随机信号分析第四章习题讲解
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第4章
(4-50)
第四章 随机信号的频域分析
对式（4-49）两边取数学期望， 则可得到随机信号的平均功 率
第四章 随机信号的频域分析
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析 4.2 随机信号的功率谱密度 4.3 互功率谱密度 4.4 随机信号的带宽 4.5 高斯白噪声与带限白噪声
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析
4.1.1 对于确知信号， 根据能量是否有限， 可将其分为能量信
号和功率信号两类。 在通信理论中， 通常把信号功率定义为 电流或电压信号在单位电阻(1 Ω)上消耗的功率， 即归一化 功率P。 因此， 功率就等于电流或电压的平方：
(4-29)
第四章 随机信号的频域分析
图4-1 截短信号示意图
第四章 随机信号的频域分析
显然， 截短信号sT(t)是时间持续有限长的能量信号， 我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(ω)|2或者 |ST(f)|2， 并由帕斯瓦尔能量守恒定理有
E
T T
sT2
t
dt
1 2π
ST
2
（1） s(t)在(－∞, ∞)范围内满足狄利克利条件（只
有有限间断点）；
（2） s t dt （绝对可积）的等价条件为
s(t) 2 dt
（信号s(t)的总能量有限）。
若s(t)满足上述条件， 则傅里叶变换对存在。
频谱（正变换）
第四章 随机信号的频域分析
S()
s
t
e jtdt
P
V2
I 2R
V2
I2
W
R
(4-1)
第四章 随机信号的频域分析
假定确知实信号为s(t)代表信号电压或电流的时间波形。
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
随机信号分析（第3版）课后习题解答
随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。
2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。
其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
《随机信号分析》-高新波等-课后答案
C = *第0章1/1;1/ 2;1/ 3;1/4;1/ 5;1/ 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 /4;2 / 5;2/6;3/l;3/2;3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;4/4;4/5;4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/64 = {l/l;2/2;3/3;4/4;5/5;6/6}1/5;!/ 6;2 /4;2 / 5;2 / 6;3 / 3;3 / 4;3 / 5;3 / 6;4 / 2;4 / 3;4 / 4;4 / 5;'4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/6 /1 /1;1 / 2;1 / 3;1 / 4;1 / 5;1 / 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 / 4;2 / 5;2 / 6;3 /1;3 / 2;'3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;5/l;5/2;5/3;6/l;6/2;6/3B =0.2（2）'0用）=x < 00<x<30x 2/12 2x -3-x 2/4,3<x <41 x>4P （l<x<7/2）=f^v +⑴⑶0.3E （X ）= L 2<T ：t/r = £ ~^y %dy =E （X2）=「Ji 奇dx = 了241a\^e~y 晶尸dy = 2a 2r （2）= 2a 2o(x)=£(/)-(研x))2=2尸_m S=04292S 0.4⑴£(Jf)=(-1)x03+0x0.44-1x03=0£(K)=1x0.4+2x0.2+3x0.4=2(2)由于存在X=0的情况，所以研Z)不存在(3)E(Z)=(-1-1)2x0.2+(-1-2)2xO.l+(O-l)2xO.l+(0-3)2x0.3+(l-l)2xO.1+0-2)2x0.1+(1-3)2x0.1=5 0.5X=ln*,当\dy\=^M=^e(Iny-mf2/”00.6t2+勺血s=£0<x<l,0<.y<2f32\X x~.—+—s as=(363-)7X*i X丁-312=诉号＞=2尸号间=fp+导=土名/(x)0.7££be~^x+y^dxdy=[/>(1-e~'\~y dy=/>(1-e-,)= 1,/>=(!—e~x尸/(x)=he~x Ve-y dy=—^e~x fi<x<\f(y)=be~y^e~x dx—e~y,y>00.8(1)x,v不独立⑵F(z)=££~'|(X+yY{x+y}dxdy=£|/『(xe~x +ye~x}ixdy =g按(1一(1+Z一*片5+*(]_e-(z-y)肱,=]_]+z+/2\2f(z)=F'(z)=\+z+—e~:-(1+z)e~z=—e-2,z>0、2)20.9。
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号分析(第3版)第四章习题及答案
4-1习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ） （b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T Tττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=2222[()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]()Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=+++++++=+++++++=因此，()Z t 是均值各态历经信号4.54.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。
求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
4-2 解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯= 而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯= 显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
随机信号 第四章习题讲解
2
ωT a
2
2nπ ∑ δ (ω − T )] n=−∞
∞
4.16 解： 由题可知 为实常数,X (t)和Y(t)是宽联合平稳的 ,A,B W(t) = AX (t) + BY(t)
(1)由题可知W(t)是宽平稳的且自相关函数为: , , RW (τ ) = E[W (t )W (t + τ )] = E[ A2 X (t ) X (t + τ ) + ABX (t )Y (t + τ ) + ABX (t + τ )Y (t ) + B2Y (t )Y (t + τ )]
= A2 RX (τ ) + B2 RY (τ ) + ABRXY (τ ) + ABRYX (τ )
由维纳辛钦定理可得： 2 2 GW (ω) = A GX (ω) + B GY (ω) + ABGXY (ω) + ABGYX (ω)
(2)当X (t )和Y (t )不相关时, 有 :
RXY (τ ) = RYX (τ ) = E[ X (t1 )]E[Y (t2 )] = mX mY
−a t FT
1 f1 (t ) f 2 (t ) → F1 (ω ) ∗ F2 (ω ) 2π
FT
由维纳辛钦定理可得：
GX (ω ) = F [ RX (τ )] = F [4e
−τ
cos πτ + cos 2πτ ]
1 8 = ( 2 ) ∗ π [δ (ω + π ) + δ (ω − π )] 2π ω + 1 + π [δ (ω + 2π ) + δ (ω − 2π )]
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
随机信号分析与处理习题解答_罗鹏飞
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
函数 g(x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X < x0} + P{X > x1} = P{X < x0}+1− P{X < x1} = F (x0 ) +1− F (x1)
当 y ≤ A 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX (x1) − FX (x0 )
所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A)
解法二：从概率密度 fY ( y) 入手求概率分布函数 FY ( y) 。 由图可知 g(x) 的取值只可能为 0 或 A，求Y 的概率分布函数，也就是对 g(x) 取 0 或 A
<
X
≤
x2 )
=
P{Y ≤ y, x1 < X ≤ x2} P{x1 < X ≤ x2}
=
y x2 f (x, y)dxdy
−∞ x1
FX (x2 ) − FX (x1 )
随机信号分析_第四章_随机信号通过线性系统
定义
如果系统对于任意的常数a和b、输 入信号x1(t)和x2(t)，有： L[ax1(t)+bx2(t)]= aL[x1(t)]+b L[x2(t)] 则称该系统为线性系统。 如果系统的输出和输入信号具有相 同的时间位移特性，即： y(t-c)＝L[x(t-c)] c为常数，则该系统就被称为时不变系统。
t2
0
RX ( u v)h(v)h(u )dvdu
RXY (t1 , t 2 ) RX ( v)h(v)dv
0
RYX (t1 , t 2 ) RX ( u )h(u )du
0
E[Y (t )]
2
t
0 0RtX(u v)h(v)h(u )dvdu
输出响应的均值和自相关函数不再 符合平稳性，因为输入信号也是非平稳 的。当时间t,t1,t2足够大的时候，输出可 以近似看作是平稳的。 今后，如果不作特殊声明，所研究 的输入信号都是双侧信号。
x(t )h( )d
0
x( )h(t )d
t
物理可实现的稳定系统传递函数 H(s)的所有极点都位于s平面的左半平 面（不包含虚轴）。
4.1.3 离散时不变线性系统
对于离散时不变线性系统，系统的 输出y(n)与输入x(n)之间的关系为： y ( n) x ( n) * h( n)
x(t )h( )d
x( )h(t )d
如果x(t)和h(t)绝对可积，即：
| x(t ) | dt | h(t ) | dt
则此系统被称为是稳定的。
两者的傅利叶变换存在，有：
随机信号分析课件---第四章
1）卷积积分法或卷积求和法
能求得系统的零状态响应
2）微分或差分方程法
利用初始条件可得系统的全响应
3）状态变量法
解状态变量方程可得系统的全响应
4.1.2 连续时不变线性系统
设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则该系 统的输出由卷积积分得到
y(t )
x(t )h( )d
0
如果连续时不变系统是稳定的，输入信号的所有样 本函数都是有界的，那么输入信号的所有样本函数 都收敛。则Y（t）在均方意义下收敛，即积分在均 方意义下存在。
二、输出的均值 输入随机信号的均值已知，求输出均值。
mY (t ) E[Y (t )] E 0 h( ) X (t )d
（2）由互谱密度的性质5可得
S XY SYX 2 mX mY S Z a 2 S X b 2 SY 4 abmX mY
（3）
RXZ t , t E X t Z t
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] E X (t1 ) h(u ) X (t2 u )du 0
h(u) E[ X (t1 ) X (t2 u)]du
0
h(u) RX (t1 , t2 u)du
0
S XZ aS X bS XY SYZ aSYX bSY
第四章 随机信号通过线性系统
引言 在许多学科中，关于系统输入－输出关系的描 述是非常重要的。系统的输入可能有各种不同的形 式，然而一般来说，系统的输入总是被认为是对系 统的某种激励，而系统的输出则被看成系统的响应。 系统的描述可以有许多不同的方法。例如，系统的 输入和输出可以经由微分方程、传递函数或冲激响 应联系起来。 当系统的输入是随机过程的某个样本时，则系统的 输出信号可以通过系统的定义来求得，输入随机过 程的每一个样本都会在系统的输出产生一个输出信 号。
随机信号分析基础第四章习题
E s2 (t)dt 1
2
S() d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量
S() 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
E
Tlim
1 2T
X
T
(,
)
2
1
lim T 2T
2
N0 (0)
2
1 ( 0) 0 ( 0)
上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。
与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。
4.5 功率谱估值的经典方法
1. 周期图法
Gˆ X ()
1 N
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
W E[W ]
lim 1
T
2
E[ X (t) ]dt
T 2T T
1
2
GX ( )d
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
0,
其他
1
2 ()
( 0 ) ( 0 )
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
随机信号分析(赵淑清_郑薇)第四章习题解答
并证明功率谱密度 S X ( )是实函数.
RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[ RAB ( ) RBA ( )] RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[ RAB ( ) RAB ( )] S X () FT[ RX ( )] S A () S B () 2 Im[ S AB ()] S A () S B () j[S AB () S AB ()] S A () S B () j 2 j Im[ S AB ()]
) a cos( ) a cos( S AC ( ) S As ( ) cos( S AC ( ) S As ( ) 0
2 其它
7
) 2a cos( S AC ( ) S As ( ) 0
x(t ) xc (t ) cos(0t ) xs (t ) sin(0t )
ˆ(t ) xc (t ) sin(0t ) xs (t ) cos(0t ) x
ˆ(t ) [ xc (t ) jxs (t )]e j0t z(t ) x(t ) jx
4
1 4.3 X c ( ) [ Z ( 0 ) Z * ( 0 )] 2 1 X s ( ) [ Z ( 0 ) Z * ( 0 )] 2j
S X ( 0 ) S X ( 0 ) (1) S AC ( ) S As ( ) 0
2
其它
6
a cos[ ( 0 ) ] 2 0 2 S X ( ) a cos[ ( 0 ) ] 2 0 2 0 其它 试求 : (1) AC (t ), AS (t )的功率谱密度和平均功 率.
《随机信号分析》赵淑清_郑薇哈尔滨工业大学出版社课后答案
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
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证：做由 f Y1Y2 ( y1 , y2 ) 到 f X 1 X 2 ( x1 , x 2 ) 的二维变换
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
π
π
π
π
π
2 2
2
2
2
2
课
= 2A = 1
π
π
π
1 1 12 ( , ) sin( ) sin cos f x y dy = x + y dy = x ydy + cosx sin ydy ∫ XY ∫ 2 2∫ 2∫ −∞ 0 0 0
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第一次作业：练习一之 1、2、3 题 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2，3 四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四 个样本的取值概率顺序为 1/2，1/4，1/8，和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解： E[ X ] = ∑ xi P ( X = xi ) = 0 ×
2
π 12 π 12 1 1 = − y cos y 2 + ∫ cos ydy + y sin y 2 − ∫ sin ydy 2 2 0 20 0 20 π
=
4
π π
2
（3） D[ X ] = D[Y ] = ∫ ( y −
0
kh da w. co m
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4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W 。
求0N 的值？ 书P162Z H 2ee f ωπ∆=单位为，622XH 10e e f ωππ∆⋅⋅故本题＝＝或者调用公式 62Y 00m 70axXH 1210X 410241()2H 0.1e N H N N ωωπππ-⨯⋅⇒==∆⋅⋅=⨯⋅⇒P 222maxm 0ax()(()2)Y e N H d H H πωωωωω∞∆==⋅⎰P图4.24 习题4-184-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入()W t 是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且()()th t e U t -=。
①判断()X t 和()Y t 分别服从什么分布？给出理由。
②证明()Y t 是严平稳过程。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度？ ④写出()Y t 的一维概率密度表达式？⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由。
解：①()W t 是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义）， 线性系统()()t h t e U t -=，系统传递函数1()1H j ωω=+，是个低通线性系统（带宽有限）由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，()X t 为高斯过程。
由4.5节结论1可知，()Y t 为高斯过程。
⇒()X t 和()Y t 服从高斯分布②证明()Y t 是严平稳过程证：()W t 是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出()Y t 也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。
对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度11()()()(()())22W t X W e R R t U h U e ττττδττ--=*=*=()()1()1t H h t e U j t ωω-⇔+==221()()()2(1)X W G H G ωωωω=⋅=+ 1()exp()4X R ττ⇒=-傅立叶反变换 [][][]{}()()()()()()()2()()()12exp()exp()exp()4Y X X X R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R T R T T T ττττττττττ=+=--+-+-=---+=⎡------+⎤⎣⎦()()2222221422()411114211cos 4111j T j T Y j T j T G e e e e T ωωωωωωωωωωωω--⎡⎤=--⎢⎥+++⎣⎦⎡⎤=-+=-⎢⎥+++⎣⎦可得习题3-7 的结论()()2()1cos Y X G G T ωωω=-④求()Y t 一维概率密度表达式()[]21(0)1exp()2Y Y t R T σ⎧⎪⎪⎨⎪⎪==--⎩是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 ()222;y Y f y t σ-=思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据()Y t 严平稳过程的特性也可以推到。
思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。
⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由()X t 和()Y t 独立（高斯过程）等价 互不相关（零均值） 等价 正交()X t 和()Y t 联合平稳，再由两者的相互关系可得[][]()()()()()()1(0)()1exp()4()()()(0)0XY X X X XY X E X t Y t E X t X t X t X t T R R T R R T T R R ττττττ=+=+-+-=⇒=--=⎡---⎤⎣⎦-≠即不正交()X t ⇒和()Y t 在同一时刻不独立。