逻辑代数的基本运算

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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 2.2.1 逻辑函数
❖ 一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成的，自变量A,B,C,… 的取值确定以后，因变量Y的值也就唯一确定了。Y称为A,B,C,…的函数。 逻辑函数也是如此，但其变量取值只有0和1逻辑函数的一般表达式可写 为
❖
Y=F(A，B，C，…)
Baidu Nhomakorabea
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同， 则等式成立。
❖ 例2-3 证明反演率 A B AB; AB A B. ❖ 证明:列举A,B的所有取值，并计算出 A B, AB, AB, A B. 。其真值表如表2-13
2.1 逻辑代数
❖ 2.1.3 非运算
❖ 另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情(灯泡)的发生是以 其相反的条件为依据”。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如图23(a)所示。图中E是电源，R是限流电阻。开关A闭合时，灯泡Y不亮;开 关A断开时，灯泡Y则亮。
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2.1 逻辑代数
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2.1 逻辑代数
❖ 在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此 输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。 描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系 的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符 号。逻辑代数中有3种基本运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。 下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。
❖ 真值表如表2-9所示。
❖ 异或逻辑的特点是:输入相同时，输出为0;输入相异时，输出为1。
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2.1 逻辑代数
❖ 4.同或运算 ❖ 逻辑表达式为 ❖ Y AB AB 或者 Y Ae B ❖ 逻辑符号如图2-7所示。 ❖ 真值表如表2-10所示。
(2-7)
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
例2 - 5 Y AB CD应写成Y ( A B)(C D)。 证明：Y AB CD AB CD (A B)(C D)
❖ ②不是一个变量上的“非”号应保持不变 例如：Y ABC D,则Y A B CD
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❖
Y AB
(2-5)
❖ 逻辑符号如图2-5所示。
❖ 真值表如表2-8所示。
❖ 同样从表2-8中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻辑关 系读者可以自己整理一下。
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2.1 逻辑代数
❖ 3.异或运算
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB AB 或者 Y A B
(2-6)
❖ 逻辑符号如图2-6所示。
Y ABC ABC ABC
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中Y为1的输入 变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项 相加，就得到逻辑表达式例如.对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接 写出 Y AB AB。
(2-9)
❖ 与、或、非是3种基本的逻辑运算，即3种基本的逻辑函数。但在实际
的逻辑问题中，往往是由3种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的
运算形式。
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 2.2.2 逻辑函数的表示方法
❖ 逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表 示。其中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形下面说明各方法之间的 转换。
❖ 例2-1 已知逻辑函数的表达式为Y B AC 。要求:列出相应的真值表;已 知输入波形;画出输出波形;画出逻辑图。
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 解:①根据逻辑表达式，画出逻辑图如图2-10所示。 ❖ ②将A,B,C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表2-
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.3.2 逻辑代数的3个规则
❖ 1.代入规则 ❖ 在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等
式仍然成立。 ❖ 例2-4 已知等式A+AB=A，若令Y=C+D代替等式中的A，试证明新等式
(C+D)+(C+D)B=C+D成立。 ❖ 证明:(C+D)+(C+D)B=(C+D)(1+B)=(C+D) ·1=C+D
所示。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 从表2-13可以直接看出反演率 A B AB和AB A B 是成立的。 ❖ 几个常用公式的证明如下。
❖ (1)A AB A
❖ 证明
A AB A(1 B) A1 A (2) AB AB A 证明：AB AB A(B B) A1 A (3)A(A B) A 证明：A( A B) AA AB A AB A (4) A AB A AB AA AB (A A)(A B) 1 (A B) A B
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB
（2-4）
❖ 逻辑符号如图2-4所示。
❖ 真值表如表2-7所示
❖ 从表2-7中可以看出，只有A,B全为1时，Y才为0，与非逻辑和与逻辑正 好相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发
生”。
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2.1 逻辑代数
❖ 2.或非运算
❖ 逻辑表达式为
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
(5) AB AC BC AB AC 证明：AB AC BC AB AC (A A)BC AB AC ABC ABC AB(1 C) AC(1 B) AB AC (6) AB AB AB AB 证明：AB AB AB AB (A B)(A B) AA AB AB BB AB AB
❖ 还原律 ❖ 交换律 ❖ 结合律 ❖ 分配律 ❖ 反演律
A A
AB B A
AB BA
(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC)
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
A B AB
AB A B
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
2.1 逻辑代数
❖ 2.1.2 或运算
❖ 当决定事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足， 结果就会发生时，这种逻辑关系称为或逻辑。如图2-2 (a)所示就是或逻 辑模型电路，图中A,B是两个并联开关，Y是灯泡，E是电源。当A,B均 不通时，则灯泡Y不亮;只要开关A或B有一个接通或两个均接通，则灯 泡Y亮。可以看出，该电路满足或逻辑关系，其逻辑关系如表2-3所示。
其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，如表2-6所示， 从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为:输入。则输出1;输入1则输 出0,即“输入、输出始终相反”。非运算的逻辑表达式可写
❖
YA
(2-3)
❖ 式中，字母A上方的“-”表示非运算在某些文献里，也有用“~”或“﹁” 来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图2-3(b) 所示。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.反演规则 ❖ 对于任意一个逻辑函数Y，如果要求其反函数Y，只要将Y表达式中的所
有“·”换成“+”，“+”换成“·”, “0”换成“1” , “1”换成“0”，原变量 换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数Y的反函数。 ❖ 注意: ❖ ①要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 3.对偶规则 ❖ 对于函数Y，若把其表达式中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换
成“1”换成“0”，就可得到一个新的逻辑函数Y',Y'就是Y的对偶式。
例如：Z A(B C),则Z , A BC; Z A BC,则Z , A(B C ); Z AB AC,则Z , ( A B)( A C); Z A B C,则Z , ABC。
12所示。 ❖ ③根据真值表画出的波形图如图2-11所示。
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 例2-2 已知函数Y的逻辑图如图2-12所示，写出函数Y的逻辑表达式。 ❖ 解:根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下:
Y1 ABC Y2 ABC Y3 ABC ❖ 最后得到函数Y的表达式为
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2.1 逻辑代数
❖ 仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表 达式描述可写为
❖
Y=A+B
(2-2)
❖ 式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用
符号∨, ∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-
2(b)所示。
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2.1 逻辑代数
❖
Y=A·B或Y=AB
(2-1)
❖ 式中的小圆点“·”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的 前提下乘号“·”可以被省略，而写成Y = AB。在有些文献里，用符号∧、 ∩表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所 示。
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2.1 逻辑代数
❖ 2.1.4 几种常见的复合逻辑关系
❖ 与、或、非运算是逻辑代数中最基本的3种运算，任何复杂的逻辑关系 都可以通过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达 式、逻辑符号以及逻辑真值表分别介绍如下。
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2.1 逻辑代数
❖ 1.与非运算
2.1 逻辑代数
❖ 5.与或非运算
❖ 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、 或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图 2-9所示是其等效逻辑电路图
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB CD
(2-8)
❖ 真值表如表2-11所示。
❖ 根据实际需要，可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。
❖ 反演律公式或以推广到多个变量(摩尔根定律)
A B C ABC
❖ 吸收率 A AB A
A AB A B
❖ 其他常用恒等式有：
ABC A B C
A( A B) A ( A B)( A C) A BC
AB AC BC AB AC AB AC BCD AB AC
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2.1 逻辑代数
❖ 2.1.1 与运算
❖ 首先，我们来看一个具体的电路试验，电路如图2-1所示，电源E通过 A,B两个串联的开关给电灯Y供电。
❖ 从图2-1(a)可以看出，只有开关A,B同时闭合，灯泡Y才会亮，A,B中有 一个或两个断开，灯泡Y就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭 合用1表示、断开用0表示，灯泡的亮用1表示、不亮用0表示时，表2-1 的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，表2-2就是该逻辑的真值表。以上 试验说明了这样一种逻辑关系:“只有当一个事件的几个条件全部具备之 后，这个事件才会发生。”这种逻辑关系称为与逻辑与逻辑的表达式可 以用下式来描述:
第2章 逻辑代数的基本运算
❖ 2.1 逻辑代数 ❖ 2.2 逻辑函数及其表示方法 ❖ 2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式 ❖ 2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
❖ 逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是19世纪英国数学家乔治·布尔首 先提出的。所谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁 的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑 函数表达式来描述事物的因果关系。它是用数学的方法来研究、证明、 推理逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和普通代数一样也是用字 母表示变量，但是这两种代数中的变量含义是完全不同的，逻辑代数中 的每个变量(逻辑变量)只有0和1两种取值,0和1不再表示数量的大小，而 是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动机的工作与停 止。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 常用的逻辑代数定律和恒等式如下。
❖ 自等律 ❖ 0-1律
A0 A A11
A1 A
A0 0
❖ 重叠律 ❖ 互补律
A A A AA A
A A 1 AA 0
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式