函数的极值与最值专题训练

函数的极值和最值
【巩固练习】
1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是
2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数
A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b
B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b
C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b
D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b
3.（2015 锦州一模）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，且a ≠1），()()()()115112
f f
g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ） A ．6 B ． 7 C ． 8 D ． 9
4.（2015 东北师大附中质检）设函数(x)f 是连续函数，且在1x =处存在导数，若函数(x)f 及其导函数'(x)f 满足'()(x)ln f x f x x x
∙=-，则函数(x)f （ ） A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值
C.有极小值，无极大值 D ．既无极大值又无极小值
5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：
①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0.
其中正确结论的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。

7.（2015 惠州模拟）函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，
()'2f x >，则()24f x x >+的解集为 .
8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。

9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。

10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2
上的最大值是________ 。

11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。

12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。

13．设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x=1及x=2时取得极值。

(Ⅰ)求a 、b 的值；
(Ⅱ)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f(x)<c 2成立，求c 的取值范围。

14.（2015 金凤区校级一模）已知函数()ln f x x x =.
（1）求()f x 的单调区间和极值;
(2)若对任意()0,x ∈+∞，()232
x mx f x -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. 15. （2016 海淀区模拟）已知函数2()e ()x f x x ax a =++.
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()e a f x ≤在[,)a +∞上有解，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围.(只需直接写出结果)
【参考答案与解析】
1． C 2． A
3.【答案】A
【解析】()()()()''f x g x f x g x >
()()()()''0f x g x f x g x ∴->
()()()()()()()'
''20f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-∴=> ⎪ ⎪⎝⎭ 从而可得()()
x f x a g x =单调递增，从而可得a ＞1，
∵，()()()()1115112
f f a a
g g --+=+=- ∴a =2．
故()()()()()()
22112122222262
n
n n f f f n a a a g g g n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-> ∴2n +1＞64，即n +1＞6，n ＞5，n ∈N *．
∴n =6．
故选：A ．
4． 【答案】D
【解析】设(x)(x)lnx g f =，则''(x)(x)(x)lnx .f g f x x
=+= 故2(x)(c )2
x g c =+为常数。

又由(x)(x)lnx g f =得(1)0g =，解得1c 2=-。

故21(x)22x g =-，当1x ≠时，21(x)2ln x f x
-=。

当1x =时，在'()(x)ln f x f x x x
∙=-中，1x =处存在导数，令1x =得(1)1f =。

则21(x),12ln 1,1x f x x x ⎧-⎪=≠⎨⎪=⎩
当1x ≠时，22'
22ln 1(x),2ln x x x f x x -+=令22(x)2ln 1h x x x =-+，则 '(x)4ln h x x =，令'(x)0,1h x >>得；
令'(x)0,1h x <<得0<；故(x)h 在1x =处取得极小值，也是最小值(1)0h =。

故1x ≠时，22(x)2ln 10h x x x =-+>恒成立，又此时22ln 0x x >也恒成立，所以当1x ≠时，'(x)0f >恒成立，故(x)f 在定义域上单调递增，既无极大值也无极小值。

故选D.
5． C
6．1(+)e
∞， 7.【答案】()1,-+∞
【解析】设()()()24F x f x x =-+则()()()1124220F f -=---+=-=， 又对任意x R ∈，()'2f x >所以()()''20F x f x =->
即()F x 在R 上单调递增.则()0F x >的解集为()1,-+∞
所以()24f x x >+的解集为()1,-+∞
8．-16； 9．0； 10． 6π
+11．【解析】
若a>0，则
当x=-a 时，f(x)的极大值为5a 3。

当x=3a 时，f(x)的极小值为-27a 3．
若a<0，
则当x=3a 时，f(x)的极大值为-27a 3，
当x=-a 时，f(x)的极小值为5a 3
12． a ≤－3
13． 【解析】
（I ）a=-3，b=4
(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c
因为对于任意的x ∈[0，3]，有f(x)<c 2恒成立，
所以9+8c<c 2，解得c<-1或c>9，
因此c 的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞)
14.【解析】（1）()ln f x x x =
()'ln 1f x x ∴=+
令()'0f x >解得1x e >，∴函数在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增， 令()'0f x <解得10x e <<，∴函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减. ()f x ∴在1x e =处取得极小值，极小值为11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2）()223f x x mx ≥-+-即22ln 3mx x x x ≤++，又0x >
22ln x x x +3m x
+∴≤ 令()22ln 3x x x h x x
++= ()()()'
22'2'222ln 32ln 323x x x x x x x x x x h x x x
++-+++-∴== 令()'0h x =，解得1x =或3x =-（舍去）
当()0,1x ∈时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1上递减
当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上递增.
()()min 14h x h ∴==4m ∴≤
即m 的最大值为4.
15．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .
当1a =时，
'()e (2)(1)x f x x x =++
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，
函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--.
（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，
所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a . 因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-.
当2a -≤-时，即2a ≥时，
因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，。