随机微分方程

随机微分方程在水库防洪中的应用 本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程，收获甚丰，感受颇多。在此之前，我从未接触过任何关于随机的概念，在听完袁老师的课程，特别是袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例，让我感觉在水利工程中确实有很多问题都应该通过随机这个概念来解决。在阅读过相关的一些 文献过后，发现在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特别高。 水库的防洪是水利工程流域管理的重要内容，其中各环节都存在诸多的不确定性。包括水雨情信息采集中由于设备故障、通讯不畅、误码和量程不足等原因导致的信息无法获取或无法及时传达、信息错误，实时洪水预报中水文气象条件、模型结构、模型参数等导致的预报误差，调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等。由于各环节的多种不确定性因素，随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析，近年来，这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程，随机微分方程被引入和运用,为解决这一难题提供了有效的数学工具，以概率论和微分方程为基础的随机微分方程模型,可以对调洪过程中的随机现象和规律进行数学描述和分析,可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响, 为经济合理地选择大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式, 提供科学的依据。

传统的确定性调洪演算方法，根据的是简单的水库蓄量平衡关系，建立有如下的微分方程：

（1）

若令/()d d h G h ω=,并加入初始条件,则有：

（2）

式中，h(t)为库水位，h 0为初始库水位，Q(t)为调洪过程任一时刻的来洪

流量，q(h,c)为相应时刻的泄洪流量，在泄洪建筑物规模确定的情况下，可表述为h 和流量系数等水力参数c 的函数，w(h)为水库的库容量。上述的各函数均

为确定性的变量。因此，我们无法通过式(2)来考虑调洪的随机过程中各种不确定性因素的影响, 计算求解的也只能是库水位的确定性函数h(t)。

为了从传统的确定性观点转到随机的观点来分析水库的调洪过程, 必须建立包含有随机元素的随机微分方程。为此，必须首先对调洪过程的随机特性进行考察。在整个调洪过程中，水库蓄洪量W(t)的随机变化最为关键, 它制约着库水位的随机消长，同时又受制于洪水输人、输出随机过程的作用，具体可从三方面进行分析：

首先是人库洪水的随机过程Q(t)：水文资料、设计洪水过程线推求方法等多种因素的不确定性，决定了入库洪水必然是一连续的随机过程。可以认为, 设计给出的洪水过程线即为这一随机过程的均值线，在过程的任一时刻Q(t)的概率密度符合正态分布。

其次是出库泄量的随机过程q(h,c)：在泄洪建筑物规模确定的情况下，受h、c的不确定性影响, 出库泄量亦可表述为一随机过程。但在调洪过程的随机分析中，只有c独立影响q的随机变化。c的离散程度相对较小，因此q的独立随机变化亦相对较小。

最后是水位库容的随机过程w(t)：现场量测和绘图计算的误差、运行多年的泥沙淤积等，都会引起水位库容关系的不确定性。其均值线与原设计给定的w-h 曲线一致, 在任一库水位h上的w(h)的概率密度亦可符合正态分布。

以上三方面随机因素的综合作用，决定了在整个调洪过程中水库蓄洪量W(t)也必然是一随机过程。很明显，这一过程是Markov过程,也是一个状态连续的平稳独立增量过程。直观上看，W(t)是符合Wiener过程定义条件的，起始时刻位于原点，在不同的时间间隔中W的随机变化是独立的；在一定的时间间隔中，W围绕其均值过程线作随机游走，其概率分布服从正态分布。在扣除了W(t)的均值偏移后，就存在一无偏的Wiener过程B(t), 其均值为0。即：

（3）式中的º

q分别为来流和泄洪的均值过程线。对式（3）微分，并除以G(h)：Q和º

（4）

从形式上看，式（4）仅比普通的微分方程式式（2）多了一项

()

/() dB t

G h

dt

，

但增加了这一项，就表示方程中引入了随机变量，于是H(t)不再是普通的确定性函数，而是一个随机过程了，这样就把随机微分方程引入了调洪过程的分析。再将式（4）简化：

（5）

这是一个典型的Ito方程，它带有着一个随机作用项（输人项），并可具有随机初始条件，其解过程为Markov过程。如前所说，式（4）中的B(t)是一个Wiener 过程，dB(t)/dt是一个正态白噪声。B(t)的一维概率密度函数f(B)为：

（6）

此式表明，B(t)的均值E[B(t)]=0，方差D[B(t)]=σ2t。其中σ2为常数，成为随机过程的强度。它取决于W(t)的离散程度，亦即取决于入库洪水、库泄量和库容量自身的变异性。通过实际调查和资料分析，给出以上三个随机过程的标准

差σ

Q (t)、σ

q

(t)和σ

w

(t)。并且考虑到这三个随机输入过程其实是互不相关的，

则可输出过程的方差D[B(t)]为：

（7）

取若干个不同的t

i

，以计算确定均值的σ2作为式（6）的过程强度参数，σ2t反应了Q、q和W对B(t)的综合作用。

式（4）的初始条件H

，可以是确定性的，也可以是随机性的，这是由起调时刻库水位的控制条件所决定的，间接蕴含着洪水过程开始时间的影响，通常不可避免地带有着不确定性。

对于水库调洪过程中的泄洪风险极限状态，应规定明确的极限标志和限值。通常，这一极限状态可直接地以库水位H(t)不超过坝顶高程Z为标志，即满足极

限状态方程：

（8）由此确定的泄洪风险率P

f

可表述为：在一定的洪水重现期和泄洪建筑物设计规模条件下，在各种可能的水库自然、工程和运行条件下，发生洪水漫越坝顶事件的机率：

（9）

为了更方便地表达P

f [H≥Z]，可采用可靠指标β来代替P

f

。β和P

f

成一一对

应的关系：

（10）式中，Φ-1（）为标准正态分布函数的反函数。

以洪水漫顶的概率P

f

来具体度量水库的泄洪风险率，其物理概念更为明确、清晰，能够较好地反映问题的本质。式（15）所示，影响泄洪风险率的主要随机因子是Z和H：

其中坝顶高程Z的不确定性较易分析。施工量测的误差以及水库风浪的影响，

导致了Z的随机性。一般认为它服从正态分布, 其均值拜μ

z

可取为设计给定的坝

顶高程，标准差σ

z

相对较小。库水位H(t)是一随机过程。如前所述，在各种随机因素的影响下，调洪过程不同时刻的H(t)可有不同概率分布，通过下式：

即可求解不同时刻的f(h,t)和相应的μ

H 和σ

H

。H(t)的不确定性分析，考虑

了过程的作用并综合了多种随机因素的影响，具有较高的可信程度。

泄洪风险的极限状态方程式（8）为一线性方程，但其基本变量之一的H(t)并不一定服从正态分布。为了提高计算精度，防止误判，采用JC计算方法。在这一计算方法中，通过迭代求解设计验算点，使其满足极限状态方程式（8），并与可能最大失效率相对应。同时，需将非正态基本变量H进行当量正态化处理，即根据在设计验算点处(初选h﹡=μ

H

)当量正态变量与原非正态变量的概率分布函

数值相等以及概率密度函数值相等的条件，按下式求出当量正态变量H´的μ

H

´和