高中数学应用题

函数、不等式型

1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3

a

y x x =

+--，其中3

（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品

所获得的利润最大．

解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以

1011, 2.2

a

a +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量22

10(6),3

y x x =+--

所以商场每日销售该商品所获得的利润

222

()(3)[

10(6)]210(3)(6),363

f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，

2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，

于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，

所以，当x=4时，函数

()f x 取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？

（2）年销售量关于x 的函数为)3

5

2(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利

润最大？最大利润为多少？

解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+

(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+

即：2

1800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得5

06

x << ……8分 （2）本年度的利润为

)55.48.49.0(3240)3

5

2(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f

则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2

'--=+-⨯=x x x x x f ……10分

由,39

5

,0)('==

=x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.

∴当95=x 时，20000)9

5

()(=f x f 取极大值万元， ……12分

因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分

所以当9

5

=

x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，

其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．

甲 乙

（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；

（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这

10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?

解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 2

1)(,)(==

由图知(1)f =41,故1k =41

又4

5

,25)4(2=∴=k g

从而)0(45

)(),0(41)(≥=≥=

x x x g x x x f .

（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.

)100(104

5

41)10()(≤≤-+=

-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665

)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .

当75.3,1665

,25m ax ===

x y t 此时时.

答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为

16

65

万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中

31

tan =α，13

2cos =

β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，

并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．

⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．