动量表象基底为
ψ p ( x) =
1 2πh
ˆ u ( x) = Q u ( x) Q n n n
n
ψ ( x , t ) = ∑ a n ( t )u n ( x )
∫u
n
* ( x )um ( x )dx = δ nm
a n ( t ) = ∫ u n * ( x )ψ ( x , t )dx
在Q表象中的表示
a n (t ) 是 ψ ( x , t )
态和力学量的表象
.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。
在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。
因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。
本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。
之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。
§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。
(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。
我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。
动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。
这与三维空间中的坐标系类似。
表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。
所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
量子力学专题--态的表象
（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
（2）含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
思考
• 力学量的表象如何表示？即算符在各种表 象下的表示。
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象
章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。
对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质？(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。
（一）.态的表象1．特例动量本征函数组成完全基任意态利用：是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。
2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示：分立本征值：本征函数：是态中测量力学量所得结果为的几率。
为态在表象中的表示。
用矩阵表示：同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系特定表象本征函数（二）态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系：左乘取标积,对积分即：矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。
[证明]即：。
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。
算符在自身表象的矩阵：算符在其自身表象中是一对角矩阵。
如具有连续本征值，本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。
[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数，利用公式(1)(2)(3)二．力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。
§4 态和力学量的表象
1．平均值公式 将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
或简写为
F = Ψ + FΨ
(4.3.4)
2. 本征值方程
F ( x,
∧
h ∂ ) Ψ( x, t ) = λΨ ( x , t ) i ∂x
矩阵形式可由(4.2.7)式中令Φ = λΨ 得出
FΨ = λΨ
(4.3.5)
显示地写出为
F11 F21 M Fn1 M
F12 L F1n F22 L F2n M M Fn 2 L Fnn M L
(4.2.3)
引进记号
Fnm = ∫ u ∗ n ( x ) F (x ,
∧
h ∂ )u m ( x ) dx i ∂x
(4.2.4)
(4.2.3)可写为
bn ( t ) = ∑ Fnma m (t )
m
(4.2.5)
(4.2.5)就是(4.2.1)在 Q 表象中的表示，将它写为矩阵的形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 M =L bn ( t ) Fn1 M L F12 F22 L Fn2 L L F1m L F2m L L L Fnm L L L a1 ( t ) L a 2t ) L M L am ( t ) L M
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
表象( 算符在 Q 表象( Qn, un )的矩阵的特点 厄密算符在 Q 表象中的表示是矩阵 厄密矩阵： 厄密矩阵：m 列 n 行的矩阵元 = n 列 m 行的复共轭
在自身的表象中是对角矩阵—— ——求解薛定谔方程 算符 Q 在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
√
算符的矩阵表示(3/3) 算符的矩阵表示(3/3)
本征值方程
的结果， 利用前面 Φ = F Ψ 的结果，并令 Φ = λ Ψ
上面方程称为久期方程。 ,...， 上面方程称为久期方程。解得一组 λ1,..., λn,...，就是 的本 征值。将 λi 代回方程，就得到相应的本征矢 (ai1,..., ain,...) 征值。 代回方程，
√
量子力学公式的矩阵表述(3/3) 量子力学公式的矩阵表述(3/3)
√
态的表象(2/5) 态的表象(2/5)
例3：续例2 续例2 当 所描写的状态是具有动量 作展开 的自由粒子
用动量的本征函数
在动量表象中，粒子具有确定动量 p' 的波函数是以 在动量表象中，粒子具有确定动量 的波函数是以 p 为变量的 δ 函数 为变量的 动量表象中的坐标算符
在坐标表象中的波函数， 例4： 在坐标表象中的波函数，由方程 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 的波函数是以 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 x' 的波函数是以 x 为变量的 δ 函数 变量的
么正变换的性质
不改变算符的本征值 表象中的本征值方程 中的本征值方程： 在 A 表象中的本征值方程： F c = λ c 表象中 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS, c' = S-1c ，那么 , 如果 F' 是对角阵，即 B 表象是 自身的表象，那么 F' 是对角阵， 自身的表象， 的对角元就是 的本征值 求解定态薛定谔方程的问题就变成对角化哈密顿算符 的问题 不改变矩阵F的迹 不改变矩阵 的迹 表象中 那么矩阵的迹( 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS ，那么矩阵的迹(矩阵对 角元素的和)为 角元素的和)
量子力学公式的矩阵表述(1/3) 量子力学公式的矩阵表述(1/3)
期望值公式
表象( Ψ(x, ) 在 Q 表象(基矢是 un )中 Ψ( t) 及其共轭表示式 算符 的期望值公式
写成矩阵形式(运算次序：从右到左) 写成矩阵形式(运算次序：从右到左)
√
量子力学公式的矩阵表述(2/3) 量子力学公式的矩阵表述(2/3)
定义：由一个表象到另一个表象的变换称为么正变换 定义： 类比： 类比：由直角坐标系到球坐标系的变换
√
么正变换(2/4) 么正变换(2/4)
变换矩阵(么正矩阵) 变换矩阵(么正矩阵) S 用 A 表象的 φ1,φ2,... ,φn 展开 和
利用
和
的正交归一性
利用 那么
和
的正交归一性
变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，变换矩阵不是厄密矩阵 变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，
√
线性谐振子与占有数表象(2/2) 线性谐振子与占有数表象(2/2)
占有数表象
: 的本征值是 n ：在态 为粒子数算符。 称 为粒子数算符。以 在占有数表象中， 在占有数表象中，
√
态的表象(4/5) 态的表象(4/5)
具有分立的本征值 力学量 Q 具有分立的本征值 Qn ，本征函数是 un(x) ；以 ) 及连续的本征值 Qq ，本征函数是 uq(x) 。如氢原子的能量 ) 系数 归一化性质 ：在 描写的态中测量 Q 的结果为 Qn 的概率 ：在 q 到 q + dq 之间的概率 及其共轭仍然可以写为矩阵形式
薛定谔方程
表象( 在 Q 表象(基矢是 un )中，薛定谔方程
写成矩阵形式 ， Ψ 和 H 都是矩阵
问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 是如何转换的？ 是如何转换的？
√
么正变换(1/4) 么正变换(1/4)
么正变换
例：有算符 ，波函数 和 ，以及
力学量 Q 只具有连续的本征值 q ，本征函数是 uq(x) )
与分立本征值的类似 分立的指标换为连续的指标，求和换为积分 分立的指标换为连续的指标， 在 Q 表象中 例： 在坐标表象中的矩阵元
在动量表象中的矩阵元
问题：有了态、算符的矩阵表示， 问题：有了态、算符的矩阵表示，量子力学其它公式的矩阵 表示是什么？ 表示是什么？ √
√
狄拉克符号(1/6) 狄拉克符号(1/6)
问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 狄拉克符号 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 例1：矢量 的表示 ：大小和方向与所选的坐标系无关 以 (0, 0) 为原点： , ) 原点： 以 (a, b) 为原点： , ) 原点： Ψ(x, ) 例2：态矢量 Ψ( , t) 的表示 ：体系状态与所选坐标系无关 A 表象( un(x) )： 表象( ) B 表象( vn(x) )： 表象( ) 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候， 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候，不用具 体的表象， 体的表象，而用狄拉克引用的一套符号 优点 运算简捷： 运算简捷：大大地简化理论表述和运算 可以不考虑具体的表象
√
狄拉克符号(3/6) 狄拉克符号(3/6)
标积 定义矢量 与 的标积
态中， 占的概率(振幅) 在 ϕ 态中，φ 占的概率(振幅) 正交归一 分立谱： 分立谱： 连续谱： 连续谱：
√
狄拉克符号(4/6) 狄拉克符号(4/6)
态矢量 分立谱：任一态矢量 分立谱： 例：态矢量的标积 连续谱： 连续谱：任一态矢量 例：态矢量的标积 和 在 x 表象中的表示分别是 和 用基矢 展开 用基矢 展开
√
么正变换(3/4) 么正变换(3/4)
力学量 的表示的变换 表象中的矩阵元： 算符在 A 表象中的矩阵元： 表象中的矩阵元： 算符在 B 表象中的矩阵元： 态矢量 Ψ( , t) 表示的变换 Ψ(x, ) 表象中： 态矢量在 A 表象中： 表象中： 态矢量在 B 表象中：
√
么正变换(4/4) 么正变换(4/4)
算符的矩阵表示(1/3) 算符的矩阵表示(1/3)
力学量 Q 只具有分立的本征值 Qn，本征函数是 un(x) )
在坐标表象中 在 Q 表象中
问题： 最适当的表示方式？有规律吗？ 问题：这么复杂的东西 = 最适当的表示方式？有规律吗？ 可以用矩阵形式表示
√
算符的矩阵表示(2/3) 算符的矩阵表示(2/3)
√
态的表象(5/5) 态的表象(5/5)
基矢、 基矢、态矢量和希耳伯特空间
基矢 函数展开： 函数展开： 类似于直角坐标系中， 类似于直角坐标系中， 三个方向上的基本单位 称力学量Q的本征函数 矢量 。称力学量 的本征函数 为基矢 在动量表象中， 例：在动量表象中，基矢是动量的本征函数 态矢量 选定特定的Q表象 相当于选取一组特定的基矢。Ψ(x, ) 表象， 选定特定的 表象，相当于选取一组特定的基矢。Ψ( ,t) 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 称态 Ψ 为态矢量 动量表象中， 例：动量表象中，Ψ 在各基矢上分量是 希耳伯特空间 形成三维空间。 类似基本单位矢量 形成三维空间。Q 表象下的一组 基矢(一般是无限个)形成无限维空间， 基矢(一般是无限个)形成无限维空间，称为希耳伯特空间 在动量表象中， 例：在动量表象中，动量的本征函数所张开的动量空间
√
狄拉克符号(5/6) 狄拉克符号(5/6)
算符在具体表象中 算符 将态矢量 变成 在具体的 k 表象中 ，即
例：薛定谔方程
例：力学量期望值公式
√
狄拉克符号(6/6) 狄拉克符号(6/6)