随机信号分析第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应

h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数

()()

()()()

2

222

1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ

τττ∞

-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路

()()()10()()

10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]

XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数

()

Y R τ

000

2

0.0

25

()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()

10()()()10()()10101100.55

[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ

λλλλ

μ∞

∞

∞∞

==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法

平均功是白噪声，，，

率面积法

：

22

5

[()][()]5

Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率

()()()2

1412

24

2

22Y

2

(P1313711()2415()()()10242411

5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππ

ωωπ

-

--∞

∞∞

-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝⎭

-⎛⎫

⇒= ⎪

⎝⎭

⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛⎫

=

==⎛⎫= ⎪ ⎭

⎪⎭

⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法

）

频()()22

20000

[()][()][()]5

Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===

P 交直流分量为平均功率：流

4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？

分析：直流功率＝直流分量的平方

解: 输入平稳

输出的直流分量 输出的直流功率

()2300

X X m R σ==±==()()()1

03

32

Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()

()()()()()()

()()()()()2

'

'

'222'[()(1()(1)(1)F )]12122

222j j j j Y h t t t d F j d d F j j

d H A A U t U t A Sa e

j A Sa e Sa e Sa e

G U t U t t j ω

ωωω

ωω

ωω

ωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭

⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭

⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2

''2

1920222410001lim 022

239

024

X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫

---=

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=⋅=⇒＝＝直流功率

294

Y m =

()Y X m m h t =*

4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中

2

222

[sin()]

[()]2

ax dx a ax dx a

x

Sa π

∞∞

==

⎰⎰

()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()

()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωω

ωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦

⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数

：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()

1)[()](1)()j T

j T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2

22222

22

2

002

20221

02

(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T T

N T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτ

ωωωωωωωωωωωωωωωωωπω

ωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅

=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2

200000sin 2222

j e d N T

N N T d T τ

ω

ωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=

⎰⎰