导热数值解法基础
传热学名词解释——章熙民(第六版)
名词解释这些名词解释都是学长自己从传热学课本中总结的，课本上有的基本上都在这里。
绪论：1.传热学：传热学是研究温差作用下热量传递过程和传递速率的科学。
2.热传递：自然界和生产过程中，在温差的作用下，热量自发地由高温物体传递到低温物体的物理现象。
3.导热（热传导）：是指物体各部分五项队位移或不同物体直接接触时依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。
（固液气中均可发生，但是在引力场的作用下，单纯的导热一般只发生在密实的固体中）4.热流密度q：单位时间内，通过物体单位横截面积上的热量——W/㎡。
5.热导率（导热系数）：单位厚度的物体具有单位温度差时，在它单位面积上每单位时间的导热量——W/(m*K)。
6.导热热阻：温度差的情形下，导热过程中，物体抵抗传热的能力——K/W。
7.对流（热对流）：在流体内部，仅依靠流体的宏观运动传递热量的现象称为热对流。
8.对流传热：工程上，流体在与它温度不同的壁面上流动时，两者间产生的热量交换，传热学中将这一过程称为“对流传热”过程。
9.表明面传热系数h：单位面积上，流体与壁面之间在单位温差下及单位时间内所能传递的热量——W/（㎡*K）。
10.对流传热热阻：温度差的情形下，对流过程中，物体抵抗传热的能力——K/W。
11.辐射（热辐射）：依靠物体表面对外发射可见和不可见的射线（电磁波，或者说光子）传递热量。
12.辐射力E：物体表面每单位时间、单位面积对外辐射的热量成为辐射力。
13.辐射传热：物体间靠热辐射进行的热量传递称为辐射传热。
14.传热过程：工程中所遇到的冷热两种流体隔着固体壁面的传热，即热量从壁一侧的高温流体通过壁传给另一侧低温流体的过程，称为传热过程。
15.传热系数K：单位时间、单位壁面积上，冷热流体间温差为1K时所传递的热量——W/(㎡*K)。
16.单位面积传热热阻：温度差的情形下，传热过程中，单位面积物体抵抗传热的能力——K/W。
第一章：导热理论基础1.温度场：温度场是指某一时刻物体的温度在空间上的分布，一般来说，它是时间和空间的函数。
04章-导热数值解法基础
4 导热数值解法基础
二、建立离散方程的方法
1、有限差分法（Taylor级数展开） 对节点(i+1, j)和节点(i-1, j)写出的函数t对(i, j)点泰勒级数 展开式： 2 2 3 3
t i 1, j t i , j Δ x ( t i 1, j t i , j
t Δx t Δx t ) i, j ( 2 ) i, j ( 3 ) i, j x 2! x 3! x t Δx 2 2 t Δx 3 3 t Δx ( ) i , j ( 2 ) i, j ( 3 ) i, j x 2! x 3! x
控制容积法中直接将能量守恒原理及傅里叶定律应用于节点代表的控制容积， 该方法物理概念清晰，推导过程简洁。对非均匀网格同样适用，只须将节点 间的不同距离反映到离散方程中，即Δx、 Δy 采用不同数值。
CUMT-SMCE
10/27
传热学 Heat Transfer
4 导热数值解法基础
4-2 稳态导热数值计算
传热学 Heat Transfer
4 导热数值解法基础
二、建立离散方程的方法
2、控制容积法（热平衡法） 流入流出微元体的净热流量 ＋ 微元体内热源生成热 = 微元体内能的增量 控制容积(i, j)的能量守恒方程为：
LP RP TP BP V E
当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 温度梯度，由于相邻节点之间的间距非常小， 可以认为相邻节点间的温度呈线性分布，如 图所示。
舍去第三项及以后的各项得：
t i , j t i 1, j t ( ) O ( x ) x i , j x
一阶导数的向后差分表达式
CUMT-SMCE
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
第5章-导热数值解法共61页文档
5.0 基本思想和求解步骤
一、基本思想
对把物原理来问在题时进间行、数空值间求坐解标的系基中本连思续想的 可物以理概量括的为场：（如导热物体的温度场）
用有限个离散点上的值的集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于 这些值的代数方程，来获得离散点上 被求物理量的值
二、求解步骤
结合二维矩形域内稳态、无内热源、常 物性的导热问题，说明求解过程的各个 步骤。
A11 A12 A13 t1 B1 A21 A22 A23t2B2 A31 A32 A33 t3 B3
(K)
2
y
If xy ，则：
2 t m 1 , n t m , n 1 t m , n 1 4 t m , n 0 ( L )
此式为式(H) 在 h0时的特例。
若只考虑（G）x向，则：
y 1 tm 1 ,n tm ,n 0 x 根据对称性，有：
(M )
t m 1 t m 1 ( N ) ( 5 1 5 )
平直边界第三类边界条件 绝热平直边界 外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1 t m 1 ,n tm ,n x
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
h y 1 t t m
tm 4 个1 ,n 相 邻tm 控 1 制,n体t向m 内,n 部1 节tm 点,n （ 1m ,4 nt）m ,n 代 表0
的控制体的导热量 = 0
(5 1 )
y1tm1,ntm,n y1tm1,ntm,n
x
x
x1tm,n1tm,n x1tm,n1tm,n 0
y
y
(F)
3. 可求解的条件
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
导热问题的数值解法简介
热平衡法示意图
i , j+1 i-1, j n i-1,j w s i, j-1 x e i+1, j
y
节点温差方程的建立
内部节点温度差分方程 对于二维稳态导热问题，内部节点（i , j）所代表的 控制容积在导热过程中的热平衡可表示为：从周围 相邻控制容积导入的热流量之和为零：
w e s n 0
其中aij、bi为常数，且aii 0
简单迭代法
1 t1 b1 a12t2 ... a1 jt j ... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ... a2 jt j ... a2ntn a22 1 tn bn an1t1 ... anj t j ... an n 1tn 1 ann
求解域的离散化
2、节点的选择
y
步长
x
每个节点代表以它为中心的子区域（或称为控制容积），节 点的温度就是子区域的温度。
求解域的离散化
2、节点的选择
i, j+1
i-1, j i, j i+1,的建立
建立节点温度差分方程的方法有两种：泰勒级数展 开法与控制容积热平衡法 控制容积热平衡法的基本思路是，根据节点所代表 的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立温度差 分方程。
节点温差方程组的求解
简单迭代法 设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 ... a1 j t j ... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ... a2 j t j ... a2 ntn b2 a t a t ... a t ... a t b nj j nn n n n1 1 n 2 2
罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。
这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
物理模型在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。
四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。
因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。
建立数学模型描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为：22220t t xy∂∂+=∂∂ （1）其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。
区域离散化用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
相邻两节点的距离称为步长，记为x ∆、y ∆。
本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。
节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。
为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。
数学模型离散化它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。
泰勒级数展开法以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。
对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式：2233441,,,,,,2342624m n m n m nm nm nm nt x t x t xtt t xx xxx +∂∆∂∆∂∆∂=+∆++++∂∂∂∂ （2）2233441,,,,,,2342624m n m n m n m nm nm nt x t x t xtt t xxxxx-∂∆∂∆∂∆∂=-∆+-++∂∂∂∂ （3）将式（2）、（3）相加得24421,1,,,,24212m n m n m n m nm nt xtt t t x xx+-∂∆∂+=+∆++∂∂ （4） 将（4）式改写成2,2m n t x∂∂的表达式，有21,,1,2,222()m n m n m n m nt t t t O x xx+--+∂=+∆∂∆ （5）这是用三个离散点上的值来计算二阶导数2,2m nt x∂∂的严格的表达式，其中符号2()O x ∆表示未明确写出的级数余项中x ∆的最低阶数为2。
06 第四章 导热问题数值解法基础 2010
2
0
9
二、边界节点离散方程的建立
第一类边界条件：给定温度（很好处理）
第二、三类边界条件：给定 q 或者 h (ti,j - tf)
ti , j ci , j
必须针对边界节点所在的网格单元，利用热平衡方 法予以导出.
i, j+1
例如， 图4-3 所示的边界节点
i-1, j
i, j i, j-1
x 3 ... （A）
i
3 ！
ti-1
ti
ti+1
t 2t ti 1 ti x 2 x i x
x 2 3t x 3 ...
i
2 ！
x 3
i
3 ！
（ B）
二阶微分的差分（A+B)
ti 1 2ti ti 1 2t x 2 i x 2
控制体热平衡法和控制容积积分法 利用傅里叶定律和能量守恒原理，对微元体进行分析，直 接导出方程。优点是推导过程的物理概念清晰、离散方程系数 具有一定物理意义、保证差分方程具有守恒特性。缺点是不便 于对离散方程进行数学特性分析。
5
1 泰勒(Taylor)级数展开法
ti 1 t 2t ti x 2 x i x
y
i, j j-1 i-1 i i+1 x j
时间的离散化
y
x
x
0， ， 2， ....
4
j+1
二、节点方程的建立方法
建立离散节点的温度应遵循方程的方法分为两大类 泰勒(Taylor)级数展开法和多项式拟合法 在导热微分方程的基础上，利用有限差分近似代替微分的 方法。偏重于从数学的角度进行推导，优点是便于对离散方程 进行数学特性分析，缺点是变步长网格的离散方程形式复杂、 导出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性。
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
V4-第四章-导热数值解法-2014
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
第5章-导热数值解法
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
导热数值解法基础zw.ppt
网格线 (grid lines) —沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇
6
导热数值解法基础
网格越密，节点越多，不连续节点温度的集合越逼 近分析解。但是解题花费时间越多。 当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对数值 计算结果基本上没有影响时，所得到的数值解称为 网格独立解（grid-independent solutions）
x tm,n1 tm,n
y
x y 2
qw
0
y x
qw
qw
(m,n)
19
导热数值解法基础
边界节点离散方程的建立方法
边界热流密度的三种情况
(a)绝热边界
qw 0
(b)热流密度为确定值 qw直接带入
(c)对流边界
qw h t f tm,n
20
导热数值解法基础
International Journal of Numerical Methods in Fluids, 1998,28: 1371-1387.
7
导热数值解法基础
4. 建立离散方程的方法
基本思想为用差商代替导数，用线性代数方程代 替导热微分方程。建立离散方程的方法基本上有两 种：泰勒级数展开法和热平衡法。热平衡法是学习 的重点。
对于导热问题：求解对象为导热物体的温度场
4
2. 物理问题数值求解的过程
导热数值解法基础
建立控制方程 及定解条件
确定节点
建立节点方程
（区域离散化） （方程离散化）
求解离散方程
是否收敛？ 是
解的分析
设温度场的 改 迭代初值 进
初
否
场
t a2t
Taylor级数展开法；热平 衡法；控制容积积分法等
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
传热学-4 导热问题数值解基础
hx
1 ti, j
ti1, j
ti, j1
x2 i, j
2
2hx
t
f
（c）内部角点
g
2
hx
3
ti,
j
2
ti1, j ti, j1
ti1, j
ti, j1
3x2 i, j
2
2hx
tf
三 节点差分方程的求解
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方 法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初 场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前 的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法， 称迭代计算收敛。
4-2 稳态导热问题的数值计算
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及 热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场 及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上 的结论。
4-2 稳态导热问题的数值计算
建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
j
y
y
x
x
i
I
除 i=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (i-1)j 个 节点均需建立离散方程，共有 (i-1)j 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。
4-2 稳态导热问题的数值计算
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各 项系数在整个求解过程中不再变化； 2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新； 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
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ti, j
ti1, j x
A. 温度对时间的向前差分
B. 温度对时间的中心差分
( t
)i, j
t k1 i, j
tki, j
( t
)i, j
t t k1 i, j
k 1 i, j
2
C. 温度对时间的向后差分
均匀网格：沿x和y方向是等步长的；
边界节点：网格线与物体边界的交点；
微元体：以每一个节点为中心的小区域；
2、 步骤
(i-1,j)
(i,j+1) (i,j)
N
(i+1,j)
1）划定网格线
2）确定节点
j
x0+iΔx, y0+jΔy
y
y
x x (i,j-1)
i
= (i , j)
3）每个节点为 中心划分单
二、 建立离散方程的常用方法：
(1)Taylor（泰勒）级数展开法； 应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶
导数用相应的差分表达式来代替，进而建立离散方 程。
(2) 热平衡法 将相邻节点间的温度分布视为线性，利用热平衡
原理，认为某一节点与周围各节点区域之间的总换 热量为0，进而建立离散方程的方法。
2 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法--就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给 定的定解条件下进行求解，得到温度与空间变量和时间变量之间的函 数关系式，通过这种关系式，获得物体内任意时刻的温度值，称为分 析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法--把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
第四章 导热问题的数值解法
8
第一节 建立离散方程的方法
t ti1, j ti, j 0(x) (4 1)
x i, j
x
一阶导数向前差
分表达式
第四章 导热问题的数值解法
13
1、泰勒级数展开法
3）同理，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j) 的温度ti-1,j
ti1, j
ti, j
t x
i, j
x
2t x2
i, j
x2 2!
3t x3
ti,
j 1
2ti, j y2
ti, j1
0
8）总结1-----一阶导数的各种差分形式
A. 温度对坐标的向前差分 （以x方向为例，下同）
(
t x
)i,
j
ti1, j ti, j x
C. 温度对坐标的向后差分
B. 温度对坐标的中心差分
(
t x
)i,
j
ti1, j ti1, j 2x
t (x )i, j
第四章 导热数值解法基础
主要内容
引言 第一节 第二节 第三节
建立离散方程的方法 稳态导热的数值计算 非稳态导热的数值计算
第四章 导热问题的数值解法
3
第四章 导热问题的数值解法
4
第四章 导热问题的数值解法
5
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算法；(3) 实验法
第四章 导热问题的数值解法
12
1、泰勒级数展开法
1）根据泰勒级数展开式，用节点(i,j）温度ti,j 来表示节点(i+1,j)，的温度ti+1,j时，展开式为
ti1, j
ti, j
t x
i, j
x
2t x2
i, j
x2 2!
3t x3
i, j
x3 3!
4t x4
i, j
x4 4!
(1)
2）移项整理并归并可得（一阶截差公式） 截断误差
一、区域和时间的离散化
1、描述：二维导热，矩形域内稳态无内热源，常 物性的导热问题
(i,j+1) (i-1,j)
(i,j) (i,j-1)
网格线：沿x和y方向分别按间距Δx和
Δy，用一系列与坐标轴平行的
网格线，把求解区域分割成许多
(i+1,j)
小的矩形网络，称为子区域。
节点：网格线的交点；
步长：相邻两节点的距离；
i, j
x3 3!
4t x4
i, j
x4 4!
(2)
4）移项整理并归并可得（一阶截差公式） 一阶导数向后 差分表达式
t ti1, j ti, j 0(x)
x i, j
x
(4 1)
t ti, j ti1, j 0(x)
x i, j
x
(4 2)
将式4-1 减去式42：
t ti1, j ti1, j o(x2 )
测试计算的方法。
3 三种方法的特点 (1)理论分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据；(什么意思???)
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种因素的影响清晰可见
第四章 导热问题的数值解法
7
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低(航天飞机)
第四章 导热问题的数值解法
15
7）举例
常物性，无内热源，二维稳态导热问题
A:首先写出通用微分表达式：
化
c t
(
x
t ) x
(
y
t ) y
(
z
t z ) qv
(1 19)
简
( t ) ( t ) 0
x x y y
2t 2t 0 x2 y2
ti1, j
2ti, j x2
ti1, j
离散点上的值的集合来代替，把原来在空间和时间上连续的物理量的
场转变为有限个离散的网格单元节点上的物理量的集合，通过求解按
一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求
物理量的值，称之为数值解；
6
(3) 实验法-- 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程利用相似理论搭建试验台，进行
x i, j
2x
一阶导数中心 差分表达式
14
5）若将式1和式2相加移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x2
ti1, j
2ti, j x2
ti1, j
o(x2 )
i, j
6）同样可得：
2t y2
ti, j1
2ti, j y2
ti, j1
o(y2 )
i, j
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX 的最低阶数为2
图4－导热问题数值求解示例
第四章 导热问题的数值解法
10
4) 划分单元网格后，物体内温度由原来连续函数成为 有限个离散数值，温度曲线成为阶梯状变化。
5) 列节点代数方程，求解有限个离散温度值
Δx=Δy时 i,j节点:
ti,j
1 4 (ti1, j
ti1, j
ti, j1
ti, j1 )
第四章 导热问题的数值解法