第17讲函数图象与系数的关系

第17讲函数图象与系数的关系【课标要求】1.理解圆及有关要领了解弧、弦、圆心角的关系。

2.探索圆的有关性质；了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征。

3.探索并了解垂直于弦的直径性质。

4.了解三角形的外心。

【命题趋势】函数对于初学者来说，概念难理解，性质难掌握。

遇到有关函数的问题时，往往感到很生疏，无从下手，中考题中常出现的由函数图像确定函数解析式中系数的符号，或由函数解析式中系数的符号确定图像在平面直角坐标系中的大致位置等问题，同学们因没能很好地掌握其规律而容易丢分，其实。

初中阶段介绍的三种函数：一次函数(包括正比例函数)、二次函数、反比例函数，这些函数的解析式中系数的符号。

均可由它们的图像在平面直角坐标系中的大致位置来确定。

【考点透析】考点1：由函数解析式系数或其符号确定图象位置中考中考查此知识点主要是把二次函数、一次函数和反比例函数结合起来放到同一直角坐标系中考查，并考查分类讨论思想的灵活运用。

[例1]二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（）[答案] D[解析]这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c ＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x 轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维考点2：由函数图象确定解析式的系数符号中考考查该知识点主要是通过观察图象确定函数解析式的系数，或是通过函数解析式系数判断函数图象的大致位置，主要以选择填空题为主。

[例2]如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是 [ ]A．b+c-a=0；B．b+c-a＞0；C．b+c-a＜0；D．不能确定．[答案] B[解析]： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a ＜0．当x=0时，y 的值为正，所以c ＞0．又因为抛物线以y 轴为对称轴，所以b=0．综上分析知b+c-a ＞0，应选B ．注意：这个题考察了二次函数中三个系数a 、b 、c 的含义，二次项系数a 决定抛物线开口方向，c 为抛物线在y 轴上的截距即抛物线与y 轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为 ，ab x 2-=要根据图象具体分析才能得出正确结论．[例3] 已知：二次函数y=x 2+2ax-2b+1和y=-x 2+(a-3)x+b 2-1的图象都经过x 轴上两个不同的点M 、N ，求 a ，b 的值．[答案] a=1，b=2．[解析]：方法一： 依题意，设M(x 1，0)，N(x 2，0)，且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x 1+x 2=-2a ，x 1·x 2=-2b+1．因为x 1，x 2又是方程-x 2+(a-3)x+b 2-1=0的两个实数根，所以x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2．由此得方程组当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去． 当a=1，b=2时， 二次函数为y=x 2+2x-3和y=-x 2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2． 方法二： 因为二次函数y=x 2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a ，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ，又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以23-=-a a ，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x 2+2x-2b+1和y=-x 2-2x+b 2-1． 依题意，令y=0得x 2+2x-2b+1=0， (1) -x 2-2x+b 2-1=0， (2) (1)+(2)得b 2-2b=0，解得b 1=0，b 2=2． 以下解法同方法一．注意：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x 1，0)，N(x 2，0)，再转化为x 1，x 2是两个二次方程的等根来解．方法二是利用两个二次函数的图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N 这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b 的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x ，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解: 21x x 、都是方程(1)和(2)的解,不妨设0122121=+-+b x x ,同时也应有0122121=-+--b x x ,所以11222121-=-=+b b x x .从而推出2b=b 2得解．最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意． 考点3：从图象中获取信息的能力（中等难度的综合题）此类型题已经成为近几年中考的热门考点，一般从实际问题入手，抽象出函数的数学模型，考查学生的数形结合思想及分类讨论思想等数学思维能力，属中等难度。

[例4] 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ． (1)求m 的取值范围；(2)若a∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．[答案]（1） m ＞-1，（2）m=2，y=-x 2+2x+3，（3）)4,22()4,22()4,1(---或或的坐标为p[解析] (1)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)．因为A 、B 两点在原点的两侧，所以x 1·x 2＜0，即-(m+1)＜0．当m ＞-1时，Δ＞0，所以m 的取值范围是m ＞-1． (2)因为a∶b=3∶1，设a=3k ，b=k(k ＞0)，则x 1=3k ，x 2=-k ，所以123456-1-2-3xyO图（7）x=2所以m=2．所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为y=px+q，所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以设P点坐标是(x，y)，因为S△ABP=8S△BCM．所以4=y，由此得y=±4．所以)4,22()4,22()4,1(---或或的坐标为p【核心真题演练】一、2010年中考真题演练1．（2010，梧州）已知二次函数2y ax bx c=++的图象如图(7)所示，那么下列判断不正确的是（）(A)0ac<（B)0a b c-+>(C)4b a=- (D)关于x的方程20ax bx c++=的根是1215x x=-=，2．（2010，钦州）已知二次函数2y ax bx c=++（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac >0；②a–b +c <0；③当x <0时，y <0；④方程20ax bx c++=（a≠0）有两个大于－1的实数根．其中错误的结论有（）（A）②③（B）②④（C）①③（D）①④3．（2010，百色）二次函数cbxxy++-=2的图像如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2;②当;40><≤xxy或时，③函数解析式为);4(--=xxy④当时，≤x xy随增大而增大。

•1-第18题O1xyx =1 ••其中正确的结论有（ ）A .①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③4．（2010，崇左）如图为二次函数c bx ax y ++=2的图象，给出下列说法：①0＜abc ；②方程02=++c bx ax 的根为3,121=-=x x ；③当1＞x 是，x y 随增大而减小；④当310＜＜时，＞x y -，其中，正确的说法有（ ） A. ① B.①② C.①②③ D. ①②③④二、2008—2009年中考真题演练1.（2008，芜湖）函数c bx ax y b ax y ++=+=2和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）2.（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数m mx y +=和222++-=x mx y （m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）3.（2008，武汉市）下列命题：①若0=++c b a ，则042≥-ac b ；②若c a b +>，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根； ③若c a b 32+=，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根； ④若042>-ac b ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．xyOＡ． xyO Ｂ．x yO Ｃ．x yO Ｄ．第4题21 －1 O xy 4.(2008，安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中：① ac ＜0； ②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。

(把正确的答案的序号都填在横线上)5.（2008，龙岩市）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜06．（2009，钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2x 2＋3 B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2（x ＋3）2D ．y ＝2（x －3）27．（2009，南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示， 有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中 正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2009，贵港）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x ＝1 3，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c ＜0，②abc ＜0，③a －b ＋c ＞0，④2a －3b ＝0． 你认为其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.（2008，义乌市）已知：二次函数)0(22≠+++=a b a bx ax y 之一，则a 的值为( )A .－1B ． 1C . －3D . －4 10．（2009，梧州）．已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数xky =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有（ ） A ．210y y <<B ．120y y <<C ．021<<y yD ．012<<y y11．（2009，柳州）反比例函数x m y 1+=的图象经过点（2，1），则m 的值是 ．12.（2008。