国考教师资格证考试初中数学模拟一

2 2
)
x1 10．设 P 是 3×3 矩阵，其秩为 2，考虑方程组 PX P x2 0 x3
(1)设 1 和 2 为 PX 0 的两个解， c1 , c2 为实数，证明 c1 1 c2 2 也是 PX 0 的解； （4 分） (2)方程组 PX 0 的解空间的维数是多少？（无需证明） （3 分） 11．射手向区间[0，1]射击一次，落点服从均匀分布．若射中 0, 区间，则观众甲中奖； 2 若射中 x, 区间，则观众乙中奖．若甲中奖和乙中奖这两个事件独立，求 x 的值． 5 12．《义务教育数学课程标准（2011 年版） 》提出“四基”的课程目标． “四基”的内容是 什么？分别举例说明“四基”的含义． 13.数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，请解释教师 的引导作用主要体现在哪些方面？ 三、解答题（本大题 1 小题，10 分） 14.设函数 f ( x) x ln x ． (1)画出函数 f ( x ) 的草图． （6 分） (2)若 （提示：利用函 xi 1, xi 0 ，求函数 g ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ln xi ．的最大值．
i 1 n i 1
n
n 1 时 ， xi ln xi 达 到 最 大 ， n i 1
( xi ln xi ) max ln xdx 1 ，所以 xi ln xi 的最大值为 1．
i 1 0
1
四、论述题 15.[参考答案]“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活 动，它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，它是教师通过问 题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动．积累数学活动经验、培养学生应用 意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中， “综合与实践”是实现 这些目标的重要和有效的载体， “综合与实践”的教学，重在实践、重在综合，重在实践是指在活动中，注重学生自主 参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口．重在综合是指在活动中，注重数学与 生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用． 例如“一次函数的图象”的教学，函数是从一个变量到两个变量，对学生来说接受起来 可能有些困难，对于函数图象的解读，学生也会提出各种问题，针对学生的问题，可以设计 学生比较熟悉的龟兔赛跑的函数图象，让学生在故事情节和这个函数图象之间建立起联系， 对应起来，有利于认识不熟悉的函数图象． 呈现了这样一个函数图象，乌龟和兔子在一条笔直的大路上比赛，设跑的时间是 t ，单 位是秒， 路程为 S， 这样就出现了 S 和 t 两个变量． 根据这个图象所表达的变量之间的关系， 让学生通过思考和讨论来描述这个故事，这样就把问题抛给学生了， 在解决这个问题的时候， 学生要做的首先是看懂这个图象， 这必须通过他自己的亲身实 践才能做到，从而掌握其窍门．在交流展示的时候，则涉及了学习评价的问题，因为这里面 涉及算，会不会算，算的结果的正误，算完之后能不能对点与直线的关系加以描述，在描述 的过程中，是不是绘声绘色，声音洪亮，这些都可以作为评价的指标． 五、案例分析题 16.[参考答案](1)这四个片段的整体教学目标： 使学生掌握不等于零的数的零次幂的意 义；使学生掌握 a （ a 0 ， n 是正整数） ，并会运用它进行计算；通过探索，让学生体会 到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法．
D.3
）.
C．2
2． 若 f ( x ) 为 (l , l ) 内的可导奇函数，则 f ' ( x) （ A.是 (l , l ) 内的偶函数
）.
B.是 (l , l ) 内的奇函数
2 3． 定积分 3 2 16 6 x x dx 的值是( )．
A．
25 4
B．
25 2
mn 0 0 3 3 0
（5 分） a m a n (m, n N ) 可以拓展到自然数集；
(3)这四个片段对数学运算法则的教学有哪些启示？（9 分） 六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分） 17.请以“变量（第一课时） ”为课题，完成下列教学设计． (1)教学目标； （5 分） (2)教学重点、难点； （4 分） (3)教学过程（只要求写出新课导入和新知探究、巩固、应用等）及设计意图． （21 分）
2． A[解析]因为 f ( x) f ( x) ，所以
1 2
2
3 0, 函数 f ( x ) 单调递增，又 4
f ' ( x) lim
f ( x x ) f ( x ) f [( x x)] f ( x) lim x 0 x x f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) f ( x ) lim lim f ' ( x) x 0 x 0 x x
1 1 1 ， 当 x 时， f ' ( x) 0 ， 当x e e e
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(2)由图象可知，函数 f ( x ) 是下凸函数，可知在 0 xi 1 上， f ( x) x ln x 是先减后 增 ， 进 行 分 析 可 知 ， 当
n
xi 1, xi
http://www.tantuw.com/ 参考答案及解析 2013 年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（和级中学） 一、单项选择题 1． B[解析] f ' ( x ) 0 1 x x ( x )
2
5 f (0) 1, f (2) ， 函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有且只有一个交点．故选 B． 3
C．
25 6
D．
9 4
)．
4． 函数 y f ( x ) 的导函数， f ' ( x) 的图象如图所示， x0 1 ，则(
A. x 0 不是驻点 C． x 0 是极小值点
B． x 0 是驻点，但不是极值点 D． x 0 是极大值点
5． 设 M 为 3×3 实数矩阵，口为 M 的实特征值 的特征向量，则下列叙述正确的是 ( ). A．向量 M 与 共线 C．当 0 时， M 与 方向相同 6． 下列命题不正确的是( )． A．标准方程 B．当 0 时，Mct 与口方向相反 D．当 0 时， M 垂直于
i 1 i 1 n n
1
3
数 f ( x ) 的凸性． ） （4 分）
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http://www.tantuw.com/ 四、论述题（本大题 1 小题，15 分） 15.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综合与实践” 的教学特点。 五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分） 16.下面是“零指数幂”教学片段的描述，阅读并回答问题． 片段一 观察下列式子，指数有什么变化规律？相应的幂有什么变化规律？猜测 2 ?
x2 y2 1(a 0, b 0) 的平面曲线是双曲线 a2 b2
B．平面与圆锥面的交线是双曲线
http://www.tantuw.com/ C．平面上到定点与定直线距离之比为常数 ，且 1 的动点轨迹是双曲线 D．平面上到两定点 a, b 的距离之差的绝对值为定长 c，且 0 c ab 的动点轨迹是双 曲线 7． 下列内容属于《义务教育数学课程标准（2011 年版） 》第三学段“数与式”的是( ①有理数 ②方程 ③实数 ④代数式 ⑤整式与分式 A.①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 8． 下面哪位不是数学家？( ) A.祖冲之 B．秦九韶 C．孙思邈 D．杨辉 二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 9． 求过点 A（1，-2）的所有直线被圆 x y 5 截得线段中点的轨迹方程，
成曲边梯形的面积（如图所示阴影部分） ．

3
2
16 6 x x 2 dx
r 2 25 4 4
4． C[解析]
f ' ( x0 ) 0 ，所以 x0 是驻点，且 x 在小于 x0 的领域 f ' ( x) 0 ， x 在大
于 x0 的领域 f ' ( x) 0 ，则 x0 为极小值点． 5． A[解析]略． 6． B[解析]一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆 锥都相交时，交线为双曲线．如果不满足“截面与圆锥面的母线不平行”或“与圆锥面的两 个圆锥都相交” ，则交线可能是椭圆、圆或直线、甚至是点． 7． C[解析] 根据《义务教育数学课程标准（2011 年版） 》 ，第三学段“数与式”包括 的内容有：有理数、实数、代数式和整式与分式． 8． C[解析] 孙思邈是医药学家． 二、简答题 9． 解：点 A 在圆上，根据垂径定理可知，被圆截得线段中点 B 与圆 x y 5 的圆心 O(0,0) 连线必然垂直于直线 AB，所以 B 点在以 OA 为直径的圆上（直角所对的弦为 直径） ． 所以 B 在以 ,1 为圆心，以丢
m n mn 0
( m, n 为正整数， m n )，我们可以尝试
m n 的情况，有 23 23 233 20 ．
根据 2 2 8 8 1 ，得出： 2 1 片段四 在学生感受“ 2 1 ”的合理性的基础上，做出零指数幂的“规定” ，即 a 1( a 0) ． 验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，即原有的幂的运算性质可以扩展到 零指数幂． 问题： (1)请确定这四个片段的整体教学目标； （6 分） (2)验证运算法则 a
x 0
因此， f ( x ) 是偶函数． 3． A[解析] 设 y 16 6 x x 2 ，则 ( x 3) y 25( y 0) ，
2 2

3
2
16 6 x x 2 dx 表示曲线 y 16 6 x x 2 与直线 x 2, x 3 及 z 轴所围
http://www.tantuw.com/ 国考教师资格证考试初中数学模拟一 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1． 函数 f ( x ) 1 x A.0 >1, B.1
x 2 x3 的图象与 x 轴交点的个数是( 2 3
0
2 4 16 23 8 22 4 21 2 20 ?
上面算式中，从上向下每一项指数减 1．幂减半，猜测 2 1 . 片段二 用细胞分裂作为情境，验证上面的猜测：一个细胞分裂 1 次变成 2 个，分裂 2 次变成 4 个，分裂 3 次变成 8 个……那么，一个细胞没有分裂时呢？ 片段三 应用同底数幂的运算性质： 2 2 2
2 2
1 2

1 5 为半径的圆上， OA 2 2
http://www.tantuw.com/ 故 B 点的轨迹方程为： ( x ) ( y 1)
1 2
2
2
5 ． 4
10．证明：(1) 1 , 2 为 PX 0 的两个解，
P 1 0, P 2 0 c1 P 1 0, c2 P 2 0 c1 P 1 c2 P 2 0 P (c1 1 ) P (c2 2 ) 0 P (c1 1 c2 2 ) 0
即 c1 1 c2 2 也是 PX 0 的解． (2)方程组 PX 0 的解空间的维数是未知量的个数减去系数矩阵 P 的秩，即 3-2=1. 11.[ 参 考 答 案 ] 因 为 两 个 事 件 独 立 ， 所 以 P( AB) P( A) P( B) ， 则 x
1 1 3 2 x ( x ) ，解得 x 2 2 5 5
1 ．所以 2
12．[参考答案]《义务教育数学课程标准（2011 年版） 》中明确提出“四基”的课程目 标，即使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本 思想、基本活动经验” ．因此， “四基”分别指基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经 验．如在“图形的轴对称”这部分内容中， “了解轴对称的概念，探索它的基本性质”属于 基础知识； “能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形”属于基本技能； “认识并欣赏 自然界和现实生活中的轴对称图形”属于基本思想；在“抽样与数据分析”这部分内容中， “能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流”属于基本活动经验． 13.[参考答案]数学新课程提倡教师要成为学生学习活动的组织者、引导者与合作者， 教师的引导作用主要体现在：精心设计教学情境，激发学生探究欲望；认真钻研把握教材， 构建有价值的问题（创设让学生主动提问题的机会，帮助学生确立有研究价值的问题） ；选 择材料要恰当、实用、开放；转换角色，在探究过程中充当学生亲密的伙伴；鼓励学生把探 究活动延伸到课外． 三、解答题 14． 解： (1) f ' ( x) ln x 1 ， 令 f ' ( x) 0 ， 则x 时， f ' ( x) 0 ，且 f (1) 0 ，则图象如下：