离散数学 复习和例题讲解

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| 例 设 G=(P→Q)R ， 求出它的主析 取范式和主合 取范式。
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解：首先列出其 真值表如下：
P 0 0 0 0 1 1 1 1
Q 0 0 1 1 0 0 1 1
R P→Q (P→Q)R 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
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1) 2) 3) 4)
命题的分类
具有确切真值的陈述句称为命题 明年国庆节是晴天。 地球外的星球上也有人 １＋１＝１０。 x+y>０。
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一般来说，命题可分两种类型： 1) 原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题 的命题。 2) 复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。而且 这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、
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题变元的否定之析取, 称为基本和。
•有限个基本积的析取式称P15）
最简析取范式和最简合取范式：运算符号最少
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结 论
从上述定义和例子可以得出如下 关系：
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1. 单个的命题变元和一些命题变元的否定是一 个基本和、基本积、析取范式、合取范式。 2. 单个的基本和是合取范式、若省略最外层括 号，单个的基本和也是析取范式 3. 单个的基本积是析取范式 , 若省略最外层括 号，单个的基本积也是合取范式 4. 析取范式、合取范式仅含联结词┐、∧、∨， 且┐仅出现在命题变元前。
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一些重要的全功能联结词集合
1) ｛┐，∨｝,｛┐，∧｝可以构成功能联结词 集合。使用上述全功能联结词集合表达的命 题公式类的系统常称为Boole代数系统
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2) ｛┐，→｝也可构成全功能联结词集合。该
全功能联结词集合在研究逻辑系统的演绎与
推理，以及在程序系统的研究中经常遇到。
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恒等式的记忆 牌 输 毛 立 等 运 归 排中律 输出律 矛盾律 逆反律 等值表达式 蕴含表达式 归缪律 焦 急 又 等 得 丰 收 交换律 结合律 双否定 等幂律 德.摩根定律 分配律 吸收律
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机却可“计算”公式GH是否是永真公式。
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永真蕴含式
如果A→B是一永真式, 那么称为永真蕴含式, 记 为A B, 读做“A永真蕴含B”。 设G，H是两个公式，称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H)当 且仅当对任意解释I，如果I满足G，则I也满足H。将G蕴 涵H记为GH。此时G称为前提，H称为结论。
“不”、“如果 ... 则 ...” 、“当且仅当”等这样
的关联词和标点符号复合而构成一个复合命题。 XDC
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联结词 记号 记法
命题联结词
与非: P↑Q= ┐(P∧Q)
读法
或非: P↓Q= ┐ (P∨Q) 排斥或(异或): P⊕Q = ┐(P Q) = P∧ ┐ Q∨ ┐ P∧ Q 蕴含否定: P → Q= ┐(P→Q)
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| 1. 将极小项全部进行析取后，可得到相应的主 析取范式： G=（Ｐ→Ｑ）Ｒ =（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨（┐P∧Ｑ∧Ｒ） ∨（Ｐ∧┐Ｑ∧┐Ｒ）∨（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ） 2. 将极大项全部进行析取后，可得到相应的主 合取范式： G=（Ｐ→Ｑ）Ｒ = （P∨Ｑ∨Ｒ）∧（P∨┐Ｑ∨Ｒ） ∧（┐Ｐ∨Ｑ∨┐Ｒ）∧（┐Ｐ∨┐Ｑ∨Ｒ）
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极小项和极大项
定义 1.3 -4 在n个变元的基本积中, 若每一个变元与其否 定不同时存在,而两者之一必出现一次且仅出现一次 , 则 这种基本积叫极小项。
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定义 1.3 -6 在n个变元的基本和中, 若每一个变元与其
否定不同时存在, 而二者之一必出现一次且仅出现一次 , 则这种基本和叫极大项。
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求一个命题公式的范式步骤如下：
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（ 1 ）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公 式中的→、用联结词┐、∧、∨来取代； （2）利用德摩根定律将否定号┐移到各个命 题变元的前端； （ 3 ）利用结合律、分配律、吸收律、等幂律、 交换律等将公式化成其等价的析取范式和合取 范式。
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对应情况如下: ┐P∧┐Q∧┐R ——0 0 0——0
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┐P∧┐Q∧ R
┐P∧ Q ∧┐R ┐P∧Q∧R P∧┐Q∧┐R P∧┐Q∧R P∧Q∧ ┐R P∧Q∧R XDC
——0 0 1——1
——0 1 0——2 ——0 1 1——3 ——1 0 0——4 ——1 0 1——5 ——1 1 0——6 —1 1 1—7
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命题逻辑
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命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑。它 研究以命题为基本单位构成的前提和结论之 间的可推导关系，研究什么是命题？如何表 示命题？如何由一组前提推导一些结论？ 命题逻辑的特征： 在研究逻辑的形式时，我们把一个命题只分 析到其中所含的命题成份为止，不再分析下 去。不把一个简单命题再分析为非命题的集 合，不把谓词和量词等非命题成份分析出来。
(PQ)也是命题公式；
4. 命题公式仅由有限步使用规则1-3后产生的
结果。该公式常用符号G、H、…等表示。
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| 公式G1称为永真公式(重言式)，如果在它的所有
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解释之下都为“真”。
设A: A(P1, P2, …, Pn), B: B(P1, P2,…, Pn)
“
” 与“”的区别
首先，双条件词“ ”是一种逻辑联结词，
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公式GH是命题公式，其中“”是一种逻辑运
算， GH的结果仍是一个命题公式。而逻辑等价
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“ ”则是描述了两个公式 G 与 H 之间的一种逻辑
等价关系， G H 表示“命题公式 G 等价于命题公式 H”，G H 的结果不是命题公式。 其次，如果要求用计算机来判断命题公式 G 、 H是否逻辑等价，即 G H那是办不到的，然而计算
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2016年2月17日星期三
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数理逻辑
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数理逻辑研究内容
第二章 第一章 第三章 第四章
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在教材 中体现 不多
第五章
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1) 2) 3) 4)
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永真蕴含式可用真值表证明，但也可用以下办法证明:
(1) 假定前件是真, 若能推出后件是真, 则此蕴含式是真。
(2) 假定后件是假, 若能推出前件是假, 则此蕴含式是真。
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“”与“→”的区别
1. “→”仅是一般的蕴涵联结词，G→H的结果 仍是一个公式，而“”却描述了两个公式G， H之间的一种逻辑蕴涵关系，GH的“结果”， 是非命题公式； 2. 用计算机来判断 GH 是办不到的，然而计算 机却可“计算”公式G→H是否为永真公式。
(1). 求主析取范式 从真值表知，选出公式的真值结果为真的 所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个 解释所对应的极小项，将这些极小项的析取即 可得到相应的主析取范式。 (2). 求主合取范式 从真值表知，选出公式的真值结果为假的 所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个 解释所对应的极大项，将这些极大项的合取即 可得到相应的主合取范式。
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2、公式转换法
（1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式中的→、 用联结词┐、∧、∨来取代； （2）利用德 摩根定律将否定号┐移到各个命题变元 的前端； （3）利用结合律、分配律、吸收律、等幂律、交换律 等将公式化成其等价的析取范式和合取范式。 （4）在析取范式的短语和合取范式的子句中，如同一 命题变元出现多次，则将其化成只出现一次。 （5）去掉析取范式中所有永假式的短语和合取范式中 所有永真式的子句，即去掉短语中含有形如P∧┐P的 子公式和子句中含有形如P∨┐P的子公式。 XDC