逻辑学3 第三章 命题及其符号表达
03第三章：命题符号化及联结词
第一节：命题符号化及联结词※引言命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。
逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。
在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。
为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。
所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。
※命题符号化及联结词数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
【定义1】命题：能判断真假的陈述叫做命题注意：(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句【例题1】判断下列语句中哪些是命题(1)2是素数(2)雪是黑色的(3)532=+(4)明年十月一日是晴天(5)3 能被2整除(6)这朵花真好看呀！(7)明天下午有会吗？(8)请关上门！(9)5>+y x(10)地球外的星球上也有人其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题【方法】(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事(3)注意悖论：如：我正在说谎。
【定义2】原子命题：不能分解为更简单的陈述句叫做原子命题或简单命题【定义3】命题常项：对于简单命题如果它的真值是确定的，则：称其为命题常项或命题常元命题变项：真值可以变化的陈述句成为命题变项或命题变元，用小写的英文字母表示注意：命题变项不是命题【定义4】复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题叫做复合命题【定义5】联结词类型(1)否定：设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记做：P如果P为T，则：P⌝为F；如果P为F，则：P⌝为T〖注意〗自然语言常用“非”、“不是”等(2)合取：两个命题P和Q的合取是一个复P∧合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为T时，QP∧的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”等【例题2】将下列命题符号化(1)李平既聪明又用功(2)李平虽然聪明，但不用功(3)李平不但聪明，而且用功(4)李平不是不聪明，而是不用功〖解答〗用p：表示李平聪明，q：表示李平用功则：(1)(2)(3)(4)分别符号化为：∧⌝⌝⌝∧(∧)q∧qppqqpp⌝【练习】将下列命题符号化(1)苹果是红的与香蕉是黄的(2)他打开箱子，并拿出一件衣服(3)张小明和张小华是堂兄弟(4)4是偶数且是素数注意：(3)是简单命题(3)析取：两个命题P和Q的析取是一个复P∨合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为F时，QP∧的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“或”表示，注意或具有双义性，可以是兼容或，也可以是排斥或【例题3】将下列命题符号化(1)我选修英文课或数学课(2)灯泡有故障或开关有故障(3)通过电视看杂技或到剧场看这场杂技（异或）(4)小李或小张可以解答这个问题(4)条件：两个命题P和Q，其条件命题是P→一个复合命题，记做：Q当且仅当P的真值为T，且Q的真值为F时，QP→的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“只要……就……”、“……仅当……”、“只有……才……”、“如果……则……”等【例题4】将下列命题符号化(1)只要不下雨，我就骑车上班(2)只有不下雨，我才骑车上班(3)如果422=+，则：太阳从东方升起(4) 如果422≠+，则：太阳从东方升起(5)双条件（等价）：两个命题P和Q，其复P↔叫做等价命题合命题Q当且仅当与Q的真值相同时QP↔的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“当且仅当”等【例题5】将下列命题符号化3是奇数(1) 4+当且仅当22=(2) 422=+当且仅当3不是奇数(3) 422≠+当且仅当3是奇数(4) 422≠+当且仅当3不是奇数(5)两圆的面积相等当且仅当他们的半径相等(6)两角相等当且仅当它们是对顶角上述介绍的五种联结词成为逻辑联结词，在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命题符号化，其具体步骤是：(1)分析出各简单命题，将其符号化(2)使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示【例题6】将下列命题符号化(1)小王是游泳冠军或百米赛冠军(2)小王现在宿舍或在图书馆(3)选小王或小李中的一个人当班长(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累(5)小王是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生〖解答〗(1) 用p：表示小王是游泳冠军，q：表示小王是百米冠军，命题可符号化为：qp∨(2) 用p：表示小王在宿舍，q：表示小王在图书馆，命题可以符号化为：qp∨(3) 用p：表示小王当班长，q：表示小李当班长，命题可以符号化为：⌝p∧∧⌝∨(q)q()p(4)用p：表示我上街，q：表示我去书店看看，r：表示我很累则：命题可以符号化为：)⌝(q→r→p (5) 用p：表示小王是计算机系的学生，q：表示小王生于1968年，r：表示小王生于1969年，s ：表示他是三好学生 则：命题可以符号化为：()p q r s ∧∨∧五种联结词符也称为逻辑运算符，它与普通的数的运算符一样，可以规定运算的优先级，规定：优先级的运算顺序是：↔→∨∧⌝，如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先进行括号中的运算第二节：命题公式及分类 ※命题公式由联结词q p q p q p q p p ↔→∨∧⌝,,,,和多个命题常项可以组成更复杂的复合命题，如果在复合命题中，r q p ,,等不仅可以代表命题常项，也可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式叫做命题公式 抽象的讲，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串【定义1】合式公式：(1)单个命题常项或变项1,0,,,,,,,, i i i r q p r q p 是合式公式(2)如果A 是合式公式，则：)(A ⌝也是合式公式(3)如果B A ,是合式公式，则：也是合式公式(4)只有有限次使用(1)、(2)、(3)组成的符号串才是合式公式可以将合式公式称为命题公式，简称公式〖注意〗(1)为方便起见，规定：)(A ⌝，)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧的外层括号可以省略不写(2)根据定义，可知：r q p r q p q p ↔∧→→∨⌝)(),(),(等是命题公式，但r q p r pq →∨⌝→),等不是命题公式一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，此时其真值唯一确定，由此引出解释或赋值的定义【定义2】解释或赋值设A 为一个命题公式，n p p p ,,,21 为出现在A中的所有的命题变项，给n p p p ,,,21 指定一组真值，称为对A 的一个解释或赋值。
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
基本真值联结词 ¬ 否定 ∧ 合取 ∨ 析取 蕴涵 等值
5种基本真值形式
¬ p 否定式
p ∧q 合取式 pq 蕴涵式 pq 等值式
p∨q 析取式 真值函项
函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值 y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值决定。 与函数类比 真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依 赖其变项的值，如p∧q的值，由p和q的值决定。 每一真值形式都是真值函项；真值形式与真值函项的数目并不一样多， 真值形式的数目无限，真值函项数却是确定的；不同的真值形式，表 达相同的真值函项；真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定， 变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。 当n（变项数）为1时，其真假组合为2，对真假组合的断定有4种可 能，即真值函项有4个；变项数为2，则真值函项有16个；变项数为3， 则真值函项为256个。
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
但逻辑学难以对付诸如相关性、顺序等影响命题真假的因素。逻辑研究 撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义，仅从复合命题与支命题之 间的真假制约关系来考虑逻辑联结词，这样，逻辑联结词就成为真值联 结词；命题的逻辑形式也就成为真值形式。
法律逻辑学第三章 简单命题及推理
一 ,定义 命题是对思维对象有所断定的一种思维形式 二,命题的逻辑特征 1,对思维对象有所肯定或否定 所谓断定,要么对思维对象有所肯定,要么对思维对象 有所否定,即肯定或否定思维对象具有什么性质. 2,有真假 学术界关于逻辑真与经验真问题.(形式真与事实真) 逻辑从命题形式上研究命题的逻章要点
命题-语句-直言命题-真假关系-对当关系-项 的周延性-推理-对当关系推理-命题变形规则推理换质推理-换位推理-换质位推理-换位质推理-戾换 推理-三段论-三段论组成,公理,规则,格与式, 省略形式-关系命题-关系的性质-关系推理
三,命题与语句
联系: 命题作为思维形式是离不开语句而赤裸裸的存在着;命题的形成,存在,巩固和 表达都离不开语句.语句离开命题则是毫无意义的音节或笔划的堆积.命题是语句的 思维内容和逻辑基础,语句则是命题的物质外壳和表达形式. 区别: ①命题属于思想范畴,是客体的反映,语句属于语言范畴,是用来表达思想的音 节或符号.二者属于不同对象领域. ②任何命题都要用语句表达,但并非所有语句表达命题,陈述句,反诘句,感叹 句,祈使句在一定语境中可以间接表达命题. 同一命题可以用不同语句表达. 例如:我是一名教师——I am a teacher. 2,在同一民族语言中同一命题因交际的目的,对象,语境不同,也可以表达不同 的语句. 如:a一切事物都包含着矛盾 b事物总有矛盾. c难道有不包含矛盾的事物. 3,同一语句可以表达不同的命题. 例如:鸡不吃了 我看见白头翁 学生不能欺骗老师
同一素材下A 同一素材下A,E,I,O真假关系由下表来表示
推知 推知 已知真 A E I O T F 不定 F F T F 不定 T F T 不定 F T 不定 T O I E A A E I O 已知假
3形式逻辑-第三章 简单命题及其推理(上)
A、E、I、O都可以按上述方法进行换质 法变形推理：
原命题 SAP SEP SIP SOP
换质命题 SE﹁P SA﹁P SO﹁P SI﹁P
⑵换位法，改变原命题主项和谓项的位 置而推出一个新命题的推理方法。
步骤:第一，只更换主、谓项的位置；第 二，换位命题的主、谓项不得扩大原命 题中的对应项的周延情况。
(2) 按照前提和结论一般性程度的不同，可以把推理分为演 绎、归纳和类比。演绎是由一般性的前提推到个别性的结论； 演绎推理的前提必须蕴涵结论，即一个正确的演绎推理的前提 如果是真的，则结论一定是真的，所以它一定是必然性推理。 归纳是由个别性的前提推到一般性的结论；类比是由个别性的 前提推到个别性的结论。归纳和类比就是所说的或然性推理。
2.命题和语句
(1)命题是表达判断的语句，但并非所有语句都表达 命题。只有能区分其真或假的语句才构成命题。
语句主要有四种，即陈述句、疑问句、祈使句和感 叹句。其中陈述句一般是能区分真假的，它是命题的最 基本语言形式；疑问句、祈使句、感叹句一般不直接表 达判断，所以不是命题；但反诘疑问句、预设句因为隐 含着判断，所以是命题。
(2)一类推理的正确性，必须分析到简单命题即原子命题所包含 的概念即词项才能判定，则这种推理就称为简单命题推理即词 项推理。相应的逻辑称为词项逻辑。
例如：所有谎言是不可信的
所有S是P
有些谎言是不可信的
有些S是P
另一类推理的正确性，如果只要分析到其中所包含的简单命 题即原子命题为止即可判定，那么这类推理就称为复合命题推 理即命题推理。相应的逻辑称为命题逻辑。
直言命题A、E、I、O四种形式的换 质位情况归纳如下:
逻辑学第三章 简单命题及其推理(上)
生活中,哪些话可以倒过来说? 生活中,哪些话可以倒过来说? 唯心主义者不是马克思主义者. 唯心主义者不是马克思主义者. 马克思主义者不是唯心主义者. 马克思主义者不是唯心主义者. 师范大学都是高等学校. 师范大学都是高等学校. 高等学校都是师范大学. 高等学校都是师范大学.
命题的主, 四,A,E,I,O命题的主,谓项的周延性 , , , 命题的主 项的周延性,是指在性质命题中对主项, 项的周延性,是指在性质命题中对主项,谓 项外延数量的断定情况. 项外延数量的断定情况. 如果在一个命题中,对它的主项(或谓项) 如果在一个命题中,对它的主项(或谓项) 的全部外延作了断定, 的全部外延作了断定,那么这个命题的主项 或谓项)就是周延的. (或谓项)就是周延的. 如果没有对它的主项(或谓项) 如果没有对它的主项(或谓项)的全部外延 作了断定,那么这个命题的主项(或谓项) 作了断定,那么这个命题的主项(或谓项) 就是不周延的. 就是不周延的.
第三节 直言命题的推理
一, 推理的含义 例1:小说是文艺作品, :小说是文艺作品, 所以,有的文艺作品是小说. 所以,有的文艺作品是小说. 例2:一切文艺作品都有社会作用, :一切文艺作品都有社会作用, 小说是文艺作品, 小说是文艺作品, 所以,小说有社会作用. 所以,小说有社会作用.
例3:金是能够导电的, :金是能够导电的, 银是能够导电的, 银是能够导电的, 铜是能够导电的, 铜是能够导电的, 铁是能够导电的, 铁是能够导电的, 锡是能够导电的, 锡是能够导电的, 而金, 锡都是金属) (而金,银,铜,铁,锡都是金属) 所以,凡金属都是能够导电的. 所以,凡金属都是能够导电的.
推理: 推理:从一个或几个已知的命题推出另一个 新命题的思维形式. 新命题的思维形式. 已知命题称为前提,新命题称为结论. 已知命题称为前提,新命题称为结论. 推理必须借助语言形式来进行,推理在语言 推理必须借助语言形式来进行, 上表现为复句或句群, 因为……所 上表现为复句或句群,例"因为 所 因此……","由此可 以……","由于 , 由于……因此 因此 , 等关联词, 见……"等关联词,往往表达推理. 等关联词 往往表达推理.
逻辑学课件 第三四章 性质命题及其推理
2、在前提中不周延的项，在结论中不得 周延。 一个有效的三段论，前提必须蕴涵结论。 从外延方面看，就是要求结论的大项或 小项所断定的范围不能超前提中大项或 小项所断定的范围。否则，结论就不是 必然的。
2010-12-6 41
违反第2条规则所犯的逻辑错误有两种： （1）大项不当周延（又叫“大项扩 大”）。 （2）小项不当周延（又叫“小项扩 大”）。 例1、所有外语系的学生都是应该学好外 语的，我不是外语系的学生；所以，我 不是应该学好外语的。
2010-12-6 19
六、性质命题推理及其种类
1、定义：性质命题推理就是以性质命题为前 提，推出一个新的性质命题的推理。传统逻辑 称它为直言推理。 2、种类：性质命题的推理可分为直接推理 直接推理和 直接推理 间接推理（三段论） 间接推理（三段论）。 直接推理是以一个性质命题为前提推出一个性 直接推理 质命题为结论的推理。 三段论是以两个性质命题为前提推出一个性质 三段论 命题为结论的推理。
第三章 性质命题及其推理
2010-12-6
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第一节 性质命题概述
一、什么是性质命题？ 性质命题是断定对象具有或不具有某种性质的 命题。 例：1、所有牛都是动物。 2、所有塑料都不是导体。 3、有些学生是团员。 4、有些人不是医生。 5、这个学生是湖北人。 6、那位老师不是湖北人。
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二、三段论的规则
（一）基本规则 1、中项在前提中至少要周延一次。 中项在前提中起媒介作用，通过它把大 项和小项联结起来。如果中项在前提中 一次也不周延，就不能起到媒介作用。 违反这条规则就会犯“中项不周延”的 逻辑错误。
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逻辑学第三版(编者姜全吉 迟维东)出版社：高等教育出版社-书后答案第三章命题与推理概述
第三章命题与推理概述一、下面句子是否表达命题？如表达命题，试写出其命题形式。
1．今天天气，哈哈！哈哈！答：这句话不表达命题，它并未陈述任何事物情况。
2．大量盗窃国家财物的罪犯难道不应受到法律的制裁吗？答：这句话表达命题。
这是一个反诘句，它表达一个肯定命题：大量盗窃国家财物的罪犯应当受到法律的制裁。
3．你马上过来一下！答：这句话不表达命题。
这是个祈使句，它不表达命题。
4．违反规律是一定要受到惩罚的。
答：这句话表达命题。
它的命题形式：S必然是P。
5．我们的文艺是为什么人的？答：这是个疑问句，不表达命题。
二、请用有具体内容的命题或推理，对下列逻辑形式进行解释：1．只有p，才q。
答：如果用p代表“扩大内需”，用q代表“拉动经济增长”，题中的逻辑形式可解释为：只有扩大内需，才能拉动经济增长。
2．p并且q，所以p。
答：用p代表“张三有能力”，q代表“张三有学历”，题中的逻辑形式可解释为：张三有能力并且有学历，所以，张三有能力。
3．所有S都不是P。
答：用S代表“科学”，用P代表“唯心的”，题中的逻辑形式可解释为：所有科学都不是唯心的。
4．或p，或q，或r。
答：用p代表“他留校教书”，用q代表“他留校搞科研”，用r代表“他留校搞管理”，题中的逻辑形式可解释为：他留校或者教书，或者搞科研，或者搞管理。
5．如果p，那么q。
答：用p代表“天气好”，用q代表“我上山”，题中的逻辑形式可解释为：如果天气好，我就上山。
6．可能p，但并非必然p。
答：用P代表“小华考上大学”，题中的逻辑形式可解释为：小华可能考上大学，但并非他必然考上大学。
三、下列各题是否表达推理？如果是，试指出表达的是哪种推理？1．社会文化日益发展，出现各种各样的方法论。
人们一重视方法，就会忘记原来的主要目标，发生舍本逐末的琐细争论。
这种现象，在人们思考事物，解决问题时也常常发生。
答：不表达推理。
这段话中不存在推论关系。
2．《安娜·卡列尼娜》是有积极的社会意义的：《安娜·卡列尼娜》是优秀的文学作品而优秀的文学作品，都是有积极的社会意义的。
逻辑三大命题
逻辑三大命题一、选言命题结构：或者+选言肢，或者+选言肢。
1、相容选言命题逻辑形式：或者P，或者Q。
真假判断：至少有一肢判断为真。
P非则Q真；Q非则P真；P、Q都为真。
常用的联结项：或者…或者…；可能…也可能…；也许…也许…等。
2、不相容选言命题逻辑形式：要么P，要么Q。
真假判断：有且只能有一肢判断为真。
P真则Q非；Q真则P非。
常用的联结项：要么…，要么…；不是…就是…；…二者必居其一等。
二、联言命题结构：联言肢并且联言肢。
逻辑形式：P并且Q。
真假判断：所有联言肢为真，命题为真。
P真，Q真。
常用的联结项：并且；既…又…；不但…而且…；虽然…但是…；一面…一面…等。
三、假言命题（条件命题）结构：由前件（表示条件的肢判断）、后件（表示结果的肢判断）、联结项三部分组成。
1、充分条件假言命题特征：有此条件必有此结果；无此条件不一定无此结果。
逻辑形式：如果P，那么Q。
真假判断：若P真，Q真，则充分条件假言命题可为真；若P真，Q假，则充分条件假言命题必为假；若P假，Q真，则充分条件假言命题可为真；若P假，Q假，则充分条件假言命题可为真；常用的联结项：如果…那么…；只要…就…；若…则…；所有…都…等。
2、必要条件假言命题特征：无此条件必无此结果，有此条件不一定有此结果。
逻辑形式：只有P，才有Q。
真假判断：若P真，Q真，则必要条件假言命题可为真；若P真，Q假，则必要条件假言命题可为真；若P假，Q真，则必要条件假言命题必为假；若P假，Q假，则必要条件假言命题可为真；常用的联结项：只有…才…；必须…才…；除非…才…；不…不…；没有…就没有…等。
3、充要条件假言命题特征：有此条件必有此结果；无此条件必无此结果。
逻辑形式：只要并且只有P，才有Q。
真假判断：若P真，Q真，则充要条件假言命题可为真；若P真，Q假，则充要条件假言命题必为假；若P假，Q真，则充要条件假言命题必为假；若P假，Q假，则充要条件假言命题可为真；常用的联结项：如果…那么…并且只有…才…；只要…就…并且只有…才…；…当且仅当…等。
逻辑学复合命题
如果p、q分别表示两个选言支，则不相容选言命题的 命题形式：
要么p，要么q
符号表示：p∨.q
.
（3）不相容选言命题的逻辑特征：
根据定义，一个不相容选言命题是真的，当且仅当有而 且只能有一个选言支是真的；否则，就是假的。
二支不相容选言命题的真值表：
p 根据不相容选言命题的逻辑特征，可得如下推理规则：
有前件必有后件，无前件必无后件 ，有后件必有前件， 无后件必无前件。
例如： 一个数是偶数当且仅当这个数能被2整除。
自然语言中，表达充分必要条件假言联结词的语词： “当且仅当”、“如果……则……；并且，只有……
才……”等 现代逻辑中，一般用“ ”表示，读作“等值”
如果用p表示前件，q表示后件，则充分必要条件假言 命题的命题形式：
逻辑学
复合命题的结构： 支命题+联结词
构成复合命题的 命题
命 题
变
项
把支命题联结起来的 语词
逻 辑 常 项
范例
二、命题联结词的种类
根据命题联结词不同，复合命题分为： 联言命题——常用联结词“并且”等
他违法并且受到了处罚。 选言命题——常用联结词“或者”等
他要么有罪，要么无罪。 假言命题——常用联结词“如果……那 么……”等
（二）真值形式的种类及其判定 1、真值形式的种类
重言式 真 值 形 矛盾式 式
命题变项在任意赋值下都真 命题变项在任意赋值下都假
非重言的可真 命题变项在有的赋值下真，而在另外的赋
式
值下假
例如： (p ( q ) q ) p
pp
pq
2、真值形式的判定 （1）真值表方法
真值表方法可以用来判定重言式、矛盾式、非重言的 可真式和真值形式之间是否等值。 判定下列命题是否等值 1、 ﹃ p ∨ ﹃ q 与 ﹃ （p ∧ q） 2、（p∧q）→r 与 p ∨ （q → r）
基本逻辑符号
基本逻辑符号是用于表示逻辑关系和运算的符号。
以下是一些常见的基本逻辑符号：
1. 命题逻辑符号：
- 命题：用P、Q、R等字母表示
- 命题联结词：
- 蕴含（→）：表示如果A为真，则B也为真。
- 实质蕴含（→）：表示A蕴含B，且A与B内容相关。
- 等价（↔）：表示A与B意义相同，即A为真当且仅当B为真。
- 严格等价（↔）：表示A与B不仅等价，而且内容相关。
- 否定（¬）：表示命题A的否定，即A为真时，¬A为假；A为假时，¬A为真。
2. 逻辑合取（∧）：表示多个命题的合取，即所有命题都为真时，合取命题为真。
3. 逻辑析取（∨）：表示多个命题的析取，即至少有一个命题为真时，析取命题为真。
4. Exclusive OR（⊕）：表示两个命题的异或运算，当两个命题中有且仅有一个为真时，异或命题为真。
5. 全称量词（∀）：表示“对于所有”的意思，用于表示命题对于所有元素都成立。
6. 存在量词（∃）：表示“存在”的意思，用于表示命题存在至少一个元素使其成立。
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
常见的重言式（逻辑规律）
见教科书p83－84
3.2 命题的真值判定方法
真值表方法
真值表的作用
定义作用：5个基本真值形式的真值 表定义了5个真值形式。如，什么是 合取式？回答是，每一支命题为真， 则它为真的 那种真值形 p q p∧q 式，这正是 t t t 合取式的真 值表反映的 f t f 情况。 f f t f f f
AB
例1 1. p q 2. q r 3. P 4. q 5. r 6. pr 例2 1. p q 2. ¬ q 3. P 4. q 5. q∧¬ q 6. ¬ p / ∴ p r AP 1,3 _ 2,4 _ 3,5 +
例3 1. p q 2. r s 3. p∨r 4. P 5.q 6. q∨s 7. r 8. s 9. q∨s 10. q∨s
判定作用： 1、判定一个公式的性质（重言 式，矛盾式或可满足式）； 2、判定任意多个公式的关系 （等值或矛盾等）； 3、判定一个推理是否有效，即 它是否一个重言的蕴涵式或 等值式。
真值表的作法
逻辑学三段论
2
三段论的公理和一般规则
3
三段论的格和式
4
直言三段论的不规范形式
5
间接关系推理
一、直言三段论及其结构
1.定义： 三段论是由两个包含着一个共同项的直言命题
推出一个新的直言命题的推理。 有些动物很狡猾，
所有整数都是实数，
有些动物是狐狸，
所有自然数都是整数，
所以，有些狐狸很狡猾。
并所非以，任所意有自三然个数都直是实言数命。 题相组合就能构成三段论。
大前提： 包含大项 的前提
小前提：
所有整数都是实数 所有自然数都是整数
中项(M)：两个前 提中包含的共同项
包含小项 的前提
所以，所有自然数都是实数。大项(P)：结论的谓
项
结论
上述例子的逻
小项(S)：结论的主 项
MAP
辑形式为:
SAM
SAP
二、三段论的公理和一般规则
例1. 所有整数都是实数， 所有自然数都是整数，
当前提是EI命题时，只有E命题的主项和谓项这两个 项周延，根据规则2，中项必周延；又根据规则5， 前提否定结论必否定，大项在结论中周延。因此按 照规则3要求大项在前提中必周延。这样，两个周延
的项必须一个作中项，一个作大项，而剩下的两 个项无论哪个作小项都是不周延的，即结论总是 特称的。
当前提是AO两个命题时，只有A命题的主项和O 命题的谓项这两个项周延。根据规则2、规则3、 规则5的要求，这两个周延的项必须一个作中项一 个作大项，而剩下的两个项都不周延，无论哪个 作小项都只能得到特称的结论。
一个直言命题是否定的，表明它的主项和谓项之间具 有相互排斥的关系。如果一个三段论的两个前提都否 定，则表明中项既和大项相排斥，又和小项相排斥。 在这种情况下，我们无法通过中项的联结作用来确定 大项和小项之间的关系。因此，两个否定前提推不出 必然性的结论。
逻辑学第三章
逻辑学第三章判断和推理第一节判断的概述一、判断的特征1.什么是判断判断是对客观事物情况有所断定的一种思维形式，是用肯定或否定的形式反映周围现实的一种思维形式。
例如：（1）秘书工作要既不失职，又不越权。
（2）张三不是杀人犯。
2.判断的逻辑特征：一是有所断定。
如果对对象既无所肯定，也无所否定，那不是判断。
二是有真假（把我们所讲的逻辑称为二位逻辑）。
判断是对客观事物有所断定的一种思维形式，是对客观事物情况的反映，而不是客观事物本身。
因此，存在着是否真实地反映客观事物的问题。
例：（1）地球是围绕太阳运行的。
（2）地球不是围绕太阳运行的。
3，凡是判断都是命题，但不一定一切命题都是判断，只有当命题加上断定成分后才能成为判断。
如：把门打开。
这是一个祈使句。
应注意的问题：普通逻辑并不考虑思维的具体内容，它只是从判断形式的结构方面研究不同类型的判断的真假特征，以及各种判断之间的真假关系。
至于判断本身的真假，是由实践来检验的。
二、判断与语句1．判断是思维形式，是逻辑学的研究对象。
语句是表达完整思想的语言单位，是语言学的研究对象。
2.任何判断都必须用语句来表达，但并非所有的语句都表示判断。
表达判断的语句在逻辑上也称作命题。
一个语句能否是判断，关键在于它能否直接地表现出判断的两个逻辑性质。
（1）一般来说，陈述句表达判断。
例如：“所有的法律都是有强制性的”，“人民检察院不是审判机关”这些句子都表达判断。
（2）疑问句、祈使句、感叹句一般不表示判断，除非它们都对事物作出了判定。
例如：①美丽的杭州啊！②年轻人，不要吸烟！③有绝对静止的事物吗？3．判断与语句并非一一对应（1）同一个判断可以用不同的语句表达。
例如：①每一个公民都必须遵守法律。
②没有一个公民可以不遵守法律！③难道有可以不遵守法律的公民吗？以上三个句子语法结构都不同，但都表示了同一个判断，即“所有的公民都必须遵守法律”。
（2）同一个语句在不同的语境中可以有不同的判断。
形式逻辑学第三章简单命题及其推理
• SOP不能换位。 • 有的猫不是波斯猫。
• 有的波斯猫不是猫？！
• 有些人不是大学生
• 有些大学生不是人？！
3、换质位推理
既可以先换质后换位， 又可以先换位后换质。
• SAP SE¯P ¯PES ¯PA¯S ¯SI¯P ¯SOP(质位) SAP PIS PO¯S(位质)
二、三段论的规则
二、三段论的规则
• 一、在三段论中有且只有三个不同的项 （四概念或者四项错误）
• 鱼是动物， • 这是一座山， • 所以，？
二、中项在前提中至少要周延一次（中项 两次不周延）
凡是相声演员都是文艺工作者 彭丽媛是文艺工作者 所以，彭丽媛是相声演员
• 三、前提中不周延的项在结论中不得周 延（大项不当周延、大项扩大或小项不 当周延、小项扩大）
周延
SEP SIP
周延 不周延
SOP
不周延
谓项 不周延 周延 不周延 周延
1 、全称命题的主项是周延的 2 、特称命题的主项是不周延的 3 、肯定命题的谓项是不周延的 4 、否定判断的谓项是周延的
区分主项是否周延看量项是全称或是特称 区分谓项是否周延看联项是肯定或是否定
• 第一 ,主谓项的周延性 , 是相对于它们 所在的判断而言的。
狐狸是动物 猫不是狐狸 所以，猫不是动物
四、两个否定前提不能推出结论
6、单称否定命题——S1EP
比尔盖茨不是哈佛大学的毕业生。 那个秃顶的老人不是著名教授。
整理自然语言要注意： • 第一、不能改变判断的原义。
• 第二、同一判断,在不改变原义的前 提下,可以整理为不同的标准形式。
第三命题思维
命题联结词（逻辑常项）： 联结支命题并反映支命题之间不同的逻辑关系。（并且； 或者；那么；如果….就…；只有…才…；当且仅当… 才…）
39
复合命题的逻辑特征
复合命题的逻辑特征:真假性
性质命题的真假是由其主、谓项的外延 关系决定的；
单称肯定命题：(这个)S是P 单称否定命题：(这个)S不是P 全称肯定命题：所有S是P(SAP) 全称否定命题：所有S不是P(SEP) 特称肯定命题：有的S是P(SIP) 特称否定命题：有的S不是P(SOP)
19
直言命题的真值条件
SAP： SEP： SIP： SOP：
20
A、E、I、O四种命题间的真假情况（实例表）
复合命题的真假是由其支命题的真假所 制约和决定。
40
复合命题的种类
复合命题按组成复合命题的各支命题间的逻辑 联结词（逻辑关系）的不同，复合命题可分为：
一、联言命题 二、选言命题 三、假言命题 四、负命题
41
联言命题
《一剪梅•舟过吴江》（宋•蒋捷) 一片春愁待酒浇。江上舟摇，楼上帘招。秋娘渡与泰娘
33
练习：
甲班有56人，已知： （1）有人会计算机； （2）有人不会计算机 （3）班长小王不会计算机。
如果上述三句仅一句为真，问：甲班有多 少人会计算机？
《行测》题例：
在某次税务检查后，四个工商管理人员有如下结论： 甲：所有个体户都没纳税。 乙：服装个体户陈老板没纳税。 丙：个体户不都没纳税。 丁：有的个体户没纳税。
复合命题：本身还包含着其他命题的命题。 联言命题 选言命题 假言命题 负命题
37
例：
老张是教师。 老张是我同事。 老张既是作家，又是教师。 小李或者是班长，或者是学生会主席。 如果你去晚了，就买不到票了。
逻辑学3 第三章 命题及其符号表达
设一个新世界。
2. 王医生医术高并且医德好。
3. 结构：联言支 + 联结词 + 联言支
联言命题的联结词
不仅……，而且…… 既……，又…… ……并且…… 虽然……，但是…… 一方面……，另一方面……
符号表达
p∧q
p，q，r……表示联言支，符号∧（“合 取”）表示联言命题的联结词。
例
1. 只有是广东人，才能报考该大学。 2. 不认识到落后，就不会去改变落后。
符号表达
p←q
用符号 ← （逆蕴涵）表示必要条件假言 命题的联结词。
人不犯我，我不犯人； 人若犯我，我必犯人
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
符号表达
p∨·q
用符号 ∨·（不相容析取）表示不相容选
言命题的联结词。
锲而不舍，金石可镂
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
假言命题
反映某一事物情况是另一事物情况的条 件的复合命题。
例： 1. 如果寒潮到来，那么气温就会下降。 2. 只有各门成绩都合格，才能准予毕业。 3. 结构：联结词 + 前件 + 联结词 + 后件
例
1. 小明这次考试失利，或者是因为身体有病， 或者是因为学习不刻苦。
2. 胜者或因其强，或因其指挥无误。
符号表达
p∨q
用符号 ∨ （析取）表示相容选言命题的 联结词。
非此即彼
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
命题及其符号化
11.1 命题及其符号化[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。
2：通过示例理解命题的概念。
3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。
4：学会命题符号化的方法。
[教学准备][教学方法]讲述法[课时安排]二课时。
[教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。
数理逻辑则是用数学方法研究推理；首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。
后者式命题符号化的问题。
板书：第一章命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述：首先讨论命题。
板书：一命题A) 概念：在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真又假的陈述句。
判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1)地球是圆的；真的陈述句，是命题(2)2+3=5；真的陈述句，是命题(3)你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题(4)3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5)请安静！非陈述句，故非命题(6)火星表面的温度是800 C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要么假，故是命题(7)明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确是要么真要么假，故是命题2(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。
讲述：类似一般的事物，也有不同的命题，分成不同的类型。
板书：B) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述：简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。
所以还需要考虑联结词的问题。
板书：二逻辑联结词讲述：首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1)否定式和否定联结词：命题p⌝p；符号⌝即为否定联结词。
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充分条件假言命题的联结词
如果……，那么…… 只要……，就…… 假使……，那么…… 要是……，则……
例
1. 如果天下雨，道路就会湿。 2. 只要刻苦学习，就能取得好成绩。 3. 假如该图形是正方形，那就一定是四
边形。
符号表达
p→q
用符号 → （蕴涵）表示充分条件假言命 题的联结词。
不入虎穴，焉得虎子
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
必要条件假言命题
事物情况p是事物情况q的必要条件是指： 无p一定无q，但有p未必有q。
前件假，后件就一定假；前件真，后件 不一定真。
必要条件假言命题的联结词
只有……，才能…… 仅当……，才…… 除非……，不…… 不……，就不…… 没有……，就没有……
同一个命题可以用不同的语句来表达。 同一个语句可以表达不同的命题。
要点
简单命题 复合命题：联言命题、选言命题、
假言命题、负命题 特征和符号表达方式
命题的分类
命题分成简单命题与复合命题。
简单命题：指自身不再包含有其他命题 的命题。
复合命题：指自身包含有其他命题的命 题。
几个术语
原子命题：简单命题的组成成份是词项， 又称原子命题。
例
1. 小明这次考试失利，或者是因为身体有病， 或者是因为学习不刻苦。
2. 胜者或因其强，或因其指挥无误。
符号表达
p∨q
用符号 ∨ （析取）表示相容选言命题的 联结词。
非此即彼
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
不相容选言命题
不相容选言命题是选言支不可以同真的 命题。
或者说，不相容选言命题就是反映几种 事物情况中至少有一个为真且只能有一 个为真的命题。
不相容选言命题的联结词
要么……，要么…… 不是……，就是……
例
1. 该三角形要么是直角三角形，要么是锐 角三角形，要么是钝角三角形。
2. 今天不是星期六，就是星期天。
符号表达
p∨·q
用符号 ∨·（不相容析取）表示不相容选
言命题的联结词。
锲而不舍，金石可镂
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
假言命题
反映某一事物情况是另一事物情况的条 件的复合命题。
例： 1. 如果寒潮到来，那么气温就会下降。 2. 只有各门成绩都合格，才能准予毕业。 3. 结构：联结词 + 前件 + 联结词 + 后件
命题及其符号表达
命题的真假
如果一个命题所反映的对象情况与对象本 身的情况相一致，则该命题是真命题；
如果一个命题所反映的对象情况与对象本 身不一致，则该命题是假命题。
在上面的例子中，哪些是真命题?
命题与语句 (联系)
命题是语句的思想内容，语句是命题的 表现形式。
命题与语句 (区别)
并非任何语句都表达命题。陈述句直接 表达命题，非陈述句不直接表达命题。
或为玉碎，或为瓦全
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
选言命题
反映几种事物情况中至少有一种为真的 复合命题。
例：
1. 他要么是湖南人，要么是湖北人。 2. 他或者会说英语，或者会说法语。
3. 结构：选言支 件与后件之间的条件关系不同， 把假言命题分为：
1. 充分条件假言命题； 2. 必要条件假言命题； 3. 充分必要条件假言命题。
人心齐，泰山移
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
充分条件假言命题
事物情况p是事物情况q的充分条件是指： 有p一定有q，但无p未必无q。
例
1. 只有是广东人，才能报考该大学。 2. 不认识到落后，就不会去改变落后。
符号表达
p←q
用符号 ← （逆蕴涵）表示必要条件假言 命题的联结词。
人不犯我，我不犯人； 人若犯我，我必犯人
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
充分必要条件假言命题
事物情况p是事物情况q的充分必要条件 是指：有p就有q，并且无p就无q。
前件真，后件就一定真；前件假，后件 就一定假，则说前件是后件的充分必要 条件。
充分必要条件假言命题的联结词
1. ……当且仅当…… 2. 如果……，那么……，并且只有……，
支命题：复合命题由简单命题与联结词组 成， 组成复合命题的简单命题称复合命题 的支命题。
多重复合命题：如果一个复合命题的支命 题也是复合命题，那么称为多重复合命题。
哪些是简单命题？
1. 所有事物都是运动的。 2. 小张既高又胖。 3. 5大于3。 4. 如果某人患了肺炎，那么他就会发高烧。 5. 只有认识错误，才能改正错误。
1. 我们不仅要破坏一个旧世界，而且要建
设一个新世界。
2. 王医生医术高并且医德好。
3. 结构：联言支 + 联结词 + 联言支
联言命题的联结词
不仅……，而且…… 既……，又…… ……并且…… 虽然……，但是…… 一方面……，另一方面……
符号表达
p∧q
p，q，r……表示联言支，符号∧（“合 取”）表示联言命题的联结词。
选言命题的分类
相容选言命题：选言支能够并存，即选 言支可以同时为真的选言命题。
不相容选言命题：选言支不能并存，即 选言支中只能有一个真的选言命题。
双赢
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
相容选言命题的联结词
或者……或者…… 也许……，也许…… 可能……，可能……
复合命题的分类
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
红了樱桃，绿了芭蕉
1. 联言命题 2. 选言命题：相容 / 不相容 3. 假言命题：充分 / 必要 / 充分必要 4. 负命题
联言命题
反映几种事物情况都为真的复合命题。 例：