大学物理7章作业上课讲义
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
大学物理 第七章
F F max F
F max q v
F max qv
大小与 q , v 无关
磁感强度大小:
B
F max qv
单位：特斯拉 T
方向： 小磁针静止时 N 极的指向。
三、磁场作用在运动电荷的力----洛伦兹力
F qv B
掌握
F max
q +
v
dB 0 I dl r 4π r
3
P
应用毕萨定律解题的方法
计算一段载流导体的磁场 1.分割电流元; 2.建立坐标系; 3.确定电流元的磁场：
0 dB 4
熟练 掌握
Id l r r
3
4.求 B 的分量 Bx 、By ;
5.由
B
Bx By
2
2
求总场。
2π x
ld x
o
x
通过此线圈的磁通量为
0 2
Il d 0 Il d 2 d x = ln Φ S B d S d 1 2π d 2π x
1
三
磁场高斯定理
掌 握
由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合面 的磁力线根数相同，正负通量抵消。 •磁场是无源场，磁力线为闭合曲线，磁场是 涡旋场。 •磁场与电场有本质的区别，电场为保守场，是 有源场，电力线是发散的。
2、基本特性：对位于磁场中的运动电荷产 生磁作用力。 3、磁场方向：小磁针受磁力后静止时， N 极所指的方向。
二
磁感强度 B 的定义
1、运动电荷在磁场中两种特殊情况受力图：
F max F
y
F 0
+
v
x
大学物理第七章第1讲
O
l
x
2
例4、运动电荷的磁场。 电流激发的磁场可以视为所有运动电荷所激发的磁 场叠加,取载流导线上电流元 Idl ，其截面积为 S ， 单位体积内作定向运动的电荷数为 n ，定向运动速 每个电荷带电为 q。 度为 v
解：由前一章讨论可知电流密度为： j nqv
电流元：Idl jSdl nqSdlv
0 IR 2 ndx
2( R x )
2 2 32
0 nI
2
x2
x1
R 2 dx ( R 2 x 2 )3 2
2
为了积分方便，用 角量 来替换x
R x1
1
P
x2
o
x
dx
x
x Rctg
2
R2 x2 R2 (1 ctg 2 ) R2 csc2
dx R csc d
解：建立图示坐标系,取电流元 Idz
根据毕－萨定律，电流 元在p点激发的磁感强度 的大小：
z
2
Id z
I
z r
O
dB
ห้องสมุดไป่ตู้
0 Idz sin dB 4 r2
r0
P
y
x
1
方向：图示（负ox方向）
所有电流元在Ｐ点的 dB 方向相同，则
0 B dB 4
Idz sin r2
B dB
0 R
dq 2 rdr
v r
o
R
0 R
2
r
dr
方向：垂直盘面向外
小结：用毕奥—萨伐尔定律和磁场
《大学物理第七章》PPT课件
电势叠加原理： U p
Up
i 1
n
40 ri
qi
U1 U 2 U n 1 dq Up 40 r
p
例1、均匀带电圆环，带电量为q，半径为a， 求轴线上任意一点的P电势。
r dl a P x 2 a dq qdl x dU 4 o r 8 2 o ar 标量叠加 q q 2 a U dU dl 2 2 L 8 o ar 8 o ar
r
电势分布曲线
r
1
O
r
例4、求无限长均匀带电直线外任一点P的电势。 (电荷密度)
解：先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P y 点P1和点的电势差
VP VP1 r E dr r1 dr r1 ln r 20 r 20 r
r1
O
r
P r1 P1 x
0
（ a x a)
+
- -a o
a x
a o
例6、如图所示，已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中 a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量为2.010-9 C的点电荷从 无限远处移到A点，电场力作功多少？电势能增加多少？ （2）将此电荷从A点移到B点，电场力作多少功？电势能增 加多少？（3）将此点电荷从C点移到D，电场力作多少功？ 电势能增加多少？
R2 R1
Q
q
4 0 R1 4 0 R2 R1 <r< R2时 Q q U U1 U 2 4 0 r 4 0 R2
r> R2时
U U1 U 2
大学物理实验讲义实验07波尔共振实验
实验02 波尔共振实验因受迫振动而导致的共振现象具有相当的重要性和普遍性。
在声学、光学、电学、原子核物理及各种工程技术领域中，都会遇到各种各样的共振现象。
共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。
许多仪器和装置的原理也基于各种各样的共振现象，如超声发生器、无线电接收机、交流电的频率计等。
在微观科学研究中共振现象也是一种重要的研究手段，例如利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。
表征受迫振动的性质是受迫振动的振幅频率特性和相位频率特性（简称幅频和相频特性）。
本实验中，用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态物理量——相位差。
【实验目的】1．研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
2．研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
3．学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。
【仪器用具】ZKY-BG波尔共振实验仪【实验原理】物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。
所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。
当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时速度振幅最大，相位差为90°。
实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。
当摆轮受到周期性强迫外力矩M M0cos t的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为db）其运动方程为dt2d dJ k b M02dt dtc os t（1）式中，J为摆轮的转动惯量，k为弹性力矩，M为强迫力矩的幅值，为强迫力的圆频率。
大学物理第7章静电场演示课件
x
lnx0 L 4 o x0
09.10.2020
求：
10
例题5
已知：总电量Q ；半径R 。 求： 均匀带电圆环轴线上的电势分布
dQ
R 0
解：
r
x
x
P
dU dQ
40r
U dQ 1 dQ
Q 40r 40r Q
r R2x2
Q
4 0 r
U
Q
4 0 R2 x2
09.10.2020
11
四、 场强和电势的微分关系
09.10.2020
8
2、利用叠加原理
点电荷电 场的电势
Ur
Q
4 0r
点电荷系UP = ？
Q2
r2
Q3
根据定义 U Edr
P
P E 1 E 2 E 3 d r P E 1 d rP E 2d rpE 3d r
U1U2U3
r3
r QQ 1 1
P
dQ
U
Qi
i 4 0ri
分立的点 电荷系
Q
P r
U dQ
Q 40r
连续分布的 带电体系
09.10.2020
9
例题4
均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ，
沿线、距离一端 x0 米处的电势。
0P x0
解：
dU dQ
40 x
x0
dQdx
U
x L 0
dx
x 0
40x
L
40
lnx
x 0
x 0
L
x0 L
4olnx0Llnx0
Qdxx
Q
x
40
R2x2
3 2
大学物理第7章
F qv B
1( T ) 1 N/(A m)
1(G) 10
4
单位 特斯拉 高 斯
T
28
三 磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
29
指南针之所以能为人们领航，最主要的原因是 因为地球本身就是一块大磁铁。
30
来自太阳的带电粒子到达地球附近，地球磁场迫使其中一部分 沿着磁场线集中到南北两极。当他们进入极地的高层大气时， 与大气中的原子和分子碰撞并激发，产生光芒，形成极光。
7.28 10 6 A m 2
11
四 电源
导体内形成持续电流的条件：
载流子、电势差
电源是把其他形式的能量转化为电势能的装 置，为电流的形成提供恒定的电势差。如化学电池、 发电机、热电偶、硅（硒）太阳能电池、核反应堆 等。
12
13
电源：提供非静电力的装置.
电源外部：
提供恒定电场，静 电力使正电荷从电势高的 地方向电势低的地方运动。
0 Ir0 d sin 0 I B 2 2 2 4 sin r0 /sin 4 r0 0 I B (cos1 -cos 2 ) 4 r0
2
1
sin d
B
I
2
I
Idl
1
a
P
磁感应强度 B的方向，与电流成右手螺旋关系，拇指 表示电流方向，四指给出磁场方向。
（2）家用线路电流最大值 15 A， 铜 导 线半径0.81 mm此时电子漂移速率多少？
I 解 vd 5.36 10 4 m s-1 2 m h -1 nSe
10
（3）铜导线中电流密度均匀，电流密度 值多少？ 15 I 2 Am 解 j 4 2 S π (8.10 10 ）
大学物理实验讲义实验07 波尔共振实验
实验02 波尔共振实验因受迫振动而导致的共振现象具有相当的重要性和普遍性。
在声学、光学、电学、原子核物理及各种工程技术领域中，都会遇到各种各样的共振现象。
共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。
许多仪器和装置的原理也基于各种各样的共振现象，如超声发生器、无线电接收机、交流电的频率计等。
在微观科学研究中共振现象也是一种重要的研究手段，例如利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。
表征受迫振动的性质是受迫振动的振幅频率特性和相位频率特性（简称幅频和相频特性）。
本实验中，用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态物理量——相位差。
【实验目的】1． 研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
2． 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
3． 学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。
【仪器用具】ZKY-BG 波尔共振实验仪【实验原理】物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。
所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。
当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时速度振幅最大，相位差为90°。
实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。
当摆轮受到周期性强迫外力矩t cos M M 0ω=的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dtd bθ-）其运动方程为 t cos M dt d b k dtd J 022ω+θ-θ-=θ （1）式中，J 为摆轮的转动惯量，θ-k 为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。
大学物理实验讲义实验07 波尔共振实验
实验02波尔共振实验因受迫振动而导致的共振现象具有相当的重要性和普遍性。
在声学、光学、电学、原子核物理及各种工程技术领域中，都会遇到各种各样的共振现象。
共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。
许多仪器和装置的原理也基于各种各样的共振现象，如超声发生器、无线电接收机、交流电的频率计等。
在微观科学研究中共振现象也是一种重要的研究手段，例如利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。
表征受迫振动的性质是受迫振动的振幅频率特性和相位频率特性（简称幅频和相频特性）。
本实验中，用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态物理量——相位差。
【实验目的】1． 研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
2． 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
3． 学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。
【仪器用具】ZKY-BG 波尔共振实验仪【实验原理】物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。
所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。
当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时速度振幅最大，相位差为90°。
实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。
当摆轮受到周期性强迫外力矩t cos M M 0ω=的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dt d bθ-）其运动方程为 t cos M dt d b k dtd J 022ω+θ-θ-=θ（1）式中，J 为摆轮的转动惯量，θ-k 为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。
大学物理普通物理学chapter-7
e r 12
k
q1q2 r3
r12
k 1 9109 N m2/C2 4πε0
0 = 8.8510-12 C2 ·N-1·m-2
真空介电常量
F1 2
F21
1
4π 0
q1q 2 r2
er12
1
4π 0
q1q 2 r3
r1 2
返回 退出
F1 2
F21
1
4π 0
q1q 2 r2
er12
• 电场中各处的力学性质不同。
2. 在电场中的同一点上放不同的
试验 电荷。
•
F q0
与q0无关。
电场强度（intensity
of electric field）：
F
E
q0
返回 退出
F
E
q0
场强的大小： F/q0 场强的方向：正电荷在该处所受 电场力的方向。
讨论
1.
矢量场
E
E
r
E
x,y ,z
返回 退出
使用Matlab求解得到的两个 超越方程 F=0的位置x =0.94m 排斥力最大的位置x =1.25m
返回 退出
补充例7-1 设原子核中的两个质子相距4.0×10-15 m， 求此两个质子之间的静电力。
解：两个质子之间的静电力是斥力：
Fe
1
4π 0
q1q 2 r2
9.0 109
按库仑定律，电子和质子之间的静电力为
Fe
1 4πε 0
e2 r2
8.89
109
(1.60 1019 )2 (0.529 1010 )2
8.22108 (N)
返回 退出
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f2 ,, fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0)Leabharlann c 1x0 (t)2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1
x(t) x0 (t) c 1
x0 (t) 是Lyapunov稳定的
例2. x t x
1阶，2维 n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
xx34
x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 ,, xn )
i 1,2,, n
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
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大学物理7章作业
第七章机械波
一. 选择题
1. 机械波的表示式为（SI），则
(A) 其振幅为3m (B) 其波速为10m/s (C) 其周期为1/3s (D) 波沿x轴正向传播
2. 一平面简谐波沿x轴正向传播，时波形图如图
示，此时处质点的相位为
(A) 0 (B) π
(C) π/2 (D) - π/2
3. 频率为100Hz、波速为300m/s的简谐波，在传播方向上有两点同一时刻振动相位差为π/3，则这两点相距
(A) 2m (B) 21.9m
(C) 0.5m (D) 28.6m
4. 一平面简谐波在介质中传播，某瞬时介质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量为
(A) 动能最大，势能为零 (B) 动能为零，势能最大
(C) 动能为零，势能为零 (D) 动能最大，势能最大
5. 一平面简谐波在弹性介质中传播，下述各结论哪个是正确的？
(A) 介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒
(B) 介质质元的振动动能和弹性势能做周期性变化，但二者的相位不相同
(C) 介质质元的振动动能和弹性势的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等
(D) 介质质元在其平衡位置处弹性势能最大
6. 两相干波源S1、S2发出的两列波长为λ的同相位波列在P点相遇，S1到P点的距离是r1，S2到P点的距离是r2，则P点干涉极大的条件是
(A)
(B)
(C)
(D)
7. 两相干波源S1和S2相距λ/4（λ为波长），S1的相位比S2的相位超前，在S1、S2连线上，S1外侧各点（例如P点）两波干涉叠加的结果是
(A) 干涉极大
(B) 干涉极小
(C) 有些点干涉极大，有些点干涉极小
(D)无法确定
8. 在波长为λ的驻波中，任意两个相邻波节之间的距离为
(A) λ (B) 3λ/4 (C) λ/2 (D) λ/4
二. 填空题
9. 一声波在空气中的波长是0.25m，传播速度时340m/s，当它进入另一种介质时，波长变成了0.37m，则它在该介质中的传播速度为__________________.
10. 平面简谐波沿x轴正向传播，波动方程为，则处质点的振动方程为_________________，处质点与处质点振动的相位差为_______.
11. 简谐波沿x轴正向传播，传播速度为5m/s ，原点O振动方程为
(SI)，则处质点的振动方程为_____________________.
12. 一平面简谐波周期为2s，波速为10m/s，A、B是同一传播方向上的两点，间距为
5m，则A、B两点的相位差为_______________.
13. S1、S2是两个相干波源，已知S1初相位为，若使S1S2连线中垂线上各点均干涉
相消，S 2的初相位为_______________.
14. 如图，波源S 1、S 2发出的波在P 点相遇，若P 点的合振幅总是极大值，则波源S 1的相位比S 2的相位领先_____________________.
三. 计算题
15. 一横波沿绳子传播时的波动表式为 )410cos(05.0x t y ππ-=[SI] . 求：
（1）此波的振幅、波速、频率和波长; （2）绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度;
16. 波源做简谐振动，振幅为0.1m ，振动周期为0.01s . 以它经过平衡位置向正方向运动时为计时起点，若此振动以的速度沿直线传播，求距波源8m 处P 点的振动方程.
17. 如图，一平面波在介质中以速度1s m 20-⋅=u 沿x 轴负方向传播，已知a 点的振动表式为t y a π4cos 3= [SI]．（1）以a 为坐标原点写出波动方程；
（2）以与a 点相距m 5处的b 点为坐标原点，写出波动方程．
18. 如图所示，已知
和
时的波形曲线分别为图中实线曲线Ⅰ和虚线曲线
Ⅱ，波沿x 轴正向传播. 根据图中给出的条件，求：（1）波动方程；（2）P 点质元的振动
方程.
19. 如图所示，两相干波源分别在P 、Q 两点，它们发出频率为ν，波长为λ，初相相同的两列相干波，振幅分别为A 1和A 2 ，设2/3λ=PQ ，R 为PQ 连线上的一点．求：
（1）自P 、Q 发出的两列波在R 处的相位差； （2）两波在R 处干涉时的合振幅．
第七章 机械波参考答案
一. 选择题
1. (C)
2. (C)
3. (C)
4.（D ）
5. （D ）
6. (C)
7.（B ）
8.（C ）
二. 填空题 9. ( 503 m/s ) 10. ( ； )
11. ( )
12. ( π/2 ) 13. ( - π/2 ) 14. ( - 2π/3 ) 三. 计算题
15. 一横波沿绳子传播时的波动表式为 )410cos(05.0x t y ππ-=[SI] . 求： （1）此波的振幅、波速、频率和波长;
（2）绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度; 解：（1）波动方程
可得振幅
频率
波长 波速
（2）绳上各质点振动时的最大速度
绳上各质点振动时的最大加速度
16. 波源做简谐振动，振幅为0.1m ，振动周期为0.01s . 以它经过平衡位置向正方向运动时为计时起点，若此振动以
的速度沿直线传播，求距波源8m 处P 点的振动方程.
解: 波源振动方程为
简谐波的波动方程为
代入，可得质点振动方程
m
17. 一平面波在介质中以速度1s m 20-⋅=u 沿x 轴负方向传播，已知a 点的振动表式为
t y a π4cos 3= [SI]．
（1）以a 为坐标原点写出波动方程；
（2）以与a 点相距m 5处的b 点为坐标原点，写出波动方程．
解：（1）已知A = 3m ，
,
因波沿x 轴负方向传播，以a 点为坐标原点的波动方程为
（2）以a 点为坐标原点时，b 点的坐标为
, 代入上式得b 点的振动方程为
若以b 点为坐标原点，则波动方程为
18. 如图所示，已知
和
时的波形曲线分别为图中实线曲线Ⅰ和虚线曲线
Ⅱ，波沿x 轴正向传播. 根据图中给出的条件，求：（1）波动方程；（2）P 点质元的振动
方程.
解：(1) 设波动方程为
由图知A = 0.1m ， λ= 4m
又
时，原点处质点的位移
，速度
，故该质点的初相
波动方程为
（2）将
代入波动方程，得点质元振动方程为
19. 如图所示，两相干波源分别在P 、Q 两点，它们发出频率为ν，波长为λ，初相相同的两列相干波，振幅分别为A 1和A 2 ，设2/3λ=PQ ，R 为PQ 连线上的一点．求：
（1）自P 、Q 发出的两列波在R 处的相位差； （2）两波在R 处干涉时的合振幅．
解：（1）两列波的初相位相同，在R处的相位差为
（2）两波在R处的振动方向相同，频率相同，相位差，则合振幅为。