第1章_1 位置矢量和位移 2014.2.26

故质点的运动方程为 1 3 x x0 v0 t kt 6
当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向 .
dx dy v i j dt dt
v vxi v y j
y
vy
ຫໍສະໝຸດ Baidu v
vx
x
若质点在三维空间中运动, 其速度为
瞬时速率：速度v 的大小称为速率
dx dy d z v i j k dt dt dt
v 2 2 ax a y 加速度大小 a lim t 0 t 2 dv x d x ax 2 质点作三维运动时加速度为 d t d t dv y d 2 y a axi ay j az k ay 2 dt dt 加速度大小 2 2 2 2 d v d z z a ax a y az az 2 dt dt
rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r r r B A
y
yB yA
( xB xA )i ( yB y A ) j
rA
A
r
B
rB
xA xB xB x A
yB y A
o
x
z
x
1.1.3 位移
y
rA
o
A
r
y
B
yB yA
rB
x
rA
A
r
B
rB
xA xB xB x A
yB y A
o
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r rB rA
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
单位时间内的速度增 量即平均加速度
y
A
O
vA
B
vB
a
与 v 同方向 .
v dv a lim t 0 t dt
2）（瞬时）加速度
v a t
x
vA
v
vB
2 dv x dv y dv d r i j 加速度 a 2 dt dt dt dt
v
积分
dv kdt v v0 0
v ln kt v0
v
t
v v0e
kt
速度的方向保持不变， 但大小随时间增大而减
小，直到速度等于零
得
为止（反向？）。
例题分析
一质点沿x 轴正向运动时，它的加速度 v v0 , x x0 . 试求 为 a kt，当 t 0 时， 质点的速度和质点的运动方程. 解
1.3.3 例题分析
1.3.1 直线运动的定义
o
P( x)
x
质点在一条确定的直线上的运动称之为 直线运动. 质点P 的位置矢量为 r xi r xi 质点P 的位移为 dx v i 质点P 的速度为 dt 2 质点P 的加速度为 d x
a
矢量→标量？
o
dx 2 dy 2 dz 2 v v ( ) ( ) ( ) dt dt dt
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 处，其速度大小为
r ( x, y )
的端点
dr （A） dt dr （C） dt
dr （B） dt
（D）
dx 2 dy 2 ( ) ( ) dt dt
1.2.2 加速度（反映速度变化快慢的物理量） 1） 平均加速度
dx v0 at dt
x t x0 0
1 2 x x 0 v 0 t at 2
由直线运动速度公式和位移公式消去时 间参数可得
v v 2a ( x x0 )
2 2 0
例5、设某质点沿x轴运动，在t=0时的速度为v0，其加速度与速 度的大小成正比而方向相反，比例系数为k(k>0)，试求速度随 时间变化的关系式。 解：由题意及加速度的定义式，可知 dv a kv dt 所以 dv kdt 因而
若质点在三维空间中运动
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k
2 2 2 r x y z
4 路程（ s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
位移的大小为
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间 位置的变化, 与路径无关，只 决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量 性和叠加性.
v 与 r 同方向.
2 瞬时速度 当 t 简称速度
0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度， r dr v lim t 0 t dt x y v lim i lim j t 0 t t 0 t 当 t 0 时，dr ds ds v et dt
所以
代入
3 2 2 故质点的运动方程为 r t 2 i 2t 3 j 2
r0 2i 3 j
3 2 2 r t i 2t j r0 2
r0
0
1.3 直线运动
1.3.1 直线运动的定义 1.3.2 直线运动的运动学公式
1.1 位置矢量和位移
1.1.1 参考系和坐标系 1.1.2 位置矢量 1.1.3 位移
1.1.1 参照系和坐标系
1 参考系
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性. 宇宙中的所有物体都处于永不停止的运 动中，这就是运动的绝对性.
2. 坐标系
在确定了参照系之后，为了确切地、定 量地说明一个质点相对于所选参照系的位置， 就得在此参照系上固结一个坐标系. 最常见的是笛卡儿直角坐标系： y P ( x, y, z)
o

x
z 坐标系：参考系的数学抽象.
1.1.2 位置矢量 1 位置矢量 确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 位置矢量, 简称位矢 r .
位置矢量与位移及路程的异同
位置矢量 位 移
状态量
r
过程量
位置矢量与位移都是矢量.
路
位
移 程
矢
量
标
量
位移与路程都是过程量;位移与过程无关， 路程与过程有关
1.2 速度和加速度
1.2.1 速度 1.2.2 加速度
1.2.3 例题分析
1.2.1 速度 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
i 3j (m) 点 2.已知质点在 t 0时刻位于 r0 2 2 v 0 , a 3 i 4 j ( m s ) 处，且以初速 0 加速度 运动. 试求： （1）质点在任意时刻的速度； （2）质点的运动方程. dv 3i 4 j 解 （1）由题意可知 dt 即dv 3i 4 j dt
( 6 ,0 )
o x
（4）前2s内的平均速度为 r ( 2) r ( 0) v 20 1 2 2 2i (18 2 2 ) j 18 j 2 2i 4 j (m s1 ) （5）质点的加速度为 a r 4 j (m s2 )
对其两边取积分有
所以质点在任意时刻的速度为 v 3ti 4tj

v v0
t dv 3i 4 j dt
0
（2）因为质点的速度为 v 3ti 4tj dr 即 3ti 4tj 亦即 dr 3ti 4tj dt dt r t 对其两边取积分有 dr 3ti 4tj dt
r x 2 y 2 z 2
y
r (t1 )
O
P 1 r
r (t2 )
s
P2
r
z r xi yj zk
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
注意
位矢长度的变化 r r 2 2 2 2 2 2 r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
x x(t ) y y(t )
y

r

P
P
z r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
分量式
2 运动方程
o
y (t )

x
y
r (t )
z (t )
z z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
x(t )
f ( x, y, z) 0

（2）已知加速度和初始条件求速度、运动方程的 问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题 在数学上看是典型的积分问题。积分常数的确定常常 需要一些已知条件，即初始条件。初始条件是指问题 给定时刻（通常是t为零的时刻，但也有t不为零的情况） x 质点运动的速度和位置（常用 和 v 来表示）。 0 0
dv 因为 a kt dt
dv ktdt v dv 0 ktdt
0
v
t
所以质点的速度为
1 2 v v0 kt 2
dx 1 2 即 v0 kt dt 2
x
1 2 亦即 dx v0 kt dt 2
t
1 2 取积分有 dx v0 kt dt x0 0 2
y
j、 式中 i 、 k 分别为x、y、z
方向的单位矢量.
r xi yj zk
y j r o i z k x z
*
P
x
位矢r 的值为
2 2 2 r r x y z
位矢 r 的方向余弦
cos x r cos y r cos z r
dt
2
i
1.3.2 直线运动的运动学公式
假定质点沿x 轴作匀加速直线运动，加 速度a 不随时间变化，初位置为 x0 ，初速度 为v0 ，则 dv a dt v t dv adt dv adt
v0 0
v v 0 at
dx 又 v0 at dt
dx v0 at dt
1.2.3 例题分析
1. 已知一质点的运动方程为
x 2t , y 18 2t
2
其中x、y以m计，t 以s计. 求： （1）质点的轨道方程并画出其轨道曲线； （2）质点的位置矢量； （3）质点的速度； （4）前2s内的平均速度；
（5）质点的加速度.
（1）将质点的运动方程消去时间参数t，得 质点轨道方程为 x2 y y 18 ( 0 ,18 ) 2 质点的轨道曲线如图所示 （2）质点的位置矢量为 2 r 2ti (18 2t ) j （3）质点的速度为 2i 4tj vr
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一
时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
运动学的问题一般可以分为如下两类。 （1）已知运动方程求速度、加速度的问题（在曲线 运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是非常 简单的，根据在前面学习的公式，大家可以看到对运 动方程求时间的一阶导数就得到速度，再求一次导数 就得到加速度。再将具体的时间代入到速度和加速 度公式中就可以求得任意时刻的速度和加速度。
y
B
t 时间内 , 质点的平均速度 r x y v i j t t t
或
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
A
r (t)
o
x
v vxi v y j
平均速度
平均速度大小
x 2 y 2 v ( ) ( ) t t