函数的单调性及凹凸性
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (b) f (a) . 或者说，至少有一 ba
点 M 的切线平行于弦 AB
高等数学应用教程
3.1.1 拉格朗日中值定理
高等数学应用教程 例1
3.1.1 拉格朗日中值定理
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
3.1.2 函数的单调性
由图可知，
y f (x) 单调增加时， f (x )≥ 0； 单调减少时， f (x) ≤0 .
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
高等数学应用教程
3.1.1 拉格朗日中值定理
3.1.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义
曲 线 y f (x) 上 至 少 有 一 点
M (, f ( )) 的切线的斜率 f () 等 于 线 段 AB 的 斜 率
及 f (x) 的不可导点统称为函数的临界点。
求函数单调区间的方法归纳如下
1、求出函数 f (x) 的定义域。
2、求出函数 f (x) 所有临界点，这些点可能是函数 f (x)
单调区间的分界点。
3、把函数 f (x) 的定义域按临界点顺序分成若干个小区间
分别 讨论。
4、在 f (x) 0 的区间是单调增加，在 f (x) 0 的区间
高等数学应用教程
第3章 导数的应用
第 3 章 导数的应用
3.1 函数的单调性及凹凸性 3.2 函数的极值与最值 3.3 洛必达法则 3.4 曲率
高等数学应用教程
Hale Waihona Puke Baidu
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调与凹凸性
➢ 3.1.1 拉格朗日中值定理 ➢ 3.1.2 函数的单调性 ➢ 3.1.3 函数的凹凸性
义域划分为若干个区间，确定各个 区间上二阶导数 f (x) 的符号，即 可得出函数 f (x) 的凹凸区间及拐点.
高等数学应用教程 例4 解
列表讨论如下
3.1.3 函数的凹凸性
由表 3-2 可知，曲线在区间 (,0] 和 区间 [1, ) 上是凹的，在区间[0,1] 上 是凸的，拐点为点 (0,1) 和 (1,0) .
高等数学应用教程 例5
3.1.3 函数的凹凸性
课堂练习 P64 习题3-1： 4
高等数学应用教程 小结
3.1 函数的单调性与凹凸性
拉格朗日中值定理及几何意义 函数单调性的判定定理 临界点及单调区间的求法 曲线的凹凸及拐点的概念 函数凹凸性的判定定理 如何求函数的凹凸区间及拐点
作业
P64， 习题3-1: 2；3
反之,也有类似结论,从而有以下函数单调性的判定定理
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
而 即
高等数学应用教程
例2 解
3.1.2 函数的单调性
这两点把定义域分成3个小区间，列表讨论如下
高等数学应用教程 例3 解
3.1.2 函数的单调性
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
通常称函数 f (x)的导数 f (x) 0 的根（驻点）以
x 的增大而增大，即 f (x) 是单调增加的
则
f (x) 0
当曲线弧是凸时，切线的斜率随着 x 的 增大而减小，即 f (x) 是单调减少的
则
f (x) 0
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
讨论函数 f (x) 凹凸性的问题时， 可先求出使 f (x) 0 的点及 f (x) 不存在的点，这些点把 f (x) 的定
是单调减少。
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
课堂练习 P64 习题3-1： 1
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
定义3.1
3.1.3 函数的凹凸性
曲线弧 ¼ ABP 是凹的，曲线弧 P¼CD 是凸的， 点 P(x0 , f (x0 )) 是曲线的拐点.
当曲线弧是凹时，其切线的斜率随着
点 M 的切线平行于弦 AB
高等数学应用教程
3.1.1 拉格朗日中值定理
高等数学应用教程 例1
3.1.1 拉格朗日中值定理
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
3.1.2 函数的单调性
由图可知，
y f (x) 单调增加时， f (x )≥ 0； 单调减少时， f (x) ≤0 .
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
高等数学应用教程
3.1.1 拉格朗日中值定理
3.1.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义
曲 线 y f (x) 上 至 少 有 一 点
M (, f ( )) 的切线的斜率 f () 等 于 线 段 AB 的 斜 率
及 f (x) 的不可导点统称为函数的临界点。
求函数单调区间的方法归纳如下
1、求出函数 f (x) 的定义域。
2、求出函数 f (x) 所有临界点，这些点可能是函数 f (x)
单调区间的分界点。
3、把函数 f (x) 的定义域按临界点顺序分成若干个小区间
分别 讨论。
4、在 f (x) 0 的区间是单调增加，在 f (x) 0 的区间
高等数学应用教程
第3章 导数的应用
第 3 章 导数的应用
3.1 函数的单调性及凹凸性 3.2 函数的极值与最值 3.3 洛必达法则 3.4 曲率
高等数学应用教程
Hale Waihona Puke Baidu
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调与凹凸性
➢ 3.1.1 拉格朗日中值定理 ➢ 3.1.2 函数的单调性 ➢ 3.1.3 函数的凹凸性
义域划分为若干个区间，确定各个 区间上二阶导数 f (x) 的符号，即 可得出函数 f (x) 的凹凸区间及拐点.
高等数学应用教程 例4 解
列表讨论如下
3.1.3 函数的凹凸性
由表 3-2 可知，曲线在区间 (,0] 和 区间 [1, ) 上是凹的，在区间[0,1] 上 是凸的，拐点为点 (0,1) 和 (1,0) .
高等数学应用教程 例5
3.1.3 函数的凹凸性
课堂练习 P64 习题3-1： 4
高等数学应用教程 小结
3.1 函数的单调性与凹凸性
拉格朗日中值定理及几何意义 函数单调性的判定定理 临界点及单调区间的求法 曲线的凹凸及拐点的概念 函数凹凸性的判定定理 如何求函数的凹凸区间及拐点
作业
P64， 习题3-1: 2；3
反之,也有类似结论,从而有以下函数单调性的判定定理
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
而 即
高等数学应用教程
例2 解
3.1.2 函数的单调性
这两点把定义域分成3个小区间，列表讨论如下
高等数学应用教程 例3 解
3.1.2 函数的单调性
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
通常称函数 f (x)的导数 f (x) 0 的根（驻点）以
x 的增大而增大，即 f (x) 是单调增加的
则
f (x) 0
当曲线弧是凸时，切线的斜率随着 x 的 增大而减小，即 f (x) 是单调减少的
则
f (x) 0
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
讨论函数 f (x) 凹凸性的问题时， 可先求出使 f (x) 0 的点及 f (x) 不存在的点，这些点把 f (x) 的定
是单调减少。
高等数学应用教程
3.1.2 函数的单调性
课堂练习 P64 习题3-1： 1
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
定义3.1
3.1.3 函数的凹凸性
曲线弧 ¼ ABP 是凹的，曲线弧 P¼CD 是凸的， 点 P(x0 , f (x0 )) 是曲线的拐点.
当曲线弧是凹时，其切线的斜率随着