向量的极化恒等式与等和线的应用学生版

极化恒等式

()2

22

2

2

2C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1） ()

2

22

2

2

2b b a a b a DB

DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222

2

22C AD AB b a DB A

结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式

对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式

的几何意义是什么

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

4

1. 即：[]

2

24

1DB AC b a -=

⋅（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2

2

4

1DB AM

b a -

=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=

____ . 目标检测 目标检测

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014

P B AB =，且对于边AB

上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( )

A . 90ABC ∠=

B . 90BA

C ∠= C . AB AC =

D . AC BC =

例4. (2017全国2理科12)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 4

3

- D.1- 课后检测

1.在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =

，D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的

A

B C

M

最小值为

2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()

PA PB PC +⋅的最小值为____________

3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且

2AP =，则PB PC ⋅的最大值为

4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22

21(0)x y a a

-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线

右支上任意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .

5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .

6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o

,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）

A ．⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡-

1,21 B ．[)1,1- C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1-

7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3

B π

=

，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围是 ．

9. 2

2

.

2.2.1.)

(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足

，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-

平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】

（一） 平面向量共线定理

已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然

O

（二） 等和线

平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；

（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；

（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、 确定等值线为1的线；

2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。 【典型例题】

例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角

为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。 若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。

跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1

cos 3

ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______

例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形OAB 中，0

60AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，

OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.

跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，

设AE x AD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.