流体力学3-5动量方程讲解
流体力学动量守恒方程
流体力学动量守恒方程是十九世纪法国科学家和数学家傅里叶发现的。
当时，由于资本主义经济迅速发展，许多工厂使用大量矿物燃料。
由于设备不断更新，这些燃料的质量也越来越大，煤的耗量不断增加。
为了计算煤的产量和损失情况，他对一个实验作了如下假设：当两股气流同时通过一段狭窄管道时，一股以相等的流速沿直线向前流动，另一股则沿着弯曲的管道流动。
傅里叶想，这两股气流是相互混合，彼此完全混合，因此这两股气流之间没有质量交换。
在运动中，两股气流都具有一定的能量，它们既相互转化又相互消耗。
能量既不能创造，也不能毁灭。
为了计算在管内两股气流的总能量和损失情况，就必须把它们之间的所有动量传递给管壁，使其动量保持不变。
因此，他设想在这个“管子”中加入一些流体，这些流体只是具有连续性的机械功。
他还进一步考虑，如果两股气流的温度不同，那么这种动量传递应该是连续的，但是傅里叶却不这样认为，因为在某一点上，两股气流的温度可能是相同的。
所以，根据牛顿第二定律，他提出了如下公式： p=- kx按照动量守恒定律，质量是守恒的，因此能量也是守恒的，只要在这个系统中，只有一股流体和一个管壁，在一定时间内能量是守恒的。
那么，如何利用动量守恒定律来计算煤的耗量呢？在第一个管子里装入0。
6立方米的水，它每秒损失1。
8立方米。
在第二个管子里装入2。
5立方米的水，它每秒损失1。
5立方米。
总共能够损失多少吨煤呢？经过研究，他得到了这样一个表达式： x=0。
006x-1。
5(1。
8-0。
6)=0。
2吨。
今天的研究很有趣，但我觉得，这一切源于傅里叶发明动量守恒定律之前，流体力学已经有100多年的历史了。
我想，这足以说明人类已经意识到环境问题的重要性了。
这次研究，让我体会到，我们不能光凭自己的感受去做事，而要依据事实，否则，就像儿童一样不讲理。
我希望，我长大以后，成为一名科学家，发明一种仪器，帮助人们解决问题，真正地解决问题，让我们的地球永远安静。
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
相应的流线方程是:
dy dx y x z z0 ( xdx ydy) 0 z z0 x2 y2 C z z0
y
x
习题1:已知空间流场的速度分布(欧拉法)
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x , y , z , t ) 0
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
作业3:已知流速场为: 试求: t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程
§3.2 流体的加速度
一.流体的加速度
加速度是流体质点运动的速度变化(拉格朗日意义上). 流体质点速度： u
dx u( t ) dt v dy v(t ) dt w dz w( t ) dt
d2x d2y d 2z a a 流体质点加速度： a x 2 ， y 2 ， z 2 dt dt dt
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
流体力学3-5动量方程.
dt 2v2 A2 v 2 dt 1v1 A1 v1 dtQ( 2 v 2 1 v1 )
2
动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
3 u A dA
A
3
2 u A dA
A
2
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
1
取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行， i 令 ——为单位向量
u ui
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
该质点系上的外力的冲量
质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
Fdt dtQ( v v ) F Q( v v )
2 2 1 1
2 2 1 1
3
恒定总流动量方程
F Q( v v ) F Q ( v v F Q ( v v F Q ( v v
1 4
3、由连续性方程
v1
d
Q = v1A1= v2A2
2 1
3.185m/s
4Q v2 5.66m/s 8 2 d2
v v p2 p1 7.043kPa 2g 2 d2 P2 p2 0.124kN 4 4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN
2 2 1 1 x 2 2x y 2 2y z 2 2z
流体力学第三章动量方程及其应用及动量矩方程
.
8
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密， 度流 为量 qv的 为流体对弯管 FR， x的 FRy作用力
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1 取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
F R y p 2 A 2 c o s2 p 1 A 1 s in1 q V(v 2 c o s2 ) (v 1 s in1 )
【特例6】突然扩大管
10,2 90
FRx(p1 v12)A 1(p2 v22)A2
FRy0
（1）
突然扩大处流线不能折转，在“死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流 方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力， 而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2—A1上的静压力，方向向左。
得： F R x P 1 A 1 q v v 1 P 1 A 1 v 1 A 1 v 1 ( P 1 v 1 2 ) A 1
F R y P 2 A 2 q v v 2 P 2 A 2 v 2 A 2 v 2 ( P 2 v 2 2 ) A 2
.
12
【特例2】直角等径弯管 12 0 ,A 1 A 2 A ,q V v A F R x p 1 A 1 c o s1 p 2 A 2 s in2q V(v 1 c o s1 ) (v 2 s in2 )
F R y p 2 A 2 c o s2 p 1 A 1 s in1 q V( v 2 c o s2 ) ( v 1 s in1 )
这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到
FR FR2x FR2y
arctanFRy
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
流体力学3-5动量方程
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
P2
r
r
rr
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
2
❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
sin
60o
Ry'Fra bibliotekQ(2v2
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学中的动量方程
流体力学中的动量方程动量方程是流体力学中描述流体运动的基本方程之一。
它描述了流体在运动过程中动量的变化，通过掌握动量方程，可以深入理解和分析流体的运动特性。
一、动量的定义与表达式根据牛顿第二定律，一个物体的动量等于其质量与速度的乘积。
对于流体来说，动量可以用密度、速度和体积来表达。
根据这个定义，流体的动量可以表示为：M = ρ * V其中，M为动量，ρ为流体的密度，V为流体的速度。
二、流体的动量守恒流体的动量守恒是指在一个封闭系统中，动量的总量在时刻保持不变。
这可以通过动量方程来表示。
对于流体的动量守恒方程，有两个基本形式：1.欧拉动量方程欧拉动量方程适用于描述非粘性流体的动量守恒。
其表达式为：∂(ρV)/∂t + ∇(ρV*V) = -∇P + ρg其中，ρ为流体的密度，V为流体的速度，t为时间，P为压力，g 为重力加速度。
2.纳维-斯托克斯动量方程纳维-斯托克斯动量方程适用于描述粘性流体的动量守恒。
其表达式为：∂(ρV)/∂t + ∇(ρV*V) = -∇P + μ∇²V + ρg其中，ρ为流体的密度，V为流体的速度，t为时间，P为压力，μ为流体的动力黏度，g为重力加速度。
三、动量方程的应用动量方程在流体力学的研究中有广泛的应用。
它可以用来解释和预测流体的运动特性，如流体的速度分布、流体中的压力和力的作用等。
1.速度分布根据动量方程，可以推导出流体在不同速度条件下的速度分布规律。
通过研究流体的速度分布，可以了解到流体的流动状态，从而更好地控制和管理流体运动。
2.压力分布动量方程中的压力项描述了流体中压力的变化规律。
通过分析动量方程中的压力项，可以获得流体的压力分布情况。
这对于设计和优化流体系统具有重要意义。
3.流体之间的相互作用在实际应用中，流体通常与其他物体或流体相互作用。
通过动量方程，可以分析流体与其他物体的相互作用力，并进行力学计算和设计。
四、总结动量方程是流体力学中重要的基本方程之一，通过它可以深入研究和理解流体的运动特性。
流体力学动量方程的积分推导_理论说明
流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。
流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。
而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。
1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。
首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。
然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。
接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。
最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。
1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。
通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。
通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。
最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。
通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。
2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。
根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。
流体力学3_动量方程应用举例
动量方程应用举例：例：水在直径为cm 10的 60水平弯管中，以s m 5的速度流动。
弯管前端的压强为at 1.0。
不计损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管1-2的作用力。
解：1、确定控制体。
取控制体为1-2断面间弯管占有的空间。
这样把受流体作用的弯管整个内表面包括在控制体内，又没有其他多余的固壁。
2、选择坐标系。
坐标系选择如图所示。
x 轴为弯管进口前管道的轴线，z 轴为垂直方向，y x -平面为水平面。
3、流出和流进控制体的动量差。
流出：2v Q ρ；流进：1v Q ρ。
动量差：()12v v Q -ρ。
由于断面积不变，s m v v v 521===。
若断面积变化，求未知流速时，通常要运用连续性方程。
4、控制体内流体受力分析。
由于不考虑重力作用，质量力为零。
表面力包括： 断面1上：111A p P =，方向沿x 轴正向；断面2上：222A p P =，方向垂直于断面2，且指向控制体内； 其余表面：R ——弯管内表面对流体的作用力。
由于R 的方向未知，应任意假设某方向。
不妨设R 在y x -平面上的投影方向与x 轴的夹角为α。
未知压强2p 应根据能量方程g v p Z g v p Z 2222222111++=++γγ求出。
由于21Z Z =，v v v ==21，故2219807m N p p p ===。
一般地，求某一未知压强总要用到能量方程。
5、联立动量方程并求解。
()()()()160cos 60cos cos 60cos 1cos 60cos 21211122211-=-=-=--=--=∑ Av v v A v v v Q R pA R A p A p F x x x ρρραα()() 60sin 060sin sin 60sin sin 60sin 221222Av v vA v v Q R pA R A p F y y y ρρραα=-=-=+-=+-=∑()z z z z v v Q R F 12-==∑ρ也即：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==+--=--z z zv v Q R Av R pA Av R pA 122260sin sin 60sin 160cos cos 60cos 1ρραρα 代入数据：()N pA 1.771.0498072=⨯⨯=π()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=+--⨯⨯⨯⨯=--⨯060sin 51.041000sin 60sin 1.77160cos 51.041000cos 60cos 11.772222z R R R παπα 联立求解，得：N R 272= 60=α6、分析。
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
工程流体力学 第3章 流体流动的基本方程
B F ( x, y, z, t )
比如，流体质点的速度场：
u F ( x, y, z, t )
第3章 流体流动的基本方程
速度分布的分量可表示为：
u x F1 ( x, y , z , t ) u y F2 ( x, y , z , t ) u z F3 ( x, y , z , t )
u x 2 x 2 F1 (a, b, c, t ) ax 2 t t t 2 u y 2 y 2 F2 (a, b, c, t ) ay 2 t t t 2 u z 2 z 2 F3 (a, b, c, t ) az 2 t t t 2
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 势流理论
第5章 相似理论与量纲分析
第6章 粘性流体管内流动
第7章 粘性流体绕物体的流动
第3章 流体流动的基本方程
流体运动——满足质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒… 推导——连续方程，动量方程，动量矩方程，能量方程…
第3章 流体流动的基本方程
流体质点的速度和加速度
u ux i uy j uz k
x F1 (a, b, c, t ) ux t t y F2 (a, b, c, t ) uy t t z F3 (a, b, c, t ) uz t t
a ax i ay j az k
两边积分 ln x 2t C ，故 x c1e
' 1
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
《流体力学》徐正坦主编课后答案第三章
第三章习题简答3-1 已知流体流动的速度分布为22y x u x -= ，xy u y 2-=，求通过1,1==y x 的一条流线。
解：由流线微分方程yx u dyu dx =得dy u dx u x y =则有 dy y x xydx )(222-=-两边积分可得C y y x yx +-=-3322即0623=+-C y x y将x=1,y=1代入上式，可得C=5，则 流线方程为05623=+-y x y3-3 已知流体的速度分布为⎭⎬⎫==-=-=tx x u ty y u y x 00εωεω（ω>0，0ε>0）试求流线方程，并画流线图。
解：由流线微分方程yx u dyu dx =得dy u dx u x y =则有 tydy txdx 00εε-=两边积分可得C y x +-=22流线方程为C y x =+223-5 以平均速度s m v /5.1=流入直径为D=2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm 的排孔流出，假定每孔出流速度依次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？题3-5图解：由题意得：v 2=v 1(1-2%)，v 3=v 1(1-2%)2，…，v 8=v 1(1-2%)7 根据质量守恒定律可得282322212832144444dv d v d v d v D v Q Q Q Q Q πππππ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+++=sm d vD v v d v v v v d D v /4.80)98.01(001.002.002.05.1)98.01()98.01(98.01)98.01(4)(448228221812832122=-⨯⨯⨯=--⋅=∴--⋅=+⋅⋅⋅+++⋅=⋅πππ则 v 8=v 1(1-2%)7=80.4×(1-2%)7=69.8m/s3-6 油从铅直圆管向下流出。
管直径cm d 101=，管口处的速度为s m v /4.11=，试求管口处下方H=1.5m 处的速度和油柱直径。
流体力学基本方程
3.1 系统和控制体的概念
3.1.1 系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称 之为系统，系统以外的一切，统称为外界。 系统的边界是把系统和外界分开的真实或假 想的表面。在流体力学中，系统就是指由确 定的流体质点所组成的流体团。
3.1.1 系统
流体系统的边界有如下特点：①系统的 边界随着流体一起运动。系统的体积边界面 的形状和大小可以随时间变化；②在系统的 边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑 出系统的边界；③在系统的边界上，受到外 界作用在系统上的表面力；④在系统边界上 可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通 过边界进入或离开系统。
3.1.1 系统
如果我们使用系统来研究连续介质的流 动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确 定的流体质点所组成的流体团作为研究的对 象。但是对大多数实际的流体力学问题来说， 采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引 进控制体的概念。
3.1 系统和控制体的概念
3.1.2 控制体 被流体所流过的相对于某个坐标系来说 是固定不变的任何体积称之为控制体。控制 体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表 面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而 改变的。
yy
yz
zx zy zz
3.3.1 流体的表面应力张量
可以证明，应力张量是二阶对称张量。正应力的正方
向为作用面外法线方向；对于切应力，当作用面的外法线
沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的切应力为正，
当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方
向的切应力为正。
这样，单位体积流体的表面力可写成
3.3.2 牛顿流体的本构方程
对于应力张量的线性不变量为 xxyyzz
对于变形率张量的线性不变量为
xx yy zz u
流体力学第三章伯努利方程及动量方程-PPT文档资料68页
文丘里流量计 渐缩管 喉管 渐扩管
0p1v12 0p2 v22
2g 2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v14d12 v2 4d22
v2 v1
d d
1 2
2
v22 v12
仪器常数K
h
QK h μ——流量系数（0.96~0.98）
注意：
水（ρ）-水银（ρ’）
h '
h
气（ρ）-液（ρ’） h ' h
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 1g1 hp 2g2 hgph
pg1 h1pg2 h2hp
(pg1 h1)(pg2 h2)hp
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2Z2dQp2 Z2dQp2 Z2dQ
v2 H Hp 2g
水力坡度: J dHdhw dl dl
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头: v2
Hp H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
流体力学动量方程
流体力学动量方程
流体力学动量方程指的是：质量方程、动量方程（对于不可压缩牛顿流体来说是N-S方程）、能量方程。
方程式的写法有很多，微分形式的和积分形式的，用分量表示(工程类的教材居多)的或者张量形式(侧重于力学理论)的。
流体力学的动量方程中，为什么力和动量可以做加减法
力的量纲是N，动量是N*s，一般是不能做加减的。
但是流体力学里面有一种情况，在说动量的时候不使用质量去计算，而是用质量流量去计算，这样，动量的量纲就是N了，所以这个时候什么力都可以和动量加减。
至于系统动量改变等于受力，这个就是牛顿第二定律，牛顿最早表达他的第二定律的时候是这样写的F = d(m*v)/dt;而不是我们常说的F = m*a。
流体力学动量方程的实际应用
气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，汽车制造（联众集群），以及天体物理的若干问题等等，都广泛地用到流体力学知识。
许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了它不断地发展。
流体力学动量守恒方程及各项含义
流体力学动量守恒方程及各项含义1. 动量守恒方程的基本概念1.1 什么是动量？大家都知道，动量就像是物体的“跑步速度”，它跟物体的质量和速度有关系。
想象一下，一个大象在慢慢走和一只小猫飞快冲过来，谁的动量大？当然是大象，尽管它速度慢，但那厚重的体型让它的动量不可小觑。
动量的公式很简单，就是质量乘以速度。
1.2 动量守恒是什么？动量守恒听起来有点高深，但其实很简单。
它的意思就是在一个孤立的系统里，动量总是守恒的，也就是说，系统内所有物体的动量加起来，永远不会变。
就像打乒乓球一样，球拍打到球，球的动量变了，但球拍的动量也相应改变，整体上动量没变。
这就是个天经地义的道理，哪怕你在打牌的时候也得记住，运气也是有保质期的。
2. 动量守恒方程的实际应用2.1 流体中的动量守恒在流体力学中，动量守恒方程就像是流动水的“守护神”。
想象一下水流过一个河口，水的动量会随着流动而变化。
如果你在河边打水漂，水在你手里的动量和在河里的动量是息息相关的。
这个方程帮我们理解流体如何在不同条件下运动，比如风在吹动水面时，水面上的波动和气流之间的关系。
2.2 工程中的应用在工程领域，动量守恒方程可是大显神威。
比如设计一座桥或者一栋摩天大楼，工程师们会仔细考虑风的力量、雨水的流动，甚至是周围建筑物对流体流动的影响。
想象一下，如果没有这套方程，那些高楼大厦可能就像一片“黄土”，随风而倒。
通过分析流体动量的变化，工程师们可以保证建筑的稳固，真是“稳如泰山”呀！3. 动量守恒方程的方程形式及意义3.1 方程形式动量守恒方程的表达式看起来有点复杂，但其实不难理解。
通常，它的形式是这样的：在某个控制体内，动量的变化率等于流入流出动量的差。
也就是说，如果有更多的动量流入，那这个控制体的动量就会增加；反之则会减少。
这就像一瓶水，水倒进来就满了，水倒出去就空了。
简单明了，谁都能懂。
3.2 各项的含义在这个方程中，涉及到几个关键的项，比如流动速度、密度和体积等。
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❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
❖质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
该质点系上的外力的冲量
Fdt dtQ(2 v2 1v1)
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
5
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
6
例: 水平设置的输水弯管(转角θ = 60°)，直径由d1=200mm 变为d2=150mm，已知转弯前断面p1=18kPa（相对压强）， 输水流量Q=0.1m3/s，不计水头损失; 试求水流对弯管的作 用力。
Rx 0.538kN 方向沿Ox方向 Ry 0.597kN 方向沿Oy方向
9
解：取过流断面l-1、2-2及控制体，选直角坐标系 1、分析受力：过流断面上的动压力P1、P2；
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
1
❖ 取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，
令 u ui
i
——为单位向量
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
d K
A2
2
u
2
dtdA2
u
2
i
2
A1
1u1
dtdA1u1i 1❖对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β ，以断 面平均流速v 代替点流速u 积分，总流的动量差为
d K dt2v22 A2 i2 dt1v12 A1 i1
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
F Q(2 v2 1 v1 )
3
❖恒定总流动量方程
F Q(2 v2 1v1)
Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y )
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
P2
sin
60o
Ry
'
Q(2v2
sin
60o
)
其中
P1
p1 A1
18
1
4
0.22
0.565kN
2、列1-1、2-2断面的伯诺里方程，忽略水头损失，有
z1
p1 ρg
α 1v12 2g
z2
p2 ρg
α
2v
2 2
2g
hl
0 p1 v12 0 p2 v22 0
g 2g
3、由连续性方程
g
2g
第五节 动量方程
总流的动量方程是动量定理的流体力学表达式 .
❖设恒定总流，过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ(渐变流断面)
流体经dt 时间由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ‘- Ⅱ’位置
❖任取元流l – 2 dt 时间内元流动量增量
1
1 u1
dA1 1 1
2
dA2
2
2
u2
2
d K K1'2' K12 (K1'2 K ) 22' tdt (K11' K1'2 )t
v1
4Q
d12
3.185m/s
Q = v1A1= v2A2
v2
4Q
d
2 2
5.66m8/s
p2
p1
v12 v22 2g
7.043kPa
P2
d22
4
p2
0.124kN
4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN Ry ' 0.597kN
水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方 向相反