2021届高三年级国庆假期作业理科数学训练卷(一)含答案
2021年10月浙江省五校(杭州高中杭州二中等)2021届高三毕业班上学期第一次联考数学试题及答案
绝密★启用前浙江省五校联考联盟(杭州高中 杭州二中 学军中学 绍兴一中 效实中学) 2022届高三毕业班上学期第一次联考质量检测数学试题2021年10月考生须知：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。
参考公式：若事件A,B 互斥,则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)台体的体积公式：V ＝13(S 1＋S 2)h 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式：V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式：S ＝4πR 2球的体积公式：V ＝43πR 3 共中R 表示球的半径第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x 2＋4x －5>0},则AI(∁R B)等于A.{x|0<x ≤1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|－1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方,则实数b 的取值范围为A.b>－3B.b<－3C.－3<b<0D.b>0或b<－33.若a>b>0,m<0。
则下列不等式成立的是A.am 2<bm 2B.m b a ->1C.a m a b m b -<-D.22a m b m a b --> 4.已知sin(4π＋α)＝13,则cos(2π－2α)＝ A.－79 B.79C.－429D.429 5.函数f(x)＝(1－x21e +)cosx(其中e 为自然对数的底数)的图象大致形状是6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)(一模)数学(理科)试卷【含答案】
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)（一模）数学(理科)试卷(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x<1}，则A∩B＝A.(－1，0)B.(－∞，1)C.(－1，1)D.(0，1)2.已知复数z满足z iz i-+＝i，则复数z＝A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分51-0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则2a b1cos72-︒＝A.12B.2C.512D.44.函数f(x)＝x cosxx sinx⋅-的部分图象大致是5.在区间[－1，1]上任取一个实数k ，则使得直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点的概率是 A.32 B.22 C.33 D.126.已知梯形ABCD 中，AB//DC ，且AB ＝2DC ，点P 在线段BC 上，若5AP AB AD 6λ=+，则实数λ＝ A.34 B.23 C.13 D.127.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，给出以下结论：①{a n ＋S n }是等差数列；②{a n ·S n }是等比数列；③{a n 2}是等差数列；④n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则其中正确结论的个数为 A.4 B.3 C.2 D.18.已知实数x ，y 满足x 3y 1303x 2y 1102x y 50+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若不等式x ＋my ＋1≤0恒成立，则实数m 的取值范围是 A.(0，14] B.[－4，－12] C.(－∞，－12] D.(－∞，－4] 9.已知a ＝2ln3π，b ＝3ln2π，c ＝2ln π3，则下列结论正确的是 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c10.已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝BC ＝BD ＝CD ＝AD ＝4，二面角A －BD －C 的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且BE ＝3AE ，过E 作三棱锥A －BCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 A.103π B.3π C.3πD.3411.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(12，0)的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若AF 2FB =，则sin ∠MPQ＝ A.59 B.37 C.911 D.51312.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图象关于x ＝－3π对称，f(6π)＝0，f(x)在[3π，1124π]上单调递增，则ω的所有取值的个数是 A.3 B.4 C.1 D.2太原市2021年高三年级模拟考试(－～)数学试卷(理科) 第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2021届全国二卷理科数学全真模拟(一)含答案解析
2021届全国二卷理科数学全真模拟（一）含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 已知集合A ={0,1,2},B ={x|2x >1},则A ∩B =( ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}2. 若复数z =i1+i (i 为虚数单位)，则z ⋅z ¯=( ) A.12B.12iC.14D.−143. 若AB →=(2, 4)，AC →=(1, 3)，则BC →=( ) A.(1, 1) B.(−1, −1)C.(3, 7)D.(−3, −7)4. 已知在特定条件下进行羽毛球训练时，羽毛球飞行后距离地面的高度ℎ（单位：米）与发球后的时间t （单位：秒）满足函数关系ℎ=at 2+bt +c （a ，b ，c 是常数）．如图记录了小王某次发球后羽毛球距离地面的高度在三个时间点的数据，则小王这次发球从球发出到球落地的时间间隔（用四舍五入法精确到0.01，且√10≈3.162）是( )A.6.12秒B.6.16秒C.6.20秒D.6.24秒5. 在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A.中位数不变，方差不变 B.中位数变大，方差不变 C.中位数变小，方差变小 D.中位数不变，方差变小6. 已知a >b >0，x ＝a +be b ，y ＝b +ae a ，z ＝b +ae b ，则（ ） A.x <z <y B.z <x <y C.z <y <x D.y <z <x7. 两个平面平行的条件是（ ） A.有一条直线与这两个平面都平行 B.有两条直线与这两个平面都平行 C.有一条直线与这两个平面都垂直 D.有一条直线与这两个平面所成的角相等8. 已知抛物线C 1:x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A 、B ，交C 1的准线于C 、D ，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为（ ） A.x 2+(y −12)2＝4 B.x 2+(y −12)2＝12 C.x 2+(y −1)2＝4 D.x 2+(y −1)2＝129. 已知P ，Q 为动直线y ＝m(0<m <√22)与y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间[0,π2]上的左，右两个交点，P ，Q 在x 轴上的投影分别为S ，R ．当矩形PQRS 面积取得最大值时，点P 的横坐标为x 0，则（ ） A.x 0<π8B.x 0=π8C.π8<x 0<π6D.x 0>π610. 设△ABC 的内角A ，B ，C ，满足2sin 2A sin 2B +sin A sin B =12sin 2A sin 2B ，则cos C =( )A.−√32B.−12C.√32D. 1211. 若直线ax +2by −2=0(a >0, b >0)始终平分圆x 2+y 2−4x −2y −8=0的周长，则1a+2b的最小值为（ ） A.1 B.3+2√2 C.5 D.4√212. 设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1).若对任意x ∈(−∞,m],都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是( )A.(−∞,94]B.(−∞,73]C.(−∞,52]D.(−∞,83]卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为________元．14. 若函数f(x)=√8−ax −2x 2是偶函数，则该函数的定义域是________．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =√2,c =4，且a cos B =3bc cos A ，则△ABC 的面积为__________.16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计80分 ， ）17. （12分） 如图，三棱锥P −ABC 中，△ABC 是等边三角形，M 是线段AC 的中点，N 是线段CB 上靠近C 的四等分点，平面PBC ⊥平面ABC ． (Ⅰ)求证：MN ⊥PB ；(Ⅱ)若PB ＝PC ＝BC ＝4，求二面角A −PC −B 的余弦值．18.(12分) 现代社会各种各样的理财：银行类、宝宝类、P2P类、基金类、股票类等，充实着人们的生活，为了调查白领们的理财方式，随机对100名男白领和100名女白领进行了不记名的问卷调查. 得到了如下的统计结果：以频率代表概率，(1)求男白领、女白领理财方式大于3种的概率分别为多少；(2)若某城市共有女白领75000人，试估计其中理财方式大于3种的人数；(3)①完成下面的2×2列联表：②并回答能否有90%的把握认为“理财方式与性别有关”?附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.(12分) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n是n与S n的等差中项．（1）求证：a n=2a n−1+1(n≥2)；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．20.(12分) 设函数f(x)=a ln x−x (a≠0),f(x)的导函数为f′(x).(1)当a=1时，求函数f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)对于曲线C:y=f(x)上的不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，求证：在(x1，x2)内存在唯一的x0，使直线AB的斜率等于f′(x0).21.(12分) 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于12，P(2,3)，Q(2,−3)是椭圆上的两点.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.22.(10分) 在直角坐标系xOy中，圆C1：(x−2)2+(y−4)2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2:θ=π3(ρ∈R)．(1)求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，求△OMN的面积．23.(10分) 设函数f(x)=|x−a|.(1)若关于x的不等式f(x)+b<0的解集为(−1,3)，求a,b的值；(2)若g(x)=2f(x)+2f(x+1)，求g(x)的最小值.理科数学模拟卷(一)参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【解答】解：由题知B ={x|2x >1}={x|x >0},所以A ∩B ={1,2}, 故选C . 2. 【解答】解：z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i+12，∴ z ¯=1−i 2，∴ z ⋅z ¯=(1+i)(1−i)4=12.故选A . 3. 【解答】解：BC →=AC →−AB →=(−1,−1)． 故选B ． 4. 【解答】解：据题意，得{a +b +c =3,4a +2b +c =92,36a +6b +c =12,解得{a =−12,b =3,c =12,所以ℎ=−12t 2+3t +12．令ℎ=0，得−12t 2+3t +12=0，t =3±√10， 又t >0，所以t =3+√10≈3+3.162=6.162≈6.16（秒）． 故选B ． 5. 【解答】∵ 原数据的中位数是2+42=3，平均数为1+2+4+54=3，∴方差为14×[(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=52；∵新数据的中位数为3，平均数为1+2+3+4+55=3，∴方差为15×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]＝2；所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，6.【解答】解法一：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2+e，y＝1+2e2，z＝1+2e；显然有1+2e2>1+2e>2+e，即x<z<y．解法二：a>b>0时，e a>e b，∴ae a>ae b>be b，∴b+ae a>b+ae b>a+be b，这里a>b>0，∴z−x＝(b−a)+(a−b)e b＝(a−b)(e b−1)>0，即x<z<y．7.【解答】解：根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得C正确．故选：C．8.【解答】依题意，抛物线C1:x2＝2y的焦点为F(0, 12)，∴圆C2的圆心坐标为F(0, 12)，作图如下：∵四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F(0, 12)为圆C2的圆心，∴点F为该矩形的两条对角线的交点，∴点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，又点F到直线CD的距离d＝1，∴直线AB的方程为：y=32，∴A(√3, 32)，∴圆C2的半径r＝|AF|=√(√3−0)2+(32−12)2=2，∴圆C2的方程为：x2+(y−12)2＝4，9.【解答】由题意知，P与Q关于直线x=π4对称，设P(x, sin x)，则Q(π2−x,sin x)，∴S(x)=(π2−2x)sin x(0<x<π4)，∴S′(x)=−2sin x+(π2−2x)cos x，∴S″＝−4cos x−(π2−2x)sin x，∵0<x<π4，∴S′′(x)<0，∴S′(x)在区间(0,π4)上单调递减，且S′(0)=π2>0，S′(π4)=−√2<0，∴S′(x)在区间(0,π4)存在唯一零点，即为x0．令S′(x0)＝0得：2sin x0=(π2−2x0)cos x0，即tan x0=π4−x0．由不等式tan x0>x0(0<x0<π2)得：π4−x0>x0，解得：x0<π8，10.【解答】解：因为cos C=−cos(A+B)=−(cos A cos B−sin A sin B)，所以，2sin2A sin2B+sin A sin B=2sin A cos A×sin B cos B，因为A，B为三角形内角，所以sin A sin B≠0,所以2sin A sin B+1=2cos A cos B，2(cos A cos B−sin A sin B)=1，所以：cos(A+B)=12，cos C=−12.故选B.11.【解答】解：由题意得，直线过圆心(2, 1)，所以，a+b=1．∴1a +2b=(a +b)(1a +2b )=3+b a +2a b ≥3+2√2， 当且仅当ba =2a b时，等号成立.故选B ． 12. 【解答】解：当x ∈(1,2]时，x −1∈(0,1],f(x −1)=(x −1)(x −2)=12f(x),故f(x)=2(x −1)(x −2)=2(x −32)2−12≥−12，满足条件；当x ∈(2,3]时，x −2∈(0,1],f(x −2)=(x −2)(x −3)=12f(x −1)=14f(x)，故f(x)=4(x −2)(x −3)，由f(x)≥−89解得x ≥83或x ≤73，结合题意，x ≤73； ∴ m ∈(−∞,73].故选B.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【解答】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时， 两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500， 此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8500+91002=8800．14. 【解答】函数f(x)=√8−ax −2x 2，则f(−x)=f(x)， 则有√8+ax −2x 2=√8−ax −2x 2， 解可得a =0，则函数f(x)=√8−2x 2，有8−2x 2≥0，解可得−2≤x ≤2， 则函数f(x)的定义域为[−2, 2]； 15. 【解答】解：由余弦定理得a ⋅a 2+c 2−b 22ac=3b ⋅b 2+c 2−a 22bc,即a 2+16−2=3(2+16−a 2)，解得a=√10,∴cosA=b2+c2−a22bc=2√2×4=√22,∵在三角形中，∴sin A=√1−cos2A=√22,故S△ABC=12bcsin A=12×√2×4×√22=2.故答案为：2.16.【解答】解：从图中可得该正多面体有9×2+8=26个面；由题意可设该正多面体棱长为x，因为其每个顶点都在正方体的表面上，所以有2x√2+x=1，解得x=√2−1；故答案为：26，√2−1.三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分）17.【解答】（1）如图，取BC的中点为O，连接AO．因为△ABC是等边三角形，所以AO⊥BC．由题意知MN // AO，从而MN⊥BC．因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，MN⊥BC，所以MN⊥平面PBC．又PB⊂平面PBC，所以MN⊥PB．（2）如图，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PO ⊥BC ，所以PO ⊥平面ABC ．所以OA ，OB ，OP 两两垂直．分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ． 因为PB ＝PC ＝BC ＝4，△ABC 为等边三角形， 所以PO =AO =2√3，所以A(2√3,0,0)，C(0, −2, 0)，P(0,0,2√3)，从而PA →=(2√3,0,−2√3)，PC →=(0,−2,−2√3)．设平面APC 的法向量n →=(x,y,z)．由{n →⋅PA →=2√3x −2√3z =0n →⋅PC →=2y +2√3z =0，得{x =z y =−√3z ．可取n →=(1,−√3,1)． 取平面BPC 的一个法向量m →=(1,0,0)．所以cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →||n →|=1×1+(−√3)×0+1×0√12+(−√3)2+12×√12+02+02=√55． 由图可知二面角A −PC −B 为锐角，故二面角A −PC −B 的余弦值为√55．18.【解答】解：(1)男白领理财方式大于3种的概率为：P =25+15100=0.4；女白领理财方式大于3种的概率为：P =20+10100=0.3.(2)设估计理财方式大于3种的人数为x ，依据题意有x 75000=30100，解得x =22500.所以估计其中理财方式大于3种的人数是22500.(3)①根据题目所给数据得到如下列联表：②因为根据列联表中的数据，得到K2=200×(60×30−40×70)2100×100×130×70≈2.198<2.706，所以没有90%的把握认为“理财方式与性别有关”.19.【解答】（1）证明：∵a n是n与S n的等差中项，∴2a n=n+S n①于是2a n−1=n−1+S n−1(n≥2)②①-②得2a n−2a n−1=1+a n∴a n=2a n−1+1(n≥2)（2）证明：当n≥2时，由a n=2a n−1+1得a n+1=2(a n−1+1)∴a n+1a n−1+1=2当n=1时，2a1=1+S1即2a1=1+a1∴a1=1，a1+1=2所以{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列（3）解：∵a n+1=2⋅2n−1=2n∴a n=2n−1∴S n=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n 20.【解答】(1)解：a=1时，f(x)=ln x−x, f′(x)=1x−1，f′(2)=−12, f(2)=ln2−2，∴ f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为：x+2y−2ln2+2=0.(2)证明：∵k AB=f′(x0)，∴a ln x1−x1−a ln x2+x2x1−x2=ax0−1，化简得ln x1−ln x2x1−x2=1x0.即x0(ln x2−ln x1)+(x1−x2)=0，因此，要证明原命题成立，只需证明x0(ln x2−ln x1)+(x1−x2)=0,x0∈(x1,x2)，且x0唯一. 设g(x)=x(ln x2−ln x1)+(x1−x2),g(x0)=0①则g (x 1)=x 1(ln x 2−ln x 1)+(x 1−x 2)， 再设ℎ(x)=x (ln x 2−ln x )+(x −x 2), 0<x <x 2. ∴ ℎ′(x)=ln x 2−ln x >0.∴ y =ℎ(x)在0<x <x 2是增函数，又0<x 1<x 2, ∴ g (x 1)=ℎ(x 1)<ℎ(x 2)=0②同理g(x 2)>0③∵ 一次函数g(x)=(ln x 2−ln x 1)x +x 1−x 2在(x 1，x 2)上是增函数， 因此由①②③得x (ln x 2−ln x 1)+(x 1−x 2)=0 在(x 1，x 2)有唯一解x 0，故原命题成立.21.【解答】解：(1)由离心率得c a =12， ∵ a 2=b 2+c 2，∴ a 2=4c 2，b 2=3c 2，设椭圆方程为x 24c 2+y 23c 2=1,代入（2,3），得c 2=4, a 2=16, b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1.(2)设A (x 1, y 1), B (x 2,y 2)，设AB 方程为y =12x +t ， 由{y =12x +t,x 216+y 212=1, 化简得：x 2+tx +t 2−12=0， Δ=t 2−4(t 2−12)>0，解得−4<t <4,∵ {x 1+x 2=−t ，x 1x 2=t 2−12，又P(2,3),Q(2,−3)，∴ S 四边形APBQ =S △APQ +S △BPQ=12×6×|x 1−x 2|=3√(x1+x2)2−4x1x2=3√48−3t2.当t=0时，S最大为12√3.22.【解答】解：(1)∵圆C1的普通方程为x2+y2−4x−8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=√3x；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S△OMN=12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．23.【解答】解：(1)由f(x)+b>0得，|x−a|<−b，当b≥0时，不合题意；当b<0时，a+b<x<a−b，由已知得{a+b=−1，a−b=3，∴{a=1，b=−2，综上，a=1,b=−2.(2)g(x)=|x−1|+|x|≥|(x−1)−x|≥1，当x(x−1)≤0，即x∈[0,1]时，g(x)有最小值1.。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2021-2022学年四川省南充市高三(上)适应性数学试卷(理科)(一诊)(附答案详解)
2021-2022学年四川省南充市高三（上）适应性数学试卷（理科）（一诊）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，则S∪T=()A. ⌀B. SC. TD. Z2.若复数z满足(1−i)z=2(3+i)，则z的虚部等于()A. 4iB. 2iC. 2D. 43.设m∈R，则“m≤2”是“函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是()A. 乡村人口数逐次增加B. 历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C. 城镇人口数逐次增加D. 城镇人口比重逐次增加5. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N 0只，则大约经过( )天能达到最初的1800倍．(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1800≈7.4955，ln8000≈8.9872.)A. 129B. 150C. 197D. 1996. 函数f(x)=(e x +e −x )ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 设数列{b n }前n 项的乘积T n =b 1⋅b 2⋅…⋅b n ，若数列{b n }的通项公式为b n =4010−n ，则下面的等式中正确的是( )A. T 1=T 19B. T 8=T 11C. T 5=T 12D. T 3=T 178. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 点，若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=16x9. 已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)(a ∈R)是偶函数．g(x)=f(2x +π6)+1，若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是( )A. [0,3]B. [0,3)C. [2,3)D. [√2+1,3)10. 若A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，A ，B 到直线l ：√3x +y −4=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若AB =15cm ，AC =25cm ，∠BCM =45°，则tanθ的最大值是( ).(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角)A. 259B. 53C. 45D. 3512. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x −1)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,3]时，f(x)=kx +m ，若f(0)−f(3)=−2，则f(2022)=( )A. −2B. 0C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线y =2x +t 与曲线y =2lnx 相切，则实数t 的值为______．14. 已知平面向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，若向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c⃗ =______.(其中c⃗ 用坐标形式表示) 15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c.若A =π3，c =4，若△ABC 的面积为2√3，则△ABC 的外接圆的半径为______．16. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为y 2=4x ； ②若AM ⊥l 于M ，则抛物线在A 点处的切线平分∠MAF ； ③若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则抛物线C 方程为y 2=6x ； ④若|OM|+|MA|的最小值为2√13，则抛物线C 方程为y 2=8x ． 其中所有正确的命题序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +1，______．请在①a 4+a 7=13；②a 1，a 3，a 7成等比数列；③S 10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{an2n }的前n 项和T n ，求证：1≤T n <3．18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅱ)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为P1，P2，记甲、乙两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1−ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．(Ⅰ)设F为CD1的中点，在AB上是否存在一点M，使得MF//平面D1AE.若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当k=2时，求△OMN的面积；(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．21.已知函数f(x)=12x2−ax+x−a+1e x，其中a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(0,1)，设g(x)=f(x)−f(0)，(ⅰ)证明：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为x 0，求证：e x 0<x1−a+1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1：θ=α(ρ≥0,0≤α≤π2)与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点，当α=0时，|OA|=1；当α=π2时，|OB|=2． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2+√3|OA|⋅|OB|的最大值．23. 记函数f(x)=|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(Ⅰ)求m 的值：(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足abc =2m 3，证明：(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，∴T⫋S，∴S∪T=S．故选：B．推导出T⫋S，从而S∪T=S．本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D=(3+i)(1+i)=2+4i，【解析】解：由题意，可知z=2(3+i)1− i所以复数z的虚部为4，故选：D．利用复数的运算性质，直接求解即可．本题考查了复数的运算性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增，≤1，∴m≤2，则m2∴m≤2是函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的充要条件，故选：C．先求出函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的等价条件，再利用充要条件的定义判断即可．本题考查二次函数的单调性，充要条件的判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：乡村人口第6次，比第5次少，人口不是逐渐递增的，故A 错误， 历次人口普查中第七次普查城镇人口为63.89(万人)，为最多，故B 正确， 城镇人口数从第1次到第7次，人口数逐次增加，故C 正确， 城镇人口比重函数图象为递增图象，故D 正确， 故选：A ．根据函数图象直接进行判断即可．本题主要考查简单的合情推理，根据函数图象直接进行判断是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设经过n 天后蝗虫数量达到原来的1800倍， 则N 0(1+6%)nN 0=1800，即1.06n =1800，所以n =log 1.061800=ln1800ln1.06≈129．故选：A ．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，f(−x)=(e −x +e x )ln|−x|=(e x +e −x )ln|x|=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，当0<x <1时，f(x)<0，排除B ， 故选：C ．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x <1时，f(x)<0进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵数列{b n}的通项公式为b n=4010−n，∴T n=b1⋅b2⋅…⋅b n，=409⋅408⋅407⋅......⋅4010−n=409+8+....+(10−n)，∵9+8+.....+(10−n)=n(9+10−n)2=−12n2+192n，开口向下，对称轴为n=192，∴四个选项中只有B成立，故选：B．根据条件求出T n的表达式，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，可得e=ca =√1+b2a2=√5，可得2a=b，渐近线方程为y=±12x，抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，求得A(−p2,−p4)，B(−p2,p4)，△OAB(O为坐标原点)的面积为2，可得12×p2×p2=2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x．故选：C．由双曲线的离心率，可得2a=b，求得渐近线方程和抛物线的准线方程，联立解得A，B，再由三角形的面积公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查抛物线的方程和性质，以及运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=acos(x−π3)+√3sin(x−π3)=(a2cosx+√32asinx)+√3(12sinx−√32cosx)=(a 2−32)cosx +(√32a +√32)sinx 是偶函数(a ∈R)，∵f(x)=f(−x)，∴√32a +√32=0，∴a =−1，故f(x)=−2cosx ，∴g(x)=−2cos(2x +π6)+1， 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根， 则cos(2x +π6)=1−m 2在[0,7π12]有两个不相等实根，∵x ∈[0,7π12]，∴2x +π6∈[π6,4π3]，∵cos4π3=−12，∴−1<1−m 2≤−12，∴2≤m <3，∴实数m 的取值范围是[−2,3)． 故选：C ．由利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据函数的奇偶性求得a ，可得f(x)的解析式，再得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，求得实数m 的取值范围． 本题主要考查三角恒等变换，函数的奇偶性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：因为A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 所以2×2×cos∠AOB =−2， 故cos∠AOB =−12， 所以∠AOB =120°， 设AB 中点为P ，在等腰三角形AOB 中，OP =1， 所以P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 设P 到直线l 的距离为d ，由梯形的中位线定理可知2d =d 1+d 2， 因为O 到直线l ：√3x +y −4=0的距离为42=2， 所以P 到直线l 的距离的最大值为2+1=3， 所以d 1+d 2的最大值为6， 故选：D ．根据条件可得∠AOB=120°，设AB中点为P，由等腰三角形的性质可知P在以O为圆心，以1为半径的圆上，而由梯形的中位线定理可知P到直线l的距离为d1+d2的一半，故求出P点到直线l的距离的最大值即可．本题考查了平面向量数量积的性质，动点轨迹的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x，则CP′=20−x，由∠BCM=45°，PP′=CP′tan45°=20−x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=√225+x2，则y′=−√225+x 2−(20−x)⋅2√225+x2225+x2=√225+x2，当0≤x≤20时，y′<0，所以函数在[0,20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为2015=43，当P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan45°=20+x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=(20+x)2225+x2，则y′=0可得x=454，此时函数的最大值为53，综上可知，函数的最大值为53，故选：B．过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，设BP′=x，可得tanθ=PP′AP′=√225+x2，分P′在BC之间和P′在CB的延长线上两种情况求最值，比较可得结果．本题考查了三角形中的几何计算及三角函数的最值问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵f(x−1)为奇函数，∴f(−x−1)=−f(x−1)，当x=0时，f(−1)=−f(−1)，即f(−1)=0，∵f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)=f(x+1)，则f(−x−2)=−f(x)，f(−x+2)=f(x)，即f(−x−2)=−f(−x+2)，则f(x−2)=−f(x+2)，即f(x)=−f(x+4)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的周期是8，f(0)=f(2)，∵当x∈[1,3]时，f(x)=kx+m，若f(0)−f(3)=−2，∴f(2)−f(3)=−2，即2k+m−3k−m=−k=−2，得k=2，此时f(x)=2x+m，又f(3)=f(2+1)=f(−2+1)=f(−1)=0，即6+m=0，得m=−6，即f(x)=2x−6，则f(2022)=f(252×8+6)=f(6)=f(2+4)=−f(4−2)=−f(2)=−(4−6)=2，故选：C．根据函数奇偶性建立方程求出函数f(x)是周期为8的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：∵y=2lnx，∴y′=2x ，设切点为(m,2lnm)，得切线的斜率为2m，∴曲线在点(m,2lnm)处的切线方程为：y−2lnm=2m×(x−m)．即y=2mx−2+2lnm，由2m=2，得m=1，∴t=−2+2ln1=−2．故答案为：−2．欲求t的值，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进一步求解t值．本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.【答案】(4,−4)【解析】解：因为a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，所以c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,0)+(2,−4)=(4,−4)．故答案为：(4,−4)．根据向量的运算性质计算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：根据题意得12bcsinA=2√3，把A=π3，c=4代入得b=2，由余弦定理得a=√b2+c2−2bccosA=√22+42−2×2×4×12=2√3，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得asinA =2R，∴R=√32×√32=2．故答案为：2．由△ABC的面积为2√3可求得b值，然后由余弦定理求得a值，再由正弦定理求得△ABC的外接圆的半径．本题考查正、余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算能力，属于基础题．16.【答案】①②③④【解析】解：对于①，当△MAF 为正三角形时，|AF|=|AM|，故A M 与x 轴平行，∵|AF|=|AM|=4，∴F 到准线的距离等于12|AM|=2，即p =2，故①正确； 对于②，设A(x 0,y 0)，不妨设点A 在第一象限，则y 0=√2px 0， 由y =√2px.得y′=√2p 2√x，所以抛物线在A 的切线的斜率k =√2p 2√x 0，所以抛物线在A 处的切线方程为y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)，∵F(p2,0)，M(−p 2,√2px 0)，所以MF 的中点为H(0,√2px 02) 显然点H 在直线y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)上，即AH 为△AFM 的一条中线，又由抛物线的定义，知|AF|=|AM|，所以△AFM 为等腰三角形， 所以AH 平分∠MAF ；故②正确；对于③，若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，M ，F 三点共线，且|MF|=12，由三角形的相似比可得1216=p4，得p=3，故③正确；对于④，设B(−p,0)，则O，B关于准线对称，故|MO|=|MB|，∵|AF|=4，∴A点横坐标为4−p2，不妨设A在第一象限，则A点纵坐标为√8p−p2，故|OM|+|MA|的最小值为|AB|=√(4+p2)2+8p−p2=2√13，解得p=4或p=12，由4−p2≥0，p≤8，故p=4，故④正确．故答案为：①②③④．根据等边三角形性质判断①，根据三线合一判断②，利用相似三角形判断③，根据最短距离列方程计算p，判断④．本题考查抛物线的几何性质，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+1，整理得a n+1−a n=1(常数)，故数列{a n}是以1为公差的等差数列；选条件①时，(Ⅰ)由于①a4+a7=13；2a1+9=13，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件②a1，a3，a7成等比数列所以a32=a1⋅a7，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件③S10=65时，10a1+10×92=65，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n =12+122+....+12n −n+12n+1+12， 整理得T n =3−n+32n．所以T n <3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n −1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T 1=1， 所以1≤T n <3．【解析】首先确定数列{a n }为等差数列，进一步选条件①②③时， (Ⅰ)直接求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法和放缩法及函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，数列的单调性，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】(I)解：按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 63C 83=514,P(X =1)=C 62C 21C 83=1528,P(X =2)=C 61C 22C 83=328，所以随机变量X 的分布列为：所以期望为E(X)=0×514+1×1528+2×328=34． (II)解：由题意，随机变量Y 的可能取值为0，1，2， 则P(Y =0)=(1−p 1)(1−p 2)=1−(p 1+p 2)+p 1p 2， P(Y =1)=p 1(1−p 2)+(1−p 1)p 2=p 1+p 2−2p 1p 2， P(Y =2)=p 1p 2，所以随机变量Y 的分布列为：E(Y)=p1+p2−2p1p2+2×p1p2=1+p2p1+p2．【解析】(I)按分层抽样得到二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，得出X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；(II)根据题意得到随机变量Y的可能取值为0，1，2，结合相互对立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)存在，且AM=14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL//EC，EC//AB，∴FL//AB且FL=14AB，∴FL//AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF//AL，因为MF⊄平面AD1E，AL⊂平面AD1E，所以MF//平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB =14．(Ⅱ)取AB的中点K，AE的中点O，连接OK，D1O⊥AE，OK⊥AK，因为平面D1AE⊥平面ABCE，则D1O⊥平面ABCE，故以O为坐标原点，OA，OK，OD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得B(−√2,2√2,0)，C(−2√2,√2,0)，E(−√2,0,0)，D 1(0,0,√2)， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2√2,√2) 设平面CD 1E 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +√2y =0√2x +√2z =0， 令x =1，解得y =1，z =−1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线BD 1与平面CD 1E 所成角为θ，sinθ=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√3×√12=√23， 所以直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值为√23．【解析】(Ⅰ)先分析确定点M 位置，再取D 1E 的中点L ，根据平面几何知识得AMFL 为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果．(Ⅱ)取AB 的中点K ，AE 的中点O ，连接OK ，以O 为坐标原点，OA ，OK ，OD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解．本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca =√222b =2c 2=a 2−b 2，解得：a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可得直线MN 的方程为：y =2x +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{x 22+y 2=1y =2x +2，整理可得：9x 2+16x +6=0，x 1+x 2=−169，x 1x 2=69=23，所以弦长|MN|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√16281−4×23=√5⋅2√109，O 到直线MN 的距离d =√5， 所以S △MON =12×|MN|⋅d =12×√5⋅2√109√5=2√109； (3)证明：设直线MN 的方程为：y =kx +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +2x 22+y 2=1，整理可得：(1+2k 2)x 2+8kx +6=0，所以△=64k 2−4×6×(1+2k 2)>0，可得：k 2>32， 且x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 由(1)可得B 1(0,−1)，B 2(0,1)，设T(m,n)， 由T ，M ，B 1三点共线，所以n+1m=y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①由T ，M ，B 2三点共线：n−1m=y 2−1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3可得：n+1m +3n−3m=4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅−8k 1+2k 261+2k 2=0，所以可得4n −2=0，解得：n =12， 所以点T 恒在直线y =12上．【解析】(1)由离心率和短轴的值即a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)由题意设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|MN|的值，再求O 到直线MN 的距离，代入面积公式求出三角形的面积；(3)由(1)可得B 1，B 2的坐标，设T 的坐标，由直线B 1M 与直线B 2N 的交点T 可得T 与B 1，B 2的坐标的关系，将直线MN 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得T 的纵坐标为定值，即可证得结论．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，三角形面积的求法，及直线恒过定点的证明，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)求导f′(x)=(x −a)−x−a e x=(x −a)e x −1e x，令f′(x)=0，解得x =a 或x =0，当a >0时，由f′(x)>0，解得x >a 或x <0，由f′(x)<0，解得0<x <a ， 所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，由f′(x)=x(e x−1)e x>0，得x>0，f′(x)<0，x>0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)>0，解得x<a或x>0，f′(x)<0，解得a<x<0，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；(Ⅱ)(ⅰ)证明：由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，解法一：g(a+√a2+2(1−a))>12[a+√a2+2(1−a)]2−a[a+√a2+2(1−a)]−(1−a)=0，存在唯一的x0∈(a,a+√a2−2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法二：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax−(1−a)>1 2x2−ax−1=12x(x−2a)−1，g(2a+2)>12(2a+2)×2−1=2a+1>0，存在唯一的x0∈(a,2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法三：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax+a−1，g(2)>12×22−2a+a−1=1−a>0，存在唯一的x0∈(a,2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．说明：若给出解法当a∈(0,1)时，g(x)=f(x)−f(0)=f(x)+a−1，g(x)与f(x)的单调性相同，由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，当x>a时，x→+∞，g(x)→∞.(扣2分)(ⅱ)证明：e x0<x01−a+1，只需证：x0+1−ae x0>1−a，由于g(x0)=0，得f(x0)=f(0)，故12x02−ax0+x0+1−ae x0=1−a，只需证12x02−ax0+x0+1−ae x0<x0+1−ae x0，只需证x0<2a，因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以f(x0)<f(2a)，因为f(x0)=f(0)，所以只需证明f(2a)>f(0)，解法一：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=a+1e2a+a−1，设ℎ(a)=a+1e2a+a−1,a∈(0,1)，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a，设2a=t，则t∈(0,2)，设k(t)=e t−t−1，则k′(t)=e t−1>0，所以k(t)=e t−t−1在(0,2)单调递增，所以k(t)>k(0)=0，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a>0，所以ℎ(a)=a+1e2a+a−1在(0,1)上单调递增，所以ℎ(a)>ℎ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．解法二：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=(1−a)[a+1(1−a)e2a−1]，φ(a)=a+1(1−a)e2a−1,a∈(0,1)，φ′(a)=(1−a)e2a−(a+1)[−e2a+2(1−a)e2a](1−a)2e2a =2a2(1−a)2e2a>0，所以φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，原不等式得证．解法三：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=1−ae2a⋅(1+a1−a−e2a)=1−ae2a(e ln1+a1−a−e2a)，设p(a)=ln1+a1−a−2a=ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a∈(0,1)，则p′(a)=11+a +11−a−2=2−2(1−a2)(1+a)(1−a)2a2(1+a)(1−a)>0，因此p(a)=ln1+a1−a−2a在(0,1)单调递增，因为1>a>0，所以p(a)>p(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．【解析】(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当a∈(0,1)，求得g(x)的单调性，解法一：由g(a)<0，及g(a+√a2+2(1−a))>0，利用函数的零点存在定理可得：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点； 解法二：利用放缩法，可得g(2a +2)>12(2a +2)×2−1=2a +1>0，结合g(a)<0，因此存在唯一的x 0∈(a,2a +2)，使得g(x 0)=0，函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；解法三：利用放缩可得g(x)=f(x)−f(0)=12x 2−ax +x−a+1e x−(1−a)>12x 2−ax +a −1，因此g(2)>0，同理可得函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点． (ⅱ)原不等式可转化为x 0<2a ，由f(x)在(a,+∞)上单调递增，因此f(x 0)<f(2a)，进而f(2a)>f(0)． 解法一：构造函数ℎ(a)=a+1e 2a+a −1,a ∈(0,1)，求导根据导数与函数单调性的关系，求得最小值，即可证明f(2a)>f(0)；解法二：设φ(a)=a+1(1−a)e 2a −1,a ∈(0,1)，求导可得，φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，因此可得f(2a)>f(0)；解法三：设p(a)=ln 1+a 1−a −2a =ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a ∈(0,1)，求得，可得p(a)=ln 1+a1−a −2a 在(0,1)单调递增，因为p(a)>p(0)=0，即可得到f(2a)>f(0)． 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数的零点问题，函数的隐零点，放缩法的应用，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，转换为直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2acosθ；当α=0时，|OA|=1；故a =12．曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −b)2=b 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2bsinθ；当α=π2时，|OB|=2.故b =1． 故a =12，b =1．(Ⅱ)由于曲线C 1和曲线C 2的方程为ρ=cosθ和ρ=2sinθ；所以2|OA|2+√3|OA|⋅|OB =1+cos2θ+√3sin2θ=2sin(2θ+π6)+1；由于0≤θ≤π2， 所以2θ+π6∈[π6,7π6]，故2|OA|2+√3|OA|⋅|OB 的最大值为3，当2θ+π6=π2，即θ=π6时取得最大值．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换进一步求出a 和b 的值；(Ⅱ)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：由题意得，f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，作出函数f(x)图像如图所示，由图可知，当x =12时，函数f(x)取最小值，f(x)min =−12+2=32，故m =32． (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得abc =1，故ab +bc +ca =1c +1a +1b ，因为a ，b ，c 均为正数，所以要证明不等式(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9， 只需证明(1a +1b +1c )(a +b +c)≥9，由柯西不等式得：(1a +1b +1c )(a +b +c)≥(√a √a √b √b √c √c )2=9，当且仅当a=b=c=1时，取等号，所以原不等式成立．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化简为分段函数形式，并作出函数图像，由图像判断并计算最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得abc=1，可得ab+bc+ca=1c +1a+1b，将证明不等式(ab+bc+ca)(a+b+c)≥9转化为证明(1a +1b+1c)(a+b+c)≥9成立，利用柯西不等式证明即可．本题主要考查绝对值函数的最值，柯西不等式的应用等知识，属于基础题．。
2021年高二下学期高考假期作业数学(一)试题含答案
2021年高二下学期高考假期作业数学（一）试题含答案1. 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0，若A ∩B ≠∅，则实数b 的取值范围是________．2. 设M ＝{a |a ＝(2，0)＋m (0，1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1，1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________．3. 设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为_____．4. 给出下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0；r ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1.其中所有的真命题是________．5. 使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值范围是________．6.若命题“∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．7. 设f (2x －1)＝2x －1，则f (x )的定义域是________．8. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于________． 9. 设函数f (x )＝－x 2－2x ＋15，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________.10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．11. f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′ (x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．12. 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．13. 设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧m >3，f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )<0，那么m 2＋n 2的取值范围是________．14. ．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．15. (1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；(2)设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；(3)已知奇函数f (x )的定义域为，且在区间内递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．16. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．17. 设函数f(x)＝ka x－a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)＞0，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；(3)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在18. 已知函数f(x)＝|x－a|－a2ln x，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求证：1<x1<a<x2<a2.19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？作业一答案1.(－1，＋∞)2. {(2，0)}3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 4. p 、q 5. (－∞，1] 6. －4≤m ≤0 7. (－1，＋∞) 8. 413 9. 10. 911. (－1，＋∞) 12. (0,1) 13. (13,49) 14. ①③15. 解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，当x <0时，－x >0，由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝－f (x )．∴f (x )＝－x 2－x ＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ， (a 2－1)(e 2x －1)＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. (3)∵f (x )的定义域为，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在上递减，∴在上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②，可知－1≤m <1.16. 解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2. 所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1) 2＋1，x ∈． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1.当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a ，1＝c a ，即⎩⎨⎧b ＝1－2a ，c ＝a . 所以f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a . g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间(2)因为f (1)＞0，所以a －1a ＞0，∴a ＞1，∴f (x )＝a x －a －x 是R 上的单调增函数．于是由f (x 2＋2x )＞－f (x －4)＝f (4－x )，得x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，解得x ＜－4或x ＞1.(3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，解得a ＝2(a ＞0)，所以g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x－2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2.设t ＝f (x )＝2x －2－x ，则由x ≥1，得t ≥f (1)＝32，g (x )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2.若m≥32，则当t＝m时，y min＝2－m2＝－2，解得m＝2.若m＜32，则当t＝32时，y min＝174－3m＝－2，解得m＝2512(舍去)．综上得m＝2.18. (1)解由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，当a≤0时，f(x)＝|x－a|－a2ln x＝x－a－a2ln x，f′(x)＝1－a2x>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a>0时，f(x)＝|x－a|－a2ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧x－a－a2ln x，x≥a，a－x－a2ln x，0<x<a，若x≥a，f′(x)＝1－a2x＝2x－a2x>0，此时函数f(x)单调递增，若0<x<a，f′(x)＝－1－a2x<0，此时函数f(x)单调递减，综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)．(2)证明由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；则必有a>0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)，由题意，必须f(a)＝－a2ln a<0，解得a>1.由f(1)＝a－1－a2ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)．而f(a2)＝a2－a－a ln a＝a(a－1－ln a)，下面证明：a>1时，a－1－ln a>0.设g(x)＝x－1－ln x，x>1，则g′(x)＝1－1x＝x－1x>0，∴g(x)在x>1时递增，则g(x)>g(1)＝0，∴f(a 2)＝a 2－a －a ln a ＝a (a －1－ln a )>0，又f (a )<0，∴x 2∈(a ，a 2)，综上，1<x 1<a <x 2<a 2.19. 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4003x ＋5＋(3x ＋5)－10≥2×2400－10＝70(当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时，“＝”成立)，所以当x ＝5时，f (x )min ＝f (5)＝70.故隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.20. 解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0. 1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)．∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大． 20085 4E75 乵8WM 38753 9761 靡27591 6BC7 毇136351 8DFF 跿:25274 62BA 抺r^20893 519D 冝n。
河南省信阳市2021届高三上学期第一次教学质量检测试题数学(理)Word版含答案
★2021年10月15日2021－2021学年普通高中高三第一次教学质量检测.数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两局部。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考前须知：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|y，那么A∩B等于A.[－1，2]B.(2，3]C.[1，2)D.[1，3)2.假设函数f(x)＝(m2－2m－2)x m－1是幂函数，那么m等于A.－13.[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，那么g(x0)等于4.近年来，随着“一带一路〞建议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人数也越来越多，如图是2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次情况，那么以下说法正确的选项是①2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次逐年增加②2021－2021年这6年中，2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次增幅最小③2021－2021年这3年中，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次每年的增幅根本持平A.①②③B.②③C.①②D.③5.命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2；q ：“ab>4〞是“a>2，b>2〞的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是∧qB.⌝p ∧q ∧⌝q D.⌝p ∧⌝q△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB ，BC ＝3，那么sin ∠BAC 等于A.10B.5C.10D.5 7.我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
安徽省安庆市宿松县程集中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案
lg 2 lg 0.2
，
即 c a ，故 b c a .故选 B.
10.C. 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ： 已 知 函 数 f x ln x 1 x2 与 g x 2x 的 交 点 横 坐 标 等 价 于 方 程
ln x 1 2x x2 的根，等价于 y ln x 1 与 y 2x x2 交点的横坐标，两函数具有相同的对称性，即 都关于 x 1 对称，在同一直角坐标系中画出两函数图像如图所示：由图可知四个交点两两对称依次设为： x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，则 x1 x2 x3 x4 4 ，故选 C.
（Ⅱ）当 a 0 ，且函数 g x
f
x
x
，若
x1,
x2
1 e
,1
，
x1
x2
1.
求证: x1x2 x1 x2 4 .
程集中学 2021 届高三上学期第一次月考 数学参考答案（理科）
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
A
D
B
C
D
B
A D B C DC
1.A.【解析】由题意得： A x R 0 x 4 ， B x R 1 x 3 ，即 A B x 0 x 3 故选
y
kx
有
4
个不同的交点，数形结合求得
k
的范围.
f
x
ln x ,
2
x
2
x0 ,x0
，若函数
g
x
f
x kx 有 4 个不同的零点，
则函数 f x 的图象和直线 y kx 有 4 个不同的交点如图：x 1 时， f x ln x ， f ' x 1 ，y kx 与
2021年高三交流卷(一)数学(理)试题 含答案
2021年高三交流卷（一）数学（理）试题含答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1设复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.2.设∶∶，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要3.设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（）A. B． C． D．4.已知则的值等于（）A. B. C. D.5.已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，则（）A. B. C. D.6.等差数列中的、是函数的极值点,则（）A．B．C．D．7.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（）A．B．C．D．8.已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，其离心率e=A．B．C．D．10若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是（）A ．B ．C ．D ．二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点,则=（ ）A. B. C. D. 11．（2）（不等式选做题）若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A . B . C . D .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12.已知向量,,,若与共线,则_________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______14.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ （1）若求的值；（2）求函数最小正周期及单调递减区间．17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。