2020上海中学高一下期中数学

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上海中学 2019-2020 学年高一下期中考试

一、填空题（每空3分,共30分）

1.已知点A (2,-1)在角α的终边上,则sin α=__________.

2.函数sin(2)y x π=+的最小正周期是________.

3．一个扇形半径是2,圆心角的弧度数是2,则此扇形的面积是________.

4.已知函数[]()sin (0,)f x x x π=∈和函数1()tan 2

g x x =

的图像交于A 、B 、C 三点,则△ABC 的面积为________.

5.在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β都以x 轴正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3

α=

,则cos()αβ-=__________.6.已知3sin()45x π-=,则sin 2x =__________.7.设(),0,x y π∈，且满足2222sin cos cos cos sin sin 1sin()

x x x y x y x y -+-=+，则x y -=_____.8.我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为：在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、,c 则△ABC

的面积

S =.根据此公式，若cos (3)cos 0a B b c A ++=,且2222a b c +-=,则△ABC 的面积为_______.

9.若函数()2sin(2)1()6f x x a a R π=++-∈在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上有两个不同的零点12,x x ,则12x x a +-的取值范围是__________.

10.已知函数sin ()cos m f ααα-=在(0,2

π上单调递减,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题4分,共24分）

1.已知cos ,(1,1),(,)2k k πααπ=∈-∈,则sin()πα+=(

)

A.

C. D.1k -

2.对任意的锐角,αβ,下列不等关系中正确的是(

)A.sin()sin sin αβαβ

+>+ B.sin()cos cos αβαβ+>+C.cos()sin sin αβαβ+<+ D.cos()cos cos αβαβ

+<+3.设函数()sin()(,,A 0,0,2f x A x A πωφωφωφ=+>><

是常数，是常数,为了得到()f x 的图像,则只需将()cos 2g x x =的图像(

)A.向右平移12π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12

π个单位D.向左平移6π个单位

4.若函数()sin(2)3

f x x π=-与()cos sin

g x x x =-都在区间(,)(0)a b a b <<上单调递减，则b a -的最大值为（） A.6πB ．3πC ．2πD ．512

π5.已知,αβ为锐角且cos cos ,,()((2sin sin x x x R f x παβαββα

+>∈=+,则下列说法正确的是()A.()f x 在定义域上为单调递增函数

B.()f x 在定义域上为单调递减函数

C.()f x 在(],0-∞上为增函数，在()0,+∞上为减函数

D.()f x 在(],0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数

6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、,c 若2222020a b c +=,则2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅+的值为() A.1 B.2018 C.2019 D.2020

三、解答题（本大题共6题，共46分，解答各题必须写出必要的步骤）

1.(本题满分6分)化简：sin()cos()cos(

)2cos()sin(2)tan )a a a a a a πππππ-+--++2.(本题满分10分)

已知函数()sin 2f x x x

=-(1)用五点法作出()f x 在一个周期内的图像,并写出的值域,最小正周期,对称轴方程(只需写出答案即可)；

(2)将()f x 的图像向左平移4

π个单位得到函数()y g x =的图像,求()y g x =的单调递增区间.

3.(本题满分10分)如图,矩形ABCD 中,F E，两点分别在边,AB BC 上,090DEF ∠=，设,F ADE ED αβ

∠=∠=(1)试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；

(2)若3(0,(,)444

x x π

ππ∈∈且354sin(),cos()41345x y ππ+=-=求cos()x y -的值. 4.(本题满分10分)市政部门要在上中路路边安装路灯,要求灯柱AB 与地面垂直,灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直,路灯C 采用锥形灯罩,射出光线与平面ABC 部分截图如图中阴影部分所示,2,33ABC ACD ππ∠=

∠=路宽24AD =米,设()126

BAC ππθθ∠=<<(1)求灯柱AB 的高()h h θ=；

(2)市政部门应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小?

最小值为多少?

5.(本题满分10分)

设函数()5cos sin 5sin()(4tan 3)sin 5sin f x x x x θθθθ=--+--为偶函数.

(1)求tan θ的值；

(2)若()f x 的最小值为-6,求()f x 的最大值及此时的x 取值；

(3)在(2)的条件下,设函数()()()2

g x f x f x πλωω=-+

,其中0,0λω>>.已知()y g x =在6x π=处取得最小值并且点2(,33)3πλ-是其图像的一个对称中心,试求λω+的最小值.