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《离散数学》教案
第一章集合与关系
集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、 自然科学及社会科学各领域的最普
遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的
一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序
列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然
设A，B为集合，如果B
A且B≠A，则称B是A的真子集， 记作B
A。
如果B不是A的真子集，则记作
B
A。真子集的符号化表示为：B
A B
A∧B≠A。
例如N
Z
Q R C，但N N。
为方便起见， 所讨论的全部集合和元素是限于某一
论述域 中，即使这个论述域有时
没有明确地指出， 但表示集合元素的变元只能在该域中取值。
二、知识点
1．集合的基本概念与表示方法；
2．集合的运算；
3．序偶与笛卡尔积；
4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；
5．关系的性质，符合关系、逆关系；
6．关系的闭包运算；
7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；
8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求
1．识记
集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、 对称关系、 传递关系的识别，
∈，不属于记作。例如A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}，这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，
{{d}}∈A，但bA，{d}A。b和{d}是A的元素的元素。
外延公理 ：两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的成员。
集合的元素是彼此不同的：如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元
素。
如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}。
因前件为假而为真命题，所以
A也为真。
推论 空集是唯一的。
证：假设存在空集
1和
2，由定理
6.1有
1
2，
2
1。根据集合相等
的定义，有
1
2。
含有n个元素的集合简称
n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的
m元子
集。任给一个
n元集，怎样求出它的全部子集呢？举例说明如下。
例1.1.1
A
＝{1,2,3}
，将A的子集分类：
此论述域常用U表示，并
称为全集。
定义1.1.3
不含任何元素的集合叫
空集 ，记作
。空集可以符号化表示为
＝
{x|x
≠x}。
例如{x|x
2
2
的实数解集， 因为该方程无实数解， 所以是空
∈R∧x+1=0}是方程x +1=0
集。
定理1.1-1
空集是一切集合的子集。
证：对任何集合A，由子集定义有
A
x( x
x
A)，右边的蕴涵式
的存在， 世上的对象可分成两类，任一对象或属于该集合或不属于该集合，二者必居其
一也只居其一。
直观地说， 把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合 ，而这些事物就是这个集
合的元素或成员。
2
集合；
集合通常用大写的英文字母A,B,C,,来标记，元素通常用小写字母a,b,c,,来
表示。例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合
(2)描述法 用谓词来概括集合中元素的属性来表示这个集合。
例如
2
表示方程
2
的实数解集。
B＝{x|x∈R∧x－1＝0}
x－1＝0
许多集合可以用两种方法来表示，如
B
也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以
用列元Baidu Nhomakorabea法表示，如实数集合。
(3)归纳定义法：1.3节再讨论。
属于 、不属于 ：元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于 或不属于 ，属于记作
集合的元素是无序的：如{1，2，3}＝{3，1，2}。
1.1.2集合间的关系
定义1.1.1
设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称
B是A的
子集合，简称 子集。这时也称B被A包含 ，或A包含B，记作B A。称B是A的扩集。
包含的符号化表示为：
B
A
x(x∈B→x∈A)。如果
B不被A包含，则记作
Q，实数集合R，复数集合C等。
集合的表示方法：表示一个集合的方法通常有三种：列举法、描述法和归纳定义
法。
(1)列举法 列出集合的所有元素， 元素之间用逗号隔开， 并把它们用花括号括起来。在能清楚地表示集合成员的情况下可使用省略号。
例如A={a，b，c， ，z}，Z={0，±1，±2，}都是合法的表示。
而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称
为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。 公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设
复合关系、逆关系的识别。
2．领会
领会下列概念： 两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证
明。
1.1集合论的基本概念与运算
1.1.1集合的概念
集合不能精确定义。集合可以描述为：一个集合把世间万物分成两类,一些对象属
于该集合，是组成这个集合的成员，另一些对象不属于该集合。可以说，由于一个集合
B
A。
例如N
Z
Q R
C，但Z
N。显然对任何集合
A都有A
A。
注意：属于关系和包含关系都是两个集合之间的关系，
对于某些集合可以同时成立
这两种关系。例如
A＝{a，{a}}和{a}，既有{a}∈A，又有{a}
A。前者把它们看成是
不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。
定义1.1.2
（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性， 科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。 现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求
本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习， 使学生了解集合是数学的基本语言， 掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
0元子集，也就是空集，只有一个：
；1元子集，即单元集：
{1}
，{2}
，{3}
；
2元子集：
{1,2}
，{1,3}
，{2,3}
；
3
元子集：
{1,2,3}
。
一般地说，对于
n元集
A，它的
0元子集有
Cn0个，1
元子集有
C1n个， ，
m元子
集有
Cnm
个， ，
n元子集有
Cnn个。子集总数为
第一章集合与关系
集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、 自然科学及社会科学各领域的最普
遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的
一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序
列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然
设A，B为集合，如果B
A且B≠A，则称B是A的真子集， 记作B
A。
如果B不是A的真子集，则记作
B
A。真子集的符号化表示为：B
A B
A∧B≠A。
例如N
Z
Q R C，但N N。
为方便起见， 所讨论的全部集合和元素是限于某一
论述域 中，即使这个论述域有时
没有明确地指出， 但表示集合元素的变元只能在该域中取值。
二、知识点
1．集合的基本概念与表示方法；
2．集合的运算；
3．序偶与笛卡尔积；
4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；
5．关系的性质，符合关系、逆关系；
6．关系的闭包运算；
7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；
8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求
1．识记
集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、 对称关系、 传递关系的识别，
∈，不属于记作。例如A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}，这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，
{{d}}∈A，但bA，{d}A。b和{d}是A的元素的元素。
外延公理 ：两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的成员。
集合的元素是彼此不同的：如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元
素。
如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}。
因前件为假而为真命题，所以
A也为真。
推论 空集是唯一的。
证：假设存在空集
1和
2，由定理
6.1有
1
2，
2
1。根据集合相等
的定义，有
1
2。
含有n个元素的集合简称
n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的
m元子
集。任给一个
n元集，怎样求出它的全部子集呢？举例说明如下。
例1.1.1
A
＝{1,2,3}
，将A的子集分类：
此论述域常用U表示，并
称为全集。
定义1.1.3
不含任何元素的集合叫
空集 ，记作
。空集可以符号化表示为
＝
{x|x
≠x}。
例如{x|x
2
2
的实数解集， 因为该方程无实数解， 所以是空
∈R∧x+1=0}是方程x +1=0
集。
定理1.1-1
空集是一切集合的子集。
证：对任何集合A，由子集定义有
A
x( x
x
A)，右边的蕴涵式
的存在， 世上的对象可分成两类，任一对象或属于该集合或不属于该集合，二者必居其
一也只居其一。
直观地说， 把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合 ，而这些事物就是这个集
合的元素或成员。
2
集合；
集合通常用大写的英文字母A,B,C,,来标记，元素通常用小写字母a,b,c,,来
表示。例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合
(2)描述法 用谓词来概括集合中元素的属性来表示这个集合。
例如
2
表示方程
2
的实数解集。
B＝{x|x∈R∧x－1＝0}
x－1＝0
许多集合可以用两种方法来表示，如
B
也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以
用列元Baidu Nhomakorabea法表示，如实数集合。
(3)归纳定义法：1.3节再讨论。
属于 、不属于 ：元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于 或不属于 ，属于记作
集合的元素是无序的：如{1，2，3}＝{3，1，2}。
1.1.2集合间的关系
定义1.1.1
设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称
B是A的
子集合，简称 子集。这时也称B被A包含 ，或A包含B，记作B A。称B是A的扩集。
包含的符号化表示为：
B
A
x(x∈B→x∈A)。如果
B不被A包含，则记作
Q，实数集合R，复数集合C等。
集合的表示方法：表示一个集合的方法通常有三种：列举法、描述法和归纳定义
法。
(1)列举法 列出集合的所有元素， 元素之间用逗号隔开， 并把它们用花括号括起来。在能清楚地表示集合成员的情况下可使用省略号。
例如A={a，b，c， ，z}，Z={0，±1，±2，}都是合法的表示。
而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称
为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。 公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设
复合关系、逆关系的识别。
2．领会
领会下列概念： 两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证
明。
1.1集合论的基本概念与运算
1.1.1集合的概念
集合不能精确定义。集合可以描述为：一个集合把世间万物分成两类,一些对象属
于该集合，是组成这个集合的成员，另一些对象不属于该集合。可以说，由于一个集合
B
A。
例如N
Z
Q R
C，但Z
N。显然对任何集合
A都有A
A。
注意：属于关系和包含关系都是两个集合之间的关系，
对于某些集合可以同时成立
这两种关系。例如
A＝{a，{a}}和{a}，既有{a}∈A，又有{a}
A。前者把它们看成是
不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。
定义1.1.2
（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性， 科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。 现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求
本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习， 使学生了解集合是数学的基本语言， 掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
0元子集，也就是空集，只有一个：
；1元子集，即单元集：
{1}
，{2}
，{3}
；
2元子集：
{1,2}
，{1,3}
，{2,3}
；
3
元子集：
{1,2,3}
。
一般地说，对于
n元集
A，它的
0元子集有
Cn0个，1
元子集有
C1n个， ，
m元子
集有
Cnm
个， ，
n元子集有
Cnn个。子集总数为