初中数学比较二次根式的大小专题辅导

冀教版数学八年级上册专训1比较二次根式大小的八种方法.docx

专训1 比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x，x 2，x.(0<x<1) 定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．答案1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2. 又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3.2．解：因为4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63，63≈10.39，所以11－63＜1.又因为4－3>0，2＋3>0，所以4－3＜2＋ 3.3．解：因为15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，且15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，所以115＋14<114＋13，即15－14＜14－13.4．解：因为12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，2＋3＞3＋2，所以12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0.所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝ n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n＝n ＋2＋n 2＞0. 因为n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，所以1x ＞1y ＞0.所以x ＜y. 7．解：因为0＜x ＜1，所以不妨取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x＝4. 所以x 2＜x ＜x ＜1x. 8．解：因为5－a ≥0，所以a ≤5.所以a －6＜0.所以3a －6＜0.所以5－a ＞3a －6.初中数学试卷桑水出品。

初中数学比较二次根式大小的八种方法

初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。

其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。

此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。

对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。

对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。

对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。

对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。

对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。

对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。

对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。

总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。

文章格式错误严重，需要重新整理。

同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。

以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。

解：将式子化简得 n。

-2，因此 x。

-2.又因为 x + y。

0，所以 y。

-x。

综合两式得 x < y。

题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。

初中数学如何比较两个二次根式的大小

初中数学如何比较两个二次根式的大小比较两个二次根式的大小是初中数学中的一个重要概念。

在比较二次根式的大小之前，我们需要掌握一些基本的概念和方法。

本文将详细介绍如何比较两个二次根式的大小，并提供具体的步骤和实例演示。

一、二次根式的概念和性质回顾在比较二次根式的大小之前，我们需要回顾一些基本的概念和性质：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

2. 同底数比较大小：如果两个二次根式的底数相同，那么它们的大小关系取决于它们的指数。

当指数相同时，二次根式的大小相同；当指数不同时，指数较大的二次根式更大。

3. 底数相同的二次根式可以合并：如果两个二次根式的底数相同，我们可以将它们合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。

二、比较两个二次根式的大小的步骤下面是比较两个二次根式大小的步骤：步骤一：化为同底数如果两个二次根式的底数不同，我们需要将它们化为同底数。

步骤二：合并同类项将化为同底数的二次根式合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。

步骤三：化为小数比较大小如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。

三、实例演示让我们通过一些实际的例子来说明如何比较两个二次根式的大小：例子1：比较√2和√5的大小。

步骤一：化为同底数无法化为同底数。

步骤二：化为小数比较大小使用计算器或手算将√2和√5分别化为小数，得到约等于1.41和约等于2.24。

因此，√5>√2。

例子2：比较√8和√18的大小。

步骤一：化为同底数将√8和√18分别乘以√18和√8，得到√8*√18和√18*√8。

步骤二：合并同类项将√8*√18和√18*√8合并为√8*√18。

步骤三：化为小数比较大小使用计算器或手算将√8*√18化为小数，得到约等于7.75。

因此，√18>√8。

通过这些示例，我们可以看到如何比较两个二次根式的大小。

我们需要先将它们化为同底数，然后比较它们的系数。

如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。

人教版初中数学八年级下册16.1二次根式的概念及其性质辅导教案

b)二次根式的乘法法则：√a * √b = √(a * b)。
c)二次根式的除法法则：√a / √b = √(a / b)，其中b不为0。
d)二次根式的平方：(√a)^2 = a，其中a为非负数。
3.二次根式的化简与运算：通过性质对二次根式进行化简，掌握二次根式的加减乘除运算。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
4.增强数学运算能力：训练学生对二次根式进行加减乘除运算，提高数学运算的速度和准确性，培养严谨细致的数学运算习惯。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决二次根式相关问题时，勇于尝试新方法，探索新规律，激发创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解二次根式的概念：二次根式的定义是本节课的核心，学生需要掌握根号下表示的数为非负数的平方根。
其次，二次根式的性质和运算规则是本节课的重点，也是学生学习的难点。在讲解过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来阐述，但仍有部分学生难以消化。我意识到，可能需要通过更多的练习和变式题目，让学生在反复实践中掌握这些规则。
让我印象深刻的是，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过讨论和实验操作，对二次根式的应用有了更深的理解。这说明，将理论知识与实际操作相结合的教学方式是非常有效的。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的概念及其性质的探究，使学生能够从具体实例中抽象出数学规律，形成数学表达式，提高数学抽象思维。
2.提升逻辑推理能力：引导学生运用二次根式的性质进行推理和论证，掌握二次根式的化简和运算方法，增强逻辑思维和推理能力。
3.发展数学建模素养：通过解决实际问题时运用二次根式，培养学生建立数学模型，运用数学知识解决现实问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

专题比较二次根式大小(供参考)

专题：比较二次根式大小二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。

尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。

下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。

此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较与的大小。

解：∵，＞0，＞0∴＜三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：∴＞四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小解：∵＞∴＞五、求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。

②异号：正数大于负数”来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵＜∴＜例6：比较的大小。

解：∵＞1∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵＞∴＜七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较的大小。

解：设，则，∵＜，∴＜，即＜八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1，则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

八年级数学二次根式知识点

八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。

本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。

1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。

例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。

2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。

即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。

（2）二次根式的值域为非负实数。

即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。

（3）二次根式可以转化为分数形式。

即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。

3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。

（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。

二次根式的大小比较

《二次根式的大小比较》教学设计一、教学目标知识与技能：1.对二次根式的概念有更深一步的理解；2.了解并掌握两个一般二次根式的大小比较的一般方法；3.学会合理利用不同的方法比较两个二次根式的大小。

过程与方法：1.通过利用被开方数比较法进一步理解二次根式的化简过程；2.通过对几种方法的使用，明确数学解题方法的多样性。

情感态度价值观：培养学生根据不同问题合理选择解决问题的方法，了解问题解决方法的多样性。

二、教学重难点重点：利用被开方数比较法、作差法、作商法比较两个一般二次根式的大小关系。

难点：根据题目实际合理选择比较的方法。

三、教过过程（一）、教学引入（直接导入）：在前面的学习中，我们学习了二次根式的概念、二次根式的基本性质以及如何将一个二次根式化简成为最简二次根式。

接下来，我们来思考一个问题：给我们两个二次根式，我们该如何判断他们的大小关系？（二）、教学目标分析：帮助学生明确本节课的重点任务。

（三）、温故知新：问题1.实数的大小比较；学生回答：正数大于0,0大于负数。

在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点所表示的数。

问题2.学生回答：代表12的算术平方根。

问题3.什么叫最简二次根式？学生回答：不能再化简。

教师补充：被开方数不能有分母；二次根式的分母中不能含有根号。

问题4.学生回答化简结果。

教师引导学生进行思考：如何比较（四）思路分析：1、比较两个二次根式的大小，可以先比较他们的被开方数的大小，所以我们可以直接将被开方数拿出来比较。

2、由不等式的基本性质，若两数的差是正数，则为大数减小数。

所以，可以将两个二次根式作差进行比较。

3、根据分数的概念，若分数的值大于1，则分数的分子大于分母。

所以，可以对两个二次根式作商进行比较。

（五）、探究活动：活动一：利用被开方数比较法（平方法）比较两个二次根式的大小。

12<18，所以32 或：212，218，所以32教师总结：通过将二次根式变换为某数的算术平方根或者对二次根式进行平方来得出被开方数，然后再进行比较。

中考数学复习指导：比较二次根式大小的方法与技巧

比较二次根式大小的方法与技巧二次根式是初中数学的重点内容之一，而比较二次根式的大小又是中考和数学竞赛的常见题型，不少同学感到困难。

为了帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较二次根式大小常用的方法与技巧，供同学们参考。

一、外因内移法：将根号外的正因式移入根号内，转化为比较被开方数的大小。

例1 比较与解：= ==而294252>>∴>二、平方法：两边同时平方，转化为比价幂的大小。

例2 的大小。

解：220=+ 220=+。

0>0>，而20+>20+∴>三、分母有理化法：各自先分母有理化，再比较大小。

例3的大小。

==。

而32+>2， ∴>。

四、分子有理化法：各自先分子有理化，再比较大小。

例4 若1a >的大小。

解：==；==<>。

>五、比较法（求差法）：通过比较两式的差与零的大小来确定原式的大小。

例5比较32的大小。

解：(3--)225=-=>，∴3>2。

六、比值法（求商法）：通过比较两式的商与1的大小来确定原式的大小。

例6若a b>>解：0a b>>，>0>。

=a b=-1=>。

∴>七、倒数法：先求出各自的倒数，通过比较倒数的大小来确定原式的大小。

例7==。

>。

>∴<八、中介值法例811的大小。

1145144<=-=1143144>=+=。

∴1<1。

九、放缩法例9已知0m>，比较解：2==。

<=∴<。

十、构造图形法：数形结合，直观比较。

例10已知a b>>解：222+=。

故可构造Rt ABC，使AC，BC，则A B。

AB BCAC-<，∴<从以上几例可以看出，比较二次根式大小是有一定的技巧，只要认真分析根式的结构特C BAa-bba征，选用适当的比较法，加强训练，解决这类问题是不会困难的。

八上数学(北师大)课件-方法专题比较二次根式大小的几种方法

倒数法
4．比较 7－ 6与 6－ 5的大小．
解：
1 7－
6＝
7＋ 7＋ 6
6 7－
6 ＝
7＋ 6 7－6 ＝
7＋
6.
1 6－
＝ 5

6＋ 6＋ 5
5 6－
5＝
6＋ 5 6－5 ＝
6＋
5.∵
7＋
6＞
6＋
5，∴
1 7－
＞ 6
1 6－
5，又∵
7－
6＞0，
6－
5＞0，∴
7－
6＜
6－
5.
分母有理化法
作差法 2．比较 198－1与38的大小．
解：因为
198－1－38＝
19－4 8 ， 19－4＞0，所以
19－4 8 ＞0，所以
19－1 8＞
3 8.
作商法 3．比较 4－ 3与 2＋ 3的大小．
4－ 3 解：因为2＋ 3＝(4－ 3)(2－ 3)＝11－6 3，6 3≈10.39，所以 11－6 3＜ 1.又因为 4－ 3＞0,2＋ 3＞0，所以 4－ 3＜2＋ 3.
解：( 2019＋x＋ 3＋x)( 2019＋x－ 3＋x)＝( 2019＋x)2－( 3＋x)2＝ 2019＋x－(3＋x)＝2016.又 2019＋x＋ 3＋x＝1008， ∴1008·( 2019＋x－ 3＋x)＝2016， ∴ 2019＋x－ 3＋x＝2.
9．已知 a－b＝ 3＋ 2，b－c＝ 3－ 2，求(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2 的值．解：∵(a－b)＋(b－c)＝( 3＋ 2)＋( 3－ 2)＝2 3.∴a－c＝2 3.(a－b)2＋(b －c)2＋(a－c)2＝( 3＋ 2)2＋( 3－ 2)2＋(2 3)2＝5＋2 6＋5－2 6＋12＝ 22.

八年级数学下册《二次根式的比较》教案、教学设计

3.揭示课题：在学生思考的基础上，引出本节课的主题——二次根式的比较。
（二）讲授新知
1.二次根式的定义：根据教材内容，向学生介绍二次根式的定义，如√a（a≥0）等。
2.二次根式的性质：通过具体例子，如√4、√9等，讲解二次根式的性质，如（√a）^2=a、√(ab)=√a√b等。
3.二次根式的大小比较：利用数轴、图形等工具，讲解二次根式的大小比较方法，如√8<√9。
3.分层次教学，关注个体差异。针对不同学生的学习需求，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效的锻炼和提升。
4.小组合作学习，培养学生的团队协作能力。在教学过程中，组织学生进行小组讨论，共同探究二次根式的性质和解决实际问题的方法，提高学生的合作意识。
5.适时进行课堂小结，巩固所学知识。在课堂教学的各个环节，适时进行小结，帮助学生梳理知识点，形成知识体系。
八年级数学下册《二次根式的比较》教案、教学设计
பைடு நூலகம்一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能够准确表示和简化二次根式。
-通过具体例子，让学生理解二次根式的概念，如√9、√16等，并引导他们探索二次根式的性质，例如√(ab)=√a√b、(√a)^2=a等。
-安排练习题，让学生亲自操作，对不同的二次根式进行化简，加强知识的应用。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以生活中常见的面积为背景，提出问题：“同学们，你们知道一个边长为2米的正方形的面积是多少吗？如果边长是√2米，面积又是多少呢？”通过这个问题，引导学生思考二次根式的概念。
2.引导思考：让学生尝试计算上述问题中的面积，并思考如何表示边长为√2米的正方形面积。
-引导学生从错误中吸取教训，培养他们在学习过程中发现和解决问题的能力。

专题：比较二次根式大小

专题：比较二次根式大小二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。

尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。

下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。

此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较与的大小。

解：∵，＞0，＞0∴＜三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：∴＞四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小解：∵＞∴＞五、求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。

②异号：正数大于负数”来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵＜∴＜例6：比较的大小。

解：∵＞1∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵＞∴＜七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较的大小。

解：设，则，∵＜，∴＜，即＜八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

二次根式大小比较的方法教学设计

二次根式大小比较的方法教学设计张志远学习目标:1.含有二次根式的数的大小比较.2.能根据二次根式的特征,灵活性，有针对性地采用不同的的方法，得到简捷的方法。

教学重难点：重点：稍简单二次根式的大小比较比较的方法难点：稍复杂的二次根式的大小比较的方法讲解新课探究一平方法比较 + 与 +的大小分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究二做差法比较与的大小分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究三作商法比较与的大小 6111433119+3521++a a 32++a a分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究四分母有理化比较与的大小分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究五分子有理化比较 - 与 - 的大小分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究六定义法比较与的大小分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

探究七特殊值法用“﹤”连接x ，，x 2，，，（0﹤x ﹤1）3-212-3115141413a -536a x 1x分析：学生课前完成，课上展示交流，学生举例。

小结：1.二次根式的化简要特比熟练2.数学里大小的比较的方法，特别是二次根式大小比较的方法教学反思在这节课中，内容有些难，有些只是讲解方法，思维上的扩展，有的同学对前面的知识只是一知半解，例如：完全平方公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，完全平方差的公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2理解不到位，特别在分母有理化中就是平方差公式不能灵活应用。

有些同学对二次根式化成最简二次根式不会，有的同学不会合并同类二次根式，在比较时一定看清相同部分，清晰地找到不同的地方，不是把所有的都进行比较,在比较的时候注意方法的选择。

有些二次根式相差悬殊的就可以目测大小比较，但比较接近的时候就要选择适当方法，作差 A-B=0,A=B A-B>0,A>B A-B<0,A<B, 作商 A/B=1,A=B A/B>1,A>B A/B<1,A<B还有在比较中会用到定义，二次根式的被开方数是非负数，立方根中被开方数负，值也是负在选取特殊值时，一定选取到最简单，例如：选1/2和1/4就有明显区别21和41，21=22，41=21，则学生就能看出有理数比无理数时简单。

二次根式的大小比较PPT教案学习

① a 1,则a b; b
② a 1,则a b;. 3与 87 3 22 13与3 2 7 3 10 1与 57 2
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含有二次根式的代数式的大小比较：1.根式变形法
2.平方法 3.平方差法 4.分子有理化法 5.作差比较法 6.作商比较法 7.比较整数部分法：
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5.作差比较法
比较大小：15 3和2 3
2 2 1 与 2
31 3
若两个数的差为两项或可转化为两个数的大小比较时，可用作差法。
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6.作商比较法
1 2 1 与 2
31 3
2 2000与 2001
2001 2002
3 5 1 和 3
7 1 5
本解法的依据是：当 a 0, b 0时，
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练习：
12 3与 7 6
（2） 1 与2 3 23
（3） 15 2与 73 6 （4） 6 3与 5 2
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8.综合法
比较大小： 3 1与3 - 5
先求差，再重新分组求平方差。
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若两个无理数的平方差为两项或一项，均可用平方差法.
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4.分子有理化法
比较大小：1 15 14与 13 12 2 17 15与 14 12
3 5 2 与 7 2
3
5
在比较两个无理数的差的大小时，
如果被开方数的差相同，我们通常要将
其进行分子有理化，利用分母的大小来
判断其倒数的大小．
二次根式的大小比较
会计学
1
2.平方法
比较5 6与6 5的大小。
本解法的依据是：当 a 0,b 0时， ①a2 b2 ,则a b; ②a2 b2 ,则a b.