一般二次曲线和一般二次曲面的讨论
推理2.8二次曲线二次曲面归于二次型
2.8 二次曲线 二次曲面 归于二次型在中学阶段的数学学习中，遇到最多的也是很重要的问题要算是“二次”问题了。
如二次式、二次方程、二次函数、二次不等式、二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等，对这些“二次”，我们都作了详尽的讨论，而且还知道了球面方程也是二次的：x 2+y 2+z 2=r 2。
但是你类比了吗？归纳了吗？联想了吗？这些“二次”有什么联系？二次曲线就椭圆、双曲线、抛物线三种吗？除了球面外，还有其他的二次曲面吗？等等。
二次式、二次方程、二次函数、二次不等式的联系我们已经在学习中基本解决。
其中最基本的就是一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c ∈R ，a ≠0），它可以配方、换元改写成ay 2+m=0，相当于作了一次平移变换x+ab2=y 。
于是可以根据a 、m 的符号来讨论该方程根，有也只有三种情况：两个实数根、一个重根、一对共轭虚根，对应于二次函数与x 轴的交点个数依次是2个、1个、0个。
我们对二次曲线的类型也有了初步认识，二次曲线一般是用二元二次方程表示：ax 2+2bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0。
我们也可以通过配方、换元消去二次乘积项，如2x 2+4xy-y 2+4x-2y+3=0配方得：2(x+y+1)2-3(y+1)2+4=0，再换元就可以化简了。
一般地，二元二次方程都可以经过旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 与平移变换⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x ，化简为下列三种形式： 02221=++m y x λλ，02122=+x y λλ，022=+m y λ（021≠λλ）。
根据系数1λ、2λ的正负，又可把二次曲线分成如下九种标准形：其中退化曲线是少了一个变量的曲线，它的种类数就是一元二次方程根的种类数，或者说这几种曲线恰好是一元二次方程根的延拓。
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
二次曲线与二次曲面的对称性与性质
二次曲线与二次曲面的对称性与性质二次曲线与二次曲面是在我们的日常生活中经常出现的数学概念。
它们具有许多独特的对称性与性质，本文将从几何的角度探讨二次曲线与二次曲面的对称性与性质。
一、二次曲线的对称性与性质二次曲线是平面上的曲线，具有与原点对称的特点。
根据方程类型的不同，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆椭圆是一种闭合曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上分别有两个对称中心。
椭圆的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。
2. 双曲线双曲线是一种开放曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上各有两个对称中心。
双曲线的开口方向与长轴有关系 a^2 - b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。
3. 抛物线抛物线是一种开放曲线，其对称轴为过焦点的直线。
抛物线的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物线的上方，开口向下；焦点在抛物线的下方，开口向上。
二、二次曲面的对称性与性质二次曲面是三维空间中的曲面，也具有与原点对称的特点。
根据方程类型的不同，二次曲面可分为椭球、双曲面和抛物面三种。
1. 椭球椭球是一种闭合曲面，其主轴与坐标轴平行。
椭球的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 + c^2 = r^2，其中 a、b 和 c 分别为三个轴的长度，r 为半径。
2. 双曲面双曲面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴平行。
双曲面的形状与焦点的位置有关系，焦点在双曲面的内部，形成一个连续的曲面；焦点在双曲面的外部，形成两个分离的曲面。
3. 抛物面抛物面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴垂直，通常呈现对称性。
抛物面的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物面上方，开口向下；焦点在抛物面下方，开口向上。
三、二次曲线与二次曲面的共同性质除了具有对称性外，二次曲线与二次曲面还具有许多共同的性质。
1二次型理论起源于解析几何中二次曲线
第九章二次型综述1．二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要作一讨论.2．n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲,可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的一一对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此）,而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型））的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积）,具体见下补）.特别是对欧氏空间中实二次型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论）.3．就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题.如刚才所讲,实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集合（亦是对称内积的集合）,F上n 阶对称矩阵的集合是一一对应的,即是同一事物的三种表现形式,可通过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此）,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双线性型（对称双线性函数）,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4．本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等变换法化简、惯性定理是难点.5．简要介绍一下欧氏空间的推广——内积空间与西空间.（略）6．本教材是先定义双线性型（函数）,对称双线性型（函数）,引入与对称双线性型（函数）的关联函数得出二次型定义,好在理论上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及9.2以后的内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的一一对应,通过对称矩阵研究本章所有问题.9.1 二次型一教学思考1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示,特别是其矩阵表示,从而建立n 元二次型与n 阶对称矩阵的对应,用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题,为下面具体讨论C上R上的二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2．本节不从书中介绍,直接给出二次型的定义、表示、标准形等概念,及标准形的化法.二内容要求1．内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换,矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2．要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三教学过程1．二次型及表示（1）定义数域F上n个文字x1,x2, (x)n的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以写成：q(x 1,x 2,…x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n+2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n+2a 23x 2x 3+…+2a 2n x 2x n (Ⅰ) +……+2a 1n n -x 1n -x n (Ⅰ)式称为二次型的一般形式.q(x 1,x 2,…x n )ij jia a ==11nnij iji j a x x==∑∑ (Ⅱ)（2）二次型的矩阵定义 令A=()ij a 是由（Ⅱ）的系数所构成的矩阵.称为二次型（Ⅱ）的矩阵. 二次型（Ⅰ）（Ⅱ）又可表示为（矩阵）形式：q(x 1,x 2,…x n )= (x 1,x 2,…x n )A 12.n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=x TAX. (Ⅲ)定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.(3)可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义 x 1,x 2,…x n 和12,,...,n y y y 是两组文字,系数在数域F 中的一组关系式111112211122.........n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩ （＊）称为由x 1,x 2,…x n 到12,,...,n y y y 的一个线性替换.定理1 n 元二次型q(x 1,x 2,…x n )= x TAX 经（可逆）线性替换（＊）X=CY 变为二次型Y TBY.其中B=C TAC.定义 设A,B ∈M n (F),若存在一可逆矩阵P ∈M n (F),使得B=TP AP ,则称A 与B 合同. 合同关系的性质：① 自反性：∀ A ∈M n (F),A 与A 合同.(∵A=TI AI ). ② 对称性：若A 与B 合同,则B 与A 亦合同.事实上: ∵A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使B=TP AP ∴A=1111()()T T P BPP BP ----=∵1P -可逆.故也.③ 传递性：若A 与B 合同,B 与C 合同,则A 与C 合同.事实上：存在可逆矩阵P ﹑Q 使B=TP AP ,T C Q BQ =∴()()T T T C Q P APQ PQ A PQ == 而PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：①若A 与B 合同,A 为对称矩阵,则B 亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P 使B=TP AP ,∴()T T T T T TT T B P AP P A P P AP B ====,故也. ②合同矩阵有相同的秩.由195 5.2.8.P Th 显（反之不真）. (4)二次型的等价：定义 设q(x 1,x 2,…x n )与'q (x 1,x 2,…x n )是数域F 上两个n 元二次型,若可以通过可逆现线性替换将前者化为后者（此时可互化）则 称这两个二次型等价.定理2：数域F 两个n 元二次型等价⇔它们的矩阵合同. 2．二次型的标准形 引言对二次型,当形式简单时便于讨论,比如解析几何中有？二次曲线,当仅有平方项时,其几何图形便一目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F 上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样,通过（坐标旋转（加平移））可逆线形替代：若能,怎样做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型222123112132233(,,)22285f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形. 22222123112323232123222123223322222123223333222123233(,,)2()()()285()64()2(3)(3)(3)4()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =++++-++++=+++++=+++++-+=++++-作线性替换,即令：1123223333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩⇒11232233323x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则原二次型化为：2221235y y y +-.注：上述方法称为“配方法”,告知任一二次型可化为标准形（当定理3 设)(ij a A =是数域F 上一个n 阶对称矩阵,则总存在F 上一个n 阶可逆矩阵P 使证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯='n c c c AP P (02)1,即A 与对角阵合同.例：将00030360061243040A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角型）. 解：（略）P=21013310223001420103⎛⎫- ⎪⎪⎪-⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30000600800030000TP AP ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 将Th3应用于二次型得：定理4 设q(x 1,x 2,…x n )=11n nij i j i j a x x ==∑∑= x TAX 是数域F 上一个n 元二次型,则总可以通过变量替换12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12n y y P y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 把它化为2211...n n c y c y ++,其中P 为可逆矩阵. 9.2 复数域、实数域上的二次型一 教学思考本节是将一般数域上的二次型的标准形问题具体到复数域、实数域上作深入的讨论,最终得到此二数域上二次型的典型（规范）型,进而得这两类二次型的分类,结果是：C 上二次型典范型由秩唯一决定,所以C 上n 元二次型可按秩分类为n+1类；R 上二次型典范性由秩与符号差决定,所以R 上二次型分类由此二者分为1(1)(2)2n n ++类.本节讨论问题的方法在上节（基础上）——行列同型初变（含同变换）化对称矩阵为对角形的基础上,仍利用讨论矩阵的思想,按上述方法很易讨论而得.但对实二次型典范形式的唯一 性（惯性定理）的证明较繁,本教材用双线性函数反证之,有直接用二次型证之（反证法）.习题中反应求实二次型的秩、符号差（惯性指标等）,用本节方法来讲化为典范型（实为标准型）便知,当然一般方法为初等变换法,特殊形式的可用特殊方法（9.4还有用求特征根法）；求实（复）对称矩阵合同问题亦用初变化为标准[spI I O ⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭、r I O ⎛⎫⎪⎝⎭]型. 二 内容及要求1．内容：复数域、实数域上二次型的典范形式与分类.2．要求：掌握C 、R 上二次型的典范形式及求法,及内容体现的通过对称矩阵讨论问题的思想,实二次型的秩、惯性指标、符号差的求法（本节为化为典范形、实际标准形即可）；下节还将介绍用特征根法.复、实二次型的等价分类. 三 教学过程引言上节我们知道：数域F 上任一n 元二次型1(,,)n q x x =AX X ',都可以通过可逆线性替换X=PY 化为标准形：2211r r y c y c +⋯⋯+.其中r 为二次型的秩.用矩阵语言叙述（等价为）：对()F M A n ∈∀,A A =',则A 合同于一个对角形矩阵D . 1 C 上的二次型：复二次型——复数域上的二次型称为复二次型. 先介绍一个重要定理,由此反映下述结论.定理9.2.1复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.()(),,,,A B Mn C A A B B AB A B ''∈==⇔=则秩秩2．R 上的二次型：实二次型——实数域上的二次型.（1） 实二次型等价的充要条件（⇔实对称矩阵合同的充要条件）.为此：定理9.2.2 设()r A A A R Mn A =='∈秩,,则A 合同于pr pI I O -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭. 平行地定理9.2.3 秩为r 的n 元实二次型都与如下形式的一个二次型等价：(Ⅰ)r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++定理9.2.4 （惯性定理）,设R 上一个n 元二次型等价于两个典范形式： ①r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++（r 为二次型的秩） ②222211P P r y y y y ''++⋯⋯+--⋯⋯-（r 为二次型的秩） 则P P '=.（反证略）定义 一个实二次型的典范形式中,正平方项的个数P 叫做这个二次型的（正）惯性指标（数）,正项的个数P 与负项个数（负惯性指标）p r -的差：()2sp r p p r --=-,叫做这个二次型的符号差.定理9.2.5 两个n 元实二次型等价的充分条件是它们有相同的秩和符号差. 平行地：设B B A A R Mn B A ='='∈,),(，. 则A 与B 合同⇔它们有相同的秩与符号差. （2）n 元实二次型的分类：n 元实二次型按等价分类：由于n 元实二次型的典范形式由秩与惯性指标唯一确定,所以：推论9.2.6：n 元实二次型按等价分类,可分成：()()211++n n 类. 9.3 正定二次型一 教学思考本节研究一类特殊的实二次型——正定二次型.从定义上来讲,正定二次型是将n 元实二次型视为n 元实函数（即nR 上的实函数）,由其函数值分类中的一种；因而由定义判定一个实二次型是否正定相当不易,那么本节在于寻求正定二次型的判定,得到两个判定定理；一个是由秩与符号差（或惯性指标）判定,一个用二次型自身的信息——矩阵的顺序主子式判定,结论方法明确具体,下节还给出一个用特征根判定.所以本节内容易讨论、接受,注意其中反映的一些结论,如可逆线性替换不改变二次型的正定性等. 二 内容和要求1．内容：正定二次型及其判定. 2．要求：掌握有关概念和判定方法. 三 教学过程1．定义 （由于二次型是n 个文字的二次齐次多项式,所以n 元实二次型可象一元多项式那样定义其在某一点的值,即将n 元实二次型看成定义在nR 上的n 元实函数,那么可按它的值的符号分类）. 设()n x x x q ，⋯⋯,,21是一个n 元实二次型,若对任意一组不全为0的实数n c c ⋯⋯1；（1） 如果()01>⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为正定二次型； （2） 如果()01<⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为负定二次型； （3） 如果()10n q c c ⋯⋯≥,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半正定二次型； （4） 如果()10n q c c ⋯⋯≤,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半负定二次型； （5）若()n c c q ⋯⋯1有正、有负,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为不定二次型. 2．正定二次型的判定定理9.3.1 实数域上n 元二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21是正定的⇔它的秩与符号差都等于n （惯性指标为n ）.有时须从二次型的矩阵直接判定,不希望通过典范形式,为此下讨之. 定义 设()()R Mn a A ij ∈=,位于A 的前k 行、前k 列的子式1111kr kka a a a 叫做A 的k 阶顺序主子式.二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21的矩阵的k 阶主子式叫做二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21的k 阶主子式.定理9.3.2 n 元实二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21是正定的⇔它的一切主子式全大于0.9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广——将实二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4节的结论,则此问题解决的具体完满.须注意的是：①此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与前不同,从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根.②顺便得到了判定实二次型是否正定的又一方法（用特征根）. 二 内容、要求1．内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2．要求：掌握上述概念与方法. 三 教学过程：1．主轴问题：实数域上一个n 元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题. 2．问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极379P ）,在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替换不改变向量的度量性质,如在解析几何中一样,用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形,其特点是用正交变换；因而,一般地讨论把一个n 元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题,正是解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态）.3．问题的变通因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问题：n 元实二次型1(,,)n q x x X AX '=N 能否通过正交线性替换化为标准形的问题(),n A M R A A '⇔∈=是否存在正交矩阵U ,使得U AU '为对角形.4．问题的解决（由定理8.4.6） 定理9.4.1设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则可通过正交线性替换X UY =化为2211n n y y λλ++.其中U 为正交矩阵,1,,n λλ为A 的全部特征根.推论：设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则1）二次型的秩等于其矩阵A 的不为0的特征根的个数；而符号差为A 的正特征根的个数与负特征根的个数的差.2）1(,,)n q x x X AX '=是正定的充要条件是A 的所有正特征根为正实数.。
几种常用的二次曲面与空间曲线
建筑设计
在建筑设计中，可以利用二次曲面和空间曲线的形状和特性，设计出具有艺术感和实用性的建筑外观和内部结构。
物理学
力学研究
在力学研究中，可以利用二次曲面和空 间曲线的形状和特性，研究物体的运动 规律和受力情况，为解决实际问题提供 理论支持。
圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向一致。
左旋圆柱螺旋线
左旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向相反。
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线是指沿着圆锥体轴线旋转 的曲线，其形状类似于弹簧。
圆锥摆线
圆锥摆线是指沿着圆锥体母线运动的 曲线，其形状类似于行星轨道。
双曲面
双曲面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个马鞍形。
双曲面可以用方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1，其中a、 b、c分别表示双曲面的三个半轴长度。
双曲面在航天工程、船舶工程等领域有广泛应用，例如卫星轨道设计、飞 机机翼设计等。
二次锥面
01
二次锥面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个锥
03 二次曲面与空间曲线的应 用
几何学
几何形状研究
二次曲面和空间曲线是几何学中重要的研究对象，通过对它们的形状、性质和 分类的研究，可以深入了解几何学的原理和性质。
空间关系分析
二次曲面和空间曲线可以用来描述和分析空间中点、线、面之间的关系，对于 解决几何问题具有重要的意义。
工程设计
机械零件设计
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
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数学分析（1）包括：函数的概念及其性质、确界原理、数列极限与函数极限、连续函数与导数、微分中值定理及其应用、实数集完备性的基本定理。
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二次曲面的形状
二次曲面的形状二次曲面是一个重要的数学概念，在几何学以及数学分析中都有广泛的应用。
本文将介绍二次曲面的形状，并探讨其一些重要特性。
二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是常数，且不全为零。
通过这个方程，我们可以推断二次曲面的形状种类。
根据方程的系数，我们可以将二次曲面分为多种情况：1. 椭圆面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值小于1时，二次曲面呈现为一个椭圆形状。
2. 双曲面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值大于1时，二次曲面呈现为一个双曲线形状。
3. 抛物面：当A、B和C的符号有一个不同，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个抛物线形状。
4. 锥面：当A、B和C有一个为零时，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个尖锥形状。
除了以上情况，二次曲面还可能呈现其他特殊形态，如点、线和平面。
除了形状种类外，二次曲面还有一些重要的特性需要了解：1. 对称性：二次曲面通常具有一些特殊的对称性，如旋转对称性、对称轴等。
2. 曲率：二次曲面在不同点上具有不同的曲率，对于椭圆面和双曲面来说，曲率可以有正和负两种情况。
3. 焦点和直纹：对于椭圆面和双曲面来说，焦点和直纹是其重要特性，可以通过二次曲面的方程来确定。
了解二次曲面的形状和特性，对于解决几何问题、优化问题以及建模等领域都非常重要。
掌握了这些基础知识，我们可以更好地理解和运用二次曲面的相关概念。
总结起来，二次曲面的形状多种多样，可以根据方程的系数判断具体形态。
在研究二次曲面时，我们还需了解其特性，如对称性、曲率、焦点和直纹等。
掌握这些知识，对于深入理解数学和几何学都具有重要意义。
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y 2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§4.8.2 二次曲线与直线的相关位 置
二次曲线的概念
由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0
所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).
注：1. a11 , a12 , a13 不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，交叉项前有2.
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
I2 I2 I2
a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
0 0 0
椭圆型曲线： 抛物型曲线: 双曲型曲线：
2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所 有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C 叫做二次曲线的中心(central point). 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心， 其充要条件是：
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
8.二次型与二次曲面解读
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程一、引言二次曲面是解析几何中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学等学科中。
本文将探讨二次曲面的标准方程及其基本性质。
二、二次曲面的定义二次曲面是由二次函数所描述的曲面。
在三维空间中，一般可以表示为一个二次方程，即Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0三、二次曲面的分类二次曲面可以分为三类：椭圆面、抛物面和双曲面。
它们的标准方程分别为：1. 椭圆面椭圆面是一个封闭的曲面，其标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别为椭圆长轴、长半轴和短半轴的长度。
2. 抛物面抛物面是一个开口朝上或朝下的曲面，其标准方程为z = Ax^2 + By^2其中，A和B为常数，决定了抛物面的形状和方向。
3. 双曲面双曲面有两个分支，其标准方程可以分为两种形式：（1）椭圆双曲面：(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为常数，决定了椭圆双曲面的形状。
（2）双曲抛物面：z = (x/a)^2 + (y/b)^2其中，a和b为常数，决定了双曲抛物面的形状。
四、二次曲面的性质二次曲面具有多种有趣的性质，以下列举其中几个典型的性质：1. 对称性二次曲面通常具有一定的对称性，可以分为关于x轴、y轴、z轴、原点等不同的对称性。
2. 交点与切线二次曲面与坐标轴的交点，即截距，可以通过将某一坐标设为0求解得到。
而在交点处，二次曲面的切线与坐标轴平行。
3. 焦点与准线对于椭圆面和双曲面，其焦点和准线是重要的概念。
焦点是指到其上任意一点距离差的长度之和为常数，准线则是过焦点的直线。
4. 焦点和直径对于椭圆面，焦点和直径是有着紧密联系的。
直径是通过椭圆中心并且两端都在椭圆上的线段，它的中垂线过焦点。
五、应用示例二次曲面的标准方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面以一个简单的实例来说明：一个椭圆形的太阳能反射镜可以通过椭圆面的标准方程来描述。
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
空间解析几何中的二次曲线与曲面
空间解析几何中的二次曲线与曲面空间解析几何是研究平面和空间中点、直线和曲线的位置关系、性质及其运动规律的数学分支。
在空间解析几何中，二次曲线与曲面是非常重要的概念。
本文将就空间解析几何中的二次曲线与曲面展开讨论。
一、二次曲线二次曲线是指平面上的方程为二次形式的曲线，可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1. 椭圆椭圆是二次曲线中最常见的一类，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$其中$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线双曲线也是常见的二次曲线，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$或$\dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲线有两支，分别沿着$x$轴向两侧无限延伸。
3. 抛物线抛物线是一种特殊的二次曲线，其方程一般表示为：$y^{2} = 2px$或$x^{2} = 2py$其中$p$表示抛物线的焦点到准线的距离。
二、二次曲面二次曲面是指空间中的方程为二次形式的曲面，可分为椭球面、双曲面、抛物面和圆台面四类。
1. 椭球面椭球面是一类二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$其中$a$、$b$和$c$分别表示椭球面在$x$、$y$和$z$轴上的半长轴。
2. 双曲面双曲面也是常见的二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$或$\dfrac{z^{2}}{c^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲面有两部分，分别向上和向下打开。
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。
其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。
§4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。
因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。
4.1.1平面直角坐标平移设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出：x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩ （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。
这种坐标变换叫做平移。
如果用旧坐标表示新坐标，那么有x x x y y y '=-⎧⎨'=-⎩ （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。
x'x图4-1-1例1 用平移化简22490x x y --+=，并画出它的图形。
解 原方程可以移项、配方成 2(1)4(2)x y -=-将原点O 移到(1,2)O '，即作平移：12x x y y '=-⎧⎨'=-⎩那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成24x y ''=。
二次曲面双曲面反射
二次曲面双曲面反射双曲面反射是指当光线从一个焦点射入双曲面后，通过双曲面的反射规律而发生折射的现象。
双曲面是二次曲面的一种特殊情况，其具有两个相互分离的焦点。
在讨论双曲面反射之前，我们首先需要了解二次曲面和焦点的概念。
二次曲面是由一个二次方程定义的曲面，它的方程形式为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。
二次曲面可以是椭球面、双曲面、抛物面等不同的形状。
焦点是与曲线或曲面有一定关系的特殊点。
在二次曲面中，如果一个焦点处的光线平行于曲面的法线射入曲面，那么它将被曲面反射后通过焦点。
这种现象称为曲面反射。
双曲面是二次曲面的一种形式，它具有两个焦点。
对于一个双曲面，如果一束平行光线射入双曲面，它们将会分别反射，并通过双曲面的两个焦点。
这种现象被称为双曲面反射。
关于双曲面反射的理论可以从几何光学的角度进行分析。
根据几何光学的原理，光线在空间中传播的路径是沿着一条遵循反射定律的轨迹。
反射定律表明入射角等于反射角，即入射光线与曲面的法线之间的夹角等于反射光线与曲面的法线之间的夹角。
对于双曲面反射，如果我们将光线从一个焦点射入曲面，那么根据反射定律，反射光线将通过另一个焦点。
这是因为双曲面的形状使得光线的反射角和入射角相等，从而产生了这种特殊的反射现象。
双曲面反射不仅在几何光学中有着重要的应用，还在无线通信和声音传播等领域中起着重要作用。
例如，在抛物面天线设计中，双曲面反射可以帮助将信号聚焦到特定的方向，从而提高信号覆盖范围和传输质量。
另外，在声学中，双曲面反射也可以用于调整声音的传播路径，实现声音的定向传播和聚焦。
总之，双曲面反射是指光线从一个焦点射入双曲面后，通过双曲面的反射规律而发生折射的现象。
这种现象可以通过几何光学的原理来解释，并在各个领域中有着广泛的应用。
二次曲线的一般理论课件
焦准距
焦半径
二次曲线上的任意一点到焦点的距离 称为焦半径，它等于该点到准线的距 离。
二次曲线上的焦点到准线的距离称为 焦准距，它是常数。
04 二次曲线的切线
二次曲线的切线定义
切线定义
切线是与二次曲线在某一点相切 的直线，该点称为切点。
切线的几何意义
切线是唯一一条与二次曲线在切 点处既相切又垂直的直线。
详细描述
二次曲线的一般方程为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其 中A、B、C、D、E、F为常数，且A、C不同时为0。这个方 程描述了一个平面上的二次曲线，其中x和y是平面上的坐标， A、B、C、D、E、F是常数。
二次曲线的性质
总结词
二次曲线具有一些重要的性质，如对称性、中心性、离心率等。
详细描述
二次曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴或原点对称。此外，二次曲线还有 一个中心，即曲线的离心率指向一个固定点（称为焦点）。离心率决定了曲线 的形状和大小。
二次曲线的分类
总结词
根据不同的分类标准，二次曲线可以分为不同的类型。
详细描述
根据形状和开口方向，二次曲线可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型。根据焦 点个数，二次曲线可以分为单焦点和双焦点二次曲线。此外，根据对称性，二次 曲线还可以分为中心对称和非中心对称二次曲线。
二次曲线的一般方程的推导
总结词
二次曲线的一般方程的推导基于多项式和代数的基本原理，通过将二次曲面进行参数化，可以得到一 般方程。
详细描述
推导二次曲线的一般方程通常采用参数化的方法，将二次曲面表示为参数t的函数 (x(t), y(t), z(t))，然 后通过代入和整理得到一般方程。这个过程需要一定的代数和微积分知识。
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第四章 一般二次曲线和一般二次曲面的讨论习 题 4.1 空间直角坐标变换1.简答题.1. 已知一点(3,1,2)M -. 若点M 为平移后的新坐标系的原点, 试求: (1) 旧坐标系原点在新坐标系中的坐标; (2) 点(4,2,0)A 在新坐标系中的坐标;(3) 点A 关于坐标原点的对称点在新坐标系中的坐标.解: (1) 旧坐标原点的新坐标为(3,1,2)--; (2) 点A 的新坐标为(1,1,2); (3) 点A 的对称点在旧坐标系中的坐标为(4,2,0)--, 在新坐标系中的坐标为(7,3,2)--2. 将坐标原点平移到点0(1,2,3)M 处, 试变换下列方程. (1) 35610x y z -+-=; (2)123342x y z ---==; (3) 222789190x y z xy yz xz x y z +++++---+=.解: 移轴公式'1,'2,'3x x y y z z =+=+=+. 在移轴变换下, 方程(1)变为3'5'x y -6'100z ++=; 方程(2)变为'''342x y z ==; 方程(3)变为222'''''''''x y z x y x z yz +++++ 60-=. 3. 已知转轴后的新坐标系的三个坐标向量为122'(,,)333i =-, 212'(,,)333j =-,221'(,,)333k =-, 试求转轴公式和点(1,1,0)M -在新坐标系中的坐标.解: 转轴公式为122''',333212''',333221''',333x x y z y x y z z x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩点M 在新坐标系中的坐标为(1,1,0)-.4. 由坐标系{;,,}O i j k 经转轴变为新坐标系{;',','}O i j k , ',','i j k 在原系{;,,}O i j k 中的分量分别为1111'(,'('(,2222i j k ===--.已知向量v 在{;,,}O i j k 中的分量为(1,1,1)-, 求它在{;',','}O i j k 中的分量.提示: v i j k =-+,且11'''22i i j k =-, 11'''22j i j k =-, 'k ='. 故v 在{;',','}O i j k中的分量为. 5. 已知相互垂直的三条直线123:,:,:,02yl x y z l x z l x z y =====-=-, 试求以这三条直线为新坐标轴的坐标变换公式.提示: 三直线相交于点(0,0,0). 取三直线的方向向量, 要求构成右手系并将它们单位化, 这样便得到新坐标系的三个坐标向量. 坐标变换公式为''','','''.x x y z y x y z x y ⎧=++⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩6. 试将方程2250x y z +++=用适当的坐标变换变为'0x =.提示: 作平移''1,''1,''1x x y y z z =-=-=-, 将原方程变为2''''2''0x y z ++=, 取它的法向量212(,,)333n = 作为'x 轴的方向, 即令'i n = . 取垂直于'i 的任意单位向量作为'j ,例如'j =,再令'''()636k i j =⨯=--. 经坐标变换2'''1,31''1,332''' 1.326x x y z y x z z x y z ⎧=+--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=---⎪⎪⎩已知平面方程变为'0x =. 2.选择题1. 在平移变换下, 一点的旧坐标为(3,2,1), 而新坐标为(1,4,2)-, 试求平移变换公式2 已知点(1,2,3)A -平移后在新坐标系的'''x O y 平面上, 点(3,1,2)B 在'''y O z 平面上, 点(4,0,1)C 在'''z O x 平面上, 试求满足上述条件的移轴公式3利用平移化简方程22244430x y z x y z +-----=,4利用绕轴旋转消去曲面方程22z x xy y =++习 题 4.2 利用转轴化简二次曲面方程1.简答题1. 试求二次曲面22211223312132314243444(,,)2222220F x y z a x a y a z a xy a xz a yza x a y a z a =+++++++++=在移轴变换000',','x x x y y y z z z =+=+=+下的新方程.解:略2. 求下列二次曲面特征方程的特征根.(1) 22233222630x y z yz x y z ++---++=;(2) 2222522421416240x y z xy xz yz x y z ++-+-+-+=; (3) 2224430x y z xy yz +++--=;(4) 222444224320x y z xy xz yz x +++++-+=. 解: (1) 特征方程3271480λλλ-+-+=的特征根为1,2,4; (2) 特征方程329180λλλ-+-=的特征根为6,3,0; (3) 特征方程323950λλλ-+++=的特征根为5,1-,1-; (4) 特征方程3260λλ-+=的特征根为0,0,6. 3. 试求下列曲面的主方向.(1) 222225224420x y z xy x y z +-+---+=;(2) 2225622690x y z xy xz yz x ++--+-+=;(3) 222788882161450x y z xy xz yz x y --+---+-=.解: (1) 特征根11λ=对应的主方向为1:(1):0-,特征根23λ=对应的主方向为1:1:0, 特征根35λ=-对应的主方向为0:0:1.(2) 特征根为6,3,2-, 对应的主方向分别为(1):1:2-,1:(1):1-,1:1:0;(3) 特征根为9,9-,9-, 对应于特征根9的主方向为4:1:(1)-, 对应于二重特征根9-的主方向为平行于平面40x y z +-=的一切方向.4. 用旋转变换化简下列方程, 并写出坐标变换公式. (1) 22225544810x y z xy xz yz +++---=; (2) 222332220x y z yz x ++---=;(3) 222585484270x y z xy xz yz +++-+-=;(4) 222494612481240x y z xy xz yz x y z ++-+-+-++=.解: (1) 二次曲面的特征根为1,1,10. 与二重特征根1对应的主方向平行于平面2x y +20z -=, 可选取111::2:(1):0l m n =-, 222::2:4:5l m n =. 与特征根10对应的主方向333::(1):(2):2l m n =--. 经旋转变换1'32'320'3x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 原方程化简为222''10'1x y z ++=;(2) 二次曲面的特征根为1,2,4, 对应的主方向分别为1:0:0, 0:1:1, 0:(1):1-, 经绕x 轴的旋转变换','','',x xy y zy y z⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩曲面方程化简为222'2'4'2'20x y z x++--=;(3) 曲面的特征根为9,9,0, 简化方程为229'9'270x y+-=或22''3x y+=, 坐标变换公式为2''',31'',32''';3x x y zy y zz x y z⎧=++⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=+⎪⎩(4) 曲面的特征根为0,0,14,简化方程为214''40z++=或2'2)0+=. 坐标变换公式是''0'x xy yz z⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设空间任一点(,,)M x y z经旋转变换后的坐标为(',',')x y z, 证明:222222'''x y z x y z++=++.证明:略6. 已知曲面方程为22(2)()x y z x y z y z++---=-,试判断它是什么曲面.解: 考虑三个平面1:20x y zπ++=,2:0x y zπ--=,3:0y zπ-=, 它们两两垂直且交于点(0,0,0). 以三平面的法向量作为新坐标系的三个坐标轴的方向向量, 得坐标变换为''',''' x x x xy y y yz z z z⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝;从而曲面在新坐标系中的方程为22')')'-=, 即22'''126x y-=,故曲面是双曲抛物面.习题 4.3 二次曲面分类1.简答题化简下列二次曲面方程为标准形式, 并指出曲面形状.1. 22256224812140x y z xy xz yz x y z++-+--+-+=;2. 22222342246230x y z xy xz yz x y z+++++-+-+=;3. 222252242210210x y z xy xz yz x y z++--++---=;4. 222422410x y z yz y z--+-++=;5. 22292662260x y z xy xz yz x y z++-+--+-=;6. 2220y xy xz yz x y-+-+-=.解: 1. 简化方程2226'3'2'60x y z+-+=, 标准方程222'''1123x y z+-=-,双叶双曲面.2.简化方程2222'5''0x y+-=, 标准方程222'z=,椭圆抛物面.3. 简化方程223'6'60x y+-=, 标准方程22''12x y +=, 椭圆柱面.4.简化方程224'2''x y -=, 标准方程222'84z =, 双曲抛物面.5.简化方程211''0x -=, 标准方程21''11x =,其中'''11x x =-, '''y y =,'''z z =, 它表示二平行平面.6. 标准方程223''0x y -=, 二相交平面.习 题 4.4 二次曲面的不变量1简答题1. 利用不变量求下列二次曲面的简化方程, 并指出它表示什么曲面.(1) 22244430x y z xy xz yz +++---=;(2) 222248414414160x y z xy xz yz x y z -++----++=; (3) 222252242210210x y z xy xz yz x y z ++--++---=; (4) 2224234464820x y z xz yz x y z +++-++++=; (5) 222444224320x y z xy xz yz x +++++-+=; (6) 2225588440x y z xy xz yz ++---=.解: (1) 312450,3,90,150I I I I =≠==-<=-<. 特征根为5,1-,1-.简化方程25x - 2230y z --=(略去撇号,下同), 旋转双叶双曲面;(2) 3124540,0,270,0I I I I =≠==-<=. 特征根为6,3-,3-.简化方程2263x y --230z =, 二次锥面;(3) 342120,180,9,108I I I I K ===>==-. 特征根为3,6,0. 简化方程2236x y +60-=, 椭圆柱面;(4) 34210,162,18,9I I I I ==-==. 特征根为3,6,0. 简化方程223660x y z +-=(或223660x y z ++=), 椭圆抛物面;(5) 342210,288,6I I I K I ====-=. 特征根为6,0,0.简化方程260x -=(或260x +=), 抛物柱面;(6) 342120,18,81I I K I I =====. 特征根为9,9,0. 简化方程22990x y +=, 直线 2. 问d 为何值时, 方程2242460y xz x y z d ++-++=表示一个锥面? 解:略3. 已知二次曲面的不变量340,0I I =≠, 证明240I I <. 证明:略4. 已知二次曲面的不变量2340I I I ===, 证明: 若20K ≠, 则120I K <. 证明:略.5. 求曲面222(2)(2)(2)1a x yz b y xz c z xy +++++=,0abc ≠是旋转曲面的条件. 解:1I a b c=++,22222221[()()()]2I ab ba ca a b c a b b c c a =++---=--+-+-0≤,3333123I abc a b c I I =---=⋅,43I I =-. 特征方程是321230I I I λλλ-+-+=, 即212()()0I I λλ-+=.特征根为1123,I λλλ===由不变量表示二次曲面的简化方程可看出, 二次曲面为旋转曲面的条件是特征根有非零重根. 据此, 需20I <(即,,a b c 不全相等), 且12λλ=或13λλ=. 而21213122222()0,I I a b c a b c ab bc ca ab bc ca λλλλ==⇔=-⇔++=++---⇔++=或 因此原方程表示旋转曲面的条件是0ab bc ca ++=6. 证明二次方程(,,)0F x y z =表示圆柱面的条件是340I I ==, 2124I I =,120I K ⋅<.证明: 若(,,)0F x y z =表圆柱面, 则标准方程为2222220,0,0K Kx y I I λλλλ++=≠⋅<.此时340I I ==, 120I λ=≠, 220I λ=>且2124I I =, 并且220K I λ⋅<可推得120I K <. 反之, 若340I I ==, 2124I I =, 120I K <, 则特征方程为32120I I λλλ-+-=, 即212()0I I λλλ-+=, 它的一个特征根为0, 又2120I I λλ-+=有重根, 因判别式21240I I -=. 记二重特征根为1λ, 显然11102I λ=≠, 于是我们有标准方程2221120K x y I λλ++=. 又由20I >和120I K <知, 它表示圆柱面.7. 就k 的值讨论二次曲面2224946121616328kx y z xy xz yz x y z +++++++-+0=的形式.解:2231240,13,13(1),78(1)I I k I k I k ==+=-=-⨯-. 特征方程为321I λλ-+- 20I λ=, 即212()0I I λλλ-+=, 记特征根为123,,λλλ, 其中10λ=, 23,λλ满足方程2120I I λλ-+=, 于是2313k λλ+=+,2313(1)k λλ=-.(1) 当1k >时, 23,λλ同号, 420,0I I <>, 曲面为椭圆抛物面; (2) 当1k <时, 23,λλ异号, 420,0I I ><, 曲面为双曲抛物面; (3) 当1k =时, 3420I I I ===, 20K <,114I =, 曲面为抛物柱面.习 题 4.5 二次曲面的中心与渐近方向1.简答题1. 求下列二次曲面的中心.(1) 2222622620x y z xy xz yz x y z ++++-+--=; (2) 222599126123670x y z xy xz x z ++--+-+=; (3) 222494126841250x y z xy xz yz x y z ++-+-+-+-=; (4) 222259106302250x y z xy xz yz x y ++-+----=. 解: (1) (1,1,1)-; (2) 中心直线2321x y z -==; (3) 中心平面2320x y z -++=; (4) 无中心.2. 求下列二次曲面的渐近锥面.(1) 22237430x y xy xz x y ++---+=; (2) 2370x xy xz x +--=.解: (1) 中心为(0,1,2)-, 渐进锥面方程为22237420x y xy xz x y ++---+=; (2) 中心直线370,0.y z x --=⎧⎨=⎩中心直线上点的坐标为(0,37,)t t +, 因此渐近锥面的方程为(,3,)0x y t z t Φ--=, 即(37)0x x y z +--=, 它是原二次曲面3. 求二次曲面族2221()0ax by cz z x y d λμ++-++-=的中心的轨迹方程, 其中,,,a b c d 是常数, 且0abcd ≠, 又,λμ为参数.解: 由中心方程组0,20,20,222ax z by z d x y cz λλμλλμλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++-=⎪⎩消去,λμ得2222()24d ad a x by cz -+-=.(1) 当,,0a b c >时, 中心的轨迹是以(,0,0)2d为中心的单叶双曲面, 其虚轴平行于z 轴;(2) 当,0,0a b c ><时, 所求轨迹是以(,0,0)2d为中心的椭球面; (3) 当0,,0a b c ><时, 轨迹是以(,0,0)2d为中心的单叶双曲面, 其虚轴平行于y 轴.习 题 4.6 二次曲面的径面1.简答题1. 求下列二次曲面的奇向.(1) 2225222244440x y z xy xz yz y z ++-+---+=; (2) 22294911840360x y z xy yz --+--=;(3) 22242444480x y z xy xz yz x y z +++----+=.解: (1) 0:1:1; (2) 无奇向; (3) 平行于平面20x y z +-=的方向都是奇向.2. 已知曲面2226964230x y z xy xz y +++---=, 求平行于平面350x y z +-+=的径面和与它共轭的方向.解: 径面方程为310x y z +--=, 与之共轭的方向是2:(1):5-.3. 求下列二次曲面的主方向和主径面, 写出曲面的简化方程以及所使用的直角坐标变换.(1) 2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=; (2) 22290xy xz yz +++=;(3) 222222350y xy yz xz x y z --+++--=解: (1) 与特征根6对应的主方向为1:1:2-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=; 与特征根3对应的主方向为1:(1):1-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=; 与特征根2-对应的主方向为1:1:0, 与它共轭的主径面为0x y +=. 曲面的简化方程是2226'3'2'x y z +-10+=, 双叶双曲面. 使用的直角坐标变换为'''1,'''1,''1;x x y z y y z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=++⎪⎩(2) 与特征根2对应的主方向1:1:1, 与它共轭的主径面为0x y z ++=; 与二重特征根1-对应的主方向为平行于平面0x y z ++=的一切方向, 于是过曲面中心(0,0,0)且垂直于0x y z ++=的一切平面皆为主径面. 曲面简化方程为222''2'90x y z --++=, 旋转单叶双曲面. 使用的直角坐标变换为''0'x xy yz z⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝;(3) 与特征根3对应的主方向为1:(2):-, 与它共轭的主径面为24210x y z-+-=; 与特征根1-对应的主方向为1:0:(1)-, 与它共轭的主径面为2250x z--=; 与特征根0对应的主方向为1:1:1. 曲面的简化方程是223''20x y--=, 双曲柱面. 使用的直角坐标变换为2''',31'',67'''.6x x y zy x zz x y z⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=+-⎪⎩.4. 证明: 过中心二次曲面的中心的任何平面都是径面证明: 设中心曲面方程为(,,)0F x y z=, 则123(,,)0,(,,)0,(,,)0F x y zF x y zF x y z=⎧⎪=⎨⎪=⎩有惟一解, 即曲面的中心. 方程123(,,)(,,)(,,)0XF x y z YF x y z ZF x y z++=(其中,,X Y Z是不全为零的任意实数)表示过中心的任意平面, 它恰是共轭于方向::X Y Z的径面方程, 所以过中心的任意平面一定是中心曲面的径面..5. 求下列三次二次曲面的公共径面:22224110x y z x y++-+-=,2342650y xy xz z+-++=,222632484450x y z xy xz x y-++--+-=.解: 三个曲面都是中心曲面, 因3I都不为零. 它们的中心分别是(1,2,0)-,(3,2,4)--, (1,0,2)--. 这三点确定的平面方程为2340x y z+++=就是所求的三个已知曲面的公共6 二次曲面通过点(0,0,0),(1,1,1)-,(0,0,1), 并且主径面是下列三个平面:0x y z ++=,20x y z --=,10y z -+=, 求这个曲面的方程.解: 二次曲面的三个主径面两两垂直, 说明曲面是中心曲面. 将三个主径面作为新坐标系的坐标平面, 作坐标变换'),'),'1),x x y z y x y z z y z ⎧=++⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-+⎪⎩①点(0,0,0),(1,1,1),(0,0,1)-在新系下的坐标分别为. 因为曲面是中心曲面, 可假定在新系下的方程为222'''0Ax By Cz D +++=②,将点代入上述方程, 得10,21210,332110.36C D A B C D A B D ⎧+=⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得4,2,2A D B D C D =-==-, 于是②式为2224'2'2'10x y z -+-+=,将①式代入上式, 得所求曲面方程为22220y z xy xz y z ++++-=.2.选择题1. 已知曲面2222222470x y z xy xz yz x +------=, 求与方向1:(1):0-共轭的径面方程习 题 4.7 二次曲面的切线和切平面1.简答题1. 求二次曲面22224120x y z xy xz yz x y z -++++-+++=在点(1,2,1)-处的切平面和法线方程.解切平面方程为103220x y z +-+=, 法线方程是1211103x y z -+-==- 2. 求椭球面222124x z y ++= 的切平面, 使它平行于平面2250x y z +++=.解: 曲面在点1(1,,1)2的切平面2240x y z ++-=, 在点1(1,,1)2---的切平面2240x y z +++=.3. 求曲面22246448430x y z xz y z +++--+=的切平面, 使它平行于平面250x y ++=.解: 曲面在点215(,,)336-和1(0,1,)2的切平面分别为20x y +=与220x y +-= 4 求通过直线11213x y z -+==- 并且与曲面22246448430x y z xz y z +++--+=相切的平面.解: 220x y +-=, 2511254580x y z --+=5. 求通过原点并且与曲面222430x yz y z --+-=相切, 又与直线11211x y z -+==- 相交的直线方程.解: 设所求直线方程为,,x tX y tY z tZ ===. 因与曲面相切, 故22234100.X Y Z YZ ++-=①又与已知直线相交, 因而2110,011XY ZX Y Z -=-+=-即. 解得::1:(1):(2)X Y Z =--和5:7:2, 所求直线为,112572x y zx y z ====--, 6. 从原点向椭球面2222221x y z a b c++= 的切平面引垂线, 求垂足的轨迹方程.解: 过曲面z axy =上点000(,,)x y z 的切平面方程是000(),a y x x y z z +=+①由原点向切面所作垂线的方程为00,1x y zay ax ==-②又00.z ax y =③由①,②,③消去000,,x y z , 得垂足的轨迹方程为222()0az x y z xy +++=.7. 试证中心二次曲面(除锥面外)的切平面平行于切点与中心连线方向的共轭径面. 证明: 设中心曲面的方程为2221ax by cz ++=, 中心为(0,0,0). 过点000(,,)x y z 的切平面方程为00010ax x by y cz z ++-=, 又切点与中心连线的方向为000::x y z , 与它共轭的径面方程为0000ax x by y cz z ++=, 可见该径面与切平面平行 2,选择题1 求证平面8650x y z ---=与抛物面2223x y z -=2给定球面222142340x y z x z ++--+=, 求以点(2,1,1)为顶点的切锥面方程.3求二次曲面222320x y z -+-=上具有方向1:2:2的切线的轨迹习 题 4.8 平面二次曲线简介1.简答题1. 利用旋转变换消去下列方程的交叉项.(1) 2222230x xy y x y -++--=; (2) 22924162015500x xy y x y -+++-=. 解: (1) 取转角4πθ=, 转轴公式为''),'')x x y y x y =-=+. 简化方程为22''30y --=.(2) 取转角θ满足7cos 24θ=, 转轴公式为11(4'3'),(3'4')55x x y y x y =-=+, 简化方程为2''20y x +-=.2. 求下列二次曲线的中心, 主方向与主直径. (1) 22585181890x xy y x y ++--+=; (2) 229241618101190x xy y x y -+--+=; (3) 224210x y x y ++-+=.解: (1) 中心为(1,1), 主方向为1:(1),1:1-. 主直径方程为0,20x y x y -=+-=; (2) 无中心. 主方向为3:(4),4:3-. 主直径方程为3470x y -+=; (3) 中心为(2,1)-, 任意方向都是主方向, 过中心的任意直线都是主直径 3. 利用不变量求下列二次曲线的标准方程. (1) 2681226110xy y x y +--+=; (2) 222106250x xy y x y -+--+=;(3) 2256540x xy y -+-+-=; (4) 2222230x xy y x y -++--=.解: (1) 1238,9,81I I I ==-=, 特征根为9,1-, 特征方程为221''19x y -=;(2) 1232,0,64I I I ===-, 简化方程为220y ±=, 标准方程为2y =或2y =-;(3) 12310,16,128I I I ===-, 特征根为2,8, 标准方程为221''14x y +=;(4) 12314,0,8I I I K ====-, 简化方程为22'40y -=, 标准方程为'y =4. 化简二次曲线方程并画出它的图形. (1) 22240x xy y x y -++-=; (2) 22441210x xy y x y +++-+=. 解: (1) 简化方程2213''4022x y +-=, 变换公式为'')x x y =-, '')2y x y =++;(2) 简化方程2''0x =, 变换公式为1''5x x y =-, 2''5y x y =+-.。