甘肃省永昌四中2020-2021高二下学期期末考试数学(文)试题

甘肃省永昌四中2018-2019高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,1,3,5,M N M N ==⋂集合则等于 （ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{1,,3 }D ．{1,2,3,4,5}2．计算sin 240︒的值为A ．B ．12-C ．12D 3．为了得到函数1cos3y x =，只需要把cos y x =图象上所有的点的 ( ) A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩小到原来的13倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩小到原来的13倍，横坐标不变4．当输入a 的值为2，b 的值为3-时，下边程序运行的结果是A ．2-B ．1-C ．1D ．25．同时掷两个骰子，则向上的点数之积是3的概率是 A ．136B ．121C ．221D ．1186．在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别是2、3、4，则cos B ∠的值为 A ．78B ．1116C ．14D ．14-7．向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°8．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．649．已知直线的点斜式方程是21)y x -=-，那么此直线的倾斜角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知实数x 、y 满足0{044x y x y ≥≥+≥，则z x y =+的最小值等于 （ ）A ．0B ．1C ．4D ．511．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积．．为A．4B．3C．2D12．.函数3()2f x x =-的零点所在的区间是 A ．(2,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题13．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是 .14．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是__________． 15．若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25f 的值是______. 16．若函数2()25f x ax x =++在(4,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题17．已知函数2(sin cos )y x x =+ ⑴求它的最小正周期和最大值； ⑵求它的递增区间.18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）求证：1AC BD ⊥（2）求异面直线AC 与1BC 所成角的大小.20．某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.21．已知函数1()lg.1xf x x-=+ （1）求()f x 的定义域； （2）证明函数()f x 是奇函数.22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点M （． （1）求圆C 的方程；（2）已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；参考答案1．C 【解析】因为{}13M N ⋂=， ,所以选C. 2．A 【分析】根据三角函数的诱导公式，可得sin 240sin(18060)︒=︒+︒，即可求解. 【详解】由sin 240sin(18060)sin 602︒=︒+︒=-︒=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．A 【详解】为了得到函数1cos 3y x =，只需要把cos y x =图象上所有的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，选A 4．B 【分析】执行程序，根据1a b +=-，即可得到运算的结果，得到答案. 【详解】由题意，当输入a 的值为2，b 的值为3-时，则1a b +=-，此时输出1-，故选B. 【点睛】本题主要考查了程序的运行、计算输出问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．D 【分析】由同时掷两个骰子有36种结果，再列举出点事之积为3所含的基本事件的个数， 根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解.由题意可知，同时掷两个骰子，共有6636⨯=种结果， 其中向上的点数之积为3的有(1,3),(3,1)，共有2中情形， 根据古典概型及其概率的计算公式，可得概率为213618P ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据试验得到基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6．B 【分析】在ABC ∆中，利用余弦定理，即可求解，得到答案. 【详解】在ABC ∆中，由余弦定理可得22222224311cos 222416a cb B ac +-+-===⨯⨯，故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】试题分析：由()()1,2,2,1a b =-=，可得()()1,22,112210a b ⋅=-⋅=⨯-⨯=，所以a b ⊥，故选B ．考点：向量的运算． 8．A 【分析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 故选:A本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．C 【分析】根据直线的方程，求得直线的斜率. 【详解】由题意，直线的点斜式方程是21)y x -=-，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为α，则tan α=[0,)απ∈，所以23πα=，故选C. 【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，以及直线的斜率与倾斜角的求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 10．B 【详解】解：由约束条件0044x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩作可行域如图，由z ＝x +y ，得y ＝﹣x +z ．要使z 最小，则直线y ＝﹣x +z 在y 轴上的截距最小．由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过可行域中的点B 时直线在y 轴上的截距最小． ∵x +4y ＝4在y 轴上的截距为1， ∴B （0，1）．∴z ＝x +y 的最小值等于0+1＝1． 故选B ． 11．B 【分析】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，利用圆锥体的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的高为h =，所以该圆锥的体积为2211133V r h ππ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 12．C 【分析】由函数的解析式，求得()()120f f <，利用零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数3()2f x x =-，可得33(1)1210,(2)2260f f =-=-<=-=>， 即()()120f f <，根据零点的存在定理，可得函数3()2f x x =-零点所在的区间是(1,2)，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 13．8 【分析】根据所给的男教师和女教师的人数,求出总人数,求出男教师所占比例,根据样本容量乘以比例即可得到所求. 【详解】:某校有56名男教师和42名女教师共有教师样本容量为14这个样本中的男教师的人数为故答案为:8. 【点睛】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是知道在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依据. 14．4 【解析】 【分析】由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4，注意等号成立的条件即可． 【详解】∵m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4， ∴由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4， 当且仅当m ＝n ＝2时，取等号， 故答案为4 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 15．15【分析】设出幂函数()f x x α=，（α为常数），把点代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求()25f 的值． 【详解】设幂函数为()f x x α=，因为幂函数的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=，解得：12α=-，于是所求的幂函数为：12()f x x -=，故121(25)255f -===， 故答案为：15. 【点睛】本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法，属于基础题．16．[)0+∞，. 【解析】 【分析】根据函数的解析式，分0a =和0a ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数2()25f x ax x =++在(4,)+∞上单调递增，当0a =时，函数()25f x x =+在(4,)+∞上单调递增恒成立，满足题意；当0a ≠时，则满足014a a>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得0a >，综上所述，实数a 的取值范围是[)0+∞，. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 17．（1）T π=,max 112y =+=（2）[,]()44k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】（1）化简函数为1sin 2y x =+，利用周期的公式以及三角函数的值域，即可求解； ⑵由三角函数的图象与性质，可得222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即可求解函数的单调递增区间.【详解】（1）由题意，函数222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2y x x x x x x x =+=++=+， 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 又由sin 2[1,1]x ∈-，所以函数的最大值为max 112y =+=. ⑵由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得,44k x k k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为[,]()44k k k Z ππππ-+∈. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式、正弦的倍角公式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．（1）n a n =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组11246{434102a d a d +=⨯+=，即可解得11{1a d ==，从而写出通项公式n a n =； (Ⅱ)由题意22n n n nb a n =⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得1(1)22n n T n +=-⋅+．试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==, 可得11246{434102a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得11{1a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=,故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =(Ⅱ)依题意,22n n n n b a n =⋅=⋅,∴12n n T b b b =+++231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅,又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅,两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅ ()1212212nn n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,∴1(1)22n n T n +=-⋅+考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法．19．（1）证明见解析；（2）60度.【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得1AC BD ⊥；（2）连结AD 1、CD 1，可证出四边形ABC 1D 1是平行四边形，得BC 1∥AD 1，得∠D 1AC （或补角）就是异面直线AC 与BC 1所成角．等边△AD 1C 中求出∠D 1AC=60°，即得异面直线AC 与BC 1所成角的大小．【详解】（1）∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥DD 1，∵正方形ABCD 中，AC⊥BD，DD 1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD 1，∵BD 1⊂平面BDD 1，∴AC⊥BD 1；（2）连结AD 1、CD 1，∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB//C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，得BC 1∥AD 1，由此可得∠D 1AC （或补角）就是异面直线AC 与BC 1所成角．∵△AD 1C 是等边三角形，∴∠D 1AC=60°，即异面直线AC 与1BC 所成角的大小为60度.本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及异面直线所成角的大小的求解.20．（1）a=20;b=0.20（2）众数为2.5【解析】试题分析：解：(1)根据频数为100，那么累加可知30+20+10+10+10+a=100 得到a=20; 2分在根据频率和为1，可知0.10+0.20+0.30+0.10+0.10+b=1,b=0.20. 4分(2)根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 8分（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）考点：直方图点评：主要是考查了频数表和直方图的运用，属于基础题．21．（1）（-1,1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用对数真数大于零列不等式求解；（2）利用奇偶性的定义可知函数为奇函数.【详解】 由101x x->+，得(1)(1)0x x -+>, 即(1)(1)0x x -+<，11x ∴-<<，所以()f x 的定义域为（-1,1）.（2）因为1()lg.1x f x x-=+ 所以1111()lg lg()lg ()111x x x f x f x x x x -+---===-=--++ 故函数()f x 是奇函数.本试题主要是考查了函数的定义域和函数奇偶性的运用.22．（1）224x y +=（2）2【分析】（1）由圆C 的圆心在坐标原点，且过点M ，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l 的距离为d ，进而得到点P 到直线l 的距离的最小值为d r -，得出答案.【详解】（1）由题意，圆C 的圆心在坐标原点，且过点M ，所以圆C 的半径为2CM ==，所以圆C 的方程为224x y +=.（2）由题意，圆心到直线l 的距离为d ==所以P 到直线:40l x y +-=的距离的最小值为2d r -=.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。