相似三角形提高练习(一)
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC==22、，可得BC=∵BC=EC=；∴，∴8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．面积的面积的则有：（×3×6，即面积的因此有①，或t=（t=t=都符合题意，同时出发后，经过秒或9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．P=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．CE=．AE=∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=∴．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．∴QM=PM=AB=12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=∴t=t=时，△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=，，，＞∴t=t=14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？时，有：；时，有：∴经过15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．=，即=，解得对应时，有=，即=16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解：∵AC=∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：时，有=，∴AB==3时，有=，∴AB=．317．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．a①若△CDM∽△MAN，则=∴AN=②若△CDM∽△NAM，则AN=18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？或）当，∴x=；）当，∴x=．所以，经过秒或19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．∴=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴AP=．AP=时，由BP=，∴=，、20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．∴∴中有21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．所以所以；=，即=，；=，即=，t=时，以点22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？∴，23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．∴∴，∴．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）∴，即与①类似得：∴∴，与①类似得：，∴，∴MN=r（25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有∴∴26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．∵∴∴解得：．∴，，即．∴同理可得：，∴=是定值．）可知，即，同理可得：∴，由等比性质得：∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．===∴∴28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．BC=∴==，==，∴BD=CD=；=BE•CD=∴BE==30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．）设=k，。
相似三角形提高练习经典
第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一X 地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这X 地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶bB.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶cD.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果kcb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
相似三角形练习题,提高
相似三角形练习题,提高一、填空题：1、若a?3m,m?2b，则a:b?_____。
xyz??，且3y?2z?6，则x?____,y?______。
563、在Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则m:c?______。
14、反向延长线段AB至C，使AC＝AB，那么BC：AB＝ 22、已知5、如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有对．5题题6、如图2，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：．、如右图，添上条件：_______，则△ABC∽△ADE。
DBA2EC8题题8、如图，?1??2，添加一个条件使得?ADE∽?ACB .、如图，在?ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使?ADC与 ?ABC相似，应添加的条件是。
10、如图所示，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，?AE?交BD于点F，如果BE2BF=，那么=______． BC3FD11、已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______．10题 11题12题12、将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC ＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．二、选择题：1、等边三角形的中线与中位线长的比值是 A、:1B、:C、1:22D、1：32、已知直角三角形三边分别为a,a?b,a?2b，?a?0,b?0?，则a:b? A、1： B、1： C、2：1 D、3：13、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是A、B、1C、18D、204、已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为ha,hb,hc，且a:b:c?4:5:6，那么ha:hb:hc等于A、4：5：B、6：5：C、15：12：10D、10：12：15、下列判断正确的是A、不全等的三角形一定不是相似三角形B、不相似的三角形一定不是全等三角形C、相似三角形一定不是全等三角形D、全等三角形不一定是相似三角形、如图，用放大镜将图形放大，应该属于Ａ．相似Ｂ．平移Ｃ．对称Ｄ．旋转8、CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有 A.0对 B.1对 C.对 D.3对9、下列各组图形有可能不相似的是.A．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．两个等腰直角三角形 10、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是11、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是A．第4张 B．第5张 C.第6张D．第7张12、如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 A． 1 B． C．D．412题13题13、如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于A．1∶3B．2∶3C2D314、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段作为另外两边．截法有A.0种B. 1种C.种 D.种 15、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是三、证明题：1、已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点求证：MD：ME＝ND：NEA2、已知：如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，求证：BF：FC ＝1：3。
相似三角形专题训练
相似三角形专题训练（1）一、 比例1．第四比例项、比例中项、比例线段； 2．比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3．黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 结论：PA= AB ．4．平行线分线段成比例定理： 5．相似三角形：（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形． （2）判定方法．（3）直角三角形判定方法． 6．相似三角形性质．（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于 ； （3）周长之比等于 ；（4）面积之比等于 ． 7．相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型： （4）母子三角形：FA B CD E a b cA B CD E AB CD E A B D EAB C DDA BCABCD EDA B CEB二、例题解析：1．如果cm a 4=，cm b 6=，cm a 3=，则a ，b ，c 的第四比例项是 ． 如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知，542c b a ==，则=-+-+bc a b c a 22 ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．ED BAC AE D CBFE DCBA5．如图，△ABC 中，DE ∥BD ，AD ∶DB=2∶3，则S △ADE ∶S △ECB = ． 6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ．（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ； （2）若AB ∶BC=1∶9，则AD ∶BD= ．7．如图，平行四边形ABCD 中，BC=18cm ，P 、Q 是三等分点，DF 延长线交BC 于E ，EQ 延长线交AD 于F ，则AF=_______．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ． 求证：BP ∶CP=BC ∶CE ．9．如图，CD 是Rt △ABC 的斜边，AD 是高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ． 求证：（1）△ACF ∽△ABE ； （2）AC ·AE= AF ·AB ．BEDAPBE DCAFB ED CAF QPCBAD10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ．（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE 的长； （3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF 的长．11．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．BF EDCABEDCA自我训练：一、判断题：1．两个等边三角形一定相似（ ）2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ） 3．两个等腰三角形一定相似（ ）4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ）二、填空题：1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，若AC ＝5cm ，CD ＝4cm ，则AD ＝ cm ，AB ＝ cm ．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．FEDC B AB CE DA3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为 ． 4．CM 是△ABC 的中线，AB ＝12，AC ＝9，AC 上有一点N ，且∠ANM ＝∠B ，则CN ＝ ．NMCB AOFEDCB AFEDCBA5．梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作EF 平行于底，与腰AD 、BC 相交于E 、F ，若DC ＝14，OF ＝8，AE ＝12，则DE ＝ ．6．如图，正方形ABCD 的面积为144cm 2，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为112.5cm 2，则BE 的长为 cm ．三、选择题：1．已知21=b a ，则b a a +的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）43ABCD2．如图，已知△ADE ∽△ACB ，且∠ADE=∠C ，则AD ：AC=（ ）（A ）AE ：AC （B ）DE ：BC （C ）AE ：BC （D ）DE ：AB3．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是（ ） （A ） 10 （B ） 22. 5 （C ） 25 （D ） 6 4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DCE ADE S S ∆∆=2，则 ABCADES S ∆∆=（ ）（A ）41 （B ） 21 （C ）32 （D ）94 5．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、9cm 2C 、12cm 2D 、24cm 2FE DCBA6．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE ＝21ED ，BE 交AC 于F ，则FCAF＝（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、417．如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，不能判定△ACD ∽△ABC 的是以下条件中的（ ） A 、∠ACD ＝∠B B 、∠ADC ＝∠ACB C 、AC 2＝AD ·AB D 、AD ∶AC ＝CD ∶BC8．如图FD ∥BC ，FB ∥AC ，53=BC FE ，则FBAD＝（ ） A 、52 B 、53 C 、32D 、85ABCD EAB CDEABCDE AB CDEABCDEDCBAFECA DB9．梯形ABCD 的两腰AD 和BC 延长相交于点E ，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD 的面积等于90，则△DCE 的面积为（ ）A 、50B 、64C 、72D 、5010．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于（ ） A 、161cm 2 B 、81cm 2 C 、41cm 2 D 、1cm 2BF D FEC BAOD FECBA11．如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则EDFE＝（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4112．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于点O ，若AC ＝12，则AO ＝（ ）A 、4B 、3C 、2.4D 、2 13．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为（ ） A 、16 B 、32 C 、38 D 、4014．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 的值等于（ ）A 、2B 、35C 、23D 、115．如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ． 求证：BDBEAD AF ．DCBAEF OEDCB AEFD CBA16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？FGHMA BCDE相似三角形专题训练（2）【例题精讲】一、关于平行线截线段成比例。
相似三角形经典练习
相似三角形提高练习1. 如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm2.如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点， BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A 、21B 、31C 、32D 、413.两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1D ．2∶34．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．945．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD= ．6.若23a b =，则23a b b b -=+ ；）7.如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为．8.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为( )A．9 B．12 C．16 D．189.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为( )A．5 B．6 C．7 D．1210．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．11．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．12.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是13.如图，△AB C 与△O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）A B C ．5:3 D ．不确定14.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．ABCD F EOO1 234B B15．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：316．如图所示，已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，若AD ＝10，BD ＝5，求CD 的长．17．已知：如图，△A B C 中，A B =2，B C =4，D 为 BC 边上一点，BD =1.（1）求证：△ABD ∽△CBA ；（2）若DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与 △ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长.18．如图，在∆ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AD 的中点，AD 与CE 相交于点G .试说明31==AD GD CE GE .19. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．20．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8， D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．21. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，求两路灯之间的距离22.如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长．23.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足． ①求△ABM 的面积；②求DE 的长；③求△ADE 的面积．24. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB的延长线于点G ， 且EF =EC ． （1）求证：CD =AE ；（2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG 的长．EM DC B A25、如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连AD ，EF ∥BC ，EF 与AB 、AC 、AD 分别交于点E 、F 、G ，求证：DCBDGF EG .26、（1）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长（2）如图∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，求BC 的长27．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似？ABDF GE28.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．。
几何推理练习题相似三角形
几何推理练习题相似三角形几何推理练习题：相似三角形几何推理是数学中的一种重要思维方式，通过观察、分析和推理几何图形的属性来解决问题。
相似三角形是几何推理中常见的一种情况，它们具有相等的夹角，并且对应边的比例相等。
本文将介绍一些相似三角形的练习题，帮助读者巩固几何推理的能力。
1. 练习题一已知△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=5 cm。
连接点A和点D，使得∠BCD=90°。
如果AD=4 cm，求BC的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△BCD为相似三角形，因为∠A=∠BCD。
根据相似三角形的性质，可以列出比例关系式：AB/BC = BC/BD代入已知数值，可得：5/BC = BC/4通过交叉相乘求解，得到：BC^2 = 20因此，BC = √20 = 2√5 cm。
2. 练习题二已知△ABC和△ADE相似，且BC=8 cm，AC=10 cm，DE=12 cm。
如果BD=9 cm，求AE的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△ADE为相似三角形，因此可以列出比例关系式：AB/AE = BC/DE代入已知数值，可得：AB/AE = 8/12 = 2/3通过交叉相乘求解，得到：AB * 3 = AE * 2已知BD=9 cm，根据△ABD的相似比例关系，可以得到：AB/BD = AE/DE代入已知数值，可得：AB/9 = AE/12将AB的值代入上述等式，可得：(2/3) * 9 = AE/12通过简单的计算，可以得到：AE = 2 * 9 / 3 = 6 cm因此，AE的长度为6 cm。
3. 练习题三已知两个相似三角形，它们的周长比为7:4，面积比为49:16。
求这两个三角形的边长比和面积比。
解析：设两个相似三角形的边长比为a:b，面积比为c:d。
根据题目可得以下比例关系：(a+b)/(c+d) = 7/4 --（1）(a^2+b^2)/(c^2+d^2) = 49/16 --（2）将（1）式两边同乘4(c+d)，可得：4(a+b) = 7(c+d)化简后得：4a + 4b = 7c + 7d --（3）将（2）式两边同乘16(c^2+d^2)，可得：16(a^2+b^2) = 49(c^2+d^2)化简后得：16a^2 + 16b^2 = 49c^2 + 49d^2 --（4）由（3）式可得：4(a+b) - 7(c+d) = 0化简后得：4a + 4b - 7c - 7d = 0 --（5）由（4）式可得：16(a^2 + b^2) - 49(c^2 + d^2) = 0化简后得：16a^2 + 16b^2 - 49c^2 - 49d^2 = 0 --（6）通过求解方程组（5）和（6），可以得到a:b的值为7:4，c:d的值为49:16。
相似三角形的判定(一)-配套练习(含答案
相似三角形的判定（一）-练习一、选择题1如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对3. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是（）A. 2B.C. 4D. 2二、填空题4. 如图，添上条件_____________ (填一个即可)，则△ABC∽△ADE．三、解答题5.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4，求△CEF的周长.相似三角形的判定（一）-练习参考答案一、选择题1.C. 解：∵BC∥FG∥ED∴△ABC∽△AFG△AFG∽△ADE△ABC∽△ADE∴图中相似的三角形的组数是3组故选C2. C解：AB∥CD，AE∥FD∴图中4个三角形均相似，从4个中任选2个均相似，故有C42对相似三角形，故有6对，故选C．3.A 解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，可以看出，△A′B′C′的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△A′B′C′需各边对应比例相等，则第三边长就为4的一半即2．故选A．二、填空题4.BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=解：∵∠A=∠A∴当BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=时，△ABC∽△ADE．三、解答题5. 解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．。
三角形相似练习题
三角形相似练习题三角形相似练习题在数学中，三角形相似是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间存在着特殊的比例关系，这对于解决各种几何问题非常有用。
在本文中，我将给出一些三角形相似的练习题，帮助读者熟练掌握这一概念。
练习题一：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE=2/3。
问是否可以得出这两个三角形相似？解答：根据相似三角形的定义，我们需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例。
在这个问题中，已经给出∠A=∠D和∠B=∠E，所以只需要验证对应边是否成比例。
已知AB/DE=2/3，我们可以通过交叉相乘的方式得到AB/DE=BC/EF。
由此可得AB/BC=DE/EF=2/3。
因此，根据对应边成比例的条件，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
练习题二：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，AC/DF=4/7。
若BC=8，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF。
已知AB/DE=3/5，BC=8，所以可以得到3/5=8/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到3EF=40，因此EF=40/3。
练习题三：已知三角形ABC和DEF相似，且AC/DF=5/9，AB/DE=3/5，BC=12。
求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AC/DF=BC/EF。
已知AC/DF=5/9，BC=12，所以可以得到5/9=12/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到5EF=108，因此EF=108/5。
练习题四：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
求三角形ABC和DEF的周长比。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF=AC/DF。
已知AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
我们可以通过求这些比例的平均值来得到周长比。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
九年级数学相似三角形提高题(含答案)
相似三角形题一、选择填空题1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB ABCD E BC AE BD⊥O AB BC 图，在ABC △中，P 是AC 上一点，连结BP ，要使ABP ACB △∽△，则必须有ABP ∠= 或APB ∠= 或ABAP= ． 4、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似.5．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是________．6．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是 Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．32 7、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.图4 图6 图78、如下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）AB C D O图1Ａ ＢＯＥ C Ｄ ＡＰＣＢ DPCABABC9．如图，四边形ABCD 是矩形，DH ⊥AC ，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形=（ ） A ．752cm B ．762cm C ．772cm D ．782cm图9 图10 图1110、如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则:DMN CEM S S △△等于（ ） Ａ．1:2Ｂ．1:3Ｃ．1:4Ｄ．1:511．如图，△ABC 中，PQ ∥BC ，若3=∆APQ S ，6=∆PQB S ，则=∆cQB S （ ） A ．10 B ．16 C ．9 D ．1812、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 213、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．5414、如图，线段AB 、CD 相交于E ，AD EF BC ∥∥，若12AE EB =∶∶，1ADES =，则AEFS等于（ ）Ａ．4 Ｂ．23 Ｃ．2 Ｄ．4315、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是PQCBA HDCBAＡ N D BCE M△ABC 的面积的 （ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．94图12 图1416、在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ） A 、米 B 、米C 、米D 、10米17、如图，由点O 出发的13条射线恰好等分圆周，图中的三角形都是直角三角形.若641 OA ，则71A A 的长为________．二．解答题A 13A 12A 11A 10A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1B ACDEＢCB（（第15题图）1.如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长。
相似三角形提高练习30题
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相似三角形提高练习30题填空题1．（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为_________．2．（2001•重庆）已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE=_________m．3．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1=_________，=_________．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=_________．5．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=_________．6．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为_________．7．在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_________．8．如图，在▱ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于_________cm2．9．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比_________．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜边AB上取一点M，使MB=CB，过M作MN⊥AB交AC 于N，则MN=．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=_________．12．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_________．13．如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ=_________．14．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF=_________．解答题15．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．16．（2005•重庆）在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？17．（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO 上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．18．（2009•兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P 在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．19．（2008•孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）（1）△ABC中边BC上高AD=_________；（2）当x=_________时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？20．（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．21．（2008•梅州）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．22．（2007•温州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC 向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；23．（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？24．（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）25．已知一个二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三点．（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．26．如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．（1）用含t的代数式表示QP的长；（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；27．如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y．（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？28．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．29．（2008•湖州）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为_________，数量关系为_________．②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．30．（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形练习题（解析）
相似三⾓形练习题（解析）相似三⾓形练习题⼀、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三⾓形的⼀组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的⾯积之和为136cm2，则较⼤三⾓形的⾯积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中⼼的位似图形，相似⽐为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反⽐例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的⾯积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平⾯直⾓坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反⽐例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似⽐为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所⽰，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停⽌，点P′是点P 关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的⾯积为y，则y与x之间的函数图象⼤致为（）A．B．C．D．11、在平⾯直⾓坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平⾏于对⾓线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正⽅向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的⾯积为S，则能反映S与t之间函数关系的⼤致图象是（）A．B．C．D．12、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对⾓线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的⾯积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1?S3=S2?S4⼆、填空题13、如图，将边长为6的正⽅形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐⾓三⾓形，AD是BC边上的⾼，正⽅形EFGH的⼀边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正⽅形的边长与⾯积。
相似三角形培优训练(含答案)
类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG•EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG·CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG·CG＝GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG ＝GF·GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。
三角形相似练习(中等50道+提高30道) 含答案
三角形相似(中等50道+提高30道)含答案一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC 于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC 于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．20．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E 点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF 的长．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO ＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的长．4．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若BD＝4，sin∠DBF＝，求DE的长．5．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2①求值；②求图中阴影部分的面积．6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2，求的值．7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P 从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．9．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．10．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；（2）若AE＝2，试求AP•AF的值．11．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．12．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？13．如图所示，要在底边BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；（提示：S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH）（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？14．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．17．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．19．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．21．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．22．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝．（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC＝AB•DE．24．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC相似？25．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME 平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．27．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求AE的长．28．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若＝，BE＝4，求EC的长．29．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．30．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．31．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF＝BG；（2）若AB＝4，求DC的长．参考答案与试题解析一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．【解】由射影定理得，CD2＝AD•DB＝3×6＝18，∴CD＝＝3．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？【解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝3，在Rt△ADF中，∠A＝30°，∴AD＝2DF，AF＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣DF，则矩形DECF面积＝DF×（3﹣DF）＝﹣DF2+3DF＝﹣（DF﹣）2+，当DF＝时，剪出的矩形DECF面积最大，则AD＝2DF＝3，∴使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．【解】∵BD，CE是△ABC的高∴∠ADB＝∠AEC＝90°又∵∠A＝∠A∴△ADB∽△AEC∴＝∴AD•AC＝AE•AB即BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．【解】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴DC2＝DA •DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．【解】证明：∵AC∥EF，∴＝，∵BC∥DF，∴＝，∴＝，∵∠AOB＝∠DOE，∴AB ∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°∴∠CED＝∠F，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC．∴，∵AB＝CD＝3，AE＝4，AD＝10，∴DE＝6，∴，∴BF＝5．答：线段BF的长为5．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．【解】证明：（1）如图所示：∵AB∥MN，∴△AOB～△MON，∴，又∵BC∥NG，∴△BOC～△NOG，∴，∴；（2）△AOB～△MON，△BOC～△NOG，△AOC∽MOG 等，证明过程见第（1）的步骤．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．【解】延长MP，交EF于点Q．如图所示：设AP的长x，矩形PMDN的面积为y．∵四边形CDEF为矩形，∴∠C＝∠E＝∠F＝90°．∵四边形PMDN为矩形，∴∠PMD＝∠MPN＝∠PND＝90°．∴∠PMC＝∠QPN＝∠PNE＝90°．∴四边形CMQF、PNEQ为矩形．∴MQ＝CF，PN＝QE，且PQ∥BF．∵EF、FC 的中点分别为A、B，且EF＝8，CF＝6，∴AF＝4，BF＝3，∴AB＝＝5，∵PQ∥BF，∴△APQ ∽△ABF．∴＝＝．即＝＝．解得：AQ＝x，PQ＝x．∴PN＝QE＝AQ+AE＝x+4，PM＝MQ﹣PQ＝6﹣x．∴y＝PN•PM＝（x+4）（6﹣x）＝﹣x2+x+24．当x＝﹣＝时，y取得最大值．即当AP＝时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．【解】（1）∵DF∥AE，∴＝，即＝，解得，EF＝4；（2）∵DF∥AE，∴△BDF∽△BAE，∴＝，即＝，解得，EA＝．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．【解】（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED；（2）∵△ACD∽△BED，∴＝，又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，∴AD＝6，DE＝10，∵BD＝8，∴＝，即＝．∴DC＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，由平移的性质得：AE∥GC，∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∴GC⊥AD，∴∠CGD＝90°，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（AAS），∴BE＝DG；（2）解：∵∠AEB＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝BE，∵四边形AECG是正方形，∴CE＝AE＝BE，∴BC＝CE+BE＝（+1）BE，∴＝＝．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴＝，即：＝，∴BG＝10，∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．交CB的延长线于M．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON ∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得，BE＝1．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．【解】证明：（1）连接OD，如图所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO，∴∠BDE＝∠CBA，∴EB＝ED，∴△DBE是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，∴CB是⊙O的切线，∵DE是⊙O 的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC，∴OE∥AB，∴△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．【解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴，又∵，∴．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．【解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAE，∴△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．【解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF ∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD ∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝24．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC ＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．【解】（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAF＝∠DAC又∵BF＝BD∴∠BFD＝∠FDB∴∠AFB＝∠ADC∴△AFB∽△ADC∴．∴AB•AD＝AF•AC（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝AB＝2，CN＝AC ＝3∴AH＝BH＝2，AN＝CN＝3∴HN＝∵∠BHD＝∠CDN∴△BHD∽△CND∴∴HD＝又∵BF＝BD，BH⊥DF∴DF＝2HD＝（3）由（1）得①，易证△ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AB＝AD，AE＝AF，BF＝BD易证△ABD∽△AEF∴②∴①×②得＝＝，过F作FG⊥AB于G，设FG＝x，则AF＝2x，BF＝x，AG＝x，BG＝x∴AB＝（+1）x，∴＝＝4﹣220．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．【解】（1）∵在四边形ABDE中，∠ABD+∠AED＝180°，∴∠BAE+∠BDE＝180°，∴点A、B、D、E 四点共圆，∴∠DAE＝∠DBE．又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；（2）∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝．∵D为BC中点，∴BD＝DC＝2．在Rt△ABD中，AD＝．在Rt△CDE 中，∠C＝30°，CD＝2，所以CE＝3．∵△ADC∽△BEC，∴，即，解得BE＝．所以BE长为．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．【解】（1）∵∠GAF+∠ADF＝90°，∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠GAF＝∠CDF．∵⊙O经过点C、D、G、F，∴∠FCD+∠FGD＝180°．又∵∠AGF+∠FGD＝180°，∴∠AGF＝∠DCF．∴△AFG∽△DFC；（2）在Rt△AED和Rt△AFD中tan∠ADF＝．∵△AFG∽△DFC，∴，即，解得AG ＝2．∴GD＝8﹣2＝6．连接GC，∵∠GDC＝90°，∴GC为直径．在Rt△GDC中，GC＝＝10，所以⊙O的半径为5．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．【解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠COP是△AOC的一个外角，∴∠COP＝2∠CAO＝60°，∴∠P＝∠CAO＝30°，∴AC＝PC；（2）解：连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，又∠ADC＝∠EDA，∴△ACD ∽△EAD，∴＝，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝18，∴AD＝3，∵＝，∴AD＝BD＝3，∵AB是⊙O的直径，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝6，∴OA＝AB＝3，∴S⊙O＝π•OA2＝9π．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．【解】（1）∵DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，∴DF垂直平分AB．∴弧AD＝弧BD，∴∠DCA＝∠DAB．又∵∠ADC＝∠EDA，∴△ACD∽△EAD；（2）连结OA，在Rt△AFO中，OF＝3，DF＝8，在Rt△DEF中，EF＝6，∴DE＝10．∵AE＝10，∴DE＝AE．∴∠ADE＝∠DAE．∴弧AC＝弧BD．∴AC＝BD．又弧AD ＝弧BD，∴AD＝BD．∴AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．【解】（1）证明：∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB又∵∠ADB＝∠ACB∴∠ABD＝∠ACB而∠BAE＝∠CAB∴△ABE∽△ACB∴即：AB2＝AE•AC得证．（2）连接OB，如下图所示∵AE＝EC∴S△BAE＝S△BCE，S△DAE＝S△DCE∴S△BCD＝S△BAD又∵AB＝AD∴OA⊥BD且BF＝DF∵AF＝2，OA＝OB ＝4∴BF＝DF＝2∴BD＝4∴S△BAD＝×BD×AF＝×4×2＝4而S△BCD＝S△BAD故△BCD的面积为4．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．【解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（1）得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD ＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．∴BE＝．∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．【解】（1）证明：∵∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED ＝60°，∴∠BAD+∠B＝60°，∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠B＝∠EAC，又∠ADB＝∠AEC，∴ABD∽△CAE；（2）解：∵ABD∽△CAE，∴＝，即AD2＝BD•CE＝16，解得，AD＝4，则DE＝4，∴BC＝BD+DE+EC＝14．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．【解】证明：（1）∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD＝∠A，又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC．（2）在Rt△DEC中，DE＝，△CDE的面积为×2×4＝4．∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝8．∵△ABC∽△DEC，∴，即，∴△ABC的面积为．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．【解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，即，解得AC＝9．∴CE＝9﹣AE＝5．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得CD＝．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．【解】证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQD+∠PQC＝90°．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°．∴∠DAQ＝∠PQC．∴△DAQ∽△CQP．∵Q是CD的中点，∴．∴，∴AD＝4CP．．∵AD＝BC，∴BC＝4CP，∴BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．【解】在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF＝2CF，即CF＝CD∴＝∴＝即而AB＝BC＝6，∴PC＝3又∵点E是BC的中点∴DE＝3，PE＝6∵AD∥EP∴△PGE∽△AGD ∴而PE＝AD＝6，∴GE＝GD＝故DG的长为．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．【解】（1）证明：连接OE、DE、OG，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∵点G为BD的中点，∴GE＝BD＝DG，在△GEO和△GDO中，，∴△GEO≌△GDO（SSS）∴∠GEO＝∠GDO＝90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴tan B＝＝，∴tan∠ACD＝＝，∴AD＝CD＝GE＝3．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AB＝CD，∴△DFC∽△EF A；（2）解：∵E 是AB中点，∴AE＝AB＝，∵AC⊥DE，∴∠AFE＝90°，∴FE＝＝1，∵△DFC∽△EF A，∴＝＝，∴DF＝2EF＝2．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．【解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC ≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠F AG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．【解】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴＝，∴DM•MC＝BM•MA；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，∵⊙O半径为2，∴AH＝∵AC＝2AH，∴AC＝2．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．【解】（1）在△ABC和△ACD中，∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，故，即AC2＝AD⋅AB，（2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF＝BD，∠F＝∠ABE，而∠ACD＝∠ABE，∴∠ACD＝∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD＝∠F，∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AF，又∵AB＝3，AC＝2，∴22＝（3﹣BD）（3+BD），∴BD＝．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．【解】（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠CEB＝90°．∴∠AFE ＝∠CEB．∴△AEF∽△BCE；（2）由，设BE＝x，则AE＝2x，AB＝3x＝BC．∵△AEF∽△BCE，∴＝．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，又∠E ＝∠E，∴△EAC∽△EBA；（2）解：△EAC∽△EBA，＝，∴＝＝＝，∴EC＝EA，EB ＝EA，则＝．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长．【解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF，∴＝，即＝，解得，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．【解】∵CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，即＝＝，∴＝，∵AB∥EF，∴△ADB ∽△FDG，∴＝，即＝，解得，AB＝4.5（米）．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．【解】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，在△BMC和△HMD中，，∴△BMC≌△HMD，∴BM＝MH，又MN⊥BM，∴NB＝NH，∴∠NBM＝∠NHM，∵AH∥BC，∴∠MBC＝∠NHM，∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，∴DM＝MC＝2a，由勾股定理得，MN＝＝a，由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，∴△BMN∽△MDN，∴＝＝，∴BM＝2a，由勾股定理得，BN＝＝5a，则AN＝＝3a，∴＝＝．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠BDE+60°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．【解】∵△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，∴＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴＝＝＝，∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OB＝10，∴BE＝OB+OE＝14．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．【解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠EAD，∵∠AED＝∠1+∠ABD，∠ABC＝∠3+∠ABD，∠1＝∠3，∴∠ABC＝∠AED，∴△ABC∽△AED，∴＝，∴DE•AB＝BC•AE；（2）证明：∵△ABC∽△AED，∴＝，∴＝，∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD，∴∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．【解】（1）作OF⊥CD于F，如图1所示：则CF＝DF，∠OFC＝∠OFE＝90°，∵∠OEF＝∠BED＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝2，∴CF＝DF＝DE+EF＝4+2＝6，∴CE＝CF+EF＝6+2＝8；（2）连接OC，如图2所示：∵∠EOF＝30°，∴OF＝EF＝2，由勾股定理得：OC＝＝＝4，即⊙O的半径为4．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．【解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线；（2）∵CD是⊙O的切线，BE是⊙O的切线，∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，∴CE＝CD+DE＝13，∴BC＝＝＝12，∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB，∴＝，即＝，解得：OC＝，∴OB＝BC﹣OC＝，即⊙O的半径为．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP，∴∠ACB＝∠BEP＝90°，∵∠CAB＝∠BPC，∴△EPB ∽△CAB；（2）解：∵△EPB∽△CAB，∴＝，即：＝，解得：BC＝8，∴CE＝＝＝4．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD，∵AE＝DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BD，∴∠CBD＝∠OCB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACD中，AC＝＝＝4，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠CAD＝∠ABC，又∠ACF＝∠BCA，∴△ACF∽△BCA，∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∵∠ABC＝∠CBD，∠ACB＝∠FDB，∴△ABC∽△FBD，∴＝，即＝，解得，DF＝．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝80°，AB＝8．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【解】（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝80°，∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝，∵AO＝6，∴OD＝AO＝2，∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，∴AB＝AD＝8，故答案为：80，8；（2）过点B 作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝，∵BO：OD＝1：3，∴＝＝，∵AO＝6，∴EO＝AO ＝2，∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB ＝2BE，在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝8，∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，解得：DC＝8．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．【解】证明：如图，作AH⊥BD于H点，∵CB2＝CE•CA，即．又∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB．∴∠CBD＝∠CAB．∵∠BCE＝∠AHE＝90°，∠CEB＝∠HEA，∴∠CBD＝∠CAH．∴∠BAH＝2∠CBD．∵AH∥DF，∴∠BAH＝∠BFD．∴∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．【解答】（1）证明：∵DF为切线，∴BD⊥DF，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠F＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵DE∥AB，∴∠2＝∠4，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠F，∴EF＝ED；（2）解：∵∠2＝∠3，∴BE＝DE＝5，而EF＝ED＝5，∴BF＝10，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∵∠3＝∠4，∠BDF＝∠BAD ＝90°，∴△BDF∽△BAD，∴＝，∴BD2＝BF•AB＝10AB，在Rt△ABD中，BD2＝AD2+AB2，∴AB2﹣10AB+16＝0，解得AB＝2或AB＝8，当AB＝2时，BD＝2＜DE（舍去）；当AB＝8时，BD＝4，∴BD的长为4．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的。
中考相似三角形经典练习题及答案
相似三角形分类练习题（1）一、填空题1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。
2、如图，△ABC中，DE∥BC，，且，那么＝________。
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。
4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC＝5cm，则DE＝________ cm。
5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm2，则△DOC面积为___cm2。
6、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。
7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。
8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。
9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_____cm2。
10、如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB＝2:3，则＝______。
二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。
（A）；（B）1:25；（C）1:5；（D）。
2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。
（A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。
3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
4、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O点，＝1:9，则＝（）。
（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。
三、如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的2倍，求DE长。
四、如图，△ABE中，AD:DB＝5:2，AC:CE＝4:3，求BF:FC的值。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
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相似三角形提高练习（一）
.选择题
1. 如图，在正
方形网格中，每个小正方形的边长均相等. 网格中三
个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上.被一个多边形覆
盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线
段长度之和记为n则这三个多边形中满足m=n的是（）
A .只有②
B .只有③
C .②③
D .①②③
2. 如图，在△ ABC中，AB=AC=a BC=b （ a> b）.在厶ABC内依次作
/ CBD=Z A,/ DCE=Z CBD, / EDF=Z DCE 贝U EF 等于（）
3. 将一副三角尺（在Rt A ACB 中，/ ACB=90°, / B=60°；在Rt A
EDF 中，/ EDF=90° / E=45°
如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P, DF经过点。
将厶EDF
绕点D顺时针方
向旋转角代丁―.60）。
釦交AC于点M，珂'交BC于点N,则驚的值为（
）
4. 如图，在四边形ABCD 中，AD // BC，/ ABC=90°, E是AB上一点，且DE丄CE .若
AD=1 , BC=2 , CD=3，贝U CE与DE的数量关系正确的是（）
1 2 3
么EF的长是（）A . - B. C.-
3 3 4
6. 如图，矩形ABCD , AD=a, AB=b,要使BC边上至少存在一点
第3题
A. ./I
B.
b33
B. C.笛
4
D.岂
2
a b3
A. CE=.「DE
B. CE= -DE
C. CE=3DE
D. CE=2DE
5.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB = 1 , CD = 3，那
P, ?使厶ABP △ APD △ CDP A.
两两相似，则a、b之间的关系一定满足（）
D、a> 2b
7. 如图6,在厶ABC中，/ ACB=90o, AC=BC=1 ,E、F为线段AB上两动点，且/ECF=45 ° 过点
E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G.现
_ 1
①AB=.. 2 ;②当点E与点B重合时，MH=?；
1
;④
MG?MH=_，其中正确结论为
（
2
二.填空题
有以下结论:
③AF+BE=EF
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
1.如图，在厶ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE
1
4AB连结EM并延长, 交BC的延长线于D,此时BC : CD为
2.如图，平行四边形ABCD中, AB=2,
3.如图，□ABCD中，E是AB中点,
1
F在AD上，且AF = FD , EF交AC于G ,贝U
2
AG : AC =
4.如图，正方形ABCD边长为3,连接AC, AE平分/ CAD,交BC的延长线于点E, FA X AE,
交CB延长线于点F,贝U EF的长为___________ .
5•已知：在平行四边形ABCD中，点E 在直线AD上，AE--AD,连接CE 交BD
于点F,贝U EF: FC的值是
6.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，
的延长线于点E，交DC于点N •若AB=12, BM=5, DE的长为
7•如图，在矩形AOB（中，点A的坐标是（-2, 1），点C的纵坐
标是4,则B、C两点的坐标分别是 ____________________________ .
EF丄AM，垂足为F ,交AD
8.如图，矩形ABCD的边长AD=3 , AB=2 , E为AB的中点，F在边BC
上，且BF=2FC , AF分别与DE、DB相交于点M , N ,贝U MN的长为
6
第2题
9. 如图，在 △ABC 中，AD 和BE 是高，/ ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE
分别交于点 G 、H ，/ CBE= / BAD .有下列结论：① FD=FE •，② AH=2CD :③ BC?AD= ：AE 2; ④S A ABC =4S △ADF .其中正确的有 ______________
10. 如图，正五边形的边长为 2,连结对角线 AD , BE , CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相 交于点M , N .给出下列结论：①/ AME=108 ；②AN 2=AMAD ；③MN=3 -；④S A EBC =2
1. 其中正确结论的个数是 ________ .
11. 如图，已知 / ACB = Z DCE =90 ° ABC= / CED= / CAE=30 ° AC=3, AE=8，贝U AD 的长为
12. _________ 如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC = 90 ° AB = 3, BC = 4, CD = 10, DA = 5.5，贝U BD 的长为 . 解答题
1.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=8 BC=6, CD!AB 于点 D.点 P 从点D 出发，沿线段 DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段 CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1个单位长度，当点 P 运动到C 时， 两点都停止•设运动时间为 t 秒.
(1) 求线段CD 的长；
(2) 设厶CPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过 程中是否存在某一时刻 t ,使得S A CPQ S A ABC =9： 100?若存在，求出t 的值； 若不存在，说明理由.
(3) 当t 为何值时，△ CPQ 为等腰三角形？
2. 阅读理
解：如图①，在四边形 ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别 连接ED EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就 把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把
E 叫做
E
3
A
四边形ABCD的边AB上的强相似点”.解决问题：
(1)如图①，/ A=Z B=Z DEO45°试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD中，A、B C D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB上的强相似点;
(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM
折叠，使点D 落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边
形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.
AP I BN和AM=AN是否成立？②是否存在满足条件的点P,使得PC=0.5?说明理由.
4.如图，C为/ AOB的边0A上一点，0C=6, N为边0B上异于点0的一动点，P是线段
CN上一点，过点P分别作PQ // 0A交0B于点Q, PM // 0B交0A于点M .
(1)若/ A0B=60 ° 0M=4, 0Q=1，求证：CN丄0B. (2)当点N在边0B上运动时，四边形丄[
0MPQ始终保持为菱形.①问：皿-°N的值是否发生变化？如果变化，求其取值范围；如
果不变，请说明理由. ② 设菱形0MPQ的面积为S1, ^N0C的面
积为S2，求•的取值范围.
3.已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点，若点
△ PBCPAM，延长BP交AD于点N，连结
CM . (1)如图一，若点M在线段AB上，求证:
AP 丄BN ; AM=AN ;
(2 [①如图二，在点P运动过程中，满足
△ PB3A PAM的点M在AB的延长线上时，
M在AB上，且满足
3/C
71。