位姿描述与齐次变换
第3章 位姿描述和齐次变换
P
AP
XB
OA
YA
A
参考坐标系{A}
机器人研究所
4
第1节 位置和姿态的表示
位置描述（Description of Position）
px A p p y pz
Ap
zA
{A}
p
A
p
：p点在坐标系{A}中的表示，
xA
oA
yA
也称作位置矢量。
图1 位置表示
齐次的，将其等价为齐次变换形式：
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
A A B p B R p A pBo A
直角坐标
齐次坐标
等价于
p A BT
B
p
11
齐次变换
机器人研究所
22
第3节 齐次坐标变换
机器人研究所14坐标变换复合变换compositetransform机器人研究所15例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所16例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所17例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所18例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述3030086605303030050866坐标变换机器人研究所19例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所20例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述0866051211098050866坐标变换第第33节节齐次坐标变换齐次坐标变换旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换式中对于点是非齐次的将其等价为齐次变换形式
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
位姿描述
相对于坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵。
B AR[AxB,AyB,AzB]
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
r31 r32 r33
该矩阵即表示刚体B相对于坐标系｛A｝的方位。
注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)下角标B代表被描述的坐标系｛B｝。
❖ 1.坐标平移
设坐标系｛B｝与｛A｝具有相同的 方位，但是两个坐标原点不重合， 用位置矢量 A PB0 描述它相对于｛A｝ 的位置。把 A PB 0称为｛B｝相对于 ｛A｝的平移矢量。
如果点p在坐标系｛B｝中的位置为 B P ，则它相对于坐标系｛A｝的位置矢 量 A P 可由矢量相加得出，即
上式称为坐标平移方程。
0.8660.5 0
12
B ARR(z,30 0)0.5 0.8660;ApB06
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
2.3齐次坐标
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
nx ox ax px
A ny
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
注意： 当表示位置时，旋转矩阵为单位矩阵； 当表示方位时，位置矢量为零。
2.2坐标变换
空间任一点P在不同坐标系中的描述是不同的。下面讨论从一个 坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系。
1
坐标平移
2
坐标旋转
3
一般变换
2.2坐标变换
位姿描述和齐次变换
z'θ z
z' θ z
z z'
y' θy
y' y
y' θy
x x’
x θ x’
x θ x’
x’ y’ z’ x
y
z
x’ y’ z’ x y z
x’ y’ z’ x y z
例3.1 若从基坐标系 ({B})到手爪坐标系 ({E})的旋转变换 矩阵为 。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的 原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢 量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b， c的值。
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点o处两 两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡 儿坐标系。
若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向 oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的 坐标系称左手坐标系。
斜角坐标系
（a）右手坐标系
本课程使用右手ห้องสมุดไป่ตู้标系。
（b）左手坐标系
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
最后得： AP BAR BP APBO
9.098 12.562
0
3.3 齐次坐标与齐次变换
复合变换式
可以表示成等价的齐次变换式。
AP
1
A B
R
0
A
PBO 1
B P
1
A
P
A B
R
BP
xA
OB
30o xB
yA yB 30o
所以有：
第三讲 位姿描述与齐次变换
五年级数学下册教学计划一、学生基本情况分析五年级二班现有学生52人。
大部分学生对数学学习的积极性比较高，能从已有的知识和经验出发获取知识，抽象思维能力也有了一定的发展，基础知识掌握比较牢固，有一定的学习数学的能力。
在课堂上大部分学生能积极主动地参与学习过程，具有一定的观察、分析、自学、表达、操作、与人合作等一般能力，在小组合作中，同学之间会交流合作，但自主探讨能力不高。
也有一部分的学生基础知识差，上课不认真听讲，不能独立完成学习任务，需要老师督促并辅导。
还有一部分比较认真但解决问题的能力较差，只能掌握一些基础知识，稍稍拐个弯就不知所措。
本学期重点还是抓好学习上有困难的学生教学，在教学中，面向全体学生，创设愉快情境教学，激发他们的学习动机，进入最佳学习的动态。
全面提高教学质量，让每一位学生都在数学学习上得到最大限度的发展。
二、教材分析在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。
因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。
教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。
在空间与图形方面，这一册教材安排了观察物体、图形的变换、长方体和正方体三个单元。
在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。
在统计方面，本册教材让学生学习有关单式和复式折线统计图的知识。
在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加法和减法、长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。
(优选)机器人位姿描述详解.
R
B
p
A B
R
B
p
A p C p A pCo
Ap
A B
R
B
p
A pBo
24
旋转部分 平移部分
三、齐次坐标和齐次变化
齐次坐标
a P b
c
直角坐标
x
P
y z
齐次坐标
非零的比例因子
a x
b y
c z
25
1）点的齐次坐标：
P x y z T
0
P 2 3 4 1T , P 4 6 8 2T
5
2、方位的描述
为了规定空间某刚体B的方位，设一坐标系{B}与此刚 体固连。用坐标系{B}的三个单位主矢量 , xB, y相B 对zB 于{A}的方向余弦组成的3x3矩阵来表示刚体B相对于 坐标系{A}的方位。
BAR AxB A yB AzB
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
A p BAR B p cos( yA, xB )
cos( yA, yB )
cos(
yA
,
zB
)
pBy
18
cos(zA, xB ) cos(zA, yB ) cos(zA, zB ) pBz
绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
ZA ZB
q q
XA
X
B
1）RX
YB YA
ZA ZB
ZA ZB
q
已知点P在B坐标系的坐标：
B P [x B y B zB ]T
求点P在A坐标系的坐标：
AP [x A y A zA ]T
15
ZB
ZA
第二章_位姿描述和齐次变换(2010-09)
Py Puvw j y j y ( Pu iu Pv jv Pw k w )
x
Pw P Pv o
(O')
v y
Pu
Pz Puvw jz jz ( Pu iu Pv jv Pw k w )
acr cos(
mn mn
)
位置描述(position)---点在坐标系的位置
一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空 间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的 列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。 Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2．1。
T
解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°）
1 0 0 1 1 P ' 0 0 - 1 2 3 0 1 0 3 2
（2-14）
② R（z, 90°）
0 - 1 0 1 3 P '' 1 0 0 3 1 0 0 1 2 2
(2.10)
旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´ 重合，如图。各轴 对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。 则P点在ΣO´uvw中可表示为：
z
Puvw Pu iu Pv ju Pw k w
在机器人工作台上加装一电视摄像机摄像机可见到固联着6dof关节机器人的机座坐标系原点它也可以见到被操作物体立方体的中心如果在物体中心建一局部坐标系则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵t来表示如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵t处它的xyz轴分别与机座坐标系的yxz轴平行
工业机器人技术课程总结
工业机器人技术课程总结任课：班级：学号：姓名：之前在工厂实习见识和操作过很多工业机器人，有焊接机器人，涂装机器人，总装机器人等，但是学习了盖老师教授的工业机器人课程，才真正算是进入了工业机器人的理论世界学习机器人的相关知识。
以下是课程总结。
一、第一章主要是对机器人的概述，从机器人的功能和应用、机器人的机构以及机器人的规格全面呈现学习机器人的框架。
研制机器人的最初目的是为了帮助人们摆脱繁重劳动或简单的重复劳动，以及替代人到有辐射等危险环境中进行作业，因此机器人最早在汽车制造业和核工业领域得以应用。
随着机器人技术的不断发展，工业领域的焊接、喷漆、搬运、装配、铸造等场合，己经开始大量使用机器人。
另外在军事、海洋探测、航天、医疗、农业、林业甚到服务娱乐行业，也都开始使用机器人。
本书主要介绍工业机器人，对譬如军用机器人等涉及不多。
机器人的机构方面，主要介绍了操作臂的工作空间形式、手腕、手爪、和闭链结构操作臂。
工作空间形式常见的有直角坐标式机器人、圆柱坐标式机器人、球（极）坐标式机器人、SCARA机器人以及关节式机器人。
手腕的形式也可分为二自由度球形手腕、三轴垂直相交的手腕以及连续转动手腕。
同时手爪也可分为夹持式手爪、多关节多指手爪、顺应手爪。
机器人的其他规格主要介绍驱动方式、自动插补放大、坐标轴数、工作空间、承载能力、速度和循环时间、定位基准和重复性以及机器人的运行环境。
第一章的内容主要是对机器人各个方面有个简单的介绍使机器人更形象化和具体化。
工业机器人定义为一种拟人手臂、手腕和手功能的机电一体化装置，能将对象或工具按照空间位置姿态的要求移动，从而完成某一生产的作业要求。
工业机械应用：主要代替人从事危险、有害、有毒、低温和高热等恶劣环境中的工作；代替人完成繁重、单调重复劳动。
它带来的好处：减少劳动力费用提高生产率改进产品质量增加制造过程柔性减少材料浪费控制和加快库存的周转消除了危险和恶劣的劳动岗位。
机器人的直角坐标型：结构简单；定位精度高；空间利用率低；操作范围小；实际应用较少。
工业机器人技术课程总结
工业机器人技术课程总结任课：班级：学号：姓名：之前在工厂实习见识和操作过很多工业机器人，有焊接机器人，涂装机器人，总装机器人等，但是学习了盖老师教授的工业机器人课程，才真正算是进入了工业机器人的理论世界学习机器人的相关知识。
以下是课程总结。
一、第一章主要是对机器人的概述，从机器人的功能和应用、机器人的机构以及机器人的规格全面呈现学习机器人的框架。
研制机器人的最初目的是为了帮助人们摆脱繁重劳动或简单的重复劳动，以及替代人到有辐射等危险环境中进行作业，因此机器人最早在汽车制造业和核工业领域得以应用。
随着机器人技术的不断发展，工业领域的焊接、喷漆、搬运、装配、铸造等场合，己经开始大量使用机器人。
另外在军事、海洋探测、航天、医疗、农业、林业甚到服务娱乐行业，也都开始使用机器人。
本书主要介绍工业机器人，对譬如军用机器人等涉及不多。
机器人的机构方面，主要介绍了操作臂的工作空间形式、手腕、手爪、和闭链结构操作臂。
工作空间形式常见的有直角坐标式机器人、圆柱坐标式机器人、球（极）坐标式机器人、SCARA机器人以及关节式机器人。
手腕的形式也可分为二自由度球形手腕、三轴垂直相交的手腕以及连续转动手腕。
同时手爪也可分为夹持式手爪、多关节多指手爪、顺应手爪。
机器人的其他规格主要介绍驱动方式、自动插补放大、坐标轴数、工作空间、承载能力、速度和循环时间、定位基准和重复性以及机器人的运行环境。
第一章的内容主要是对机器人各个方面有个简单的介绍使机器人更形象化和具体化。
工业机器人定义为一种拟人手臂、手腕和手功能的机电一体化装置，能将对象或工具按照空间位置姿态的要求移动，从而完成某一生产的作业要求。
工业机械应用：主要代替人从事危险、有害、有毒、低温和高热等恶劣环境中的工作；代替人完成繁重、单调重复劳动。
它带来的好处：减少劳动力费用提高生产率改进产品质量增加制造过程柔性减少材料浪费控制和加快库存的周转消除了危险和恶劣的劳动岗位。
机器人的直角坐标型：结构简单；定位精度高；空间利用率低；操作范围小；实际应用较少。
2-2.1位姿描述
2个常用的公式：
a b axbx ayby azbz
i a b ax bx j ay by a z (a y bz a z by )i (a z bx a xbz ) j (a x by a y bx )k bz k
上海电机学院 机械学院
各关节如何运动才能保证手 部准确运动到相关位置呢？
运动学问题
位姿描述
上海电机学院 机械学院
• 概念：刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
齐次变换法
旋量法
位姿描述
矢量法
四元数法
上海电机学院 机械学院
2.1刚体位姿描述
1.位置描述{位置矢量} 对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 A P 表示。
P B P APB0
上海电机学院 机械学院
上式称为坐标平移方程。
例：坐标系｛A｝与｛B｝具有相同的方位，但两坐标系原 点不重合。其中 A PB0 为[1,1,1]T。假设点P在{B}中的描 述为 B P [3,7,0]T ，求该点在坐标系{A}中的描述。
3 1 4 1 8 A P B P APB 0 7 0 1 1
0T
A B
T [n o a ox oy oz 0 ax ay az 0
p] X0 Y0 Z0 1
o ox
oy
oz
0
T
a ax
ay
az
0T
T
o x0
y0
z0 1
ห้องสมุดไป่ตู้x n y nz 0
上海电机学院 机械学院
(工业机器人)位姿描述与齐次变换
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达
1、表达方式： 位置＋姿态
空间方位（线、
坐标原点 空间点 面、体）
三个坐标轴
位姿可以用一个直角坐标系 OAXAYAZA 表达，简记为：A
2、特点： 位姿描述是相对的！
二、位置描述
坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：O B 点在 A 中的坐标 值。
数学表达式：
（利用单位正交矩阵性质）
则： A BT1B ATB A0 RT B ART1ApOB
§2.3 非直角坐标系描述
前面讲的是如何用直角坐标系进行位姿描述及变换，其方法 适用于所有机器人。但对某些机器人，用其它非直角坐标系 描述可能更为方便。
一、圆柱坐标系
圆柱坐标机器人（图2－1）
典型应用场合：机床上下料
RPY角（图2－3）：
Roll: （绕本身纵轴 －Z轴）侧滚
Pitch: （前后-绕Y轴）俯仰
偏航
俯仰
Yaw: 偏航（绕X轴）
RPY变换过程： Y: P : R :
各运动均是相对于当前的参考坐标系进行的！ 侧滚 图2－3
RPY变换结果（绝对变换）：
RPYRo(zt,)Ro(yt,)Ro(xt,)
cc csssc cscss
T A 1
B
BAR01
Ap1O1B
∵ A B A
∴有：
A BTA BT1I (44)
即： B A 0 RAp 1OB B AR 01
Ap 1O 1BI(3 0 3)
0 1
利用矩阵块乘法，得：
B ARB AR1I(33)
B ARApO 1 BApOB 0
B A R 1 B A R 1 I B A R 1 B A R T ApO 1B B ARTAPOB
第二章 位姿描述和齐次变换(2010-09)
三个基本旋转矩阵
R ( x, α )
µ 的旋转矩阵， 即动坐标系 ∑ O， vw绕OX轴转动α角， R ( x, α ) 的旋转矩阵，也就是 求
求出坐标系 ∑ O ' µvw 中各轴单位矢量 i µ , j v , k w 在固定坐标系 ∑ Oxyz 中各轴的投影分量，很容易得到在重合时， 中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：
T
合成旋转矩阵: 合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点 Po'uvw = [1 2 3]T ： ，相对固 ∑ Oxyz 做如下运动： 定参考坐标系 做如下运动：① R（x, 90°）；② （ °）；② ∑ Oxyz R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求点 Po 'uvw 在固定参考坐标系 ° ； ° 。 下的位置。 下的位置。 解1：用画图的简单方法 ：
解2：用分步计算的方法 ： ① R（x, 90°） （ °
1 0 0 1 1 P ' = 0 0 - 1 2 = − 3 0 1 0 3 2
（2-14） ）
② R（z, 90°） （ °
0 - 1 0 1 3 P '' = 1 0 0 − 3 = 1 0 0 1 2 2
空间任意两直线的公法线长度公式
给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有 方向矢量n，则：
r (m × n) ⋅ pq a= m×n
α = acr cos(
m⋅n m⋅n
)
位置描述(position)---点在坐标系的位置
一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空 间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的 列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。 Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2．1。
第2章 位子描述和齐次变换(1)
坐标系{A}和{B}有共同的坐标原点，但方 位不同，旋转矩阵 B R 用来描述坐标系{B}相对于 {A}的方位。同一点P在坐标系{A}中的描述Ap与 在坐标系{B}中的描述Bp满足：
xB
A A p = BR B
A
zA
Bp
o
yA
p
xA
yB
——坐标旋转方程
A
图2.4 坐标旋转
B 旋转矩阵 B R 描述坐标系{B}相对于{A}的方位，而 A R 用于描述{A}相 对于{B}的方位。两个旋转矩阵满足如下关系：
A B
A C
B T = AT CT = B
R⋅ B pCo + A pBo
1
o
齐次变换矩阵相乘不满足交换律：变换矩阵“右乘” 注意：齐次变换矩阵相乘不满足交换律：变换矩阵“右乘”，表示 运动是相对于运动坐标系而言的；变换矩阵“左乘” 运动是相对于运动坐标系而言的；变换矩阵“左乘”，表示运动是相 对于固定坐标系而言的。 对于固定坐标系而言的。
B A
A A R = B R -1 = B RT
一般变换（复合变换） 2.2.3 一般变换（复合变换） 坐标系{A}和{B}的方位不同， 原点也不重合，任意点P在坐标系{A} 和{B}中的描述Ap和 Bp满足： ：
zA oA xA
Ap
zC zB
Bp
oB xC
yB yC
Ap Bo
A
p= R
A B
B
p + pBo
S E
O B
T
0
B 6
T
T 相对于物体被定位。末端执行器位姿的描述
O S
6 E
T
S E
y
有两种方式，一种是相对于物体的描述，一种是 相对于机械手的描述。由于两种方式描述的是同 一个点，我们可以把这两个描述等同起来，得到
数控机床位姿描述和齐次变换
]
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A
P = T P,
A B B
A
PB 0 1
空间某点p的直角坐标和齐次坐标分别为：
x y p= z
x ω x y ω y p = = z ω z 1 ω
B
B
p= T p
B C C
A
B p = AT Bp = AT CT Cp B B
因此可以定义复合变换
A C
T= T T
A B B C
需要注意的是，除了几种特例之外，变换矩阵相乘不满足交换 律，变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序 “从右向左 从右向左”，指明运动是相对于固定坐标系描述的。“从左 从右向左 从左 向右”则是相对于运动坐标系描述的。 向右
A
P = P + PCO = R P + PBO
C A A B B A
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对于 {A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动10单位,并沿{A}的YA轴移 动5单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中的 位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.3 齐次坐标变换
复合变换公式可以写为:
A AP BR = 1 0 A
PB0 B P 1 1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P= x
A
[
A
y
A
z 1 , P= x
B
A BR A BT = 0
机器人学基础第2章
2.1 刚体的位姿描述
根据前述的坐标系的四个元素, 坐标系{B} 的原点 在坐标系{A} 中的描述即为坐标系{B} 在坐标系{A} 中的位置。在本课程中位置用矢量表示, 点在坐标系 {A} 的位置矢量 可以表示为其在坐标系{A} 三个坐 标轴上的投影矢量和。
2.1 刚体的位姿描述
思考：如图所示, 当坐标系{B} 与坐标系{A} 的原点 不重合时, 坐标系{B} 在坐标系{A}下如何表示?
2.1 刚体的位姿描述
根据坐标系的4 个元素基本元 素, 即原点位置和三个相互垂直 的单位矢量, 如果可以将坐标系 的4个元素表示出, 就可以实现 坐标系{B} 在坐标系{A} 下描 述。 坐标系{B} 原点在坐标系{A} 中的位置为一个三维矢量, 记为
下的位置矢量, 根据公式(2 - 9),
可以得到P 点在坐标系{B} 下的位
置矢量在坐标系{A} 下的位置矢
量表示
, 则P点在坐标系{A}
下的位置为
2.1 刚体的位姿描述
将 补一行, 写为 可以得到
由上式可知，通过齐次变换矩阵, 可以方便地计算得到一 点在不同坐标系下的位置变换关系。
2.1 刚体的位姿描述
2.2 坐标系的齐次变换
同理可得到动坐标系O′UVW 绕定坐 标系OXYZ 的Y 轴旋转β的姿态矩阵 R(Y, β), 和绕Z 轴旋转γ 的姿态矩阵 R(Z, γ) 等三个基本旋转矩阵
2.2 坐标系的齐次变换
2. 2. 2 坐标系的相对变换和绝对变换
如图所示, 空间有三个坐标系{1} 到{3}, 已知坐标系 {2} 在坐标系{1} 下的旋转矩阵为 , 坐标系{3} 在 坐标系{2} 下的旋转矩阵为 。根据式(2 -5), 可知
使用齐次变换矩阵计算位姿
使用齐次变换矩阵计算位姿
使用齐次变换矩阵可以进行位姿的计算。
在三维空间中，齐次变换矩阵可以表示三维旋转和平移的组合操作。
一般来说，齐次变换矩阵是一个4x4的矩阵，可以表示为：
[R t]
[0 1]
其中，R是一个3x3的旋转矩阵，表示三维旋转操作，t是一个3x1的平移向量，表示平移操作。
假设我们有一个初始位姿的齐次变换矩阵T0，表示初始位置和姿态。
如果我们想要计算一个
相对于初始位姿的新位姿，我们可以使用一个相对变换矩阵Trel：
Trel = [Rrel trel]
[0 1]
其中，Rrel是一个3x3的旋转矩阵，表示相对于初始位姿的旋转操作，trel是一个3x1的平移
向量，表示相对于初始位姿的平移操作。
我们可以将Trel与T0相乘来计算新的位姿Tnew：
Tnew = Trel * T0
即：
[Rnew tnew] = [Rrel trel] * [R0 t0]
[0 1]
[Rnew tnew] = [Rrel * R0 Rrel * t0 + trel]
可以看到，通过相对变换矩阵Trel和初始位姿的齐次变换矩阵T0来计算新的位姿Tnew，实
际上就是将相对变换应用于初始位姿。
通过多次计算相对变换来进行位姿的累加计算，可以实现物体在三维空间中的运动轨迹。
同时，还可以通过逆运算反推出相对变换矩阵，从而得到物体运动的轨迹。
需要注意的是，在计算位姿时，要确保旋转矩阵R是正交矩阵，即满足R^T * R = I或R * R^T = I，以确保旋转操作的准确性。
同时，还要确保平移向量t是经过归一化处理的。
位姿描述和齐次变换
过渡矩阵—公式3-13
C
p
C B
R
B
p
A B
R
B
p
A
oA
再由3-11得到复合变换 xA
A p C p A pC0 BAR B p A pB0
zBp A Bo o
yA xB
3.1 一般变换实例
｛A，B｝初始位姿重合， ｛B｝相对于｛A｝的zA轴 转 30度，再沿xA轴移动10个单位、沿yA轴移动5个单 位，求位置矢量和旋转矩阵
这种方法用强氧化剂将L-山梨糖在4位的仲醇基氧化生成维C的重要前 体——2-酮基-L古龙酸（2-Keto-L-gulonic acid，简称2-KGA）。为了保护 山梨糖C6位伯醇基不被氧化，就须在酸性条件下先用丙酮处理L-山梨糖， 形成双丙酮衍生物后再进行氧化；氧化后还必须水解生成2-酮基-L-古龙酸 （不稳定，难分离出），再经转化而得维C。
莱氏法维生素C生产工艺过程
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
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1 0 0
Rot(x,) 0 c s 0
0 s c
0
1
3. 绕Y轴旋转 角（课堂推导！）
C 0 S
Rot(Y,)
0
1 0 0
S 0 c
0
1
4. 绕Z轴旋转 角（课堂推导！）
C S 0
Rot(Z,)S C 0 0
0 0 1
0
1
四 个 基 本 变 换， 要 牢 记！ （ 如 何 记 ？）
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
a ac bs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs c b
坐 标 值
？
6
分析： • 该矩阵的出现是由于 B 相对于 A 旋转造成的，即是由 姿态引起的； 比较此矩阵与B 在 A中的姿态表达式，可知：
（1）矩阵第一列：X B 在 A中的姿态； （2）矩阵第二列：Y B 在 A中的姿态。
10
九、多次变换
机器人一般由多个杆件构成，为了到达某一位姿往往需要 各个杆件都做出运动，因此存在多次变换问题；
第四节中的绝对变换结果是通过几何法求得的，不能总用 此法计算机器人位姿（？）。
如何计算多次变换结果？
分析：
1. 几何法计算结果：
c s 0 a
ABT
s 0
c 0
0 b 1 0
0
0 0 1
b
OB
X A
OA
a
X A4
现在求 B 的两个坐标轴在 坐标系 A 中的姿态。
YA
坐标轴的姿态值可用其单
位矢量在参考坐标系中的
投影值表示！
b
AXB1 1csionscsions c s
OA
A YB 11 cso in s cso in s cs
Y A YB
OB
XB
X A
a
三、机器人的典型工作分析（如何让机器人完成？）： 1、轴孔类装配
1
两个基本问题： （1）动作顺序及要求； （2）位置及姿态要求。
2、弧焊作业： 也需要解决上述两个基本问题！
3、搬运作业（例如码垛） （结论同上）
4、其它操作作业（喷漆、上下料、点焊、…） 操作机器人工作任务描述两个基本问题！ 关键：位姿描述！
11
2. 运动过程分析
从A 运动到B ，可以分解成如下几个基本变换： AA: 平移变换： Tra(nAas,Ab,0)
AB: 绕 Z A 旋转： Ro(Z tA,)
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(A na,sAb,A0)Ro(ztA,)s0
c
0
0 b 1 0
0
第二章 位姿描述与齐次变换
§2.1 操作机器人工作过程分析
一、操作机器人：具有和人类上肢相似的动作功能，用于操 作作业的机器人，称为～。 二、人类操作过程分析(先看人！）：
板擦黑板→讲台：（眼）定位（手）到位(手）抓 取（手臂）运动（手臂）停止 （手）松开…
工作方法？手眼协调！（盲动呢？）
：位置（＋姿态），动作顺序，动作要求
B 在
A
中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
b 1 0b1 0B A 0R
Ap 1OB B1pA BTB1p
8
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变
换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
12
5. 验证计算（绘图即可）
(1) Tra(nAas,Ab,A0)Ro(tzA,): (2) Ro(tzA,)Tra(nAsa,Ab,A0):
结论：
(3) Ro(tzA,)Tra(nAas,Ab,A0):
五、姿态矩阵 由坐标系三个坐标轴的姿态构成的矩阵，称为～。
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
7
Ap b a b a b a c s
sa c b
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
问题：上述结论只是根据2次变换得到的，适应于多次吗？13
十、相对变换、绝对变换
相对变换：若变换是相对于上一次变换得到的坐标系进 行的，则称为～。 相对变换结果：
顺序相乘！
绝对变换：若变换是相对于参考坐标系进行的，则称 为～。 绝对变换结果：
四、位姿定义：
位置和姿态合称～。 （Position) (orientation) (pose)
2
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达
1、表达方式： 位置＋姿态
空间方位（线、
坐标原点 空间点 面、体）
三个坐标轴
位姿可以用一个直角坐标系 OAXAYAZA 表达，简记为：A
2、特点： 位姿描述是相对的！
2. 含义：
（1）相对于 A 描述的B 的位姿（从数学角度）； （2）把 A 变换到 B 的结果（从运动角度）。
位姿描述的关键是求得其齐次变换矩阵！
八、基本变换矩阵（应牢记！！！）
1. 平移矩阵：
1
a
Trans(a,b,c)
1
b
1 c
0
1
参考坐标系未 标出，原因？
9
2. 绕X轴旋转 角（学生课堂推导！）
• 多次变换结果不仅与变换顺序有关，而且与相对的坐标 系有关！
（1）必须正确确定变换顺序！
（2）必须正确确定每次变换所相对的坐标系的 性质！
• 若每次变换都是相对于前一个坐标系进行的，则变换结 果等于各个基本变换矩阵顺序相乘；
•若每次变换都是相对于参考坐标系进行的，则变换结果 等于各个基本变换矩阵逆序相乘；
二、位置描述
坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：O B 点在 A 中的坐标
值。
3
数学表达式：
参考坐标系
a A poB OAOB b
c
坐标值形式
描述对象
矢量表达形式
三、姿态描述
为了方便起见，先以平面坐标系为例进行讲解，然后推广
到三维情况！
YA
Y A
YB
XB
如右图所示，先将 A 平移
到 A，然后绕 Z A 旋转 得 到 B
XA
注意！
由于笛卡儿坐标系各个坐标轴之间存在内部约束， 因此坐标系的姿态描述一般是冗余的。例如在平面坐标系
情况下，只有一个独立量
5
四、绝对描述 已知某点在 B 中的位置，试求其在 A 中的位置值。
由几何学可知，要求出 一点在绝对坐标系中的
YA
位置，关键是求出其在
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可