难点探究专题:抛物线与几何图形的综合(选做)
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难点探究专题:抛物线与几何图形的综合(选做)
——代几结合,突破面积及点的存在性问题
◆类型一二次函数与三角形的综合
一、全等三角形的存在性问题
1.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等?若存在,求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.
二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题
2.(2016·凉山州中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;
(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
◆类型二二次函数与平行四边形的综合
3.如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a >0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B 两点,A点在B点左侧.若点E在x轴上,点P在抛物线上,且以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点P有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,抛物线y=
1
2x
2+x-
3
2与x 轴相交于A,B两点,顶点为P.
(1)求点A,B的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存
在,求出符合条件的点E 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)坐标平面内是否存在点F ,使得以A ,B ,P ,F 为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F 的坐标.
◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合
5.如图,在平面直角坐标系中,点A 在抛物线y =x 2-2x +2上运动.过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,以AC 为对角线作矩形ABCD ,连接BD ,则对角线BD 的最小值为
________.
第5题图 第6题图
6.如图,抛物线y =ax 2-x -3
2与x 轴正半轴交于点A(3,0).以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ,延长CB 交抛物线于点D ,再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a =,点E 的坐标是_________________.
7. (2016·新疆中考)如图,对称轴为直线x =7
2的抛物线经过点A(6,0)和B(0,
-4).
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标; (2)设点E(x ,y)是抛物线上一动点,且位于第一象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式;
(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形.
8.(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4,对角线相交于点P ,抛物线l 经过O ,P ,A 三点,点E 是正方形内的抛物线l 上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系,
①直接写出O ,P ,A 三点的坐标; ②求抛物线l 的解析式;
(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值.
答案: