小学奥数斐波那契数列典型例题

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(完整版)小学奥数斐波那契数列典型例题

拓展目标：一：周期问题的解决方法（1）找出排列规律，确定排列周期。

（2）确定排列周期后，用总数除以周期。

①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。

例1：（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．二：斐波那契数列斐波那契是的有关兔子的问题：假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。

一年内没有发生死亡。

那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对斐波那契数列（兔子数列）1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …你看出是什么规律：。

【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】【巩固】（1）2，2，4，6，10，16，（），（）（2）34，21，13，8，5，（），2，（）例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？【解析】120÷3=40 2004÷3=668【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？例2：（10秒钟算出结果！）（1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=（2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584==例3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …（1）这列数中第2013个数的个位数字是几？分析：相加，只管个位,发现60个数一循环个位数F1 - F30:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 61 7 8 5 3 8 1 9 0F31-F60:9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 49 3 2 5 7 2 9 1 0F61-F81:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 2013 = 60*33 + 33,第33个个位为8巩固：这列数中第2003个数的个位数字是几？（2）这列数中第2003个数除以5的余数是几？规律：发现20个数一循环、。

斐波那契数列小学数学测试题

一、填空题
1. 有8级台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过一级或两级，他走上去可能有________种不同方法．
二、解答题
2. 斐波那契数列定义如下：前两个数都是1，从第三个数起，每个数是前面两个数的和。

于是其中前面几个数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…
（1）求其中第2002个数被4除的余数。

（2）如果在前n个数中有2002个是4的倍数，问n应是多少？
3. 已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项时6765，那么它的前18项的和是多少？
4. 学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？
5. 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。

一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。

这在生物学上称为“鲁德维格定律”。

那么十年后这棵树上有多少条树枝？。

奥数兔子数列规律题目

奥数兔子数列规律题目奥数兔子数列规律：在奥数中，有一种有趣的兔子数列，也被称为斐波那契数列。

这个数列从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。

即：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……说起这兔子数列，就像是一场神奇的数字魔法秀！想象一下，兔子们在一个神秘的数字花园里快乐生活。

最开始有一对小兔子，一个月后它们长大了但还没生宝宝。

又过了一个月，这对大兔子生下了一对小兔子，此时花园里就有两对兔子了，一对大的，一对小的。

再一个月过去，原来的大兔子又生了一对小兔子，而之前的小兔子也长大变成了大兔子但还没生宝宝。

就这样，兔子的数量按照一定的规律不断增加。

兔子数列里的数字就像一群调皮又聪明的小精灵，它们手拉手排着队，每个数字都知道自己的位置和使命。

前面的数字像是勇敢的先锋队，为后面的数字开辟道路；后面的数字则像是充满活力的追随者，紧紧跟随着前面数字的脚步。

在生活中，兔子数列的应用可不少呢！比如植物的生长，有些花朵的花瓣数量就遵循着兔子数列的规律。

像百合花一般有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，而雏菊可能就有 8 片、13 片花瓣。

再看看艺术领域，一些著名的画作和建筑设计中也藏着兔子数列的身影。

比如一些螺旋形状的图案，其线条的比例和兔子数列有着微妙的联系。

还有更神奇的，科学家们发现，兔子数列在自然界的一些现象中也起着作用。

比如蜜蜂家族的繁衍，就有着类似的规律。

总之，兔子数列就像是一把神奇的钥匙，能打开许多未知世界的大门。

它让我们看到了数字背后隐藏的美妙秩序和规律。

了解了兔子数列，我们就能更加敏锐地发现生活中那些看似平常却又充满奇妙规律的现象。

如果你对这些神奇的规律充满好奇，不妨去阅读《从一到无穷大》这本书，或者登录果壳网，那里有更多有趣的科学知识等待着你去探索。

说不定，下一个发现神奇规律的人就是你哟！。

斐波那契数列培优专项练习

斐波那契数列培优专项练习
介绍斐波那契数列
斐波那契数列是一个非常经典的数学问题，它是由Leonardo Fibonacci在13世纪提出的。

这个数列的特点是，每个数字都是前两个数字之和。

数列的开始通常为0和1，然后后续的数字就是前面两个数字之和。

主要目标
本次培优专项练的主要目标是帮助参与者更好地理解和运用斐波那契数列。

练内容
练1：计算斐波那契数列
请编写一个程序，能够计算出给定位置的斐波那契数列的值。

要求程序能够根据用户输入的位置，输出对应位置的斐波那契数。

练2：绘制斐波那契数列曲线
请编写一个程序，能够将前n个斐波那契数列的值绘制成曲线图。

要求程序能够根据用户输入的n值，输出对应的斐波那契数列
曲线图。

练3：斐波那契数列应用
请尝试解决下面的问题：
1. 在斐波那契数列中，每个数字除以它的前一个数字，得到的
结果趋向于哪个数？请编写一个程序，能够计算出这个数的近似值。

2. 斐波那契数列中，每个数字除以它前面两个数字之和，得到
的结果会趋向于哪个数？请编写一个程序，能够计算出这个数的近
似值。

3. 斐波那契数列的前n项之和为多少？请编写一个程序，能够
计算出这个和的值。

总结
通过这次培优专项练习，参与者将能够更好地理解和应用斐波那契数列。

编写计算斐波那契数列的程序、绘制斐波那契数列曲线以及解决斐波那契数列相关问题的能力将得到提高。

希望这次练习能够帮助大家更好地掌握斐波那契数列的知识。

综合算式专项练习数列的应用问题

综合算式专项练习数列的应用问题数列是数学中常见的概念，它是按照一定的规律排列的一组数。

在实际应用中，数列经常被用来描述和解决各种问题。

本文将重点介绍数列的应用问题，并提供一些综合算式的专项练习。

一、斐波那契数列斐波那契数列是一个神奇的数列，它的前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如描述兔子繁殖、植物生长等。

下面是一个斐波那契数列的应用问题：问题：兔子繁殖问题。

开始时，一对兔子（一公一母）放养在一个围栏里，请问第10个月共有多少对兔子？解析：根据题目描述，第1个月有1对兔子，第2个月也有1对兔子。

从第3个月开始，每个月的兔子对数都是前两个月兔子对数之和。

我们可以用数列来表示，设第n个月兔子对数为An。

则有如下递推关系：An = An-1 + An-2。

根据递推关系，我们可以计算出前几个月的兔子对数如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。

所以第10个月共有55对兔子。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

等差数列在日常生活中也有很多应用，如计算等差数列的和可用于预算和财务管理。

下面是一个等差数列的应用问题：问题：购物问题。

小明每天购物，他从第一天起每天花费10元，且每天的花费都比前一天多5元。

请问，到第30天，小明一共花费了多少元？解析：根据题目描述，小明每天的花费构成了一个等差数列。

设第n天的花费为An，第一天的花费为A1。

根据题目要求，可得递推关系：An = A1 + (n-1) * 5。

代入题目信息，第一天花费10元，即A1 = 10，共花费到第30天，即n = 30。

带入递推关系，可以计算出小明一共花费了10 + (30-1) * 5= 155元。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

等比数列在生活中也有很多应用，如描述一种倍增或倍减的现象。

下面是一个等比数列的应用问题：问题：细菌繁殖问题。

递推公式的典型例题

以下是几个典型的递推公式例题及解析：
例1：斐波那契数列
斐波那契数列是一个典型的递推公式应用，其定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n≥2）。

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

解析：
根据递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的前几项：F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = 1 + 0 = 1
F(3) = 1 + 1 = 2
F(4) = 2 + 1 = 3
F(5) = 3 + 2 = 5
F(6) = 5 + 3 = 8
F(7) = 8 + 5 = 13
F(8) = 13 + 8 = 21
F(9) = 21 + 13 = 34
例2：等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n-1) * d，其中a_1 是首项，d 是公差。

解析：
用这个公式，我们可以计算出等差数列的第n项。

例如，
对于首项a_1 = 5，公差d = 3 的等差数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 5 + (5-1) * 3 = 5 + 4 * 3 = 5 + 12 = 17。

例3：等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1 是首项，r 是公比。

解析：
用这个公式，我们可以计算出等比数列的第n项。

例如，对于首项a_1 = 2，公比r = 3 的等比数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162。

斐波那契数列蜂巢型例题

斐波那契数列蜂巢型例题斐波那契数列与蜂巢型结构相结合的问题可以有很多有趣的例子。

这里有一个简单的例子：问题描述：假设有一个蜂巢形状的斐波那契数列，每一层的蜂巢数量是前两层的蜂巢数量之和。

第一层有1个蜂巢，第二层有2个蜂巢，以此类推。

求第n层蜂巢的数量。

解题思路：这个问题可以通过求解斐波那契数列的通项公式来解决。

斐波那契数列是一个典型的递推数列，其通项公式为：F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5其中，φ = (1 + √5) / 2 是黄金分割比。

在这个问题中，我们需要求解第n层蜂巢的数量，即求解斐波那契数列的第n项。

通过将n代入通项公式，我们可以得到第n层蜂巢的数量。

代码实现：以下是一个使用Python实现的代码示例：python复制代码import mathdef fibonacci(n):phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2 # 黄金分割比return (math.pow(phi, n) - math.pow(-1/phi, n)) / math.sqrt(5)# 计算第n层蜂巢的数量n = 10 # 例如求第10层的蜂巢数量bee_hives = fibonacci(n)print("第", n, "层蜂巢的数量为：", int(bee_hives))这个代码示例使用了Python的math库来计算黄金分割比和指数函数。

通过调用fibonacci函数并传入第n层（例如第10层），我们可以得到该层的蜂巢数量。

在示例中，我们计算了第10层的蜂巢数量，并将其打印输出。

斐波那契数列

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

变式训练1 一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳0.5米或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?变式训练2 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法?假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能有生殖能力。

问：从一对大兔子开始，如果所有兔子都不死，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？先看前几个月的情况：第一个月有一对刚出生的兔子，即F(1)=1；第二个月，这对兔子长成成年兔，即F(2)=1；第三个月，这对成年兔生出一对小兔，共有两对兔子，即F(3)=2；第四个月，成年兔又生出一对小兔，原出生的兔子长成成年兔，共有三对兔子，即F(4)=3；第五个月，原成年兔又生出一对小兔，新成年兔也生出一对小兔，共有五对兔子，即F(5)=5；……以此类推，可得每个月的兔子对数，组成数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，其中的任一个数，都叫斐波那契数。

题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，称为成年兔子；新生的兔子不能生殖；新生兔子一个月就长成成年兔子。

求的是成年兔子与新生兔子的总和。

每月新生兔对数等于上月成年兔对数。

每月成年兔对数等于上个月成年兔对数与新生兔对数之和。

最后得关系式：F(1)=F(2)=1；F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。

法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为2、斐波那契数列的性质斐波那契数列有很多有趣的性质，归纳如下：性质1：相邻的斐波那契数之平方和(差)仍为斐波那契数。

六年级下册数学-关于兔子数列(斐波那契数列)的小学奥数试题(无答案)

关于兔子数列（斐波那契数列）的小学奥数试题数学中有一个以斐波那契的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……你看出是什么规律了吧，不错，就是从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。

这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。

在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。

斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。

除此以外，人们从很多地方也发现了这类数列。

如：茉莉花（3个花瓣），毛莨（5个花瓣），翠雀（8个花瓣），万寿菊（13个花瓣），紫宛（21个花瓣），雏菊（34、55或89个花瓣）。

这些花的花瓣数恰好构成斐波那契数列中的一串数。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式。

有关兔子数列的小学奥数题：1、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……第2014项除以5的余数是几？2、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……一共2014项，其中奇数个数比偶数个数多还是少，差几个？3、如果你爬10级台阶，每次可以爬1级或者2级，一共有几种走法？4、假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。

如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。

A.144B.233C.288D.4665、1，3，4，7，11，（）A.14B.16C.18D.206.4，9，15，26，43，（）A.68B.69C.70D.717.2，4，6，9，13，19，（）A.28B.29C.30D.318.1，3，5，9，17，31，57，（）A.105B.89C.95D.135因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)

经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。

以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。

解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。

练题2：求斐波那契数列的前20项的和。

解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。

解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。

练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。

解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。

解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。

练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。

解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。

斐波那契数列的例子

斐波那契数列的例子
1. 嘿，你知道不，斐波那契数列在向日葵种子的排列中就有体现呢！向日葵的种子螺旋排列得多么神奇，这不就像斐波那契数列那奇妙的规律在大自然中展现一样吗？
2. 哇塞，斐波那契数列在鹦鹉螺的壳上也能找到呢！那美丽的螺旋花纹，难道不是斐波那契数列给予的独特装饰吗？
3. 你看那树枝的分岔，哈哈，那也是斐波那契数列的例子呀！大自然怎么就这么巧妙地运用了它呢？
4. 哎呀呀，很多植物的花瓣数量也遵循着斐波那契数列呢！像雏菊那可爱的花瓣，是不是很让你惊讶？
5. 斐波那契数列在股票的波动中也有人研究呢，就好像它在悄悄告诉我们一些秘密，这多有意思啊！
6. 听好啦，兔子繁殖的模型也跟斐波那契数列有关哦！兔子们可真是斐波那契数列的生动例子呀！
7. 还有还有，一些艺术作品的构图中也藏着斐波那契数列呢！你想想，这数列可真是无所不在呀！
我觉得斐波那契数列真的太神奇了，在这么多地方都能看到它的身影，它就像一个隐藏在世间万物背后的神秘密码，等待着我们去发现和解读。

斐波那契数列的应用问题

斐波那契数列的应用问题：
1．爬楼梯问题:
上楼梯的时候,如果允许每次跨一蹬或二蹬,那么对于楼梯数为1,2,3,4,…时的上楼方式数会有什么关系吗？
理论上说明:若登层阶梯有种方法,设第一步一层,则其余层的方法为种;若第一步二层,则其余层的方法为种;即登层阶梯的方法应有种.又因应登一层阶梯的方法只有一种;登两层的阶梯有两种方法(一步一层或一步两层),所以显然这是一个斐波那契数列的应用问题.
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
2.座位问题:
师生集合坐一排,但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题,因此规定老师彼此不可相邻而坐,若有不同数目的椅子,则有多少种可能的坐法(这同样是斐波那契数列的应用问题)
理论上说明:若只有一张椅子,可坐老师(T)或学生(S),共有两种坐法=>;若有二张椅子,可坐TS,ST,SS,共有三种坐法=>;若有n张椅子,可考虑n-1张椅子的情形下,最右边再加入一张椅子,如果最后坐的是学生则没有问题,有种坐法;如果最后坐的是老师,则最后两张坐的必定要是ST才符合条件,因此最后两张已经固定,相当于有种坐法,于是,斐波那契数列又再度出现.。

十道奥数题及答案

十道奥数题及答案1. 题目：一个数字问题，如果将数字1234567890的每一位数字都乘以2，得到的新数字是多少？答案：将每一位数字乘以2，得到的新数字是 2468135180。

2. 题目：一个数列问题，数列的前五项是1, 1, 2, 3, 5，求第六项。

答案：这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项的和。

所以第六项是5+3=8。

3. 题目：一个几何问题，一个圆的半径是10厘米，求圆的面积。

答案：圆的面积公式是A = πr²，代入 r = 10 得到A = π *10² = 100π 平方厘米。

4. 题目：一个组合问题，有5个不同的球和3个不同的盒子，求将所有球放入盒子中的方法总数。

答案：每个球都有3种选择，所以总的方法数是 3^5 = 243种。

5. 题目：一个概率问题，抛掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

答案：至少一次正面的概率等于1减去两次都是反面的概率，即 1 - (1/2) * (1/2) = 3/4。

6. 题目：一个逻辑问题，有5个盒子，每个盒子里都有一个数字，分别是1, 2, 3, 4, 5。

如果将数字1放入数字2的盒子，数字2放入数字3的盒子，以此类推，问最后数字5会在哪里？答案：数字5会被放入数字4的盒子。

7. 题目：一个算术问题，求1到100所有整数的和。

答案：这是一个等差数列求和问题，公式为 (首项 + 末项) * 项数 / 2，即 (1 + 100) * 100 / 2 = 5050。

8. 题目：一个时间问题，如果现在是3点15分，那么45分钟后是几点？答案：45分钟后是3点60分，即4点。

9. 题目：一个速度问题，一辆车以每小时60公里的速度行驶，求它在2小时内行驶的距离。

答案：距离等于速度乘以时间，即 60 公里/小时 * 2 小时 = 120 公里。

10. 题目：一个体积问题，一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求它的体积。

(最新整理)斐波那契数列问题

方法二：只计算原数列的个位数字只针对除以5的余数
数列 1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,
余数 1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,
数列 5,6,1,7,8…… 余数 0,1,1,2,3……
2013÷20=100（组）……13（个20）个数为一个周期
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二、选题分析
这是一道综合运用题，本题是在学生熟练掌握了有余数的除法后，对有余数除法的进一步深化和拓展。主要考查同学们能否根据所学的知识来解决斐波那契数列中余数的周期问题。
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三、选题解法
数列1、1、2、3、5、8......，从第三项起，每一项都是前两项的和。问这个数列中的第2013项除以5的余数是多少？
1、分析题目所给的已知条件：数列的规律。
2、解题思路分析：一、求数列中的第2013项舍弃
二、找到余数的规律
2021/7/26
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方法一：
数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 余数 1,1,2,3,0,3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 数列 377,610,987,1597,2584,4181,6765, 余数 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0,Βιβλιοθήκη 2021/7/2619
列表
斐波那契数列中各数除以n的余数规律是什么？
除数n 2 3 4 6 7 8 9
余数
周期
2021/7/26
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斐波那契数列中各数除以n的余数规律是什么？
除数n 2 3 4 6 7 8 9
余数 1,1,0,1,1,0…… 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2…… 1,1,2,3,1,0,1,1,2…… 1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,…… 1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,…… 1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,…… 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,0,……

数学问答29——斐波那契数列（二）

数学问答29——斐波那契数列（二）在各类数学竞赛的决赛中，经常出现“斐波那契数列”及其变化的类型的考题。

我也给各个年级的学生做过类似的题目，略举几例。

[例五] 有一串数如下排列：1，1，2，3，5，8，13，21，44，…（1）那么，这串数中的第2011个数，除以6的余数是多少？（2）那么，这串数中的第2011个数，除以12的余数是多少？接上题，有一在决赛中，反复出现的题目：[例六] 有一串数如下排列：0，1，3，8，21，55，…那么，这串数中的第2011个数，除以6的余数是多少？[例七] 一排蜂房编号如图5，左上角有一只小蜜蜂，还不会飞。

只会向前爬行，它爬行到8号蜂房，共有种路线．注:本题在2004年前后:初一希望杯数学竞赛中最后一题.[例八] 用一张大小为“1×2”的长方形卡片，要求：没有重叠，也没有空隙的，去覆盖一张大小为“2×10”图片，有多少种不同的方法？下一讲,谈谈“斐波那契数列”的几何应用与黄金分割数:0.618.(未完待续)在各类数学竞赛的决赛中，经常出现“斐波那契数列”及其变化的类型的考题。

我也给各个年级的学生做过类似的题目，略举几例。

有趣的斐波那契数列例子

斐波那契数列斐波那契的发明者,是数学家Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是;他被人称作“比萨的列昂纳多”;1202年,他了珠算原理Liber Abacci一书;他是第一个研究了和数学理论的人;他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学;他还曾在、、、和研究;斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和;斐波那契数列通项公式通项公式见图又叫“比内公式”,是用表示的一个范例;注：此时a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,n∈N通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设Fn为该数列的第n项n∈N+;那么这句话可以写成如下形式：F0 = 0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 n≥2,显然这是一个递推数列;方法一：利用特征方程线性代数解法线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=1+√5/2,,X2=1-√5/2;则Fn=C1X1^n + C2X2^n;∵F1=F2=1;∴C1X1 + C2X2;C1X1^2 + C2X2^2;解得C1=1/√5,C2=-1/√5;∴Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1}√5表示5;方法二：待定系数法构造等比数列1初等待数解法设常数r,s;使得Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;则r+s=1, -rs=1;n≥3时,有;Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;Fn-1-rFn-2=sFn-2-rFn-3;Fn-2-rFn-3=sFn-3-rFn-4;……F3-rF2=sF2-rF1;联立以上n-2个式子,得：Fn-rFn-1=s^n-2F2-rF1;∵s=1-r,F1=F2=1;上式可化简得：Fn=s^n-1+rFn-1 ;那么：Fn=s^n-1+rFn-1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2Fn-2;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 + r^3Fn-3;……= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1F1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1;这是一个以s^n-1为首项、以r^n-1为末项、r/s为公比的的各项的和;=s^n-1-r^n-1r/s/1-r/s;=s^n - r^n/s-r;r+s=1, -rs=1的一解为s=1+√5/2,r=1-√5/2;则Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1};方法三：待定系数法构造等比数列2初等待数解法已知a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,求数列{an}的通项公式;解:设an-αan-1=βan-1-αan-2;得α+β=1;αβ=-1;构造方程x^2-x-1=0,解得α=1-√5/2,β=1+√5/2或α=1+√5/2,β=1-√5/2;所以;an-1-√5/2an-1=1+√5/2an-1-1-√5/2an-2=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1`````````1;an-1+√5/2an-1=1-√5/2an-1-1+√5/2an-2=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1`````````2;由式1,式2,可得;an=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1``````````````3;an=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1``````````````4;将式31+√5/2-式41-√5/2,化简得an=1/√5{1+√5/2^n - 1-√5/2^n};与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是的数列,通项公式却是用无理数来表达的;而且当n时an-1/an越来越逼近数;1÷1=1,2÷1=2,3÷2=,5÷3=...,8÷5=,…………,89÷55=…,…………233÷144=…75025÷46368=…;..越到后面,这些比值越接近黄金比.证明:an+2=an+1+an;两边同时除以an+1得到：an+2/an+1=1+an/an+1;若an+1/an的极限存在,设其极限为x,则limn->∞an+2/an+1=limn->∞an+1/an=x;所以x=1+1/x;即x²=x+1;所以极限是黄金分割比;奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等,有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷,把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数;比如钢琴上白键的8,黑键上的5都是斐波那契数,因该把它看做巧合还是规律呢随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值……从第二项开始,每个奇数项的都比前后两项之积多1,每个项的平方都比前后两项之积少1;注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是列的本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通多了的一在哪如果你看到有这样一个题目：某人把一个88的方格切成四块,拼成一个513的,故作惊讶地问你：为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到;斐波那契数列的第n项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数;斐波那契数列fn,f0=0,f1=1,f2=1,f3=2……的其他性质：0+f1+f2+…+fn=fn+2-1;1+f3+f5+…+f2n-1=f2n;2+f4+f6+…+f2n =f2n+1-1;4.f0^2+f1^2+…+fn^2=fn·fn+1;0-f1+f2-…+-1^n·fn=-1^n·fn+1-fn+1;m+n-1=fm-1·fn-1+fm·fn;利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为Olog n的程序;怎样实现呢伪代码描述一下7.fn^2=-1^n-1+fn-1·fn+1;2n-1=fn^2-fn-2^2;n=fn+2+fn-2;2n-2m-2f2n+f2n+2=f2m+2+f4n-2m n〉m≥-1,且n≥1斐波那契数列2n+1=fn^2+fn+1^2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降,成如图所示排列,将同一行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f1=C0,0=1 ;f2=C1,0=1 ;f3=C2,0+C1,1=1+1=2 ;f4=C3,0+C2,1=1+2=3 ;f5=C4,0+C3,1+C2,2=1+3+1=5 ;f6=C5,0+C4,1+C3,2=1+4+3=8 ;F7=C6,0+C5,1+C4,2+C3,3=1+5+6+1=13 ;……Fn=Cn-1,0+Cn-2,1+…+Cn-1-m,m m<=n-1-m斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除,每4个数有且只有一个被3整除,每5个数有且只有一个被5整除,每6个数有且只有一个被8整除,每7个数有且只有一个被13整除,每8个数有且只有一个被21整除,每9个数有且只有一个被34整除,.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5,13,89,233,1597,28657第19位不是斐波那契数列的素数无限多吗斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,,99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现;例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数;叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回;叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数;在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为源自希腊词,意即叶子的排列比;多数的叶序比呈现为斐波那契数的比;斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值,斐波那契数列：|11-12|=|22-13|=|33-25|=|55-38|=|88-513|=…=1卢卡斯数列：|33-14|=|44-37|=…=5F1,4数列：|44-15|=11F2,5数列：|55-27|=11F2,7数列：|77-29|=31斐波那契数列这个值是1最小,也就是前后项之比接近最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列;卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列;前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列;而F1,4与F2,5的黄金特征都是11,是孪生数列;F2,7也有孪生数列：F3,8;其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列,称为孪生斐波那契—卢卡斯数列; 广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩儿数列：1,2,5,12,29,…,也有|22-15|=|55-212|=…=1该类数列的这种称为勾股特征;数列Pn的递推规则：P1=1,P2=2,Pn=Pn-2+2Pn-1.据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：fn = fn-1 p + fn-2 q,称为广义斐波那契数列;当p=1,q=1时,我们得到斐波那契—卢卡斯数列;当p=1,q=2时,我们得到佩尔—勾股弦数跟边长为整数的有关的数列集合;当p=-1,q=2时,我们得到等差数列;其中f1=1,f2=2时,我们得到自然数列1,2,3,4…;自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1等差数列的这种差值称为;具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1;当f1=1,f2=2,p=2,q=1时,我们得到等比数列1,2,4,8,16……相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶,有两种登法；登上三级台阶,有三种登法；登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法;类似的,一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种答案是1/√5{1+√5/2^10+2 - 1-√5/2^10+2}=144种;2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时,Fn/Fn+1的极限是多少这个可由它的通项公式直接得到,极限是-1+√5/2,这个就是黄金分割的数值,也是代表的和谐的一个数字;3.求递推数列a1=1,an+1=1+1/an的通项公式由可以得到：an=Fn+1/Fn,将斐波那契数列的通项式代入,化简就得结果;3.兔子繁殖问题关于斐波那契数列的别名斐波那契数列又学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“”;一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来;如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对两个月后,生下一对小兔民数共有两对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12幼仔0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89成兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列;这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项;这个数列是意大利数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个的通项公式,除了具有an+2=an+an+1的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√5{1+√5/2^n-1-√5/2^n}n=1,2,3.....数学游戏一位拿着一块边长为8英尺的地毯,对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯;”这位匠师对魔术师之差深感惊异,因为两者之间面积相差达一平方英尺呢可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的这真是不可思议的事亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺;自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用;例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝;所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发；此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”;这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列;这个规律,就是生物学上着名的“鲁德维格定律”;另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样;这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉;叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的,每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是……的,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生;向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条;数字谜题三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝,要截成n小段n>2,每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边;截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条就是2为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和,依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10;我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了;这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系;在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了;影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知,于是在电影这种通俗艺术中也时常出现,比如在风靡一时的里它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在魔法玩具城里又是在店主招聘会计时随口问的问题;可见此数列就像黄金分割一样流行;可是虽说叫得上名,多数人也就背过前几个数,并没有深入理解研究;在电视剧中也出现斐波那契数列,比如：日剧考试之神第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~社会文明中的斐波那契数列艾略特波浪理论1946年,艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作,自然法则——宇宙的秘密;艾略特坚信,他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分;波浪理论的优点是,对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号,而传统的技术分析方法只有事后才能验证;艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力,从而有助于解释特定的形态为什么要出现,在何处出现,以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题;另外,它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位;波浪理论的数学基础,就是在13世纪发现的费氏数列;波浪理论数学结构8浪循环图·8浪循环图说明·波浪理论的推动浪,浪数为51、2、3、4、5,调整浪的浪数为3a\b\c,合起来为8;·8浪循环中,前5段波浪构成一段明显的上升浪,其中包括3个向上的冲击波及两个下降的调整波;在3个冲击波之后,是由3个波浪组成的一段下跌的趋势,是对前一段5浪升势的总调整;这是艾略特对波浪理论的基本描述;而在这8个波浪中,上升的浪与下跌的浪各占4个,可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻;·在波浪理论中,最困难的地方是：波浪等级的划分;如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性,不仅需要形态上的支持,而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断;·换句话说,波浪理论易学难精,易在形态上的归纳、总结,难在价位及时间周期的判定;波浪理论的数字基础：斐波那契数列波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率·这个数列就是斐波那契数列;它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的倍；前一个数字约是其后第二个数字的倍；后一个数字约是前一个数字的倍；后一个数字约是前面第二个数字的倍；·由此计算出常见的黄金分割率为和外：、、、、、、、、、·黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值;黄金分割比率在时间周期模型上的应用·未来市场转折点=已知时间周期×分割比率·已知时间周期有两种：1循环周期：最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间2趋势周期：最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间·一般来讲,用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点,即用底部循环计算下一个升势的顶,或用顶部循环计算下一个跌势的底;而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点;时间循环周期模型预测图时间趋势周期模型预测图时间周期与波浪数浪的数学关系·一个完整的趋势推动浪3波或调整浪3波,运行时间最短为第一波1浪或A浪的倍,最长为第一波的倍;如果第一波太过短促,则以第一个循环计算A浪与B浪或1浪与2浪;·及的周期一旦成立,则出现的行情大多属次级趋势,但行情发展迅速;·同级次两波反向趋势组成的循环,运行时间至少为第一波运行时间的倍;·一个很长的跌势或升势结束后,其右底或右顶通常在前趋势的或倍时间出现;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话,则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间,都将会趋向于一致;也就是说,当推动浪中的浪3在走势中成为延伸浪时,则浪1与浪5的升幅和运行时间将会大致趋同;假如并非完全相等,则极有可能以的关系相互维系;·浪5最终目标,可以根据浪1浪底至浪2浪顶距离来进行预估,他们之间的关系,通常亦包含有神奇数字组合比率的关系;·对于ABC调整浪来说,浪C的最终目标值可能根据浪A的幅度来预估;浪C的长度会经常是浪A的倍;当然我们也可以用下列公式预测浪C的下跌目标：浪A浪底减浪A乘;·在对称三角形内,每个浪的升跌幅度与其他浪的比率,通常以的神奇比例互相维系;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·：浪4常见的回吐比率、部份浪2的回吐比率、浪B的回吐比率;·：大部份浪2的调整幅度、浪5的预期目标、浪B的调整比率、三角形内浪浪之间比率;·：常见是浪B的调整幅度;·：浪3或浪4的回吐比率,但不多见;·与：·：浪3与浪1、浪C与浪A的比率关系;推动浪形态·推动浪有五浪构成;第一浪通常只是由一小部分交易者参与的微弱的波动;一旦浪1结束,交易者们将在浪2卖出;浪2的卖出是十分凶恶的,最后浪2在不创新低的情况下,市场开始转向启动下一浪波动;浪3波动的初始阶段是缓慢的,并且它将到达前一次波动的顶部浪1的顶部;推动浪浪5未能创新高低,市场将会出现大逆转推动浪的变异形态——倾斜三角形·倾斜三角形为推动浪中的一种特殊型态比较少见,主要出现在第5浪的位置;艾略特指出,在股市中,一旦出现一段走势呈现快速上升或赶底的状况,其后经常会出现倾斜三角形型态调整浪形态·调整是十分难以掌握的,许多艾略特交易者在推动模式阶段上赚钱而在调整阶段再输钱;一个推动阶段包括五浪;调整阶段由三浪组成,但有一个三角形的例外;一个推动经常伴随着一个调整的模式;·调整模式可以被分成两类：·简单的调整：之字型调整N字型调整·复杂的调整：平坦型、不规则型、三角形型调整浪的简单与复杂调整的交替准则调整浪的变异形态：强势三角形调整浪的变异形态：前置三角形各段波浪的特性·在8浪循环中,每段波浪都有不同的特点,熟知这些特点,对波浪属性的判断极有帮助,·第1浪：大部分第1浪属于营造底部形态的一部份,相当于形态分析中头肩底的底部或双底的右底,对这种类型的第1浪的调整第2浪幅度通常较大,理论上可以回到第1浪的起点;小部份第1浪在大型调整形态之后出现,形态上呈V形反转,这类第1浪升幅较为可观;在K线图上,经常出现带长下影线的大阳线;从波浪的划分来说,在5-3-5的调整浪当中,第1浪也可以向下运行,通常第1浪在分时图上应该显示明确的5浪形态;·第2浪：在强势调整的第2浪中,其回调幅度可能达到第1浪幅度的或,在更多的情况下,第2浪的回调幅度会达到100%,形态上经常表现为头肩底的右底,使人误以为跌势尚未结束;在第2浪回调结束时,指标系统经常出现超卖、背离等现象;第2浪成交量逐渐缩小,波幅较细,这是卖力衰竭的表现;出现传统系统的转向信号,如头肩底、双底等;·第3浪：如果运行时间较短,则升速通常较快;在一般情况下为第1浪升幅的倍;如果第3浪升幅与第1浪等长,则第5浪通常出现扩延的情况;在第3浪当中,唯一的操作原则是顺势而为;因为第3浪的升幅及时间经常会超出分析者的预测;通常第3浪运行幅度及时间最长;属于最具爆发性的一浪;大部分第3浪成为扩延浪;第3浪成交量最大;出现传统图表的突破信号,如跳空缺口等;·第4浪：如果第4浪以平坦型或N字型出现,a小浪与c小浪的长度将会相同;第4浪与第2浪经常是交替形态的关系,即单复式交替或平坦型、曲折型或三角形的交替;第4浪的低点经常是其后更大级数调整浪中A浪的低点;经常以较为复杂的形态出现,尤其以三角形较为多见;通常在第3浪中所衍生出来的较低一级的第4浪底部范围内结束;第4浪的底不会低于第1浪的顶;·第5浪：除非发生扩延的情况,第5浪的成交量及升幅均小于第3浪;第5浪的上升经常是在指标出现顶背离或钝化的过程中完成;在第5浪出现衰竭性上升的情况下,经常出现上升楔形形态;这时,成交量与升幅也会出现背离的情况;如果第1、3浪等长,则第5浪经常出现扩延;如果第3浪出现扩延浪,则第5浪幅度与第1浪大致等长;市场处于狂热状态;·第6浪A浪：A浪可以为3波或者5波的形态;在A浪以3波调整时,在A浪结束时,市场经常会认为整个调整已经结束;在多数情况下,A浪可以分割为5小浪;市场人士多认为市场并未逆转,只视为一个较短暂的调整;图表上,阴线出现的频率增大;·第7浪B浪：在A浪以3波形态出现的时候,B浪的走势通常很强,甚至可以超越A浪的起点,形态上出现平坦型或三角形的概率很大;而A浪以5波运行的时候,B浪通常回调至A浪幅度的至;升势较为情绪化,维持时间较短;成交量较小;·第8浪C浪：除三角形之外,在多数情况下,C浪的幅度至少与A浪等长;杀伤力最强;与第3浪特性相似,以5浪下跌;股价全线下挫;人类文明的斐波那契演进古老的<马尔萨斯理论>已经显灵马尔萨斯认为：每当社会财富快速积累,人口快速增长,就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口;2000年科技泡沫达到繁荣的极限,到处都是财富神话然后盛极而衰,全球经济急转直下转入衰退、长期萧条;于是：911、阿富汗战争、伊拉克战争、SARS、印度洋海啸、飓风袭击美利坚、禽流感、寒流袭击欧罗巴;这一切集中在一起接二连三地发生2000年是自上世纪30年代全球经济大萧条后,一个长达约70年的经济增长周期的结束点,后面将是一个长期萧条周期;上世纪30年代全球经济大萧条导致了二次世界大战,被艾略特称之为：底部战争;现在又是一个与上世纪30年代全球经济大萧条同级别的经济萧条周期,2000年来的经济萧条将持续至2021年才会结束预测附在下面;后面是否又会发生被艾略特称之为的：底部战争至少有不良苗头：哈马斯执政、伊朗核问题纠缠,世界将走向何方是否还记得那个着名的：1999年7月之上误差了2年恐怖大王从天而降911使安哥鲁摩阿大王为之复活美国发动反恐战争这期间由马尔斯借幸福之名统治四方唯一待验证社会群体心理、群体行为、群体价值观,乃至国际政治、经济、军事,一切皆是自相似系统分形几何运行阶段的反映和结果;1、自2000年来的全球经济萧条将持续至2021年,说明未来将是长期萧条;2、之前会有若干次小级别、温和的经济扩张和收缩,2010、2011、2018年是拐点;3、2021年是一个黑暗的年份,人们悲观、恐惧、绝望的情绪会达到一个极点;到时绝大多数经济学家会一致悲观接着柳岸花明经济开始复苏,经济学家们又挨了一记大耳光;首先,列出一组计算公式：公元1937年–公元1932年X + 公元1982年= 公元2000年公元1966年–公元1942年/ + 公元1982年= 公元1999年公元1837年–公元1789年X + 公元1932年= 公元1998年公元1325年–公元950年X –公元1650年–公元1490年+ 公元1789年–公元1650年+ 公元1789年= 公元2000年其中：公元950年商业革命的起点公元1325年商业革命的结束点公元1490年资本主义革命的起点公元1650年资本主义革命的结束点公元1789年工业革命的起点公元1837年公元1789年后第一轮经济扩张的结束点公元1932年自公元1929年资本主义世界股灾的结束点公元1937 年公元1929年股灾后第一轮经济扩张的结束点公元1942年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的起点公元1966年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的结束点公元1982年70年代全球经济滞胀的结束点、、是斐波那契比率,来源于斐波那契数列前2个计算公式的含义：自上世纪30年代资本主义世界经济大萧条以来,新的一个自公元1932年开始的上升5浪的经济扩张周期已经结束,结束点为公元2000年;那么接着是一个调整期经济。

数列的递推关系求解练习题

数列的递推关系求解练习题数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。

在数列中，每个数字都有一个位置，我们可以通过递推关系来找到数列中每个数字之间的规律。

本文将提供一些数列的递推关系求解练习题，帮助读者加深对数列的理解和运用。

一、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，它的递推关系可以表示为：F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个数字。

题目1：求斐波那契数列的第10个数字。

解答：根据递推关系，我们可以依次计算得到斐波那契数列的前10个数字如下：F(1) = 1F(2) = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34F(10) = F(9) + F(8) = 34 + 21 = 55所以斐波那契数列的第10个数字为55。

二、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数字之间的差值都相等的数列。

题目2：已知等差数列的首项为a，公差为d，求该数列的前n项和Sn。

解答：根据等差数列的性质，我们可以得到数列的递推关系：an = a + (n-1)d，其中an表示第n个数字。

首先，我们可以计算数列的第n个数字：an = a + (n-1)d然后，我们可以计算数列的前n项和Sn：Sn = (a + an) * n / 2= (a + (a + (n-1)d)) * n / 2= (2a + (n-1)d) * n / 2题目3：已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的前6项和Sn。

解答：根据题目给出的数据，代入等差数列的递推关系和前n项和的公式，我们可以得到：a = 3d = 4n = 6an = a + (n-1)d= 3 + (6-1)4= 3 + 20= 23Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2= (2*3 + (6-1)*4) * 6 / 2= (6 + 20) * 3= 26 * 3= 78所以该等差数列的前6项和Sn为78。

三年级奥数题：数列问题

三年级奥数题：数列问题
数列题目是三年级奥数的难点之一，许多同学对于这类型的题目掌握的还不是很好，下面就是小编为大家整理的三年级奥数数列题目，希望对大家有所帮助!
第一篇：斐波那契数列
斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，那么数列的第100项与前98项之和的差是多少?
解答：因为第100项等于第99项与第98项之和，所以第100项与前98项之和的差等于第99项与前97项之和的差.同理第99项与前97项之和的差等于第98项与前96项之和的差，……依次类推，可得第100项与前100项之和的差等于第3项与前1项的差，即为第2项，所以第100项与前98项之和的差是.
第二篇：填完数列
按照数列的变化规律在括号里填上合适的数：3，1，6，2，12，3，24，4，()，()。

【答案解析】第1个数、第3个数、第5个数、第7个数……依次为：3，6，12，24，…又组成一个新的数列，后一个数是前一个数的2倍。

因此，第9个数应填48;同样，第2个数、第4个数、第6个数、第8个数……依次为：1，2，3，4，…，也组成一个新的数列，后一个数比前一个数大1。

因此，第10个数应填5
第三篇：等差数列
对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少?49是这个数列的第几项?第100项与第50项的差是多少?
【答案解析】可以观察出这个数列是公差是3的等差数列.根据刚刚学过的公式：第n项=首项+公差×(n-1)，项数=(末项-首项)÷公差+1，第n项-第m项=公差×(n-m);第10项为：4+3×(10-1)=4+27=31，49在数列中的项数为：(49-4)÷3+1=16，第100项与第50项的差：3×(100-50)=150。

兔子数列练习题

兔子数列练习题兔子数列是一道经典的数学问题，在数学中被广泛应用，也是解决实际问题中常用到的数学模型。

本文将介绍兔子数列的概念和常见题目，并提供一些练习题供读者参考。

兔子数列，即菲波那契数列，是一个以自然数序列开始的数列，后续的每个数都是前两个数之和。

其数列形式如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...首先，我们来了解一下兔子数列的背景和定义。

兔子数列最早由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在13世纪提出，用于描述理想化的兔子生长模型。

假设一对刚出生的兔子每个月都能生出一对兔子，而新生兔子在第一个月后就能生育，且生兔子不限次数。

那么经过每个月，兔子群体会如何增长呢？根据问题的设定，养兔子的初衷是为了获取更多的兔子资源。

通过对数列的观察，我们可以发现兔子数量的增长呈现出规律性。

而兔子数列则是通过描述兔子的繁殖过程来揭示这种规律。

接下来，我们将给出一些兔子数列的练习题。

通过解答这些题目，读者可以更深入地理解和应用兔子数列。

题目一：已知兔子数列的前两项为1和1，请写出该数列的前10项。

解答一：根据兔子数列的定义，前两项为1和1。

接下来的每一项都是前两项之和。

根据这一规律，我们一步一步计算可以得到前10项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55题目二：求兔子数列的第15项。

解答二：同样根据兔子数列的定义，我们可以通过递推法来求解第15项。

递推法即利用已知项来逐步推导出后一项的数值。

设第n项为Fn，则有F1 = 1，F2 = 1。

根据兔子数列的递推关系，我们可以得到Fn = Fn-1 + Fn-2。

依据这一关系，我们可以一步一步推导出第15项的值：F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5以此类推，依次计算得到第15项为610。

与斐波那契数列相关的问题并解答

与斐波那契数列相关的问题并解答
斐波那契数列是一个经典的数学问题，其中每个数字都是前两个数字的和。

斐波那契数列通常以0和1开始，后续的数字依次为1，2，3，5，8，13，21，34等。

以下是一些与斐波那契数列相关的问题及其解答：
1. 如何计算第n个斐波那契数？
解答：可以使用递归或迭代的方法计算第n个斐波那契数。

递归方法是将问题分解为更小的子问题，直到达到基本情况（如斐波那契数列的前两个数字）。

迭代方法是使用循环来计算每个数字，并保存中间结果。

2. 斐波那契数列有什么特点？
解答：斐波那契数列具有多个特点。

首先，每个数字都是前两个数字的和。

其次，随着数字的增加，相邻两个数字的比率接近黄金比例（约为1.618）。

另外，斐波那契数列在自然界中也有许多应用，如植物的叶子排列、螺旋壳的形状等。

3. 斐波那契数列有哪些应用？
解答：斐波那契数列在计算机科学、金融学和自然科学等领域有
多种应用。

在计算机科学中，它可以用于动态规划、递归算法和记忆化搜索等问题。

在金融学中，斐波那契数列可以用于分析股票市场的波动趋势。

此外，在自然科学中，斐波那契数列可以解释一些生物现象，如植物的叶子排列和花瓣的分布等。

4. 斐波那契数列有没有其他变体？
解答：是的，斐波那契数列有许多变体，如斐波那契数列模9后的结果、斐波那契素数等。

这些变体通常对原始的斐波那契数列进行了某种扩展或限制，以便研究不同的数学性质和特点。

以上是一些与斐波那契数列相关的问题及其解答。

斐波那契数列是一个有趣且重要的数学问题，其深入研究可以帮助我们更好地理解数学和自然界的规律。