全国高校自主招生数学试题汇编(题型分类)超全超经典
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
答案：-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。
答案：167. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
答案：25π8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-7三、解答题（共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。
答案：交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点，半径为5的圆，求圆的方程。
答案：x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为2，当x = 3时取得。
单招数学试题题型及答案
单招数学试题题型及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正整数？A. -3B. 0C. 2D. 4.5答案：C2. 计算下列哪个式子的结果为0？A. 3 + 2B. 5 - 5C. 6 × 0D. 8 ÷ 8答案：C3. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是：A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A4. 下列哪个数是无理数？A. 3B. πC. 0.5D. 2/3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是____。
答案：162. 一个等腰三角形的两个底角都是45度，那么它的顶角是____。
答案：90度3. 函数f(x) = 2x + 3的反函数是____。
答案：f^(-1)(x) = (x - 3) / 24. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是____。
答案：5三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2。
因为平方项总是非负的，所以函数的最小值出现在x = 2时，此时f(x) = 0。
2. 一个等差数列的前三项分别是2, 5, 8，求这个数列的第10项。
答案：设等差数列的公差为d，则d = 5 - 2 = 3。
第n项的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d。
所以第10项a_10 = 2 + (10 - 1) × 3= 29。
四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：如果a, b, c是正整数，且a^2 + b^2 = c^2，那么a, b,c不能都是奇数。
答案：假设a, b, c都是奇数，那么a^2, b^2, c^2都是奇数。
但是奇数的和不可能是奇数，所以假设不成立，即a, b, c不能都是奇数。
2. 证明：如果一个三角形的两边和夹角的正弦值满足正弦定理，那么这个三角形是存在的。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
自主招生数学必刷真题200道
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2017 自主招生必刷真题 200 道——数学
目录
（一）代数式变形 ............................................................................................................................................. 4 （二）复数、平面向量 ................................................................................................................................... 10 （三）函数与方程 ........................................................................................................................................... 13 （四）三角函数 ............................................................................................................................................... 21 （五）概率 ....................................................................................................................................................... 25 （六）平面几何与立体几何 ........................................................................................................................... 26 （七）解析几何 ............................................................................................................................................... 36 （八）数列 ....................................................................................................................................................... 41 （九）数论 ....................................................................................................................................................... 45 （十）排列、组合与二项式定理 ................................................................................................................... 47
数学自主招生试题答案
数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b与c的关系。
答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。
又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。
将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。
由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。
2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。
答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。
由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。
解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。
所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。
根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。
二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。
答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。
所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。
2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。
答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . （第6题图） （正视图） （俯视图） （第7题图）（第16题图）19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.(第21题图)N22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．(第22题图) Q ABC EFPO（第23题图）．1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P ，OP=8,过点P 所有的弦中长是整数的弦有 条。
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
单招九类试题数学及答案
单招九类试题数学及答案一、选择题1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5在x=1处的导数是多少？A. 1B. 4C. 7D. 9答案：B3. 已知三角形的两边长分别为3和4，夹角为60度，求第三边的长度。
A. 1B. 2C. 5D. 根号7答案：D二、填空题4. 若一个数的平方根是2，则这个数是______。
答案：45. 一个等差数列的首项是5，公差是3，那么第10项是______。
答案：326. 圆的周长是2πr，其中r是圆的半径。
如果一个圆的周长是16π，那么这个圆的半径是______。
答案：8三、解答题7. 解不等式组：\( 2x + 3 > 7 \)\( 5 - x \leq 4 \)答案：首先解第一个不等式 \( 2x + 3 > 7 \) 得 \( x > 2 \)，然后解第二个不等式 \( 5 - x \leq 4 \) 得 \( x \geq 1 \)。
因此，不等式组的解集是 \( x > 2 \)。
8. 已知函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，请找出它的顶点坐标。
答案：函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 可以写成顶点式 \( y = (x - 2)^2 - 1 \)，因此顶点坐标为 (2, -1)。
四、计算题9. 计算下列极限：\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)答案：将分子因式分解得 \( \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \)。
10. 计算定积分：\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)答案：使用基本积分公式 \( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（其中n≠-1），计算得\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \) 从0到1，结果是\( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版含答案及解斩(共九大专题)
历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。
1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。
大学自主招生数学试题
大学自主招生数学试题[正文]自主招生是大学录取新生的一种形式，相比于普通高考，它更注重考生的综合素质和创新能力的培养。
其中，数学试题作为考核学生逻辑思维和问题解决能力的重要部分，扮演着重要的角色。
下面是一套典型的大学自主招生数学试题，希望能够帮助考生更好地了解和应对这一部分的考试内容。
1. 选择题(1) 若函数 f(x) = (a + x)(b + x)(c + x) 在区间 [-3, 2] 上的最小值为 -12，那么 a, b, c 的取值范围是：A. a > 2, b < -3, c < -3B. a < -3, b > 2, c > 2C. a < -3, b < -3, c > 2D. a > 2, b > 2, c < -3(2) 已知函数 f(x) 在区间 [0, 4] 上单调增加，且 f(1) = 3，f(3) = 7，那么在区间 (0, 4) 上存在：A. x0 ∈ (1, 3)，使得 f(x0) = 5B. x0 ∈ (1, 3)，使得 f(x0) > 5C. x0 ∈ (1, 3)，使得 f(x0) < 5D. x0 ∈ (1, 3)，使得 f(x0) = 62. 解答题(1) 证明：对任意实数 x，都有√(x^2 + 1) ≥ 1 + |x|(2) 已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导，若 f(a) = f(b) = 0，证明：存在 c ∈ (a, b)，使得 f'(c) = 03. 简答题(1) 什么是群论？群论是研究代数结构的分支学科，主要研究集合上的一种二元运算，通过定义这种运算的一些基本公理，研究群的性质和结构。
(2) 请解释下列术语的意义：基变换、特征值、特征向量- 基变换：对于线性代数中的矩阵，基变换是指将其表示在不同基下的转换过程，通过找到转换矩阵，将一个向量从一个基表示转换为另一个基表示。
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点(1, 2)和(2,3)，则下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案：C2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 + a2 + a3 = 12，a2 + a3 + a4 = 18，则a1 + a5的值是多少？A. 18B. 20C. 24D. 26答案：B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x，若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，则实数k的取值范围是？A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若一个圆的直径为10，则该圆的面积为_______。
答案：25π6. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为_______。
答案：57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数k的取值范围是_______。
答案：k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为an = _______。
答案：2^(n-1)三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。
答案：函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)。
理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4，令f'(x) > 0得x > 2，令f'(x) < 0得x < 2。
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、（北约2014年）设扇形的圆心角为3π，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______（A ）132π （B ）7π （C ）152π （D ）8π答案：B6/660360ππ=，扇形弧长为60262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=2、（北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案：C解析：由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案：C4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D5、（华约2010年）设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32答案：A二、填空题6、（卓越2014年）不等式32210x x -+<的解集为_____________。
13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案：1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析：22x x =，把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。
7、（卓越2013年）如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）。
答案：βα-三、综合题8、（北约2014年）证明：tan 3是无理数。
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题05 一元二次方程(word版含答案)
专题05 一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2021•黄州区校级自主招生）关于x的方程x2﹣bx+4＝0有两个相等的正实数根，则b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．0 2．（2020•江岸区校级自主招生）若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x ﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 3．（2020•涪城区校级自主招生）若m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，则（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（）A．18B．﹣18C．20D．﹣20 4．（2020•赫山区校级自主招生）准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（）A．1m B．m C．2m D．m 5．（2020•赫山区校级自主招生）已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（）A．B．C．﹣D．﹣6．（2019•锦江区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（2020•浙江自主招生）下列给出的4个命题：命题1若|a|＝|b|，则a|a|＝b|b|；命题2若a2﹣5a+5＝0，则；命题3若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；命题4若方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．其中正确的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4 8．（2019•武侯区校级自主招生）若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M 的值一定是（）A．非负数B．负数C．正数D．零9．（2019•顺庆区校级自主招生）设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣17x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（）A．﹣2017B．0C．340D．﹣111 10．（2019•顺庆区校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4B．8C．6D．0二．填空题（共6小题）11．（2021•黄州区校级自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝．12．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．13．（2020•赫山区校级自主招生）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则x2﹣6xy+9y2＝．14．（2020•原阳县校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，则实数a，b，c之间的关系是．15．（2018•苍南县校级自主招生）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是．16．（2019•宝山区校级自主招生）设方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的两根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝．三．解答题（共8小题）17．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅰ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．18．（2021•大渡口区自主招生）某小微企业在网上销售A、B两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售A、B两种品牌木制休闲用品共450件，其中A品牌木制休闲用品每件售价20元，B品牌木制休闲用品每件售价30元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌木制休闲用品最多销售多少件？（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，A品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，B品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，结果3月售出的A品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的A品牌木制休闲用品数量增加了a%，售出的B品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的B品牌木制休闲用品数量增加了a%，结果3月的总销售额比2月最低销售额增加了a%，求a的值．19．（2019•锦江区校级自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．20．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．21．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，求m的取值范围．22．（2020•南岸区自主招生）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．23．（2020•田家庵区校级自主招生）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．24．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．专题05 一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+4＝0有两个相等的正实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×4＝b2﹣16＝0，解得：b＝4．故选：A．2．【解答】解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，故选：C．3．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，∴m2﹣2020m+1＝0，∴m2﹣2020m＝﹣1，∴（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣5）＝﹣18．故选：B．4．【解答】解：设小路的宽度为xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m，依题意，得：x（30+4x+24+4x）＝80，整理，得：4x2+27x﹣40＝0，解得：x1＝，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故选：B．5．【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0，∴5×（）2+2019×+9＝0．∴x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，∴＝．故选：B．6．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．7．【解答】解：命题1、当a＝﹣1，b＝1时，a|a|≠b|b|；故本选项错误；命题2、原方程的解是a＝．①当a＝时，1﹣a＝﹣＜0，所以；当a＝时，1﹣a＝＜0，所以；故本选项正确；命题3、若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m+3＜0，即m＜﹣3，故本选项正确；命题4、∵x1•x2＝﹣1＜0，∴方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根；∵x1+x2＝﹣m，且m＞0，∴﹣m＜0，即x1+x2＜0；∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．故该选项正确；综上所述，命题2、3、4正确，共3个．故选：C．8．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．9．【解答】解：由题意可得a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝17，cd＝1∴（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）＝[ab+（a+b）c+c2][ab﹣（a+b）d+d2]＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）＝1+20d+d2﹣20c﹣400cd﹣20cd2+c2+20c2d+c2d2＝d2+c2+2﹣400＝（c+d）2﹣400＝172﹣400＝﹣111，故选：D．10．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，故选：A．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，m2+4＞0，由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，∵，∴＝﹣3，＝﹣3，m＝﹣3，故答案为：﹣3．12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：﹣3≤k＜4且k≠．故答案为：﹣3≤k＜4且k≠．13．【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，∴x﹣3y＝2﹣3×（﹣3）＝11，∴x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2＝121，故答案为：121．14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，∴c2﹣2ac+a2﹣4（ab﹣b2﹣ac+bc）＝0，∴a2+4b2+c2﹣4ab+2ac﹣4bc＝0，∴（a﹣2b+c）2＝0，∴a﹣2b+c＝0，∴2b＝a+c（b≠c）．故答案是：2b＝a+c（b≠c）．15．【解答】解：方程x2﹣6x+a＝0的两个根为x＝3±，设x1，x2为方程两根，（1）若x1＝x2，此时a＝9，以x1、x2为两边长为腰的等腰三角形有无数个，不符合题意；（2）若x1≠x2，设x1＜x2，则x1＝3﹣，x2＝3+，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a＜9，①以x1为底，x2为腰的等腰三角形必有一个，此时，0＜a＜9，②以x1为腰，以x2为底的等腰三角形不存在，则有2x1≤x2，∴6﹣2≤3+，≥1，∴0＜a≤8，综上所述：当0＜a≤8时只有一个等腰三角形．故答案为：0＜a≤8．16．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0∴3x2+66x+263＝0∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝故答案为：．三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（i）∵方程有实数根，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤；（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．18．【解答】解：（1）设A品牌木制休闲用品购进x件，则B木制休闲用品购进（450﹣x）件，依题意得：20x+30（450﹣x）≥11500，解得：x≤200．答：A品牌木制休闲用品最多购进200件．（2）依题意得：20（1﹣a%）×200（1+a a%）+30（1﹣a a%）×（450﹣200）（1+a%）＝11500（1+a%），整理得：0.5a2﹣20a＝0，解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为40．19．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）＝＝（﹣1≤m＜1）．∵对称轴m＝，2＞0，∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．20．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣，即m的取值范围是m＞﹣；（2）由（1）知：当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．21．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×2（3m﹣1）≥0，x1+x2＝1，x1•x2＝，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，依题意有，解①得m≤，解②得m＞﹣．故m的取值范围是﹣＜m≤．22．【解答】解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．23．【解答】解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，x1＝，x2＝；（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，当a＝0时，x＝0；当a＝1时，x＝2．24．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
自主招生数学试卷
自主招生数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A ．0 B．1 C．2 D．3考点：二次函数的图象．3578195专题：压轴题；数形结合．分析：首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．解答：解：函数的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）A ．2a B．2x C．﹣2a D．﹣2x考点：二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程．3578195专题：计算题．分析：由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项即可得出结果．解答：解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，∴|x|=x且x≤a．∴a﹣x＞0，a+x＞0．∴=﹣=|a﹣x|﹣|a+x|=a﹣x﹣（a+x）=a﹣x﹣a﹣x=﹣2x．故选D．点评：本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤ａ是解题的关键．3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A ．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定考点：二次根式的性质与化简．3578195分析：将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．解答：解：∵==，∴a+b+c=，∴a=0，b=1，c=1，2a+999b+1001c=2000．故选B．点评：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．4．（2013?莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥ｘ轴于点C，交C2于点A，PD⊥ｙ轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A ．k1+k2B．k1﹣k2C．k1?k2D．考点：反比例函数系数k的几何意义．3578195专题：压轴题；数形结合．分析：四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．解答：解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S OBD﹣S OAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选B．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．5．（2012?南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A ．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）考点：坐标与图形变化-旋转；等腰梯形的性质．3578195专题：规律型．分析：由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA 与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．解答：解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）．记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）．故选B．点评：本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．6．（2013?荆门）如图，在半径为1的⊙Ｏ中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A ．B．C．D．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．3578195专题：压轴题．分析：首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．解答：解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA?cos45°＝×１=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙Ｏ的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B．点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．二．填空题（共7小题）7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是 1 ．考点：代数式求值；绝对值．3578195专题：计算题．分析：由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．解答：解：∵abc＜0，∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；又∵a+b+c＞0，∴a、b、c中只有一个是负数．不妨设a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0，当x=0时，ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1．故本题答案为1．点评：观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论．有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF 的面积是1，那么正方形ABCD的面积是 6 ．考面积及等积变换．3578195点：分析：先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DA F，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．解答：解：如右图，设△BEF的面积是x，∵Ｅ是BC中点，∴Ｓ△DBE=S△DCE，∴Ｓ△BCD=2（1+x），∴Ｓ正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△ＤAF，∴Ｓ△BEF：S△DAF=（）2，∵Ｅ是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴Ｓ△DAF=4x，∵Ｓ△ABE=S△BED，∴Ｓ△ABF=S△DEF=1，∴Ｓ正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴Ｓ正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．点本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关评：键是找出正方形面积的两种表示方式．9．（2013?沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥Ａ2B2∥Ａ3B3∥…∥Ａn﹣1B n﹣1，A2B1∥Ａ3B2∥Ａ4B3∥…∥Ａn B n﹣1，△Ａ1A2B1，△Ａ2A3B2，…，△Ａn﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△Ａ2B1B2，△Ａ3B2B3的面积分别为1、4，则△Ａ1A2B1的面积为；面积小于2011的阴影三角形共有 6 个．考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．3578195分析：根据面积比等于相似比的平方，可得出=，=，再由平行线的性质可得出==，==，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．解答：解：由题意得，△Ａ2B1B2∽△Ａ3B2B3，∴==，==，又∵Ａ1B1∥Ａ2B2∥Ａ3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△Ａ2B1B2，△Ａ3B2B3的面积分别为1、4，∴Ｓ△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△Ａ1B1A2，△Ａ2B2A3，△Ａ3B3A4，△Ａ4B4A5，△Ａ5B5A6，△Ａ6B6A7，共6个．故答案是：；6．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：= ．考点：二次根式的性质与化简．3578195分析：因为5=2+3=（）2+（）2，且2=2××，由此把原式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．解答：解：===+．故答案为：+．点评：此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为＜a≤．考点：一元一次不等式组的整数解．3578195分析：先求出不等式组的解集，再根据整数解有六个得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可求解．解答：解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a．由题意，知此不等式组的六个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤．故答案为＜a≤．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±ｉ是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①ｉ可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i2011= ﹣i．，②方程x2﹣2x+2=0的两根为1±i．（根用i表示）考点：一元二次方程的应用．3578195专题：新定义．分析：（1）根据题中规律可知i1=1，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．（2）把方程x2﹣2x+2=0变形为（x﹣1）2=﹣1，根据题目规律和平方根的定义可求解．解答：解：（1）i2011=i502×4+3=﹣i．（2）x2﹣2x+2=0（x﹣1）2=﹣1x﹣1=±ｉx=1+i或x=1﹣i．故答案为：﹣i；1±i．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．13．（2013?日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B 为线段AC的中点，过点B作BM⊥ｘ轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为8 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．3578195专题：压轴题．分析：过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．解答：解：过A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B为AC中点，∴MN=MC，∵OM=2MC，∴ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），则B（2a，b），∵Ｓ△OAC=12．∴?3a?b=12，∴ab=8，∵Ｂ在y=上，∴k=2a?b=ab=8，故答案为：8．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．三．解答题（共7小题）14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是90分，乙校选手所得分数的众数是80分；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；中位数；众数；列表法与树状图法．3578195分析：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；（2）列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率．解答：解：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，由题意得，x=（x+2+3+5）×，解得：x=2，即获得100分的人数有2人．故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．（2）则两位选手来自同一学校的概率==．点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，要求同学们有一定的读图能力，能在条形统计图及扇形统计图中得到解题需要用到的信息，有一定难度．15．（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．3578195专题：压轴题．分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值．解答：解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac．∵a＞0，∴AB=，又∵CE=||=，∴，∴，∴，∵ｂ2﹣4ac＞0，∴ｂ2﹣4ac=4；（2）当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=，∴，∵ｂ2﹣4ac＞0，∴ｂ2﹣4ac=12．点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．16．（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥ｘ轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．考点：二次函数综合题．3578195专题：压轴题．分析：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；（3）如图，作DN⊥ｘ轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．解答：解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得，解得，，∴点A的坐标是（3，3）．∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y=﹣x．又∵点B在直线y=x+上，∴，解得，，∴点B的坐标是（﹣1，1）．综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．∴顶点E的坐标是（，﹣）；（3）OD与CF平行．理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=．∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（，）．设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得，解得，，∴直线BC的解析式为y=﹣x+．∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴﹣x+=x2﹣x，解得，x1=，x2=﹣1．把x1=代入y=﹣x+，得y1=，∴点D的坐标是（，）．如图，作DN⊥ｘ轴于点N．则tan∠DON==．∵FE∥ｘ轴，点E的坐标为（，﹣）．∴点F的纵坐标是﹣．把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，∴点F的坐标是（﹣，﹣），∴EF=+=．∵CE=+=，∴tan∠CFE==，∴∠CFE=∠DON．又∵FE∥ｘ轴，∴∠CMN=∠CFE，∴∠CMN=∠DON，∴OD∥CF，即OD与CF平行．点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．17．（2012?内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．考点：根与系数的关系；根的判别式．3578195专题：压轴题．分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣，?=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4?≥0，即可求出c的最小值．解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则：+==﹣，?==，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠ｂ时，a+b=15，ab=﹣5，====﹣47．当A=B时，原式=2；（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴ｃ2﹣4?≥0，c2﹣≥0，∵ｃ是正数，∴ｃ3﹣43≥0，c3≥４3，c≥4，∴正数c的最小值是4．点评：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙Ｏ的半径OD；（2）求证：AE是⊙Ｏ的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．3578195专题：计算题；压轴题．分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD 的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE 与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴Ｓ阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG =×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．19．（2013?益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．考旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．3578195点：专题：压轴题．分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥ｌ得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．20．（2013?昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）考点：二次函数综合题．3578195专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′Ｂ的解析式，进而由△Ｐ1OD∽△NOB，得出△Ｐ1OD∽△Ｎ1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．解答：解：（1）∵Ａ（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．∴，解得：，故抛物线的解析式为：y=x2﹣3x；（2）设直线OB的解析式为y=k1x（k1≠0），由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1．∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0），故m=4．∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4．解方程组解得：，∴点D的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．设直线A′Ｂ的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）．∴4k2+3=4，解得k2=．∴直线A′Ｂ的解析式为y=x+3．∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′Ｂ上，设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴n+3=n2﹣3n．解得n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（﹣，）．如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△Ｎ1OB1，则N1（﹣，﹣），B1（4，﹣4）．∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．过D点做DP1∥Ｎ1B1，∵△Ｐ1OD∽△NOB，∴△Ｐ1OD∽△Ｎ1OB1，∴Ｐ1为O N1的中点．∴==，∴点P1的坐标为（﹣，﹣）．将△Ｐ1OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，∴此点坐标为：（，）．综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）和（，）．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．。
高中自招试题数学答案及解析
高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其导数\( f'(x) \)。
答案：首先，根据导数的定义，我们对函数\( f(x) \)进行求导。
对于\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，其导数\( f'(x) \)为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即\( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)。
对于常数项1，其导数为0。
将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。
试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。
答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。
解析：交集是指两个集合中共有的元素。
在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。
试题三：若\( \sin(2x) = 2\sin(x) \)，求\( x \)的值。
答案：根据二倍角公式，我们知道\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。
将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于\( \sin(x) \neq 0 \)，我们可以除以\( 2\sin(x) \)得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着\( x \)的值是\( 2k\pi \)，其中\( k \)是整数。
解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。
通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到\( x \)的解。
试题四：解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
答案：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。
数学自主招生模拟试题
数学自主招生模拟试题
第一部分：选择题
1. 下列哪个数学符号代表无穷大？
A. √2
B. ∞
C. π
D. e
2. 如果对数a的值为3，那么指数a的值为多少？
A. 9
B. 5
C. 27
D. 81
3. 若a^2 + b^2 = 25，且a + b = 7，则a和b的值分别为多少？
A. a=3, b=4
B. a=4, b=3
C. a=5, b=6
D. a=6, b=5
4. 一个正方形的对角线长度为10，那么它的面积是多少？
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
5. 以下哪个不是三角函数？
A. sin
B. log
C. cos
D. tan
第二部分：填空题
1. 20%的250是多少？
答：50
2. 已知a=3，b=4，c=5，那么a^2 + b^2 = __？
答：25
3. 若a:b=2:3，b:c=3:4，求a:b:c的比值。
答：2:3:4
第三部分：简答题
1. 请简要说明直角三角形的勾股定理。
答：直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和。
2. 请解释什么是复数？
答：复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
3. 请列举一个常用的数学公式，并简要说明其应用场景。
答：圆的面积公式S=πr^2，可以用来计算圆形物体的表面积。
结束语：以上就是数学自主招生模拟试题的内容，希望能帮助大家更好地准备数学招生考试。
祝各位考生顺利通过考试！。
数学自主招生精题汇编
1.（2012·初联预赛）如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：
（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】
（A）0（B）1
（C）2（D）3
2.（2012·初联预赛）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、
B的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐
7.（2013·济南外国语冬令营）已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD2，BC4点M是AD
的中点，△MBC
是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在，且∠MPQ60保持不变．设PCx，MQy求y
（3）在（2）中，当y
取最小值时，判断△PQC
三点的二次函数的解析式。
1.（2016·世界少年数学奥林匹克选拔）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝
10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交
BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是
cm。
k
2.（2016·世界少年数学奥林匹克选拔）如图，反比例函数y＝x(x＞0)的
①△CEF是等腰三角形②四边形ADFE是菱形
③四边形BFED是平行四边形④∠BDF+∠CEF＝2∠A
A．1B．2C．3D．4
6．（2012·福建竞赛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，ADDC．分别延长BA，CD，交点为E．作BFEC，并与EC的延长线交于点F．若AEAO，BC6，则CF的长为．
7.（2012·天津初赛）如图，矩形纸片ABCD中，AB3，AD9，将其折叠，使点D与点B重合，得