江苏省2020年高考数学 第20题优美解
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2020年高考数学（江苏）第20题优美解
试题
.已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解法1：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴11222
1n n
n n n n
n n a a b b a ++=
+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
。
∴ 2
111n n n n b
b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∴ ()2
2
2
221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。
（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b ∴12 2 12n n n n n ≤+（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2 12= 2a a ≤12log q n >时，112n n a a q += 若01, 1a a >a >q ，∴当1 1 log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，=1q 。∴()1*n a a n N =∈ ，∴11 又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈，∴{}n b 1的等比数列。 若1a ≠ 1 1，于是123b 2 1n n n n n b a b a a ++= + 即1a = ，得11 n b a -。 ∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b 矛盾。∴1a 。 ∴ 1 n b - ∴ 12=a b 解析2 （1）根据题设2 2 1n n n n n b a b a a ++ = +和n n n a b b +=+11 ，求出11n n b a ++=2 2 111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛ ⎫ -= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而得证。 （2）根据基本不等式得到11n {} n a 的公比=1q 。从而得到() 1*n a a n N =∈的结论，再由11 n n n n b b b a += 知{}n b 是公比是 1 a 的等比数列。最后用反证法求出12=a b 解法赏析 主要考查等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法，从题设出发，容易找到解题的思路与方法。