文科立体几何知识点方法总结高三复习
高中文科立体几何基础知识点
高中《立体几何》（文科数学知识要点）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,mlα方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角) (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
高中文科数学立体几何知识点
高考立体几何中直线、平面之间的地点关系知识点总结（文科）一．平行问题（一）线线平行：方法一：常用初中方法（ 1 中位线定理； 2 平行四边形定理；3 三角形中对应边成比率；4 同位角、内错角、同旁内角）方法二： 1 线面平行线线平行ll //l l // m mm方法三： 2 面面平行线线平行lβ//γml l // mαm方法四： 3 线面垂直线线平行若 l, m，则 l // m 。
方法五：用向量方法：若向量 l 和向量 m 共线且l、m不重合，则l // m。
（二）线面平行：方法一： 4 线线平行线面平行ll // m mm l //αl方法二： 5 面面平行线面平行lβ//l //αl方法三：法向量n l若 n 为平面的一个法向量，n l且 l, 则l //。
α（三）面面平行： 6 方法一：线线平行面面平行l // l 'lm // m'βm //l , m且订交l'l ', m'且订交αm'方法二： 7 线面平行面面平行l //， m //βlml , m//l m Aα方法三： 8 线面垂直面面平行面l// 面面面l方法三：用向量实现。
平面、的法向量分别是m、 nm // n 面 // 面二．垂直问题：（一）线线垂直方法一：常用初中的方法（ 1 勾股定理的逆定理； 2 三线合一；3 直径所对的圆周角为直角；4 菱形的对角线相互垂直。
）方法二： 9 线面垂直线线垂l直mαll mm方法三：三垂线定理及其逆定理。
PPO A Ol OA l PAαll l方法四：直线 l、 m上的向量分别是l 、 m ml m l mα（二）线面垂直：10 方法一：线线垂直线面垂直l AC ll ABlAC AB A CAAC ,ABBα方法二： 11 面面垂直线面垂直βlmm ll m, lα方法三：平面的法向量是 nn// l平面l（面）面面垂直：方法一： 12 线面垂直面面垂直βlllα方法二：平面、的法向量分别是 m、 n n m面面三、夹角问题：异面直线所成的角：( 一) 范围：(0 ,90 ]增补：空间向量在立体几何问题中的应用1 A(x, y, z) ， x叫横坐标， y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
文科立体几何知识点方法总结高三复习
立体几何知识点整理方法二：用面面平行实现。
•直线和平面的三种位置关系:// ll //1.线面平行方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面的一个法向量，n2.线面相交则丨〃3.面面平行:符号表示:方法一：用线线平行实现。
l //l' m// m' l, m 且相交 l',m' 且相交方法用线面平行实现。
二•平行关系: 1.线线平行: l // 方法一：用线面平行实现。
l //l 〃m mm//且相交•垂直关系:1.线面垂直://方法二：用面面平行实现。
『二'刁7〃 a m 丰 方法三：用线面垂直实现。
l l //m m 方法一：用线线垂直实现。
l AC l AB lAC AB A AC, AB方法二：用面面垂直实现。
若 I ,m ，则 l // m 。
方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且I 、m 不重合，则l//m 。
m ll m,l2.面面垂直:2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。
l//m ml //方法一：用线面垂 直实现。
（1）定义：直线l上任取一点P （交点除外），作PO 于O,连结AO ,则AO为斜线PA在面内的射影，PAO （图中）为直线I与面所成的角。
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法: POl OAll PA⑵范围：[0 ,90 ]当0时，l 或丨〃当90时，l（3）求法：方法一：定义法。
步骤1:作出线面角，并证明。
步骤2:解三角形，求出线面角。
若向量l和向量m的数量积为0,则l m。
三•夹角问题。
（一）异面直线所成的角：（1）范围：（0,90] （三）二面角及其平面角（1）定义：在棱I上取一点P,两个半平面内分别作I的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹角为二面角一l —的平面角。
（2）求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
2021年文科立体几何知识点方法总结高三复习
立体几何知识点整顿（文科）一．直线和平面三种位置关系：1. 线面平行l符号表达：2. 线面相交符号表达：3. 线在面内符号表达：二．平行关系：1.线线平行：办法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα办法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα办法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
办法四：用向量办法：若向量l和向量m共线且l、m不重叠，则ml//。
2.线面平行：办法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂办法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂办法三：用平面法向量实现。
若为平面α一种法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：办法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll办法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：办法一：用线线垂直实现。
lαα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,办法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：办法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l办法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：办法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα办法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭办法三：用向量办法：若向量和向量数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成角： (1) 范畴：]90,0(︒︒ (2)求法： 办法一：定义法。
环节1：平移，使它们相交，找到夹角。
环节2：解三角形求出角。
(惯用到余弦定理) 余弦定理：cos =θ(计算成果也许是其补角) 办法二：向量法。
高中文科数学立体几何知识点总结
立体几何知识点整理（文科）一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二． 平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l ,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l 、m 不重合，则m l //。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂l方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
文科立体几何知识点、方法总结材料高三复习
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos(二)线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习 (1)
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示:2. 线面相交符号表示：3。
线在面内符号表示:二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现.若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四:用向量方法:若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现.ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现.βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系:1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角. 3. 线线垂直：方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角: （1) 范围:]90,0(︒︒ （2)求法： 方法一：定义法。
步骤1:平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角.(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理（文科）l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一． 直线和平面的三种地点关系：αm 不重合，则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行：α 符号表示：方法一：用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示：方法二：用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示：二． 平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。
方法一：用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二：用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行：γl l // mαmm方法一：用线线平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m，则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
C方法二：用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二：计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三．垂直关系：A Ol1. 线面垂直：αl方法一：用线线垂直实现。
l AC 方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ，则 lm 。
AC lAB A AC,AB三． 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。
(1) 范围： (0 ,90 ](2) 求法：Pβlnmlmlm, lα方法一：定义法。
αAθO步骤 1 ：平移，使它们订交，找到夹角。
步骤 2 ：解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理：aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二：向量法。
高中文科数学立体几何知识点总结
ll//m立体几何知识点整理（文科）ml//m一．直线和平面的三种位置关系：αl1.线面平行方法二：用面面平行实现。
l//l//αl 符号表示：2.线面相交lβlαAα方法三：用平面法向量实现。
符号表示：3.线在面内nl若n 为平面的一个法向量，nl 且l,则l//。
lα α符号表示：二．平行关系：1.线线平行：l方法一：用线面平行实现。
l// ll//mm3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
l//l' αl βm l' m'mm // l,mm ' 且相交//方法二：用面面平行实现。
l',m'且相交l//βll//m γ mmα方法二：用线面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l//若l,m ，则l//m 。
m//// 方法四：用向量方法：l,m且相交βl m若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则l//m 。
α2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
1/11WORD 格式lA αC B方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则lm 。
三．垂直关系：三．夹角问题。
4.线面垂直：(一)异面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现。
(1)范围：(0,90] lAC l ABAB AB AC AC,Al(2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
P nA θOα 方法二：用面面垂直实现。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理： βlmlacmlm,lcos2 a 2 b 2abc2 θbα(计算结果可能是其补角) 5.面面垂直：方法二：向量法。
转化为向量 方法一：用线面垂直实现。
C的夹角βllθ()计算结果可能是其补角：lA BαABAC ABACcos方法二：计算所成二面角为直角。
(二)线面角6.线线垂直：(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作方法一：用线面垂直实现。
m l lmlmP O于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。
高中立体几何知识点(文科)2012.12.8
立体几何知识点(文科)一．平行关系1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 二．垂直关系： 2. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。
l步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)(二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
高中文科数学立体几何知识点
立体几何知识点（文科)一．平行关系１． 线线平行：方法一:用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三:用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l,，则m l //。
方法四：用向量方法:若向量和向量共线且l 、m 不重合，则m l //。
2. 线面平行：方法一:用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二:用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3. 面面平行：方法一:用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 二．垂直关系: 2. 线面垂直：方法一:用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直:方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角:(１) 范围：]90,0(︒︒(2)求法:方法一：定义法。
l步骤1：平移,使它们相交,找到夹角。
步骤２:解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)(二) 线面角(1)定义:直线l 上任取一点P （交点除外)，作ＰO ⊥α于Ｏ，连结A Ｏ,则A Ｏ为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
（完整）高中文科数学立体几何部分整理.doc
（完整）高中文科数学立体几何部分整理.doc立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。
（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” .（ 2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ，（即取 xoy 90 ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ，取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 A ，B ， C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEA ．B ．C ．D ．立体几何解：在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A（二）立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
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立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法用线直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：(计算结果可能是其补角)θcbal方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围：]90,0[︒︒当︒=0θ时，α⊂l 或α//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考点2 异面直线的距离ABC DO F例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.考点3 直线到平面的距离例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离 考点4 异面直线所成的角例4如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC△可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 考点6 二面角例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥ （II ）求二面角B AC P --的大小． 考点7 利用空间向量求空间距离和角例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ<一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.BA CDOGH DCASBP2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅221()x x =-+14.异面直线间的距离： ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).15.点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18. 面积射影定理 'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的θ).19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径,. 20.?求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定： ab b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒ααα abα线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直：2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。
）三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理)高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离. 【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC ,例1题图例2题图例3题图BACD∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22. 【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离. 解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,1y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则1111433cos 33||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。