数列·例题解析

数列·例题解析

【例1】 求出下列各数列的一个通项公式

(1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252

，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的

通项公式为：．a =2n 12

n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为：

a n n n n =-+22121()()

． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：

a n n n n =-+()()

112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252

1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所

给数列的通项公式为．a =n n 2

2

【例2】 求出下列各数列的一个通项公式．

(1)2，0，2，0，2，…

(2)10000，，，，，，，， (131517)

(3)7，77，777，7777，77777，…

(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…

解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1．

所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的

通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ⎧⎨⎩

(2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617

67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2，

02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 7979797979

79797979

79

×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写

成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．2929292929

2929292929

291110

0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n

说明

1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．

2．对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，a n =n ；自然数的平方数列，a n ＝n 2；奇数数列，a n ＝2n －1；偶数数列，a n =2n ；

倒数数列，＝要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归a n 1n

) 纳出数列的通项公式．

3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．

【例3】 已知数列，，，，…则是这个数列的第25221125 几项．

解 4a =3n 1n n 77n 由所给数列的前项，，，可归纳得通项公式为．此时运用方程的思想问题转化为解关于正整数的方程，解得＝，即是该数列的第项．

252211253125-=-n 【例4】 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求数列的通项公式．

(1)S n ＝2n 2－3n (2)S n ＝n 2＋1

(3)S n ＝2n ＋3 (4)S n ＝(－1)n+1·n

解 (1)当n=1时，a 1=S 1＝－1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=(2n 2－3n)－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，因此a n =4n －5．

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1=1＋1＝2；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，由于a 1不适合于此等式，

因此，≥且∈．a = 2 n =12n 1

n 2n N *n -⎧⎨⎩ (3)当n ＝1时，a 1=S 1＝2＋3=5；

当n ≥2时，a n =S n －S n-1＝2n ＋3－(2n-1＋3)＝2n-1，由于a 1不适合于此等式，

因此，＝≥且∈．a 5 n =12 n 2n *n 1n N -⎧⎨⎩

(4)当n ＝1时，a 1＝S 1=(－1)2·1=1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=(－1)n+1·n －(－1)n ·(n －1)=(－1)n+1(2n －1)，由于a 1也适可于此等式，因此a n ＝(－1)n+1(2n －1)，n ∈N*．

说明 已知S n 求a n 时，要先分n ＝1和n ≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．

【例5】 a =a

1n(n 1)

(n 2)a 1n n 11已知＋≥，＝，-- (1)写出数列的前5项；

(2)求a n ． 解 (1)a =a (n 2)a =1a a n n 1123由已知＋≥，得＝·＝·--+-=+=+=111122132

3213291653

n n ()

() a a 45＝·＝·53143

531122112747415474120362095

+=+==+=+== (2)由第(1)小题中前5项不难求出．

a n n a n

n n =-=-2121()或