第八章交通流理论

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二、连续型分布
描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布。连续型分布常用来描述
车头时距、或穿越空档、速度等交通流特性的分布特征。
1.负指数分布 (1)基本公式
计数间隔t内没有车辆到达(k=0)的概率为：
P(0)=e-λt 上式表明，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达，则上次车到达和下次车 到达之间，车头时距至少有t秒，换句话说，P(0)也是车头时距等于或大于 t秒的概率，于是得： P(h≥t)=e-λt
t t


P(h t ) p(t )dt et dt 1 et
0 0
t
t
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二、连续型分布
(2)适用条件 负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会的单列车流和 密度不大的多列车流的情况。通常认为当每小时每车道的不间断车流量等 于或小于500辆，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。 2.移位负指数分布 (1)基本公式
k
④ 到达数大于等于k的概率：
mi e m P ( k ) 1 P ( k ) 1 i! i 0
k 1
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（一）泊松分布
mi e m P( x i y ) i! ix
y
⑤ 到达数至少是x但不超过y的概率：
⑥ 用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算：
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交通流理论的发展历程
• 20世纪30年代才开始发展，最早采用的是概率论方法。1933年，金蔡 (Kinzer.J.P)论述了泊松分布应用于交通分析的可能性；1936年，亚当斯 (Adams.W.F)发表了数值例题；格林希尔茨（Greenshields）发表了用概 率论和数理统计的方法建立的数学模型，用以描述交通流量和速度的关 系。 • 40年代，由于二战的影响，交通流理论的发展不多。
i 0 3
则4辆及4辆以上的概率为P ( 4) 1 P ( 4) 0.8488
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（一）泊松分布
例2、 某信号灯交叉口的周期C 97s ，有效绿灯时间g 44s ，在有效绿灯时间内排队 设信号灯交叉口上游车辆的到达率q 369 辆/h，且服从波松分布，求使到达车辆不 致两次排队的周期能占的最大百分率。 解： 由于车流只能在有效绿灯时间内通过，所以一个周期内能通过的最大车辆数为 A gs 44 900 / 3600 11辆，随后的第 辆车则不能通过交叉口，或者说如果周期 12 内到达的车辆数N大于11，车辆的排队长度大于 ，则后面的N 11辆车在该有效绿 11 灯时间内都不能通过交叉口，就要发生二次排队。泊松分布中，上游车辆一个信号 9 . 9 k 9 .9 周期内能够到达的车辆数为m t qC 97 369 / 3600 9.9辆，则由Pk e 得 k! P0 e 9.9 9.9 0 / 0! 0.00005 ,由递推公式Pk 1 Pk m /(k 1)得 P 9.9 P0 0.000497 ， P2 P 9.9 / 2 0.00246 ， P3 P2 9.9 / 3 0.00811， 1 1 P4 P3 9.9 / 4 0.02008， P5 P4 9.9 / 5 0.03976 ， P6 P5 9.9 / 6 0.06561， P7 P6 9.9 / 7 0.09279 ， P8 P7 9.9 / 8 0.11483， P9 P8 9.9 / 9 0.12631， P P9 9.9 / 10 0.12505， P P 9.9 / 11 0.11254 10 11 10 不足12辆车的概率为P ( 11) Pi 0.708
p 称为二项分布的参数。
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（二）二项分布
(3) 递推公式：
n k 1 p P(k ) P ( k 1), ( k 1) k 1 p P (0) (1 p ) n p t / n
（4）累积二项分布
i Cn p i (1 p ) n i i 0 x x 1
P(k x)
i P (k x ) 1 Cn p i (1 p ) n i i 0
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（二）二项分布
（5）均值与方差
E ( X ) np
Var ( X ) np(1 p)
（6）适用条件
交通量大，拥挤车流，车辆自由行驶的机会减少，车流到达 数在均值附近波动(适合交叉口左转车到达，超速车辆数。) 判据为：
Var ( X ) np(1 p) (1 p) 1 E( X ) np
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（二）二项分布
【例3 】一交叉口设置了专供左转的信号相，研究表明：来车符 合二项分布。每一周期内平均到达20辆车，有25%的车辆左 转但无右转。求： ①到达三辆车中有一辆左转的概率。 ②某一周期不使用左转信号相的概率。 解；①已知：n＝3．x=1．P=0.25，代入式中 可求出到达三辆 车中有一辆左转的概率
t
——每个计数间隔持续的时间(s)；
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（一）泊松分布
k 1
mi e m P ( k ) ① 到达数小于k辆车(人)的概率： i! i 0
mi e m P ( k ) i! i 0
k
② 到达数小于等于k的概率：
③ 到达数大于k的概率：
mi e m P ( k ) 1 P ( k ) 1 i! i 0
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交通流理论的内容
四种交通流理论
1. 概率统计分布的应用； 2. 随机服务系统理论(排队论)的应用； 3. 流体力学模拟理论(波动理论)的应用； 4. 跟驰理论(动力学模拟理论)的应用。
交通流统计分布特征 离散型分布 连续型分布
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一、离散型分布
• 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆 数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散 型分布。
各种交通现象 交通规律 形成机理 规划 设计 营运 管理
概述
数学 物理学 力学
交通流理论
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用物理学和数学的 方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交 通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并 使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。
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二、连续型分布
而车头时距小于t的概率则为： P(h＜t)=1-e-λt 若Q表示每小时的交通量，则λ=Q/3600(辆/s)，前式可以写成：
P(h≥t)=e-Qt/3600
式中Qt/3600是到达车辆数的概率分布的平均值。若令M为负指数分布 的均值，则应有：
M=3600/Q=1/λ
负指数分布的方差为：
式中：
Pk ——在计数间隔 t 内到达 k 辆车的概率；
其中
若令 p t / n ，则二项分布可写成
——平均到达率(辆／s)； ——每个计数间隔持续的时间(s)； n! k Cn k!(n k )!
t
Pk C k p k (1 p) n k , n
k 1,2,, n
1990年美国Adolf D．May出版了《Traffic Flow Fundamentals》 1996年，美国联邦公路局（The Federal Highway Administration， FHWA）出版了《Monograph on Traffic Flow Theory》。主编Nathan H．Gartner，Carroll Messer，Ajay K．Rathi等。涉及的内容包括：交 通流特性、人的因素、车辆跟驰模型、连续流模型、宏观交通流模型、 交通影响模型、无信号交叉口理论、信号交叉口交通流理论、交通模拟 和交通分配。
• 50年代，随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、交通事故和 交通阻塞的骤增， 交通流中车辆的独立性越来越小，采用的概率论方法 越来越难以适应，迫使理论研究者寻求新的模型，于是相继出现了跟驰 （Car Following）理论、交通波（Traffic Wave Theory）理论（流体动 力学模拟）和车辆排队理论（Queuing Theory）。这一时期的代表人物 有Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、Whitham、Newel、Webster 、Edie、Foote、Herman、Chandler等。
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交通流理论的发展历程
1959年12月，交通工程学应用数学方面学者100多人在底特律举行首届 交通流理论国际研讨会，并确定每三年召开一次。从此，交通流理论的 研究进入了一个迅速发展的时期。 1975年丹尼尔(Daniel I.G)和马休(marthow，J.H)汇集了各方面的研究成 果，出版了《交通流理论》一书，较全面、系统地阐述了交通流理论的 内容及其发展。
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第八章 交通流理论
教学内容： 1、交通流的统计分布特征 2、排队论及其应用 3、跟驰理论 4、流体力学模拟理论 教学要求： 掌握泊松分布理论、二项分布理论在交通流分 析中的应用；熟悉M/M/1，M/M/n系统理论及其应用； 了解跟驰理论及流体力学模拟理论。
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第一节 交通流的统计分布特性
(3)应用条件
适用于交通流量小，驾驶员随意选择车速，车辆到达是随机的，判据为：
Var (k ) 1 E (k )
mk e m mk 1e m E (k ) k m k m k (k 1) k 0 k 1
mk e m Var (k ) (k m) m k k 1
2
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（一）泊松分布
例1、4km 长道路上随机分布60辆车,求任意400m 路段上有4辆及4辆车以上的概率。 解： 可以将400 m理解为计算车辆数的空间间隔， 则车辆在空间上的分布服从 泊松分布 t 400m ， 60 / 4000辆/ ，m t 6辆，此分布服从m 6的泊松分布 m m k m 60 6 则由Pk e 得 P0 e 0.0025 k! 0! m 由递推公式Pk 1 Pk 得 k 1 6 P P0 0.0149 1 1 6 P2 P 0.0446 1 2 6 P3 P2 0.0892 3 不足4辆车的概率为P ( 4) Pi 0.1512
i 0 11
的车流以s 900 辆/h的流量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。
到达车辆不致发生两次排队的周期所占百分率为71 %。
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（二）二项分布
(1) 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 (2) 基本公式： t n k k t k
Pk C n ( n ) (1 n ) , k 1,2, , n
（一）泊松分布
• (1) 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即 车流是随机的。
• (2) 基本公式：
( t ) k t Pk e k!
• 式中： Pk ——在计数间隔 t 内到达 k 辆车的概率；

——平均到达率(辆／s)；
• 若令 t m ，则 m 为在计数间隔 t 内平均到达的车辆数， m 又称 为泊松分布的参数。
D
1
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二、连续型分布
用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分
布的参数λ。
此外，也可用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数 为：
d d P(t ) P(h t ) [1 P(h t )] e t dt dt
P(h t ) p(t )dt et dt et
观测的总车辆数 ＝ 总计间隔数
m
k
j 1 g j 1
g
j
fj
j
k
j 1
g
j
fj
f
N
式中：g——观测数据分组数； fj——计算间隔t内到达kj辆车(人)这一事件发生的次(频)数； kj——计数间隔t内的到达数或各组的中值； N——观测的总计间隔数。
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（一）泊松分布
(2)递推公式