球体参数方程详解完整版
球的性质与参数方程
应用：在三维几何、物理学、工程学等领域中，常常需要用到这种参数 方程来描述和研究球面上的几何形状和物理现象。
注意事项：在使用球心不在原点的球参数方程时，需要注意坐标系的选 取和参数的取值范围，以确保结果的准确性和可靠性。
Part Three
球的几何特性
球面三角形
定义：球面上的 三个点与球心构 成的平面图形
性质：三个角之 和为两直角，即 180度
应用：在球面几 何中，球面三角 形是研究球面图 形的基础
与平面三角形的区 别：球面三角形的 边长会随着球面的 曲率而变化
球面三角形中的正弦定理和余弦定理
正弦定理：球面三角形ABC的外接圆半径R与边AB、AC和角B、角C的正弦值之比都相等，即R=AB/sinC=AC/sinB。
球的表面积公式： A=4πr²，其中r为 球的半径
球面上的积分公式 ：∫∫dS，其中dS 为球面上的面积微 元
球面上的梯度、散 度和旋度等概念在 微积分中也有重要 的应用
球在概率论和统计学中的应用
球体概率：球体在概率论中常被用作概率模型的基础，如球体采样、球 体碰撞等。
球体统计：在统计学中，球体常被用于空间数据的统计分析，如球面距 离、球体聚类等。
Part Two
球的参数方程
参数方程的定义
参数方程是描述球面上的点与 参数之间的关系
参数方程包括三个参数：经度、 纬度和高度
参数方程可以表示球面上任意 一点的坐标
参数方程在三维空间中描述球 体的形状和位置
球心在原点的球参数方程
参数方程： x=r*sinθcosφ， y=r*sinθsinφ， z=r*cosθ
3d形状的函数
3d形状的函数
在数学中，3D形状的函数是指一个定义域为三维空间的函数，其值域为实数或复数。
这类函数可以用来表示各种几何体的形状，如球体、圆柱体、圆锥体等，同时也可以描述曲面、空间曲线等抽象的数学概念。
3D形状的函数通常使用参数方程或隐式方程来表示。
参数方程是将三维空间中的点表示为一个或多个参数的函数，例如，球体可以用以下参数方程表示：
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ
其中，r为球体的半径，θ和φ分别表示点的极角和方位角。
隐式方程则是将三维空间中的点表示为一条方程，例如，圆锥体可以用以下隐式方程表示：
z^2 = x^2 + y^2
这个方程表示了所有在平面z=0上的圆，以及从z=0向上延伸的棱锥形体。
除了直接使用参数方程或隐式方程外，还可以通过对已有函数进行变换来得到新的3D形状函数。
例如，将一个函数旋转一定角度后，可以得到一个新的函数，表示一个旋转体。
3D形状的函数在计算机图形学、工程学、物理学等领域有广泛的应用。
通过使用这些函数，可以方便地进行几何建模、渲染、动画
等操作。
《球体的参数方程》教学案4
《球体的参数方程》教学案4球体的参数方程一、教学目标1. 理解球体的参数方程的定义和意义；2. 学会根据给定条件构造球体的参数方程；3. 掌握使用参数方程绘制球体的方法。
二、教学内容1. 球体的参数方程的定义；2. 构造球体的参数方程的方法；3. 使用参数方程绘制球体的步骤。
三、教学准备1. 教学工具：计算器、白板、投影仪；2. 教学材料：球体参数方程的示例、绘制球体的示意图。
四、教学过程1. 引入通过展示球体的示意图，引发学生对球体的兴趣，并提出以下问题引导学生思考：- 如何用数学方式来描述球体？- 是否存在一种方式，能够使用少量的参数来准确表示球体上的每个点？2. 讲解球体的参数方程的定义和意义- 解释参数方程的含义：通过使用参数来表示某一物体的坐标，进而可以简洁地描述该物体上的所有点；- 介绍球体的参数方程：球体的参数方程通过三个参数来表示球体上的每个点的坐标，具体形式为：- x = r * sinθ * cosφ- y = r * sinθ * sinφ- z = r * cosθ其中，r为球体的半径，θ为极角，φ为方位角。
3. 构造球体的参数方程的方法- 根据给定的半径r，分别选取角度θ和φ的范围；- 设定步长，以便生成足够多的坐标点；- 利用参数方程计算每个点的坐标。
4. 使用参数方程绘制球体的步骤1. 在笛卡尔坐标系中确定x、y、z的取值范围；2. 遍历每个参数组合，计算对应的x、y、z坐标；3. 将计算得到的坐标点连接起来，形成球体的曲线；4. 根据需要进行调整和美化。
5. 实例演示通过一个具体的实例演示如何利用参数方程绘制球体，引导学生理解和掌握构造球体参数方程和使用参数方程绘制球体的方法。
6. 练与讨论安排学生进行个别或小组练，运用所学知识构造球体的参数方程，并尝试用参数方程绘制球体。
7. 总结总结球体的参数方程的定义、构造方法和绘制步骤，强调参数方程在数学建模和几何绘图中的应用价值。
球的参数方程与球面积的计算
03
球面积计算公式推导与证明
Chapter
曲面面积计算方法回顾
01
02
03
微小面积元法
将曲面划分为无数个微小 面积元，通过计算每个面 积元的面积并求和来得到 曲面面积。
第一型曲面积分
利用第一型曲面积分计算 给定曲面上的函数积分， 从而得到曲面面积。
参数方程法
对于可以用参数方程表示 的曲面，可以通过参数方 程计算曲面面积。
几何要素
球心、半径、球面、球内、球外。
球的表示方法
通常用球心字母和半径表示，如球$O(r)$表示球心为$O$，半径 为$r$的球。
球的性质与定理
球的对称性
球是中心对称图形，也是轴对称 图形，对称中心为球心。
球的切线性质
过球外一点作球的切线，切点唯 一且切线与过该点的半径垂直。
01 02 03 04
积分求解
将面积元在整个球面上进行 积分，得到球面积公式为 S=∫∫dA=4πR^2。
公式证明及误差分析
公式证明
通过上述推导过程，我们得到了球面积公式 S=4πR^2，该公式可用于计算任何给定半径的球 的表面积。
误差分析
在实际计算中，由于数值计算方法和计算机精度的 限制，可能会存在一定的误差。为了减小误差，可 以采用高精度数值计算方法和适当的舍入误差处理 技术。同时，在实际应用中还需要注意单位换算和 量纲匹配等问题，以避免因单位不一致而导致的误 差。
03
针对每个小网格，利用数值积分方法计算其面积，并累加得到整个球 面的近似面积。
04
可以采用不同的数值积分方法，如梯形法、辛普森法等，以提高计算 精度。
程序优化及误差控制策略
为了提高计算效率和精度，可以对程序进行优化。例如，采用更高效的数值积分方法、减少不必要的 计算步骤、利用并行计算技术等。
球面的参数方程
球面的参数方程球面是一种非常基本的几何图形，它在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
球面的参数方程是描述球面上任意一点的位置的一种数学公式，它可以用来计算球面上的各种参数，如曲率、面积、体积等。
本文将介绍球面的参数方程及其应用。
一、球面的定义球面是由所有与球心距离相等的点组成的曲面，它是一个三维空间中的二次曲面。
球面具有以下性质：1. 球面上的任意两点之间的距离是球心到这两点的距离的差值。
2. 球面上的任意一点到球心的距离都相等。
3. 球面的表面积是4πr，其中r为球的半径。
4. 球面的体积是(4/3)πr。
二、球面的参数方程球面的参数方程是描述球面上任意一点的位置的一种数学公式。
下面我们将介绍两种常见的球面参数方程。
1. 笛卡尔坐标系下的球面参数方程在笛卡尔坐标系下，球面的参数方程可以表示为：x + y + z = r其中，x、y、z分别表示球面上任意一点的坐标，r为球的半径。
2. 极坐标系下的球面参数方程在极坐标系下，球面的参数方程可以表示为：r = R其中，r为球面上任意一点到球心的距离，R为球的半径。
三、球面参数方程的应用球面的参数方程在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的应用。
1. 计算球面的曲率球面的曲率是描述球面曲率大小的一个物理量，它可以用球面的参数方程来计算。
球面曲率的公式为：K = 1/r其中，K为曲率，r为球面上任意一点到球心的距离。
2. 计算球面的面积球面的面积可以用球面的参数方程来计算。
球面的面积公式为： S = 4πr其中，S为球面的面积，r为球的半径。
3. 计算球面的体积球面的体积也可以用球面的参数方程来计算。
球面的体积公式为： V = (4/3)πr其中，V为球面的体积，r为球的半径。
四、结语球面的参数方程是描述球面上任意一点的位置的一种数学公式，它可以用来计算球面上的各种参数，如曲率、面积、体积等。
球面的参数方程在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用，是一种非常基本的数学工具。
高中数学 2.1.2圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化课件 新人教A版选修4-4
因为|AB|＝10，
所以圆的参数方程为xy＝＝55scions
θ， θ (θ
为参数)．
因为|AC|＝|BD|＝4.
所以 C，D 两点的坐标为 C(－1，0)，D(1，0)．
因为点 P 在圆上， 完整版ppt
栏 目 链 接
10
栏
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，所以参数方程为：
目 链
x＝－1＋cos y＝3＋sin θ
θ， (θ
为参数)．
接
点评：将一般方程标准化，引入参数，化为参数方程．将参数方程
化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必 须根据参数的取值范围确定参数f(x)和g(t)的值域，即x和y的取值
完整版ppt
3
完整版ppt
栏 目 链 接
4
题型一 圆的参数方程与普通方程互化
例 1 已知曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t (0≤t≤π)，把它化
为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．
栏
目
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参
链
接
变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角
即－2≤y≤0.
链 接
∴所求的曲线的参数方程为
(x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．
这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
完整版ppt
6
例 2 已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参
数方合的参数．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0 得(x＋1)2＋(y－3)2＝1，
范围．
完整版ppt
7
高考球体知识点总结
高考球体知识点总结高中阶段，物理学科中的球体知识点在高考中占据了重要的地位。
掌握了这些知识点，不仅可以在物理考试中取得良好的成绩，还能够帮助我们更好地理解物理世界中的现象和规律。
本文将对高考中常见的球体知识点进行总结，并提供相应的解析与示例，帮助考生更好地掌握这一部分内容。
一、球体的定义与性质球体是由一条定长的直线以其中一点为端点而绘制的轨迹形成的几何图形。
球体具有以下基本性质：1. 球体的表面积公式：球体的表面积公式为4πr²，其中r为球体的半径。
2. 球体的体积公式：球体的体积公式为(4/3)πr³，其中r为球体的半径。
二、球体的运动学球体在运动学中常涉及到以下几个重要的知识点：1. 球体的匀速直线运动：当球体在直线上做匀速运动时，可以通过位移、速度和时间之间的关系进行求解。
根据物体匀速直线运动的定义，球体在单位时间内位移的大小是恒定的。
2. 球体的自由落体运动：当球体在自由落体过程中，只受到重力作用，可以利用运动方程进行求解。
根据重力加速度g的定义，球体在自由落体过程中，其速度将以每秒增加9.8米的速度下降。
三、球体的静力学球体在静力学中经常涉及的知识点包括以下几个：1. 球体的支持力：当球体放在水平面上静止时，球体受到的支持力垂直于水平面并与地面接触。
根据牛顿第三定律，此时球体受到地面对球体的支持力，与球体所受的重力大小相等、方向相反。
2. 球体光滑斜面的运动：当球体沿着光滑斜面滚动时，可以利用重力分解成平行和垂直于斜面的分力进行分析。
根据物体在斜面上的运动规律，球体的加速度与斜面的倾角有关。
四、球体的能量转化球体在能量转化中常涉及以下几个重要概念：1. 动能与势能的转化：当球体从高处滚动到低处时，其势能逐渐转化为动能。
根据动能和势能的定义，球体的动能与其质量和速度的平方成正比，而势能与球体的高度和重力加速度的乘积成正比。
2. 球体的滚动摩擦：当球体滚动时，摩擦力会对其产生作用。
高中数学必备技巧解析几何中的球面与圆锥曲线
高中数学必备技巧解析几何中的球面与圆锥曲线高中数学必备技巧：解析几何中的球面与圆锥曲线解析几何是高中数学中的一个重要分支，而球面与圆锥曲线是其中的两个重要概念。
在本文中，将介绍解析几何中与球面与圆锥曲线相关的必备技巧。
一、球面球面是空间中的一个几何体，它由与一个定点距离相等的所有点组成。
在解析几何中，球的方程可以表示为：(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a,b,c)代表球心的坐标，r代表球的半径。
1. 球面的方程与图像球面的方程为上述形式，在坐标系中，可以通过求解该方程找到球面的一般方程。
对于已知球心和半径的情况下，可以轻松绘制球面。
在三维坐标系中，球面呈现为一个完美的圆。
2. 球面的性质球面具有许多重要性质，包括以下几点：- 球面上的点到球心的距离相等。
- 球面上的所有点都位于同一平面上，该平面称为球的切平面。
- 切平面与球面的交线为圆，这个圆称为球的截圆。
二、圆锥曲线圆锥曲线是解析几何中的另一个重要概念，它由圆锥与一个平面的交线形成。
根据交线的形状和方程的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆- 椭圆的方程：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)代表椭圆中心的坐标，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
- 椭圆的图像：椭圆呈现为一个闭合的弯曲形状，其两个轴（长轴和短轴）分别沿着x轴和y轴方向。
2. 双曲线- 双曲线的方程：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)代表双曲线中心的坐标，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
- 双曲线的图像：双曲线呈现为两个分离的曲线，形状与椭圆类似，但两者之间存在差异。
3. 抛物线- 抛物线的方程：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)代表抛物线顶点的坐标，a代表抛物线的参数。
球坐标参数方程
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t此主题相关图片如下：1.jpg2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))此主题相关图片如下：2.jpg3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3此主题相关图片如下：3.jpg4.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8此主题相关图片如下：4.jpg5.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0此主题相关图片如下：5.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:29:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohu等级：管理员z =此主题相关图片如下：y =此主题相关图片如下：8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20此主题相关图片如下：8.jpg9.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)此主题相关图片如下：9.jpg10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3此主题相关图片如下：10.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 2 人] 查看评论信息2008-3-4 0:31:00theta=t*360此主题相关图片如下：12.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)此主题相关图片如下：12.jpg13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0此主题相关图片如下：13.jpg14.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）此主题相关图片如下：14.jpg15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做此主题相关图片如下：15.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:34:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日y =此主题相关图片如下：17.4叶线（一个方程做的，没有复制）此主题相关图片如下：17.jpg18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)此主题相关图片如下：18.jpg19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0此主题相关图片如下：19.jpg20.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t此主题相关图片如下：20.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论此主题相关图片如下：21.jpg22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0此主题相关图片如下：22.jpg23. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)此主题相关图片如下：23.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohuy=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) 此主题相关图片如下：24.jpga=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)此主题相关图片如下：25.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohuy =此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：27.jpg28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)此主题相关图片如下：28.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程。
球体的公式一般表示形式 解释说明
球体的公式一般表示形式解释说明1. 引言1.1 概述球体是一种具有各向同性的立体，它在数学和几何学中扮演着重要的角色。
在物理学、力学、天文学以及计算机图形学等领域中，球体的概念被广泛应用。
1.2 文章结构本文主要探讨球体的公式一般表示形式，通过对球面的定义、基本属性和公式推导进行详细解释说明。
此外，文章还将根据不同的章节进行其他相关内容的阐述，并进行总结与展望。
1.3 目的文章旨在提供一个清晰且全面的关于球体公式一般表示形式的解释。
通过深入探究球面的定义、属性和推导过程，读者可以加深对球体概念的理解，并了解其在不同领域中的应用和意义。
同时，文章还可为需要研究和应用球体公式的人们提供参考和指导。
以上是关于文章“1. 引言”部分内容详细清晰撰写完成，请核对确认。
2. 正文：2.1 球体的定义球体是一个几何图形，它由所有离一个给定点（称为球心）距离相等于半径的点组成。
在三维欧几里德空间中，球体可以用一个中心坐标和半径来描述。
通过将给定点与其它所有满足条件的点连接起来，我们可以得到球体的边界，也被称为表面。
2.2 球体的基本属性根据定义，球体具有以下基本属性：- 球心：球体的中心点，所有离该点距离相等于半径的点都在球面上。
- 半径：从球心到球面上任意一点的距离。
- 表面积：球体表面的总面积。
- 体积：球体所包围空间的大小。
这些属性是描述和计算球体性质时常用到的重要概念。
2.3 球体的公式推导为了推导出表示球体性质的公式，我们可以利用三维空间中坐标系及勾股定理等几何知识。
假设球心位于原点(0,0,0)，则任意一点P(x,y,z)处与球心之间的距离可以表示为：d = √(x²+ y²+ z²)根据球体的定义，该距离应等于球体的半径r，则可以得到方程：√(x²+ y²+ z²) = r通过对该方程进行整理和化简，我们可以得到标准的球体公式：x²+ y²+ z²- r²= 0这个公式表达了一个点在三维空间中与球心之间的关系，从而判断该点是否位于球面上。
球面的参数方程公式
球面的参数方程公式球面是一种重要的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
球面的参数方程公式是描述球面形状的一种数学表达式，本文将介绍球面的参数方程公式及其应用。
一、球面的基本概念球面是以一个点为中心，以半径为半径的球形曲面。
球面是三维空间中的一种曲面，具有以下特点：1. 所有点到球心的距离都相等；2. 球面上的任意两点之间的距离等于球心到这两点的距离的差；3. 球面是一个连续的曲面，没有任何间断。
球面是一种重要的几何图形，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在数学中，球面是一种重要的曲面，具有很多重要的性质和应用。
在物理学中，球面是描述天体、分子、原子等微观结构的重要工具。
在工程学中，球面是描述物体表面形状的重要参数之一。
二、球面的参数方程公式球面的参数方程公式是描述球面形状的一种数学表达式。
球面的参数方程公式可以表示为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r cosθ其中，r 是球的半径，θ和φ是两个参数，分别表示球面上一点的纬度和经度。
纬度是指从球心到球面上某一点的连线与球心到球面最高点的连线之间的夹角。
纬度的范围是从 0 到π，也称为北纬和南纬。
经度是指从球心到球面上某一点的连线与某一基准面的夹角。
经度的范围是从 0 到 2π，也称为东经和西经。
球面的参数方程公式可以用来计算球面上任意一点的坐标，从而描述球面的形状。
球面的参数方程公式是一种非常重要的数学工具，广泛应用于物理、工程、地理等领域。
三、球面的应用球面在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 天文学中，球面用来描述天体的形状和运动轨迹。
2. 地理学中，球面用来描述地球的形状和地理位置。
3. 工程学中，球面用来描述物体表面的形状和曲率。
4. 计算机图形学中，球面用来描述三维模型的形状和纹理。
5. 物理学中，球面用来描述分子、原子等微观结构的形状和运动。
总之，球面是一种重要的几何图形，具有广泛的应用。
最细致的球体讲解，画好物体体积的关键！
最细致的球体讲解，画好物体体积的关键！
“球体素描关系分析”
球体是最难表现的石膏几何体之一，难在塑造上。
在光线的照射下，球体上任何一个地方的调子深浅都是不一样的，调子的丰富性决定了球体塑造的难度。
而且球体放在衬布上时，衬布对球体的反光产生了较大的影响，使得暗部调子更加复杂。
1、圆球体的九个调子，颜色的渐变、虚实
2、圆球体高光、背景、台面解读
3、圆球体明暗交界线色调解读
4、圆球体投影解读
根据圆球扩展到苹果，橘子、橙子香瓜等，从整体上来看对于较圆的物体，小伙伴都可以看作为圆球来分析。
如下：
“圆球体外形的画法”
“圆球体素描作画步骤”
1、画出圆球体的形状，确定明暗交界线的投影的位置，要注意明暗交界线的弧度。
2、铺出圆球体的暗面，投影和背景的大致调子。
3、虚化暗部和背景处的调子，使画面上送我空间关系得到加强。
4、丰富调子层次，是圆球体的黑、白、灰关系更加丰富，造型更加立体。
5、进入深入刻画圆球体的体积感和画面的空间感，排线要均匀，调子过度要自然。
“圆球体布光角度”
侧光
顶侧光
逆光
正光
“圆球体错误画法”“作品欣赏”
-END-。
球坐标参数方程
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t 此主题相关图片如下：1.jpg2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))此主题相关图片如下：2.jpg3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程： r=ttheta=10+t*(20*360) z=t*3此主题相关图片如下：3.jpg4.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8此主题相关图片如下：4.jpg5.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0此主题相关图片如下：5.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:29:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第2楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱6.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t此主题相关图片如下：6.jpg7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)此主题相关图片如下：7.jpg8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20此主题相关图片如下：8.jpg9.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 此主题相关图片如下：9.jpg10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3此主题相关图片如下：10.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 2 人] 查看评论信息2008-3-4 0:31:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第3楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱11.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360此主题相关图片如下：11.jpg12.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)此主题相关图片如下：12.jpg13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0此主题相关图片如下：13.jpg14.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）此主题相关图片如下：14.jpg15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做此主题相关图片如下：15.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:34:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第4楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b 此主题相关图片如下：16.jpg17.4叶线（一个方程做的，没有复制）此主题相关图片如下：17.jpg18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)此主题相关图片如下：18.jpg19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0此主题相关图片如下：19.jpg20.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t此主题相关图片如下：20.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:36:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第5楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)此主题相关图片如下：21.jpg22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0此主题相关图片如下：22.jpg23. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)此主题相关图片如下：23.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第6楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) 此主题相关图片如下：24.jpg25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)此主题相关图片如下：25.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程•评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论 | 引用 | 回复 | 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日第7楼小大个性首页 | 短信 | 好友 | 信息 | 搜索 | 邮箱26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))此主题相关图片如下：26.jpg27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)此主题相关图片如下：27.jpg28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)此主题相关图片如下：28.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
参数方程及其图形(很全面的)
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。
球坐标参数方程
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t此主题相关图片如下：1.jpg2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))此主题相关图片如下：2.jpg3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3此主题相关图片如下：3.jpg4.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8此主题相关图片如下：4.jpg5.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0此主题相关图片如下：5.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:29:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohu等级：管理员z =此主题相关图片如下：y =此主题相关图片如下：8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20此主题相关图片如下：8.jpg9.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)此主题相关图片如下：9.jpg10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3此主题相关图片如下：10.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 2 人] 查看评论信息2008-3-4 0:31:00theta=t*360此主题相关图片如下：12.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)此主题相关图片如下：12.jpg13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0此主题相关图片如下：13.jpg14.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）此主题相关图片如下：14.jpg15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做此主题相关图片如下：15.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:34:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohu等级：管理员文章：10372经验：81345金钱：76095自学币：1注册：2007年10月8日y =此主题相关图片如下：17.4叶线（一个方程做的，没有复制）此主题相关图片如下：17.jpg18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)此主题相关图片如下：18.jpg19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0此主题相关图片如下：19.jpg20.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t此主题相关图片如下：20.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论此主题相关图片如下：21.jpg22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=0此主题相关图片如下：22.jpg23. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)此主题相关图片如下：23.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 0 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohuy=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) 此主题相关图片如下：24.jpga=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)此主题相关图片如下：25.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程评论[支持者: 0 人，反对者: 0 人，中立者: 1 人] 查看评论信息2008-3-4 0:38:00点击参与评论| 引用| 回复| 帖子操作samohuy =此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：27.jpg28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)此主题相关图片如下：28.jpg我要自学网，打造专业软件视频教程。
列参数方程
列参数方程什么是参数方程？在数学中，参数方程是一种描述曲线或曲面的方法。
通常情况下，我们使用直角坐标系来描述一个点的位置，即通过x轴和y轴的坐标值来表示。
但是在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的形状和位置。
参数方程使用参数来表示点的位置，而不是直接使用坐标值。
通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线上的不同点。
参数方程可以描述二维曲线，也可以描述三维曲面。
一维参数方程首先，让我们来看一个简单的一维参数方程的例子。
考虑一个直线，可以通过以下参数方程来描述：x = t y = 2t在这个参数方程中，x和y分别表示直线上的点的坐标，t是参数。
通过改变t的取值范围，我们可以得到直线上的不同点。
例如，当t=0时，x=0，y=0，这是直线上的一个点。
当t=1时，x=1，y=2，这是直线上的另一个点。
通过改变t的取值，我们可以得到直线上的所有点。
二维参数方程接下来，让我们来看一个二维参数方程的例子。
考虑一个圆，可以通过以下参数方程来描述：x = cos(t) y = sin(t)在这个参数方程中，x和y分别表示圆上的点的坐标，t是参数。
通过改变t的取值范围，我们可以得到圆上的不同点。
例如，当t=0时，x=1，y=0，这是圆上的一个点。
当t=π/2时，x=0，y=1，这是圆上的另一个点。
通过改变t的取值，我们可以得到圆上的所有点。
三维参数方程最后，让我们来看一个三维参数方程的例子。
考虑一个球体，可以通过以下参数方程来描述：x = r * sin(u) * cos(v) y = r * sin(u) * sin(v) z = r * cos(u)在这个参数方程中，x、y和z分别表示球体上的点的坐标，r是球体的半径，u和v是参数。
通过改变u和v的取值范围，我们可以得到球体上的不同点。
例如，当u=0，v=0时，x=r，y=0，z=0，这是球体上的一个点。
当u=π/2，v=π/2时，x=0，y=0，z=r，这是球体上的另一个点。
球面方程的标准方程
球面方程的标准方程球面是我们生活中常见的几何形状之一，它在数学中有着重要的应用。
在三维空间中，球面的方程可以用不同的形式表示，其中标准方程是一种常用且简洁的表示方法。
本文将介绍球面的标准方程及其相关知识。
首先，我们来看一下球面的定义。
球面是以一个点为球心，以一个正数为半径的集合。
在三维坐标系中，球面可以由方程表示为：(x a)² + (y b)² + (z c)² = r²。
其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
这就是球面的标准方程。
通过这个方程，我们可以很方便地确定球面的位置、形状和大小。
接下来，我们来看一些球面标准方程的具体例子。
假设球心坐标为(2, 3, 4)，半径为5，则球面的标准方程为：(x 2)² + (y 3)² + (z 4)² = 25。
这个方程描述了以(2, 3, 4)为球心，半径为5的球面。
通过这个方程，我们可以确定球面上任意一点的坐标，也可以判断某个点是否在球面上。
除了直接给出球心和半径的数值，我们也可以通过其他方式得到球面的标准方程。
例如，如果已知球面上的三个点的坐标，则可以通过这些点的距离关系得到球面的标准方程。
又如，如果已知球面上的一个点和球面的法向量，则可以通过这些信息得到球面的标准方程。
在实际问题中，球面的标准方程经常被用来描述物体的表面，比如天文学中描述行星、地理学中描述地球等。
在工程领域，球面的标准方程也经常被用来描述反射器、声纳等设备的表面。
除了标准方程外，球面还可以用参数方程、一般方程等形式表示。
每种表示方法都有其适用的场景和优势。
但在实际计算中，标准方程常常更加简洁、方便。
总之，球面是一个重要的几何形状，在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
球面的标准方程是一种简洁而常用的表示方法，通过这个方程，我们可以方便地描述球面的位置、形状和大小。
希望本文能够帮助读者更好地理解球面的标准方程及其应用。