§4.4-5 线性空间的同构

§4.4 线性空间的同构下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。

设V 与V '都是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。

定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =，其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。

同构的线性空间具有如下性质。

定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0；（2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-；（3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则)()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ；（4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组；（5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。

证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。

（4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得011=++m m k k αα由（1）和（3）得0)()(11'=++m m k k ασασ所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。

反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得0)()(11=++m m k k ασασ即0)(11=++m m k k αασ因为σ是双映射，所以011=++m m k k αα ，从而m ααα,,,21 线性相关。

（5） 由（4）知)(,),(1n εσεσ 是V '的线性无关向量组。

对任意∈'αV '，因为σ是满映射，所以存在∈αV 使得αασ'=)(。

因为 n n x x εεα++= 11，则)()()(1111n n n n x x x x εσεσεεσα++=++='由定理4.2.1知V '是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。

□ 类似于定理3.2.8, 有如下结论。

定理4.4.2 设V V V ''',,都是数域P 上的线性空间。

如果σ为V 到V '的同构映射，τ是V '到V ''的同构映射，则（1）τσ是V 到V ''的同构映射；（2）1-ϕ是V '到V 的同构映射。

在数域P 上线性空间组成的集合中同构是一个等价关系。

因此，如果只涉及线性空间在线性运算下的代数性质，那么同构的线性空间具有相同的性质。

定理4.4.3设V 是数域P 上的n 维线性空间，则V 与n P 同构。

证明 设n εεε,,,21 是V 的一组基。

对V 中任一向量α，它可唯一地表示为n n x x x εεεα+++= 2211 。

令σ：V → nP ，n n x x x εεεα+++= 2211 → x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21，则σ是V 到nP 上的双映射，并且σ保持运算关系不变。

事实上，对∈k P 及V 中向量β，有 n n y y y εεεβ+++= 2211，n n n y x y x y x εεεβα)()()(222111++++++=+ ， n n kx kx kx k εεεα+++= 2211 。

因为==x )(ασ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21， =)(βσ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则)()()(βσασβασ+=+=+y x ，)()(ασασk kx k == ， 即σ是V 到n P 的同构映射。

因此，n 维线性空间V 与n P 同构。

□定理4.4.3说明在n 维线性空间V 中取定一组基以后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射。

因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论，n 维向量空间n P 的一些结论在一般的n 维线性空间中也成立。

定理4.4.4 数域P 上的两个有限维线性空间V 与V '同构的充分必要条件是它们的维数相同。

证明 必要性由定理4.4.1(5)即得。

下面证充分性。

设n V V ='=)dim()dim(。

由定理4.4.3知，V 与nP 同构，并且V '与nP 同构。

因为线性空间的统购是等价关系，所以V 与V '同构。

□§4.5 商空间设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的子空间。

我们可以在V 上定义一个关系“～”：对任意V ∈βα,，βα~当且仅当W ∈-βα， （4.5.1） 则这个关系是V 中的一个等价关系。

线性空间V 按等价关系～可构造商集~/V 。

因为等价关系～是由V 的子空间W 确定的，所以将~/V 称为线性空间V 对子空间W 的商集，记为W V /。

此商集的元素为等价关系～的等价类。

用[]α表示包含元素α的等价类。

对[]βα∈，则W ∈-αβ，从而存在W ∈γ使得W ∈+=γγαβ,。

反之，若V ∈β可表示为上述形式，则αβ~，从而[]βα∈。

因此，等价类[]α可表示为[]{|}W W αααγγ=+=+∈。

（4.5.2）通常称W +α为一个W 型的线性流形（manifold ），并称)dim(W 为线性流形W +α的维数。

线性流形W +α等于α确定的等价类[]α，于是}|{/V W W V ∈+=αα， （4.5.3）即商集W V /由V 的所有W 型的线性流形组成。

线性流形W +α中α称为代表元。

对V ∈βα,，由定理1.5.1知，[][]αβ=的充分必要条件是βα~。

因此，W W +=+βα当且仅当W ∈-βα。

（4.5.4）因为0[0]W W =+=，所以子空间W 也是一个线性流形。

定理4.5.1 若域P 上的n 元非齐次线性方程组 m n m P b P A b Ax ∈∈=⨯,,有解，则它的解集合是一个线性流形)(0A N +γ，其中0γ是b Ax =的一个解，)(A N 是A 的零空间。

证明 设线性方程组b Ax =的所有解组成的集合记为S ，则S A N ⊆+)(0γ。

任取S ∈γ，则)(0A N ∈-γγ。

于是)()(000A N +∈-+=γγγγγ，所以)(0A N S +⊆γ。

因此，)(0A N S +=γ。

□我们可以在线性空间V 对子空间W 的商集W V /上定义加法与数量乘法运算。

定理4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的子空间，对[],[]/V W αβ∈，P k ∈，令 [][]()()()[]W W W αβαβαβαβ+=+++=++=+， （4.5.5） []()[]k k W k W k αααα=+=+=， （4.5.6） 则W V /按上述加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

证明 （4.5.5）和（4.5.6）都用到线性流形的代表元，但一个线性流形的代表元可以有多种选取方式，因此我们首先证明（4.5.5）和（4.5.6）的结果不依赖于代表元的选取。

设W W W W +=+'+=+'ββαα,，由（4.5.4）得W W ∈-'∈-'ββαα,。

因为W 是V 的子空间，所以W ∈-'+-'=+-'+')()()()(ββααβαβα，W k k k ∈-'=-')(αααα，则由（4.5.4）得W k W k W W +=+'+'+=+'+'ααβαβα,)()(。

上式说明（4.5.5）和（4.5.6）定义了W V /上的加法与数量乘法，并且由定理4.5.2容易验证W V /按（4.5.5）和（4.5.6）定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

□W V /按上面定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。

这个线性空间称为线性空间V 对子空间W 的商空间，其零元素是0[0]W W =+=。

定理4.5.3 设W 是域P 上有限维线性空间V 的子空间，则)dim()dim()/dim(W V W V -=。

（4.5.7）证明 设m W n V ==)dim(,)dim(，m αα,,1 是W 的一组基。

把m αα,,1 扩充成V 的一组基n m m αααα,,,,,11 +。

任取W V W /∈+β，设n n x x x αααβ+++= 2211，则)()()()()()()()()(111111112211W x W x W x W x W W W x W x W x W x Wx x x W n n m m n n m m n n m m m m n n ++++=+++++++=+++++++++=++++=+++++++αααααααααααβ 。

这表明W V /中任一向量可经W W n m +++αα,,1 线性表示。

下面证明W W n m +++αα,,1 线性无关。

现设W W k W k n n m m =++++++)()(11αα ，则W W k k n n m m =+++++)(11αα ，从而W k k n n m m ∈++++αα 11。

于是 m m n n m m k k k k αααα---=++++ 1111 ，即01111=+++++++n n m m m m k k k k αααα 。

因为n m m αααα,,,,,11 +线性无关，所以011======+n m m k k k k ，因此W W n m +++αα,,1 线性无关，即W W n m +++αα,,1 是W V /的一组基，从而)dim()dim()/dim(W V m n W V -=-=。

□一般地，线性空间V 及其子空间W 都是无限维的，而商空间W V /是有限维的。

在这种情况下，定理4.5.4不适用。

定义4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的一个子空间，如果V 对子空间W 的商空间W V /是有限维的，则)/dim(W V 称为子空间W 在V 中的余维数（codimension ），记为W co V dim 或W co dim 。