江苏省苏州中学高三数学上学期期中考试

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2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3},N ={x|log 2x ≤1},则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0,b >0,则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34,则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ,ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α,β,则α,β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0),直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1,a 2,…,a k ,a k+1,…,(其中k ∈N ∗),若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2,则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗),若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗),使得b k<a k<b k+1,其中k=1,2,…,m,则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”,则下列说法错误的是()A. 数列{b5}:2,4,8,16,32是数列{a4}:3,7,12,24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1},则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立,其中2≤k≤n,k∈N∗C. 数列{a3}:−3,−1,2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10),若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1,则公比q∈(2,2109)二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)=2−i(i为虚数单位),设复数z=(a+1)+(a−1)i,则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d},则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论,则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图,正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1,平面ABCD与平面DEFC互相垂直,P是AE上的一个动点,则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时,三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ,则n =______. 14. 已知数列{a n }是等差数列,a 1>0,a 3+3a 7=0,则使S n >0的最大整数n 的值为______.15. 某区域规划建设扇形观景水池,同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元,水池造价为每平方米400元,步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素),则水池面积最大值为______平方米.16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(1−x)=f(x),则f(x)的最小正周期为______;若对任意的x 1,x 2∈[0,12],当x 1≠x 2时,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π,则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4)),向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx)),记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R). (1)求f(x)表达式;(2)解关于x 的不等式f(x)≥1.18. 在下列条件:①数列{a n }的任意相邻两项均不相等,且数列{a n 2−a n }为常数列,②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗),③a 3=2,S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中,任选一个,补充在横线上,并回答下面问题. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,______. (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ; (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗),数列{b n }的前n 项和记为T n ,证明:T n <34(n ∈N ∗).19.在等腰直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,点D,E分别在边AB,BC上,CD=4.(1)若D为AB的中点,三角形CDE的面积为4,求证:E为CB的中点;(2)若BD=2AD,求△ABC的面积.20.如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC=2,BC=CD=1,∠CAD=30°,∠ACB=60°,M是PB上一点,且PB=3MB,N是PC中点.(1)求证:PC⊥BD;(2)若二面角P−BC−A大小为45°,求棱锥C−AMN的体积.−alnx(a>0).21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立,求实数m的取值范围.22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx,f′(x)为f(x)的导函数,求证:(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案和解析1.【答案】C【解析】解:集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3],N={x|log2x≤1}=(0,2],则M∩N= (0,2].故选:C.先化简集合N,再根据交集的运算即可求出.本题考查描述法、区间的定义,以及对数不等式的解法和交集的运算,属于基础题.2.【答案】B【解析】解:∵a>0,b>0,⇒∵ab<1,令a=4,b=18,则a+b>1,∴充分性不满足.⇐当a+b<1时,0<a<1且0<b<1,所以ab<1,∴a>0,b>0,ab<1a+b<1的必要不充分条件,故选:B.判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数,或使之不成立的数.本题考查了充分、必要条件的判断,可以列举出满足条件的具体数进行判断,属于基础题.3.【答案】D【解析】解:因为tanα=34,所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7. 故选:D .由已知利用二倍角的正弦公式,同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示,再求值即可.本题主要考查了二倍角的正弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.4.【答案】A【解析】解:∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x), ∴f(x)为偶函数,排除选项C ;当0<x <√3时,3x −x 3>0,sinx >0,∴f(x)>0, 当√3<x <π时,3x −x 3<0,sinx >0,∴f(x)<0, 故选:A .根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数,排除选项B ,再对比剩下选项,需考虑0<x <√3和√3<x <π时,f(x)与0的大小关系即可作出选择.本题考查函数的图象与性质,一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题. 由题意画出图形,把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示,然后代入数量积公式得答案. 【解答】解:如图,∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,且DE =2EF ,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18. 故选:C .6.【答案】D【解析】解:g(x)=lnx 定义域为(0,+∞),g′(x)=1x , 由题意得:lnα=1α,令t(x)=lnx −1x ,x ∈(0,+∞), 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点,t′(x)=1x +1x 2>0, 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增,又t(1)=−1<0,t(e)=1−1e >0,由零点存在性定理,α∈(1,e). 另外ℎ(x)=x 3−1,ℎ′(x)=3x 2,由题意得:β3−1=3β2,令s(x)=x 3−1−3x 2,则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点,s′(x)=3x 2−6x , 令s′(x)>0得:x >2或x <0,令s′(x)<0得:0<x <2,所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2), s(x)在x =0处取得极大值,s(0)=−1<0,在x =2处取得极小值, 故s(x)在(−∞,2)上无零点,因为函数在(2,+∞)上单调递增,且s(3)=27−1−27<0,s(4)=64−1−48>0,由零点存在性定理:β∈(3,4) 所以α<β. 故选:D .对g(x)=lnx 求导,构造函数t(x)=lnx −1x ,研究其单调性和零点,利用零点存在性定理求出α∈(1,e);同样的方法求出β∈(3,4),得到答案.本题主要考查新定义的应用,利用导数研究函数的单调性的方法,函数零点存在定理及其应用等知识,属于中等题.7.【答案】B【解析】解:设函数周期为T ,由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1,a 2,…,a k ,a k+1,…,(其中k ∈N ∗),易知a 2k+1−a 2k−1=T ,因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2,所以a 2k −a 2k−1=13T , 令顶点为(m,A),所以m −a 2k−1=T6, 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12,将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比,确定1与A 两个最大值的比例, 当x ∈[0,π2]时,π2×T 12T 6+T 12=π6,所以1A =sinπ6sin π2=12,所以A =2,故选:B .由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ,结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ,设出顶点坐标,结合图象找到对应比例可求得A .本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质,属于中档题.8.【答案】C【解析】解:对于A ,数列{b 5}:2,4,8,16,32,数列{a 4}:3,7,12,24, 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32,所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”,故A正确;对于B,因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1},所以b k<a k<b k+1,k=1,2,…,n,则b k+1<a k+1<b k+2,所以b k<a k<b k+1<a k+1,故b k<b k+1,a k<a k+1,所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列,故B正确;对于C,假设存在{b4}是{a3}:−3,−1,2的“等比分割数列”,所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4,因为−3<b2<−1,b1<−3,故q=b2b1∈(0,1),q=b3b2∈(0,1),因为−3<b2<−1,所以−1<b3<0,因为b4<2,则q=b4b3<0,产生矛盾,故假设不成立,故C错误;对于D,{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10),{b11}的首项为1,公比为q(q>1),所以b n=q n−1,n=1,2, (11)因为b n<a n<b n+1,n=1,2, (10)则q n−1<2n<q n,n=1,2, (10)故2<q<2n n−1,n=2, (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减,所以2<q<2109,即q∈(2,2109),故D正确.故选:C.利用“等比分割数列”的定义,对四个选项逐一分析判断即可.本题考查了数列的综合应用,考查了新定义问题,解决此类问题,关键是读懂题意,理解新定义的本质,把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中,运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可,属于难题.9.【答案】ACD【解析】解:∵3−ai1+i=2−i,∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i,∴a=−1,∴z=−2i,∴z为纯虚数,故选项A正确,∴z2=(−2i)2=−4,为实数,故选项B错误,∴z+z−=−2i+2i=0,故选项C正确,∴z⋅z−=(−2i)×2i=4,故选项D正确,故选:ACD.利用复数的四则运算求解.本题主要考查了复数的四则运算,是基础题.10.【答案】AD【解析】解:∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d},∴△=4a2+4(b−1)=0,即a2=1−b≥0,∴b≤1,故选:AD.由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d},得到△=0,求出b的取值范围即可.本题主要考查了一元二次不等式的应用,属于基础题.11.【答案】ABC【解析】解:对于A,函数定义域为R,f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;对于B,f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x),所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期,当x∈[0,π2]时,f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4),此时f(x)的最小值为1,当x∈(π2,32π]时,f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4),此时f(x)的最小值为−1,当x ∈(3π2,2π]时,f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4), 此时f(x)的最小值为−1,所以f(x)的最小值为−1,故B 正确;对于C ,当x ∈[0,π2]时,f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π, 令f(x)=0,可得x =5π4,7π4, 又f(x)为偶函数,所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点,故C 正确;对于D ,当x ∈(π2,π)时,sin|x|=sinx ,|cosx|=−cosx|, 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4), 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4),所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性,故D 错误; 故选:ABC .利用奇偶性定义可判断A ;由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x),确定2π为函数f(x)的一个周期,求出一个周期内函数的最小值,可判断B ;由于函数为偶函数,故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况,从而可得[−2π,2π]函数零点情况,可判断C ;确定(π2,π)上函数的解析式,可判断D .本题考查了分段函数的奇偶性,单调性,周期性,最值等相关知识,属于中档题.12.【答案】BD【解析】解:对于A ,连接DP ,CP ,易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62,故A 错误;对于B ,P 在直线AE 上运动时,△PBF 的面积不变,D 到平面PBF 的距离也不变,故三棱锥D −BPF 的体积不变,故B 正确;对于C ,如图,将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面,则当D 、P 、F 三点共线时,PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2,故C 错误;对于D ,将该几何体补成正方体,则外接球半径为√32,外接球表面积为3π,故D 正确.故选:BD .由题可知CP =√DP 2+CD 2,可判断A ;根据条件可知△PBF 的面积不变,D 到平面PBF 的距离也不变,可判断B ;将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面,即可判断C ;由正方体的性质可判断D .本题主要考查立体几何中的最值问题,锥体体积的计算,锥体的外接球问题等知识,属于中等题.13.【答案】−1【解析】解:由y =me x +xlnx ,得y′=me x +lnx +1, 则y′|x=1=me +1=3,即me =2, 又me =3+n ,∴3+n =2,即n =−1.故答案为:−1.求出原函数的导函数,再由函数在x=1处的导数值为3求得m值,然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,关键是熟记基本初等函数的导函数,是基础题.14.【答案】10【解析】解:数列{a n}是等差数列,a1>0,a3+3a7=0,∴a1+2d+3(a1+6d)=0,解得a1=−5d,d<0,∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n),∵d<0,n>0,∴S n>0时,n<11,∴使S n>0的最大整数n的值为10.故答案为:10.由等差数列通项公式求出a1=−5d,d<0,从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n),由此能求出使S n>0的最大整数n的值.本题考查等差数列的运算,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.【答案】400【解析】解:由题意,扇形的弧长AB为l=θr,扇形的面积为S=12θr²,由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104;化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗);又θr+2r≥2√2θr2,所以θr2+10√2θr2≤1200;设t=√2θr2,t>0,则t 22+10t ≤1200,解得−60≤t ≤40,所以当θr =2r =40时,面积S =12θr²的最大值为400. 故答案为:400.求出扇形的面积,得到关于θ,r 的不等式,利用基本不等式求出面积的最大值. 本题考查了利用数学知识解决实际问题,考查了扇形的面积,考查了基本不等式运用以及最值的计算问题,是中档题.16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解:因为f(1−x)=f(x),且f(x)是定义在R 上的奇函数, 所以f(−x)=−f(x), 则f(1−x)=−f(−x),则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x), 所以f(x)的最小正周期为2;因为对任意的x 1,x 2∈[0,12],当x 1≠x 2时,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π,不妨设x 1>x 2,则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2, 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2,故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数,所以当x ∈[0,12]时,f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0, 令g(x)=sinπx , 则y =sinπx −πx , 因为y′=πcosπx −π≤0,所以y =sinπx −πx 是单调递减函数,当x ∈[0,12]时,g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0, 即当x ∈[0,12]时,f(x)−πx ≥g(x)−πx , 故f(x)≥g(x),由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示,所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32].利用奇函数的定义结合已知的恒等式,可得f(2−x)=f(−x),利用周期的定义即可得到答案;将已知的不等式变形,利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数,从而f(x)−πx≥0,令g(x)=sinπx,由y=sinπx−πx是单调递减函数,得到g(x)−πx≤0,从而f(x)≥g(x),作出f(x)与g(x)的图像,即可得到答案.本题考查了函数性质的综合应用,函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用,函数单调性定义的应用,利用导数研究函数单调性的运用,考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用,属于中档题.17.【答案】解:(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4)),b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx)),f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3),所以f(x)=2sin(2x+π3);(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1,所以sin(2x+π3)≥12,即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z),解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z),所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z).【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简,得函数f(x)的表达式; (2)由正弦函数的性质,整体代换可得不等式的解集.本题考查了三角函数的恒等变换,解三角不等式,属于基础题.18.【答案】解:(1)选条件①时,数列{a n }的任意相邻两项均不相等,且数列{a n2−a n }为常数列,所以a n 2−a n =a 12−a 1=2,解得a n =2或a n =−1;所以数列{a n }为2,−1,2,−1,2,−1,......., 所以a n +a n−1=1(n ≥2), 即a n =−a n−1+1(n ≥2),整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2), 所以a 1−12=32,故数列{a n −12}是以32为首项,−1为公比的等比数列; 所以a n −12=32×(−1)n−1, 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1; 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1.选条件②时,S n =12(a n +n +1), 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1), 上面两式相减得:a n =12a n −12a n−1+12, 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2), 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2), 所以a 1−12=32,故数列{a n −12}是以32为首项,−1为公比的等比数列; 所以a n −12=32×(−1)n−1, 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1; 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1.选条件③时,a 3=2,S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中,转换为S n+1−S n−1=1(常数),即a n+1+a n =1, 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2), 即a n =−a n−1+1(n ≥2),整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2), 所以a 1−12=32,故数列{a n −12}是以32为首项,−1为公比的等比数列; 所以a n −12=32×(−1)n−1, 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1; 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1.(2)由(1)得:S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ,S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2, 所以:b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2),所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34.【解析】(1)选条件①时,利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式,进一步求出数列的和;选条件②时,利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式,进一步求出数列的和;选条件③时,利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式,进一步求出数列的和;(2)利用(1)的结论,进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果. 本题考查的知识要点:数列的递推关系式,数列的通项公式的求法及应用,数列的求和,分组法的求和,裂项相消法和放缩法,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.19.【答案】证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,D是AB的中点,∴CD是△ABC的中线,角平分线,高线,∴CD⊥AB,CD=AD,∴S△BCD=12×4×4=8,又S△CDE=4=12S△BCD,∴E为CB中点.解:(2)作CF⊥AB于F,∴∠AFC=∠BCF=90°,又∵△ABC是等腰直角三角形,∴CF=BF=AF=12AB,在直角三角形CFD中,CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2,设AD=x,∴BD=2AD=2x.∴AB=AD+BD=3x,∴CF=AF=BF=12AB=32x,∴CD2=CF2+(AF−AD)2,∴42=(32x)2+(32x−x)2,解得x=4√105,则AB=12√105,CF=6√105,∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725.【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可,(2)设出AD的长,再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD,再求AB及面积即可.本题考察等腰三角形的性质的应用,及勾股定理,属于中档题.20.【答案】(1)证明:因为AC=2,BC=1,∠ACB=60°,AC=2,所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°,整理得AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC,因为CD=1,∠CAD=30°,AC=2,所以CDsin30∘=ACsin∠ADC,所以sin∠ADC=1,所以∠ADC=90°,所以AD⊥CD,所以∠ACD=∠ACB=60°,所以BD⊥AC,因为PA⊥底面ABCD,所以PC在平面ABCD内投影是AC,所以PC⊥BD.(2)解:由(1)知BD⊥平面PAC,设点M到平面PAC距离为ℎ,因为BO=BC⋅sin60°=√32,又因为PB=3MB,所以ℎ=BO⋅23=√33,因为PB在平面ABCD内的投影是AB,BC⊥AB,所以BC⊥PB,所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角,所以∠PBA=45°,所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3,V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16.【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可;(2)用等体积法求解.本题考查了直线与平面的位置关系,考查了四面体体积问题,属于中档题.21.【答案】解:(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2,令f′(x)=0,则ax2−ax+1=0,①当△=a2−4a≤0,即0<a≤4时,f′(x)≥0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无递减区间;②当△=a2−4a>0,即a>4时,方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a,且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时,f′(x)>0,f(x)递增,当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时,f′(x)<0,f(x)递减,综上,当0<a≤4时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>4时,f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a),单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a);(2)若f(x)有两个极值点,由(1)知,a>4,且x1,x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根,∴x1+x2=1,x1x2=1a,∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am,∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am,∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am,即2m<lna+4a−2ln2−1,令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1,则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0,∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增,则ℎ(a)>ℎ(4)=0,∴m≤0,即实数m的取值范围为(−∞,0].【解析】(1)对函数f(x)求导,令f′(x)=0,然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系,进而得到单调性情况;(2)依题意,x1+x2=1,x1x2=1a ,则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1,令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1,求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围.本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查分离参数思想及分类讨论思想,考查运算求解能力,属于中档题.22.【答案】证明:(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx,当x∈(0,π)时,g′(x)=−2sinx−1x2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为g(π3)=3π−1+1>0,g(π2)=2π−1<0,所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α,即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α;(2)①由(1)可知,当x∈(0,α)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增,当x∈(α,π)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α,且α∈(π3,π2 ),所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0,又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点,又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点;②当x∈[π,2π)时,sinx≤0,f(x)≤lnx−x,设ℎ(x)=lnx−x,则ℎ′(x)=1x−1<0,故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减,所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0,故当x∈[π,2π)时,f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立,所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点;③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤lnx−x+2,令m(x)=lnx−x+2,则m′(x)=1x−1<0,故m(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以m(x)≤m(2π)<0,则当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上所述,f(x)有且仅有两个零点.【解析】(1)设g(x)=f′(x),利用导数研究函数g(x)的单调性,然后由零点的存在性定理证明即可;(2)分x∈(0,π),x∈[π,2π),x∈[2π,+∞)三种情况,分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况,结合零点的存在性定理进行分析证明即可.本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用,利用导数研究函数单调的运用,函数零点存在性定理的运用,解决函数零点或方程根的问题,常用的方法有:(1)方程法(直接解方程得到函数的零点);(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解);(3)方程+图象法(令函数为零,再重新构造两个函数,数形结合分析得解).属于中档题.。

江苏省苏州市数学高三上学期理数期中考试试卷

江苏省苏州市数学高三上学期理数期中考试试卷

江苏省苏州市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共12分)1. (1分)已知,若(其中i为虚数单位),则()A . a=-1,b=1B . a=-1,b=-1C . a=1,b=-1D . a=1,b=12. (1分)设a<b,函数y=(a﹣x)(x﹣b)2的图象可能是()A .B .C .D .3. (1分) (2015九上·沂水期末) 设全集,,,则()A .B .C .D .4. (1分) (2016高二上·吉林期中) 函数y=x3﹣的导数是()A . y′=3x2﹣B . y′=3x2﹣C . y′=3x2+D . y′=3x2+5. (1分) (2016高二上·九江期中) 已知﹣9,a1 , a2 ,﹣1四个实数成等差数列,﹣9,b1 , b2 , b3 ,﹣1五个实数成等比数列,则b2(a2﹣a1)=()A . 8B . ﹣8C . ±8D .6. (1分)平面向量与的夹角为60°,则()A .B .C . 4D . 127. (1分)(2017·江西模拟) 如图(1),五边形PABCD是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成,其中∠APD=120°,AB=2,现将△PAD进行翻折,使得平面PAD⊥平面ABCD,连接PB,PC,所得四棱锥P﹣ABCD如图(2)所示,则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为()A .B .C .D . 14π8. (1分) (2016高一下·内江期末) 下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列;其中真命题是()A . p1 , p2B . p3 , p4C . p2 , p3D . p1 , p49. (1分)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将移至()A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁10. (1分) (2016高一下·衡阳期中) 下列命题正确的是()A . 若,则• =0B . 若• = • ,则 =C . 若∥ ,∥ ,则∥D . 若与是单位向量,则• =111. (1分)若直线l:ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点,则3a﹣2b的最小值为()A .B . -C . 2D . -212. (1分) (2015高三上·太原期末) 已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x),若f(x)<2f′(x)恒成立,且f(ln4)=2,则不等式f(x)>的解集是()A . (ln2,+∞)B . (2ln2,+∞)C . (﹣∞,ln2)D . (﹣∞,2ln2)二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)已知集合P={x|2011≤x≤2012},Q={x|a﹣1≤x≤a},若P⊆Q,则实数a的集合为________.14. (1分)若θ∈(,),sin2θ=,则cosθ﹣sinθ的值是________15. (1分)(2017·运城模拟) 如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=3,∠BAC=60°,点D,E分别是边AB,AC上的点,且DE=2,则的最小值等于________.16. (1分) (2018高二下·温州期中) 若 ,则 ________, ________.三、解答题 (共6题;共11分)17. (2分) (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. ,,且.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若a=1,.求S△ABC .18. (1分) (2019高二上·集宁月考) 数列满足,,.(1)设,证明是等差数列;(2)求的通项公式.19. (1分) (2019高一下·三水月考) 在△ 中,角的对边分别为,且,.(1)求角的大小;(2)若,,求边的长和△ 的面积.20. (2分)(2020·茂名模拟) 设函数,曲线在点处的切线方程为 .(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)当时,若为整数,且,求的最大值.21. (2分)已知数列{an}的前n项和,求an .22. (3分)(2017·山东模拟) 已知函数f(x)=ax2ex+blnx,且在P(1,f(1))处的切线方程为(3e﹣1)x﹣y+1﹣2e=0,g(x)=(﹣1)ln(x﹣2)+ +1.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)的最小值与g(x)的最大值相等.参考答案一、单选题 (共12题;共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共11分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、第11 页共12 页22-2、第12 页共12 页。

2023届江苏省苏州市高三11月期中联考数学试题含答案

2023届江苏省苏州市高三11月期中联考数学试题含答案

2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数学2022.11一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合2{|4}A x x x,{|340}B x x,则A B()A.[0,)B.4[0,)3C.4(,4]3D.(,0)2.设复数z满足(1)2i z i,则||z ()A.12B.2C D.2 3.在ABC中,点N满足2AN NC,记BN a,NC b,那么BA()A.2a bB.2a bC.a bD.a b4.“sin cos1”是“sin20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.奇函数()f x在R上单调递增,若正数,m n满足1(2)(1)0f m fn,则1nm的最小值为()A.3 B.C.2 D.3 6.已知函数()sinf x x x(0)的周期为2 ,那么当2[0,]3x时,()f x的取值范围是()A.[,22B.[C.[,1]2D.[1,2]7.古时候,为了防盗、防火的需要,在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备.如图,梯子的长 度为a ,梯脚落在巷中的M 点,当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时,距地面的高度是h ,梯子的倾斜角正好是45 ,当梯子顶端放到左边墙上的P 点时,距地面的高度为6尺(1米=3 尺),此时梯子的倾斜角是75.则小巷的宽度AB 等于 ( )A .6尺B .a 尺C .(2h )尺D .2h a 尺8.已知实数2log 3a ,2cos36b,c,,a b c 的大小关系是 ( )A .b c aB .b a cC .a b cD .a c b 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,都有多个选项是正确的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9.已知非零实数,,a b c 满足a b c 且0a b c ,则下列不等关系一定正确的有( )A .c c a b B .2c a a c C .()()a a a b b c D .1(2,2c a 10.已知函数()cos 22cos cos3f x x x x ,则 ( )A .()f x 的最大值为1B .()()63f fC .()f x 在(,)126上单调递增 D .()f x 的图象关于直线4x对称11.在棱长为2的正方体中,,M N 分别是棱,AB AD 的中点,线段MN 上有动点P ,棱1CC 上点E 满足113C C C E .以下说法中,正确的有 ( ) A .直线1C P 与BE 是异面直线 B .直线1//C P 平面BDEC .三棱锥1C C MN 的体积是1D .三棱锥1C C MN 的体积是312.已知函数22()()()f x x x x ax b 的图象关于直线2x 对称,则 ( )A .5a bB .()f x 的最小值是3516C .()f x 图象与直线280x y 相切D .()f x 图象与直线12480x y 相切EP NMD 1C 1B 1A 1DCBAPha6ABMN三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 13.命题p :x R ,220x mx ,若“非p ”为真命题,则m 的取值范围是____.14.已知函数22,0,()|log |,0,x x f x x x则函数()2[()]g x f f x 的所有零点之积等于__.15.在ABC 中,已知B C ,31cos 32A,1cos()8B C ,那么tan B ____________. 16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111A B C D 的边长为1,往里第二个正方形为2222A B C D ,…,往里第n 个正方形为n n n n A B C D .那么第7个正方形的周长是____________,至少需要前____________个正方形的面积之和超过2.(本小题第一空2分,第二空3分,参考数据:lg 20.301 ,lg 30.477 ).四、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在锐角ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2sin 0b A .(1)求角B 的大小;(2)求cos cos cos A B C 的取值范围.▲ ▲ ▲18.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中,已知点(cos ,sin )E (其中0 ),将向量OE 逆时针方向旋转090,得到向量OF ,记(1,0)A ,(0,1)B .(1)求||AE AF的最大值;(2)试判断两向量AE 与BF的位置关系.▲ ▲ ▲A 3B 3C 3D 3A 2B 2C 2D 2A 1B 1C 1D 1. . .19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC 中,90ACB ,PA 底面ABC .(1)求证:平面PAC 平面PBC ;(2)若AC BC PA ,M 是PB 的中点,记AM 与底面ABC 所成角为 ,AM 与平面PBC 所成角为 ,试研究 与的等量关系.▲ ▲ ▲20.(本小题满分12分)已知首项14a 的数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意n N都有12n n a n S n. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记2n n n a c,数列{}n c 的前n 项和为n T ,有12111nA B T T T 恒成立,求B A 的最小值.▲ ▲ ▲21.(本小题满分12分)给定函数()(1)x f x x e . (1)判断函数()f x 的单调性,并求出()f x 的极值; (2)画出函数()f x 的大致图象;(3)求出方程()f x a (a R )的解的个数.▲ ▲ ▲22.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)(ln )f x x a x (实数0a ). (1)若实数*a N ,当(0,)x 时,()0f x 恒成立,求实数a 的最小值; (2)证明:1(1)3n n.▲ ▲ ▲PMA BC2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案 2022.11一、单项选择1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B8.解:由于cos36cos 45可得2cos36即b c .又由于 22213log 3log 2log 422a c .由于5832 ,5ln 38ln 2 ,28log 35a,12cos362 1.64b, 所以b a c .选B 项.二、多项选择9.BD 10.ABD 11.ABC 12.AD12.解:因为()y f x 图象关于直线2x 对称,当3x 时,(3)(1)0f f ,于是930a b ,当4x 时,(4)(0)0f f ,于是1640a b ,于是7a ,12b ,所以5a b .2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x ,令24t x x ,4t ,则2()(3)3g t t t t t ,4t ,因为2()3g t t t 图象开口向上,对称轴是32t,所以()g t 的最小值为94 .联立方程(1)(3)(4)82y x x x x y x,4x 是方程组的解,约分4x ,而方程(1)(3)2x x x 有三个解,所以()f x 与直线280x y 不能相切.函数()y f x 在4x 处的切线方程为12480x y .三、填空题13.( 14.2 15.9 16.500729,4 15解:由31cos 32A得到31cos cos sin sin 32B C B C ,由1cos()8B C 得到 1cos cos sin sin 8B C B C ,于是27cos cos 64B C ,35sin sin 64B C ,于是35tan tan 27B C .在ABC 中,tan tan tan()tan 1tan tan 31B C B C A B C,于是tan tan 9B C.再由35tan tan 27B C ,解方程组得到tan 9B 或tan 3B ,由于B C ,取tan 9B. 四、解答题17.解:(1)由正弦定理,2sin b R B ,2sin c R C ,代入2sin 0b A ,有22sin sin 2sin 0R B A R A ,因为A 是三角形的内角,sin 0A ,所以sin 2B, …………………2分 注:不说明sin 0A ,扣1分。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题1. 集合A ={−1,0,1},B ={y|y =sinx,x ∈R}则( )A . A ∩B =BB . A =BC . A ∪B =BD . C R A =B2. 复数z =11+i (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3. 若cos(π4−α)=35,则sin2α=A . 725B . 15C . −15D . −7254. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘~90∘之间角的三角函数值,而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值,则tan1600∘的值为( )(小数点后保留2位有效数字)5. 定义在区间(0,π2)上的函数y =3cosx 与y =8tanx 的图象交点为P(x 0,y 0),则sinx 0的值为( )A . 13 B . √33C . 23D . 2√236. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量,且满足12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A . 38B . 58C . 78D . 1987. 已知函数f(x)的定义域为R ,且f(x +2)=2−f(x),f(2−3x)为偶函数,若f(0)=0,∑n k=1f(k)=123,则n 的值为( ) A .117B .118C .122D .1238. 已知锐角ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a 2=b 2+bc ,则tanAtanB 的取值范围为( )A . (1,+∞)B . (1,√3)C . (0,1)D . (√3,+∞)9. 若z 1,z 2为复数,则下列四个结论中正确的是( )A . |z 1−z 2|2=(z 1+z 2)2−4z 1z 2B . z 1−z 1̅ 是纯虚数或零C . |z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2| 恒成立D .存在复数 z 1 , z 2 ,使得 |z 1z 2|<|z 1||z 2|10. 函数f(x)=tan(sinx +cosx),则下列说法正确的是( )A . f(x) 的定义域为 RB . f(x) 是奇函数C . f(x) 是周期函数D . f(x) 既有最大值又有最小值11. 在ΔABC 中,AC =3,AB =5,∠A =120∘,点D 是BC 边上一点,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAC⃗⃗⃗⃗⃗ +yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列说法正确的是( )A . BC =7B .若 x =y =0.5 ,则 AD =√192C .若 AD =√192 ,则 x =y =0.5D .当 AD 取得最小值时, x =519812. 已知函数f(x)={x +2x ≤0|lgx|x >0,方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根,则下列选项正确的为( )A .函数 f(x) 的零点的个数为2B .实数 m 的取值范围为 (−∞,32]C .函数 f(x) 无最值D .函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增13. 已知向量a =(4,−3), b ⃗ =(x,6),且a //b ⃗ ,则实数x 的值为_____ 14. 若函数f(x)=sin(ωx +π6),(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,且该函数图象关于点(x 0,0),(x 0>0)成中心对称,则x 0的最小值为______.15. 函数f(x)=2ax 2−ax ,若命题“∃x ∈[0,1],f(x)≤3−a ”是假命题,则实数a 的取值范围为___________.16. 设ΔABC 的三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C .若b 2+3a 2=c 2,则tanCtanB =______,tanA 的最大值是______.17. 设α∈(0,π),已知向量a =(√3sinα,1),b ⃗ =(2,2cosα),且a ⟂b⃗ . (1)求sinα的值; (2)求cos(2α+7π12)的值.18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2⟩的最小正周期为π,且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式;)个单位长度,得到函数g(x)的图象,g(x)在(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2]上是增函数,求θ的取值范围.[0,π419.已知z是复数,z+i和z都是实数,1−i(1)求复数z;(2)设关于x的方程x2+x(1+z)−(3m−1)i=0有实根,求纯虚数m.20.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米,圆心角∠AOB=60∘,点Q在OA上,点M,N在OB上,点P 在弧AB上,设∠POB=θ.(1)若矩形MNPQ是正方形,求tanθ的值;(2)为方便市民观赏绿地景观,从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计),使PS⟂OA,PT⟂OB,其中PT依PN而建,为让市民有更多时间观赏,希望PS+PT 最长,试问:此时点P应在何处?说明你的理由.21.ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3√2,bsin B+C2=√52asinB.(1)求sinA;(2)如图,点M为边AC上一点,MB=MC,∠ABM=π2,求ΔABC的面积.22.已知二次函数y=f(x)的图象与直线y=−6只有一个交点,满足f(0)=−2且函数f(x−2)是偶函数.g(x)=f(x)x(1)求二次函数y=f(x)的解析式;(2)若对任意x∈[1,2],t∈[−4,4],g(x)≥−m2+tm恒成立,求实数m的范围;(3)若函数y=g(|x|+3)+k·2|x|+3−11恰好三个零点,求k的值及该函数的零点.。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)

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江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题(1)若矩形MNPQ 是正方形,求tan θ的值;(2)为方便市民观赏绿地景观,从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计),使PS OA ⊥,PT OB ⊥,其中PT 依PN 而建,为让市民有更多时间观赏,希望PS PT +最长,试问:此时点P 应在何处?说明你的理由.21.ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,32,sin 2B a b +=(1)求sin A ;(2)如图,点M 为边AC 上一点,π,2MB MC ABM =∠=,求ABC 22.已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点,满足(2)f x -是偶函数.()()f x g x x=(1)求二次函数()y f x =的解析式;(2)若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立,求实数m (3)若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点,求k 的值及该函数的零点.参考答案:【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确;0=.5,则()1,2AD AB AC =+∴ 正确;由图知函数()f x 有2个零点,故函数()f x 没有最值,故C 选项正确;函数()f x 在()0,1上单调递减,在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立,设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时,0x =;当24n =时,1;7x k =±∴=,函数的零点为0,1±。

江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷

江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
4.【答案】(1,2)
【解析】解:函数푦
=
lg(푥−1)
2−푥 中,
令{푥2−−1푥
>0 > 0,
解得1 < 푥 < 2, 所以函数 y 的定义域为(1,2). 故答案为:(1,2).
根据函数的解析式列出不等式组,求出解集即可.
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本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题.
5公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档
题.
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
【解答】
解:设等比数列{푎푛}的公比为 q,
∵ 푎1 = 1,푎4 = 8,
∴ 푞3 =
푎4 푎1
=
8,解得푞
=
2,
则前 5 项和
푆5
=
1
× (1−25) 1−2
=
25−1 2−1
=
31

故答案为:31.
6.【答案】25
【解析】解: ∵ 푡푎푛훼 = 2,

푠푖푛훼 cos훼 + 2푠푖푛훼
=
1
푡푎푛훼 + 2푡푎푛훼
=
1
+
2 2
×
2
=
25.
2
故答案为:5.
由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.
本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
(2)若푓(푥) = 푎 ⋅ 푏,푥 ∈ [0,휋2],求푓(푥)的最大值及相应 x 的值.
17. 已知等比数列{푎푛}满足푎2 = 2 푎 푎 +1 푎
,且 2,
, 4成等差数列.

2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷

2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷

高三(上)期中数学试卷一、填空题(本大题共14小题,共70.0分)1. 已知集合A ={−2,−1,0,1,2},B ={x|x >0},则A ∩B =______.2. 已知复数z 满足z2+i =i(i 为虚数单位),则复数z 的实部为______. 3. 已知向量a ⃗ =(x,2),b ⃗ =(2,−1),且a ⃗ ⊥b ⃗ ,则实数x 的值是______. 4. 函数y =√2−x的定义域为______.5. 在等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=8,则前5项和S 5= ______ .6. 已知tanα=2,则sinαcosα+2sinα的值为______.7. “x >2”是“x >1”的______ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8. 已知函数y =sin2x 的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数y =sin(2x +π6)的图象,则φ的值为______. 9. 设函数f(x)={e x ,x ≥02x +1,x <0,则不等式f(x +2)>f(x 2)的解集为______.10. 已知函数f(x)=lnx −mx 的极小值大于0,则实数m 的取值范围为______. 11. 已知各项都为正数的等差数列{a n }中,a 5=3,则a 3a 7的最大值为______. 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3,E 为棱CD 上一点且满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6,则cosC =______.13. 若方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1,x 2,则cos(x 1−x 2)=______.14. 已知函数f(x)=3x 2−x 3,g(x)=e x−1−a −lnx ,若对于任意x 1∈(0,3),总是存在两个不同的x 2,x 3∈(0,3),使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3),则实数a 的取值范围为______.二、解答题(本大题共11小题,共142.0分)15. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,C =120°,c =7,a −b =2.(1)求a ,b 的值; (2)求sin(A +C)的值.16.已知向量a⃗=(cosx,√3cosx),b⃗ =(cosx,sinx).],求x的值;(1)若a⃗//b⃗ ,x∈[0,π2],求f(x)的最大值及相应x的值.(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ ,x∈[0,π217.已知等比数列{a n}满足a2=2,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=|a n−2n+1|,求数列{b n}的前n项和为T n.18.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧CD,下部是一个矩形ABCD,圆弧CD所米,∠COD=120°,现根据需要把此窑在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=√33洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在圆弧CD上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)求cosθ为何值时,矩形EFGH 的面积S 最大?19. 已知函数f(x)=√x −1√x .(1)求f(x)的图象在x =1处的切线方程; (2)求函数F(x)=f(x)−x 的极大值;(3)若af(x)≤lnx 对x ∈(0,1]恒成立,求实数a 的取值范围.20. 已知数列{a n }满足(n −1)a n+1=na n −a 1,n ∈N ∗.(1)证明:数列{a n }为等差数列;(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2−a 1=1,且对任意的正整数n ,都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43,求整数a 1的值;(3)设数列{b n }满足b n =a n +310,若a 2−a 1=15,且存在正整数s ,t ,使得a s +b t 是整数,求|a 1|的最小值.21. 已知二阶矩阵M =[a13b ]的特征值λ=−1所对应的一个特征向量为[−13]. (1)求矩阵M ;(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2=x ,求曲线C 的方程.22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcosβy =tsinβ(t 为参数,0<β<π2),若曲线C 被直线l 截得的弦长为√13,求β的值.23. 设正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,求证:ab+c +bc+a +ca+b ≥32.24. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手,已知甲击中目标的概率是34,甲、丙二人都没有击中目标的概率是112,乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立.(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率;(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.25. 如图,在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =a ,AA 1=b ,点E ,F 分别在棱BB 1,CC 1上,且BE =13BB 1,C 1F =13CC 1.设λ=ba .(1)当λ=3时,求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小; (2)当平面AEF ⊥平面A 1EF 时,求λ的值.答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解:∵集合A ={−2,−1,0,1,2},B ={x|x >0}, ∴A ∩B ={1,2}. 故答案为:{1,2}. 利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】−1【解析】解:由z2+i =i ,得z =i(2+i)=−1+2i . ∴复数z 的实部为−1. 故答案为:−1.把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【答案】1【解析】解:∵向量a ⃗ =(x,2),b ⃗ =(2,−1),且a ⃗ ⊥b ⃗ ,∴2x −2=0,求得x =1, 故答案为:1.由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算法则,求出x 的值. 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.4.【答案】(1,2)【解析】解:函数y =√2−x中,令{x −1>02−x >0, 解得1<x <2,所以函数y 的定义域为(1,2). 故答案为:(1,2).根据函数的解析式列出不等式组,求出解集即可.本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题.5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1=1,a4=8,∴q3=a4a1=8,解得q=2,则前5项和S5=1×(1−25)1−2=25−12−1=31.故答案为:31.6.【答案】25【解析】解:∵tanα=2,∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25.故答案为:25.由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.7.【答案】充分不必要【解析】解:当x>2时,x>1一定成立.当x>1时,x>2不一定成立,比如当x=32时,满足x>1时,但x>2不成立.∴“x>2”是“x>1”充分不必要条件.故答案为:充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.8.【答案】π12【解析】解:把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度,得到函数y=sin(2x+π6)=sin(2x+2φ)的图象,∴2φ=π6,则φ=π12,故答案为:π12.由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.9.【答案】(−1,2)【解析】解:根据题意可知函数f(x)在R上单调递增,则不等式f(x+2)>f(x2)等价于x+2>x2,即x2−x−2<0,解得−1<x<2,即不等式的解集为(−1,2)利用该分段函数的单调性可得x+2>x2,解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式,涉及函数单调性,不等式解法,属于中档题.10.【答案】(−∞,−1e)【解析】解:由f(x)=lnx−mx ,得f′(x)=x+mx2(x>0).令f′(x)=0,则x=−m,因为f(x)=lnx−mx的极小值大于0,所以−m>0,所以m<0,所以当x>−m时,f′(x)>0,当0<x<−m时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,−m)上单调递减,在(−m,+∞)上单调递增,所以f(x)极小值=f(−m)=ln(−m)+1>0,所以m<−1e,综上,m的取值范围为(−∞,−1e).故答案为:(−∞,−1e).对f(x)求导,根据f(x)=lnx−mx的极小值大于0,可得m<0,然后判断f(x)的单调性求出极小值,再由f(x)的极小值大于0,建立关于m的不等式,求出m的范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了运算能力,属中档题.11.【答案】9【解析】解:依题意,等差数列{a n }各项都为正数, 所以a 3>0,a 7>0, 所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9.当且仅当a 3=a 7=3时等号成立. 故答案为:9.因为等差数列{a n }各项都为正数,所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9.本题考查了等差中项的性质,考查了基本不等式,属于基础题.12.【答案】13【解析】解:如图,∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE =2ED , 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 (DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6, 得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6, 得−ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =−6, 得13CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1, ∴13×3×3cosC =1,∴cosC =13, 故答案为13.利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决. 此题考查了向量数量积的定义,向量加减法法则,难度不大.13.【答案】−35【解析】解:由方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1,x 2, 得cos(2x 1−π6)=cos(2x 2−π6), ∵x ∈(0,π),∴2x −π6∈(−π6,11π6),∴2x 1−π6+2x 2−π62=π,∴x 1=7π6−x 2.∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2).又cos(2x 2−π6)=35.∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)=−cos(2x 2−π6)=−35. 故答案为:−35. 由已知可得x 1+x 2=7π6,得到x 1=7π6−x 2,则cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2),结合已知得答案.本题考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象与性质,考查函数零点的判定及其应用,是中档题.14.【答案】[1,e 2−4−ln3)【解析】解:f(x)=3x 2−x 3,x ∈(0,3), f′(x)=6x −3x 2=3x(2−x),可得:函数f(x)在(0,2]上单调递增,在(2,3)上单调递减. 而f(0)=f(3)=0,f(2)=4. ∴f(x)∈(0,4]=A .g(x)=e x−1−a −lnx ,x ∈(0,3), g′(x)=e x−1−1x ,在x ∈(0,3)上单调递增, g′(1)=0,∴函数g(x)在(0,1]上单调递减,在(1,3)上单调递增.x →0+时,g(x)→+∞;g(1)=1−a ,g(3)=e 2−a −ln3. 令B =[1−a,e 2−a −ln3).对于任意x 1∈(0,3),总是存在两个不同的x 2,x 3∈(0,3),使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)⇔A ⊆B .∴1−a ≤0,且4<e 2−a −ln3. 解得1≤a <e 2−4−ln3.∴实数a 的取值范围为[1,e 2−4−ln3). 故答案为:[1,e 2−4−ln3).f(x)=3x2−x3,x∈(0,3),f′(x)=6x−3x2=3x(2−x),可得其单调性极值与最值,设其值域为A.g(x)=e x−1−a−lnx,x∈(0,3),g′(x)=e x−1−1x,在x∈(0,3)上单调递增,g′(1)=0,x→0+时,g(x)→+∞;g(1)=1−a,g(3)=e2−a−ln3.令B= [1−a,e2−a−ln3).对于任意x1∈(0,3),总是存在两个不同的x2,x3∈(0,3),使得f(x1)=g(x2)=g(x3)⇔A⊆B.即可得出实数a的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.15.【答案】解:(1)∵余弦定理cosC=a2+b2−c22ab,且c=7,C=120°,∴可得a2+b2+ab=49,∵a−b=2,∴b2+2b−15=0,∵b>0,∴可得b=3,a=5.(2)∵由(1)可知a=5,b=3,c=7,∴cosB=a2+c2−b22ac =1314,∵B为△ABC的内角,∴sinB=√1−cos2B=3√314,∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=3√314,∴sin(A+C)的值为3√314.【解析】(1)由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49,结合a−b=2,即可解得a,b的值.(2)由(1)及余弦定理可求cos B,根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值,利用两角和的正弦函数公式,诱导公式可求sin(A+C)的值.本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式,诱导公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.16.【答案】解:(1)∵a⃗=(cosx,√3cosx),b⃗ =(cosx,sinx),a⃗//b⃗ ,∴cosxsinx=√3cos2x,∴cosx(sinx−√3cosx)=0,∴cosx =0或sinx −√3cosx =0, 即cosx =0;或tanx =√3, ∵x ∈[0,π2],∴x =π2或x =π3;(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =cos 2x +√3cosxsinx =1+cos2x 2+√32sin2x =sin(2x +π6)+12∵x ∈[0,π2],∴2x +π6∈[π6,7π6],∴sin(2x +π6)∈[−12,1], ∴f(x)∈[0,32],故f(x)的最大值为32,此时x =π6.【解析】(1)利用向量共线得到三角方程,转化为三角函数求值问题,易解; (2)把数量积转化为三角函数,利用角的范围结合单调性即可得到最大值. 此题考查了向量共线,数量积,三角函数求值等,难度不大.17.【答案】解:(1)设等比数列的公比为q(q ≠0),∵a 2,a 3+1,a 4成等差数列,∴2(a 3+1)=a 2+a 4, ∵a 2=2,∴2(2q +1)=2+2q 2,解得q =2或q =0(舍). ∴a 1=a 2q=1.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1; (2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1,∴c n+1−c n =2n −2(n +1)+1−(2n−1−2n +1)=2n−1−2. ∴当n ≥3时,c n+1>c n . 又c 4=1>0,∴当n ≥4时,c n >0,即n ≥4时,b n =c n =2n−1−2n +1. ∵c 1=0,c 2=c 3=−1,∴b 1=0,b 2=b 3=1. ∴T 1=0,T 2=1,T 3=2,当n ≥4时,T n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b n=2+b 4+b 5+⋯+b n =2+(23+24+⋯+2n−1)−(7+9+⋯+2n −1) =2+23(1−2n−3)1−2−7+2n−12(n −3)=2n −n 2+3.综上,T n ={0,n =11,n =22,n =32n −n 2+3,n ≥4.【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比,进一步求得首项,则数列{a n }的通项公式可求;(2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1,作差可得当n ≥4时,c n >0,即n ≥4时,b n =c n =2n−1−2n +1,再求出数列{b n }的前3项,然后分类利用数列的分组求和求数列{b n }的前n 项和为T n .本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和,考查数列的函数特性,是中档题.18.【答案】解:(1)如下图所示,作OP ⊥CD 分别交AB ,GH 于点M ,N ,由四边形ABCD ,EFGH 是矩形,O 为圆心,∠COD =120°, 故OM ⊥AB.ON ⊥GH ,P 、M 、N 分别为CD ,AB ,GH 的中点. ∠CON =60°,在Rt △COP 中,CP =2,∠COP =60°,所以OC =43√3,OP =23√3, ∴OM =OP −PM =OP −BC =√33, 在Rt △ONG 中,∠GON =∠OGF =θ,OG =OC =43√3, ∴GN =43√3sinθ,ON =43√3cosθ,∴GH=2GN=83√3sinθ,GF=MN=ON−OM=43√3cosθ−√33,∴S=GF⋅GH=(43√3cosθ−√33)⋅83√3sinθ=83(4cosθ−1)sinθ,θ∈(0,π3).∴S关于θ的函数关系式为:S=83(4cosθ−1)sinθ,θ∈(0,π3).(2)根据(1),知:S′=83(4cos2θ−4sin2θ−cosθ)=83(8cos2θ−cosθ−4),∵θ∈(0,π3),∴cosθ∈(12,1).故令S′=0,解得cosθ=1+√12916∈(12,1).设θ0∈(0,π3)且cosθ=1+√12916,∴S′>0,得0<θ<θ0,即S在(0,θ0)单调递增,S′<0,得θ0<θ<π3,即S在(θ0,π3)单调递减,∴当θ=θ0时,S取得最大值,∴当cosθ0=1+√12916时,矩形EFGH的面积S最大.【解析】本题第(1)题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理,找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;第(2)题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析,算出S′=0时的cosθ的值,三角计算即可得出结果.本题主要考查根据图形进行计算,掌握运用直角三角形勾股定理知识,三角函数的计算,函数的一阶导数分析能力.本题属中档题.19.【答案】解:(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x+2x√x,∴f′(1)=1.f(1)=0,∴切点(1,0).∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为:y=x−1.(2)F(x)=f(x)−x=√x√x−x(x>0).F′(x)=2√x2x√x1,∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减,又F′(1)=0.x∈(0,1)时,F′(x)>0,函数F(x)在(0,1)上单调递增;x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,函数F(x)在(0,1)上单调递减.∴x=1时,函数F(x)取得极大值,F(1)=−1.(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x),x∈(0,1],∴g′(x)=1x −a2(x x x)=√x)2√x−a2x x.①a≤0时,g′(x)>0,对x∈(0,1]恒成立,∴g(x)在x∈(0,1]单调递增.又g(1)=0,∴∃x0∈(0,1]时,g(x0)<0,与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立矛盾,舍去.②a≥1时,设u(x)=−a(√x)2+2√x−a,x∈(0,1],△=4−4a2≤0,∴u(x)≤0,∴g′(x)≤0,对x∈(0,1]恒成立,∴g(x)在x∈(0,1]单调递减.又g(1)=0,∴g(x)≥g(1)=0,这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立,∴a≥1成立.③0<a<1时,设u(x)=−a(√x)2+2√x−a,x∈(0,1],△=4−4a2>0,由u(x)=0,解得:√x1=1−√1−a2a =2∈(0,1);√x2=1+√1−a2a>1.∴0<x1<1<x2.∴x∈(x1,1)时,u(x)>0,∴g′(x)>0,∴g(x)在x∈(x1,1)单调递增.又g(1)=0,∴g(x1)<g(1)=0,这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立,舍去.综上可得:a≥1成立.【解析】(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x2x√x,可得f′(1)=1.切点(1,0).利用点斜式即可得出切线方程.(2)F(x)=f(x)−x=√x√x −x(x>0).F′(x)=2√x+2x√x1,F′(x)在(0,+∞)上单调递减,而F′(1)=0.即可得出单调性与极值.(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x ),x∈(0,1],∴g′(x)=1x−a2(√x+x√x)=√x)2√x−a2x√x.a分类讨论,令u(x)=−a(√x)2+2√x−a,x∈(0,1],△=4−4a2,利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【答案】证明:(1)数列{a n}满足(n−1)a n+1=na n−a1,n∈N∗.①当n≥2时,(n−2)a n=(n−1)a n−1−a1,n∈N∗②①−②得(n−1)a n+1−2(n−1)a n+(n−1)a n−1=0,所以a n+1−2a n+a n−1=0,所以数列{a n}为等差数列.(2)由(1)得a2−a1=1,所以数列的公差为1,由于对任意的正整数n ,都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43,所以13<1S 1<43,则34<S 1<3,即34<a 1<3.所以1S 1+1S 2=1+13=43,这与题意相矛盾,所以a 1≠1.当a 1=2时,a n =n +1, 所以S n =n(n+3)2>0,1S 1=12>13,1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n>13恒成立.由于1S n=23(1n −1n+3),所以1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n=23(1−14+12−15+13−16+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n −1n+3),=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)<119<43.综上所述a 1=2.(3)由于a 2−a 1=15,所以数列{a n }的公差d 为15, 所以a n =a 1+15(n −1), 则b n =a 1+15n +110,由题意知设存在正实数s 和t ,使得a s +b t =l , 则a 1+s5+a 1+t5+110=l ,则20a 1=2(5l −s −t)+1由于5l −s −t ∈Z ,所以2(5l −s −t)为偶数,所以|20a 1|≥1,所以|a 1|≥120. 当a 1=120时,b 4=1920, 所以存在a 1+b 4=l ∈Z , 综上所述,|a 1|=120.【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用,利用等差中项进行证明. (2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明. (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值.本题考查的知识要点:等差数列的证明和通项公式的应用,裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用,假设法在数列的通项公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.21.【答案】解:(1)依题意,得[a 13b]⋅[−13]=[1−3],即{−a +3=1−3+3b =−3,解得{a =2b =0, ∴M =[2130].(2)设曲线C 上一点P(x,y)在矩阵M 的作用下得到曲线y 2=x 上一点P′(x′,y′),则 [x′y′]=[2130]⋅[xy ],即{x′=2x +y y′=3x .∵y′2=x′, ∴9x 2=2x +y ,∴曲线C 的方程为y =9x 2−2x .【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式,转化成线性方程组可得a 、b 的值,即可得到矩阵M ;第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式,通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程.本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力,以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程.本题属中档题.22.【答案】解:曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数),转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4.转换为直角坐标方程为y =k(x −1)(k =tanβ), 由于曲线C 被直线l 截得的弦长为√13, 所以圆心到直线的距离d =√4−134=√32=√3−k|2,解得k =±√3, 由于0<β<π2, 所以k =tanβ=√3, 解得β=π3.【解析】首先利用转换关系式的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.23.【答案】证明:由于a +b +c =1,则a b+c +b c+a +c a+b =1−(b+c)b+c+1−(c+a)c+a+1−(a+b)a+b=1b+c+1c+a +1a+b −3,对于正数a ,b ,c ,由柯西不等式 [(b +c)+(c +a)+(a +b)](1b+c+1c+a+1a+b)≥(√b +c √b+c√c +a ⋅√c+a√a +b ⋅√a+b )2=9, 所以1b+c +1c+a +1a+b ≥92,从而ab+c +bc+a +ca+b ≥92−3=32,当且仅当a =b =c =13时取等号,【解析】根据条件及要证的不等式左端结构,可先将分子化为1,再配凑柯西不等式. 本题主要考查柯西不等式,关键在于配凑出柯西不等式的代数结构.24.【答案】解:(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ,B ,C ,则P(A)=34,且有{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14,即{(1−34)[1−P(C)]=112P(B)P(C)=14, 解得P(B)=38,P(C)=23.∴乙击中目标的概率为38,丙击中目标的概率为23. (2)由题意X 的可能取值为0,1,2, P(X =2)=14,P(X =0)=P(B −)P(C −)=58×13=524, P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=1324,∴X 的分布列为:E(X)=0×524+1×1324+2×14=2524.【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ,B ,C ,则P(A)=34,且{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14,由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率.(2)由题意X 的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列和E(X). 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.25.【答案】解:(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1,∴AA 1⊥平面ABC ,∵AB ,AC ⊂平面ABC ,∴AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC , ∵∠BAC =90°,∴建立分别以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系,设a =1,则AB =AC =1,AA 1=3,∴A(0,0,0),E(1,0,1),A 1(0,0,3),F(0,1,2), AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1), ∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1, ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=−12,∴向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120°. ∴异面直线AE 与A 1F 所成角为60°.(2)∵E(a,0,b3),F(0,a ,2b3),∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,b3),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,2b3), 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ,z), 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +b3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay +2b3z =0,取z =1,得m ⃗⃗⃗ =(−λ3,−2λ3,1), 同理得平面A 1EF 的一个法向量p ⃗ =(2λ3,λ3,1),∵平面AEF ⊥平面A 1EF , ∴m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−2λ29−2λ29+1=0,解得λ=23.∴当平面AEF ⊥平面A 1EF 时,λ的值为23.【解析】(1)推导出AA 1⊥平面ABC ,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ,建立分别以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系,利用法向量能求出异面直线AE 与A 1F 所成角. (2)推导出平面AEF 的法向量和平面A 1EF 的一个法向量,由平面AEF ⊥平面A 1EF ,能求出λ的值.本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.。

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

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江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)注意事项:1.本试卷共4页.满分160分,考试时间120分钟.2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸...相应的位置)1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|0}B x x =>,则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果. 【详解】解:集合{2,1,0,1,2}A =--,{|0}B x x =>,{1,2}A B ∴=,故答案为:{1,2}.【点睛】本题考查集合交集的运算,是基础题. 2.已知复数z 满足2zi i=+(i 为虚数单位),则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解:由2zi i=+,得(2)12z i i i =+=-+, ∴复数z 的实部为−1, 故答案为:−1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量(,2)a x =,(2,1)b =-,且a b ⊥,则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直,利用向量垂直的坐标运算,列方程求出x 的值. 【详解】解:∵向量(,2)a x =,(2,1)b =-,且a b ⊥, ∴220x -=,解得1x =, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算,属于基础题. 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零,分母不为零,被开方数不小于零,列不等式求解即可.【详解】解:由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩,解得12x <<,函数的定义域为(1,2), 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查函数定义域的求法,是基础题.5.等比数列{}n a 中,11a =,48a =,n S 是{}n a 的前n 项和,则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,11a =,48a =,3418a q a ∴==,解得2q ,则前5项和55213121S -==-,故答案为:31.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了学生的计算能力,属于基础题. 6.已知tan 2α=,则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α,可将目标式转化为用tan α来表示,再代入tan α的值即可求得结果.【详解】解:sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++, 代入tan 2α=得,原式22145==+, 故答案为:25.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,当目标式是分式且分子分母均为sin α,cos α的齐次式时,可分子分母同时除以cos α,达到变形的目的,本题是基础题.7.“2x >”是“1x >”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个) 【答案】充分不必要 【解析】试题分析:因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立,所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件. 考点:充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较,列方程求解. 【详解】解:把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度,得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象, 26πϕ∴=, 则12πϕ=,故答案为:12π.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,属于基础题.9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩,则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论,分别求出解集,再取并集,即得所求. 【详解】解:当20x +<时,由()2(2)f x f x+>得:22(2)1x x e++>,20x +<,2(2)11x ∴++<,又201x e e ≥=,22(2)1x x e ∴++>无解;当20x +≥时,由()2(2)f x f x+>得:22x x ee +>,22x x ∴+≥,解得:12x -<<,∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-,故答案为:(1,2)-.【点睛】本题考查分段函数的应用,指数不等式的解法,是基础题.10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0,则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导,求出极小值点,然后判断()f x 的单调性求出极小值,再由()f x 的极小值大于0,建立关于m 的不等式,求出m 的范围. 【详解】解:由()ln m f x x x =-,得2()(0)x m f x x x'+=>, 令()0f x '=,则x m =-, 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0, 必有极小值点0m ->,故0m <,所以当x m >-时,()0f x '>,当0x m <<-时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,)m -上单调递减,在(,)m -+∞上单调递增, 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>,所以1m e<-, 综上,m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,故答案为:1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了运算能力,属中档题. 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中,53a =,则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数,利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值.【详解】解:依题意,等差数列{}n a 各项都为正数, 所以370,0a a >>,所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭. 当且仅当373a a ==时等号成立. 故答案为:9.【点睛】本题考查了等差中项的性质,考查了基本不等式,属于基础题.12.已知菱形ABCD 的棱长为3,E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =,若6AE EB ⋅=-,则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决. 【详解】解:如图,2CE ED =,CE 2ED ∴=,由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-, 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-, 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-,得(1CE ED CB -⋅=),即1ED CB ⋅=,即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=, 1cos 3C ∴=,故答案为13. 【点睛】此题考查了向量数量积的定义,向量加减法法则,难度不大. 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ,2x ,则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=,得到1276x x π=-,则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭,结合已知得答案.【详解】解:由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ,2x , 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭, 1222662x x πππ-+-∴=,1276x x π∴=-, ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭,又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为:35. 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质,特别是对称性的应用是关键,是中档题.14.已知函数23()3f x x x =-,1()ln x g x ea x -=--,若对于任意1(0,3)x ∈,总是存在两个不同的2x ,3(0,3)x ∈,使得()()()123f x g x g x ==,则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ,利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ,根据题意可得A B ⊆,列不等式即可求得实数a 的取值范围.【详解】解:23()3f x x x =-,(0,3)x ∈,2()633(2)f x x x x x '=-=-,可得:函数()f x 在(0,2]上单调递增,在(2,3)上单调递减. 而(0)(3)0,(2)4f f f ===.()(0,4]f x A ∴∈=.1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈,11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增, 又(1)0g '=,∴函数()g x 在(0,1]上单调递减,在(1,3)上单调递增.0x +→时,2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--.令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣.对于任意1(0,3)x ∈,总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈, 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆.10a ∴-≤,且24ln 3e a <--.解得214ln 3a e ≤<--. ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣,故答案为:)21,ln34e ⎡--⎣.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,120C ︒=,7c =,2a b -=. (1)求a ,b 的值; (2)求sin()A C +的值.【答案】(1)5a =,3b =(2)14【解析】 【分析】(1)由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=,结合2a b -=,即可解得a ,b 的值. (2)由(1)及余弦定理可求cos B ,根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值,利用两角和的正弦函数公式,诱导公式可求sin()A C +的值. 【详解】解:(1)由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=,2a b -=,22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得:22150b b +-=, 因为0b >,解得:3b =,5a =, 综上:5a =,3b =.(2)由(1)知5a =,3b =,7c =,所以22213cos 214a cb B ac +-==,因为B 为ABC ∆的内角,所以sin B ==,因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==,所以sin()A C +的值为14. 【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,诱导公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.16.已知向量(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =. (1)若//a b ,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求x 的值; (2)若()f x a b =⋅,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】(1)2x π=或3x π=.(2)最大值为32,此时6x π=. 【解析】 【分析】(1)根据向量平行的坐标运算,列方程求解;(2)根据数量积的坐标运算,利用三角公式,将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式,利用三角函数的性质求最值.【详解】解:(1)因为,(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =.,//a b ,所以2cos sin x x x =,所以cos (sin )0x x x =,所以cos 0x =或sin 0x x =,即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2x π=或3x π=; (2)因为(cos )a x x =,(cos ,sin )b x x =,所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以()f x 的最大值为32,此时6x π=. 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题,考查三角函数的恒等变换,以及三角函数的图像和性质,难度不大,但综合性较强.17.已知等比数列{}n a 满足22a =,且2a ,31a +,4a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设21n n b a n =-+,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】(1)12n n a . (2)20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】(1)由已知列式求得等比数列的公比,进一步求得首项,则数列{}n a 的通项公式可求;(2)设121221n n n c a n n -=-+=-+,作差可得当4n ≥时,0n c >,即4n ≥时,1221n n n b c n -==-+,再求出数列{}n b 的前3项,然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T .【详解】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为q (不为0),2a ,31a +,4a 成等差数列,()32421a a a ∴+=+,22a =,所以22(21)22q q +=+,解得2q 或0q =(舍),211a a q∴==, ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ; (2)设121221n n n c a n n -=-+=-+,()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-,∴当3n ≥,1n n c c +>,又410c =>,所以4n ≥时,0n c >,即4n ≥时,1221n n n b c n -==-+,因为10c =,21c =-,31c =-,所以10b =,21b =,31b =,所以10T =,21T =,32T =,当4n ≥时,123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-, 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和,考查数列的函数特性,是中档题.18.如下图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ,下部是一个矩形ABCD ,圆弧CD 所在圆的圆心为O ,经测量4AB =米,3BC =米,COD 120︒∠=,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ,其中E ,F 在边AB 上,G ,H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=,矩形EFGH 的面积为S .(1)求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式;(2)求cos θ为何值时,矩形EFGH 的面积S 最大?【答案】(1)8(4cos 1)sin 3S θθ=-,πθ0,3(2)1129cos θ+=【解析】【分析】(1)结合几何图形计算的直角三角形勾股定理,找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式;(2)对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析,算出0S '=时的cos θ的值,三角计算即可得出结果.【详解】解:(1)如图,作OP CD ⊥分别交AB ,GH 于M ,N ,由四边形ABCD ,EFGH 是矩形,O 为圆心,120COD ︒∠=,所以OM AB ⊥,ON GH ⊥,P ,M ,N 分别为CD ,AB ,GH 中点,60CON ︒∠=,在Rt COP ∆中,2CP =,60COP ︒∠=, 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=, 在Rt ONG ∆中,GON OGF θ∠=∠=,433OG OC ==所以433GN θ=,433ON θ=, 所以8233GH GN θ==,43333GF MN ON OM θ==-=-, 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭,πθ0,3, 所以S 关于θ的函数关系式为:8(4cos 1)sin 3S θθ=-,πθ0,3 (2)由(1)得:()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3, 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,令0S '=,得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭,设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且01cos 16θ+=, 所以0S '>,得00θθ<<,即S 在()00,θ单调递增,0S '<,得03πθθ<<,即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时,S 取得最大值,所以当1cos 16θ+=时,矩形EFGH 的面积S 最大. 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算,掌握运用直角三角形勾股定理知识,三角函数的计算,函数的一阶导数分析能力,本题属难题.19.已知函数()f x=(1)求()f x 的图像在1x =处的切线方程;(2)求函数()()F x f x x =-的极大值;(3)若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)1y x =-.(2)-1;(3)1a ≥【解析】【分析】(1)由函数()f x=()f x ',求出(1)f '和切点坐标,利用点斜式即可得出切线方程.(2)由()()(0)F x f x x x x=-=->,求得()F x ',分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点,即可得出()F x 单调性与极值.(3)令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈,求出()g x ',对a 分类讨论,利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围.【详解】解:(1)因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=, 因为()y f x =经过(1,0),所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-;(2)因为()F x x=-,0x >, 所以()1F x '=-, 又()F x '在(0,)+∞递减,(1)0F '=,所以在(0,1)x ∈,()0F x '>,即()F x 在(0,1)递增;在(1,)x ∈+∞,()0F x '<,即()F x 在(1,)+∞递减,所以在1x =处,()F x 取极大值,(1)1F =-;(3)设()ln ()ln g x x af x x a=-=-,(0,1]x ∈,所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时,()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立,所以()g x 在(0,1]递增,又(1)0g =,所以0(0,1)x ∃∈时,()00g x <,这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾,舍去;②1a ≥时,设2()x a a ϕ=-+,(0,1]x ∈,2440a ∆=-≤,所以()0x ϕ≤,(0,1]x ∈,所以()0g x '≤对(0,1]恒成立,所以()g x 在(0,1]递减,又(1)0g =,所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立,所以1a ≥成立;③01a <<时,设2()x a a ϕ=-+,(0,1]x ∈,2440a ∆=->,解()0x ϕ=得两根为1x ,2x1=>,(0,1)==, 所以101x <<,21>x ,所以()1,1x x ∈,()0x ϕ>,()0g x '>,所以()g x 在()1,1x 递增,又(1)0g =,所以()1()01x g g <=,这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾,舍去,综上:1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.(1)证明:数列{}n a 为等差数列;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若211a a -=,且对任意的正整数n ,都有12311111433n S S S S <++++<,求整数1a 的值;(3)设数列{}n b 满足310n n b a =+,若2115a a -=,且存在正整数s ,t ,使得s t a b +是整数,求1a 的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)2;(3)120 【解析】【分析】(1)令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -,又得一式,将两式做差变形,利用等差中项进行证明;(2)利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明.(3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值.【详解】解:(1)因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时,11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=,所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列;(2)因为211a a -=,所以{}n a 的公差为1,因为对任意的正整数n ,都有12311111433n S S S S <++++<, 所以111433S <<,所以1334S <<,即1334a <<, 所以11a =或2,当11a =时,22a =,11S =,23S =,所以121114133S S +=+=,这与题意矛盾,所以11a ≠, 当12a =时,1n a n =+,(3)02n n n S +=>, 111123S =>,123111113n S S S S ++++>恒成立, 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭, 综上,1a 的值为2.(3)因为2115a a -=,所以{}n a 的公差为15, 所以11(1)5n a a n =+-, 所以111510n b a n =++, 由题意,设存在正整数s ,t ,使得s t a b l +=,l Z ∈,则111155510s t a a l +-+++=,即1202(5)1a l s t =--+, 因为5l s t Z --∈, 所以2(5)l s t --是偶数,所以1201a ≥,所以1120a ≥, 当1120a =时,41920b =, 所以存在141a b Z +=∈,综上,1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点:等差数列的证明和通项公式的应用,裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用,假设法在数列的通项公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,难度较大.【选做题】本题包括21.22.23三小题,请选定其中两题,在相应的答题区域内作答,若多做,........................则按作答的前两题评分............解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求矩阵M ;(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =,求曲线C 的方程.【答案】(1)2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)292y x x =- 【解析】【分析】(1)根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式,转化成线性方程组可得,a b 的值,即可得到矩阵M ;(2)根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式,通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程. 【详解】解:(1)依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩, 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; (2)设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y ''', 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩, 因为2y x ''=,所以292x x y =+,所以曲线C 的方程为292y x x =-. 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力,以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程,本题属中档题.22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+(α为参数),直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩(t 为参数,02πβ<<),若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果.【详解】解:以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=,直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩(t 为参数,02πβ<<)在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=,因为圆C 被直线1d ==, = k ∴=因为02πβ<<, 所以tan k β==所以3πβ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.23.选修4-2:不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证:32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++,再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++,从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >,1a b c ++=,所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++,由柯西不等式,得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++,即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明,可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明,如果不等式是和与积的形式,可考虑前者,如果是平方和与对应乘积和的关系,则考虑后者,必要时需对原有不等式变形化简,使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手,已知甲击中目标的概率是34,甲、丙二人都没有击中目标的概率是112,乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. (1)求乙、丙二人各自击中目标的概率;(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【答案】(1)38,23.(2)分布列见解析,数学期望2524. 【解析】【分析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ,则3()4P A =,且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率.(2)由题意X 的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列和E (X ).【详解】解:(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ,则3()4P A =,且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =,2()3P C =, 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38,23; (2)由题意,X 的可能取值为0,1,2,1(2)4P X ==, 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=, 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.25.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ︒∠=,AB AC a ==,1AA b =,点E ,F 分别在1BB ,1CC ,且113BE BB =,1113C F CC =.设b aλ=.(1)当3λ=时,求异面直线AE 与1A F 所成角的大小;(2)当平面AEF ⊥平面1A EF 时,求λ的值.【答案】(1)60°(2)32λ=【解析】【分析】(1)推导出1AA ⊥平面ABC ,11,AB AA AA ⊥⊥AC ,建立分别以AB ,AC ,1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系,利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角.(2)推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量,由平面AEF ⊥平面1A EF ,能求出λ的值.【详解】解:因为直三棱柱111ABC A B C -,所以1AA ⊥平面ABC ,因为,AB AC ⊂平面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥,又因为90BAC ︒∠=,所以建立分别以AB ,AC ,1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.(1)设1a =,则1AB AC ==,13AA =,各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ,1(0,0,3)A ,(0,1,2)F .(1,0,1)AE =,1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==,11AE A F ⋅=-, 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°,所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°;(2)因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =,则10AE n ⋅=,且10AF n ⋅=.即03bz ax +=,且203bz ay +=. 令1z =,则3b x a =-,23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理,222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ,所以120n n ⋅=,22221099λλ∴--+=, 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时,32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.。

江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题

江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题

2020~2021学年度第一学期期中考试高三数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题給出的四个选项中,只有项是符合题目要求的1. 已知集合{}22{|60},|4A x x x B x x =--≤=> ,则A B =( )A. (2,3)B. [2,3]C. (]2,3D. [2,3]{2}⋃-C 求出集合A 、B ,再利用集合的交运算即可求解.[2,3],(,2)(2,),(2,3]A B A B =-=-∞-⋃+∞⋂=故选:C2. 角α的终边经过点(3sin ,cos )αα-,则sin α的值为( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 34 C易知3sin 0α->,可得角α的终边在第一象限或第四象限,从而得到cos 0α>,再利用三角函数的定义,即可得答案;易知3sin 0α->,可得角α的终边在第一象限或第四象限,∴cos 0α>,点(3sin ,cos )αα-的纵坐标大于0,∴角α的终边在第一象限, ∴1sin 0sin 3αα=>⇒=,故选:C. 3. 等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 220B把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解.由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=,所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=.故选:B4. 函数“()f x =R ”是“1a ≥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要的条件B根据集合间的基本关系,即可得答案; 2()(1)f x x a =++的定义域为R 0a ⇔≥,0a ≥推不出1a ≥,反之成立,故“2()21f x x x a =+++的定义城为R ”是“1a ≥”的必要不充分条件.故选:B.5. 函数()2()cos --=x x e e x f x x 的部分图象大致是( ) A. B.C. D.A求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,结合函数图象即可排除C ,D ,代入特殊值x π=,可排除B ,进而可得结果.f (x )的定义域(-∞,0)∪(0,+∞),且f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数,排除C 和D ,因为f (π)<0,所以排除B .故选:A .6. 已知函数()ln f x x x =,若直线l 过点()0,e -,且与曲线()y f x =相切,则直线l 的斜率为( )A. 2-B. 2C. e -D. eB设切点坐标为(),ln t t t ,利用导数求出切线l 的方程,将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程,求出t 的值,进而可求得直线l 的斜率.设切点坐标为(),ln t t t ,()ln f x x x =,()ln 1f x x '=+,直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+, 所以,直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-,将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+,解得t e =,因此,直线l 的斜率为()2f e '=.故选:B.7. 衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a ,经过t 天后体积V与天数t 的关系式为:V =a ·e -kt .已知新丸经过50天后,体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ,则需经过的天数为( )A . 125B. 100C. 75D. 50 C 根据已知关系求出待定系数,再根据体积函数值求自变量天数即可. 由已知,得49a =a ·e -50k ,∴e -k =1504()9. 设经过t 1天后,一个新丸体积变为827a , 则827a = a ·e -kt , ∴827= e -kt =1504()9t ,∴13502t =,t 1=75.故选:C. 8. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若110,,22n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( ) A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭A设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.即可得到不等式1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-,即可求出参数q 的取值范围;解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.110,2n a a >=,2n S <, ∴1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-, 10q ∴>>.144q ∴-,解得34q . 综上可得:{}n a 的公比的取值范围是:30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A . 二、 多项选题: 本题共4小题, 每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题.目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9. 已知函数()cos f x x x =,()()g x f x '=则( )A. ()g x 的图象关于点(,0)6π对称 B. ()g x 的图象的一条对称轴是6x π= C. ()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D. ()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) BC 首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再利用三角函数的性质依次判断选项即可. ()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭,所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 对选项A ,2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭,故A 错误; 对选项B ,2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴, 故B 正确. 对选项C ,因为566x ππ-<<,所以232x πππ-<+<, 所以函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数, 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数,故C 正确.对选项D ,33x ππ-<<,所以2033x ππ<+<, 所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,()20g x -≤<,故D 错误.故选:BC 10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( )A. 若59S >S ,则150S >B. 若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项C. 若67S S >, 则78S S >D. 若67S S >则56S S >. BC根据等差数列的前n 项和性质判断.A 错:67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<;B 对:n S 对称轴为n =7;C 对:6770S S a >⇒<,又10a >,887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>;D 错:6770S S a >⇒<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >.故选:BC . 11. 已知函数()()lg 1,1f x x b a =->>且()()f a f b =,则( )A. 1<2a <B. a b ab +=C. ab 的最小值为1D. 11211a b +>-- ABD由()()f a f b =,可得lg(1)lg(1)a b -=-,而1b a >>,得11b a ->-,从而可得lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数,其中lg(1)0a -<,从而可求出a 的取值范围和,a b 的关系式,然后对各选项进行判断解:因为()()lg 1f x x =-且()()f a f b =, 所以lg(1)lg(1)a b -=-,因为1b a >>,所以11b a ->-,所以lg(1)a -≠lg(1)b -,所以lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数,其中lg(1)0a -<,所以011a <-<,所以1<2a <,所以A 正确;因为lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数,所以lg(1)lg(1)a b --=-,所以(1)(1)1a b --=,化简得a b ab +=,所以B 正确;因为10,10b a ->->,所以11211a b +≥=--, 因为11b a ->-,所以取不到等号,所以11211a b +>--,所以D 正确;因为ab a b =+≥4ab ≥,因为a b ,所以4ab >,所以C 错误,故选:ABD由()0f x =,可得()ln 0x xe x x k -+-=,即()ln x x k xe xe =-, 令()x u x xe =,其中0x >,则()()10x u x x e '=+>,所以,函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增,则()()00u x u >=, 令()ln g t t t =-,其中0t >,()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时,()0g t '<,此时函数()g t 单调递减;当1t >时,()0g t '>,此时函数()g t 单调递增.所以,()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ,则1k =.所以,()0001x u x x e ==,由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增,1122u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,()11u e =>,即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,0112x ∴<<, 所以,ABC 选项正确,D 选项错误.故选:ABC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数,则不等式()2()0x f x -<的解集为______.((2,)+∞由()f x 为偶函数求出a 的值,然后解不等式即可解:因为函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数,所以()()f x f x -=,即2222()(2)()(2)a x a x a ax a x a -++-+=+++,化简得2(2)0a x +=,得2a =-,所以()224f x x =-+,所以()2()0x f x -<,得2(2)(0x x x --+<,即(2)(0x x x -+>,解得x <<2x >,所以不等式的解集为((2,)+∞,故答案为:((2,)+∞14. 已知正数x ,y 满足224y xy y x+=-,则y 的最大值为_____. 12 先分离x ,y ,再根据1x x +范围得不等式,解得y 的范围,即得y 的最大值 因为224y xy y x+=-,所以124x y x y +=- 因为12x x+≥,所以22142,0,210,02y y y y y y 因为-≥>∴+-≤∴<≤, 因此y 的最大值为12. 15. 在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.(取111.27.5=,121.29=)40000设一月月底小王手中有现款为111000a =元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,根据题意可知1 1.21000n n a a +=-,整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-,所以数列{}5000n a -是以6000为首项,1.2为公比的等比数列,求得1250000a =元,减去成本得到结果.设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,则1 1.21000n n a a +=-,即()15000 1.25000n n a a +-=-,所以数列{}5000n a -是以6000为首项,1.2为公比的等比数列,111250006000 1.2a -=⨯,即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元.故答案为:40000.16. 已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称,其导函数为()f x '. 当0x ≥时,()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为_____. 2令()()g x xf x x =-,利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >,即e x ax >,当0x >时,分离参数可得()xe a h x x <=,可求出正整数a 的最大值为2,再检验当2a =时,对于0x <,不等式恒成立,即可求解.因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称,所以函数()f x 为R 上的偶函数,令()()g x xf x x =-,则()()()1g x f x xf x ''=+-,因为当0x ≥时,()()1xf x f x '>-,即()()()10g x f x xf x ''=+->,所以()g x 在[)0,+∞单调递增,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,即()()x x x e f e e axf ax ax ->-,即()()x g e g ax >,所以e x ax >,当0x >时,()xe a h x x <=,则()()21x e x h x x -'=, 可得()h x 在()0,1单调递减,在()1,+∞单调递增,所以()()min 1h x h e ==,所以a e <,此时最大的正整数a 为2,2a =对于0x <时,e x ax >恒成立,综上所述:正整数a 的最大值为2,故答案为:2四、解答题:本题共5小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. (1)求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域; (2)若3πϕ=,sin 2cos 0αα-=. 求()f α的值.(1)2ω=,()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)()410f α=+. (1)由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值,求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域;(2)求得tan 2α=,利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.(1)由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则22πωπ==, ()()sin 2f x x ϕ∴=-,()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22ππϕ-≤≤,5636πππϕ∴-≤-≤,所以,()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; (2)sin 2cos 0αα-=,可得tan 2α=,3πϕ=,所以,()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++245210-+=+=. 第二步:由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围,再确定()sin x ωϕ+(或()cos x ωϕ+)的取值范围;第三步:求出所求函数的值域(或最值).18. 已知函数321()2()32a f x x x x a R =-+-∈. (1)当3a =时,求函数()f x 的单调递减区间;(2)若对于任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.(1)(),1-∞和()2,+∞;(2)()1,8-.(1)求出函数的导数,令导数小于0,解出不等式即得单调递减区间;(2)可得不等式等价于220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立,讨论对称轴的范围,令22x ax a -+在[)1,x ∈+∞的最小值大于0即可求出.(1)当3a =时,3213()232f x x x x =-+-, 则()()()23212f x x x x x '=-+-=---,令()0f x '<,解得1x <或 2x >,()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞;(2)()22'=-+-f x x ax ,则()2221x ax a -+-<-,即 220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立,令()22g x x ax a =-+,对称轴为 2a x =,开口向上, 当12a ≤,即2a ≤时,()g x 在 [)1,+∞单调递增, ∴()()min 1120g x g a a ==-+>,解得 1a >-,12a ∴-<≤;当12a >,即2a >时,()2min 20242a aa g x g a a ⎛⎫==-⨯+> ⎪⎝⎭,解得 08a <<, 28a ∴<<,综上,18a -<<. 19. 在①sinsin 2B Cc a C +=;②2cos cos co (s )A b C c B a +=;③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题.在△ABC中,已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若1)c b =,______. (1)求C 的值;(2)若△ABC 的面积为3-b 的值. (1)4π;(2)2. 根据选项分别运用正弦定理或余弦定理化简得3A π=,再利用两角和差公式求得4Cπ;利用面积公式和已知条件化简得解 选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= 0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=,0,cos 02AA π<<∴≠ 1sin 223A A π∴=⇒=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴= 选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+= 2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴=0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒= 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴= 选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ,1cos 2A ∴=0,A π<<3A π∴=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=20. 已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,且满足1135723162,a 30,a b a a b b a bb ==++==.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n a ,{}n b 的前n 项相分别为n S ,n T .①是否存在正整数k .使得132k k k T T b +=++成立?若存在,求出k 的值,若不存在,请说明理由; ②解关于n 的不等式.n n S b ≥(1)2,2nn n a n b ==;(2)①存在,5;②{}1,2,3,4.(1)设公差、公比,由等差、等比数列的通项公式运算即可得解; (2)①由数列n b 与n T 的关系可转化条件为132k k b b +=+,运算即可得解;②转化条件为()210n n n -+≤,令()()21,n f n n n n N +=-+∈,通过作差确定()f n 的单调性,进而可得()0f n ≤的解集,即可得解.(1)设等差数列{}n a 公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 则3575330a a a a ++==,所以1542410a a d d +=+==,解得2d =, 所以()112n a a n d n =+-=,所以231632b b a ==即2131432q q b b q =⋅=,解得2q ,所以112n nn b b q -==;(2)①假设存在正整数k 满足132k k k T T b +=++,则132k k b b +=+, 所以12232k k +=+,所以232k =,解得5k =, 所以存在正整数5k =满足题意; ②由题意,()112nn a a S n n n +=⋅=+, 所以()12n n n +≥,即()210nn n -+≤令()()21,n f n n n n N +=-+∈,则()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦,当且仅当3n ≥时,()()10f n f n +-≥,所以()()()()()()123456f f f f f f >>=<<⋅⋅⋅, 又()()10,44f f ==-,()52f =, 所以当且仅当1,2,3,4n =时,()0f n ≤, 所以不等式n n S b ≥的解集为{}1,2,3,4.21. 若函数()f x 在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为,,(0)k k k b a ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦,则称[],a b 为()f x 的一个“k 倍倒域区间”.定义在[]4,4-上的奇函数()g x ,当[]0,4x ∈时()24g x x x =-+.(1)求()g x 的解析式;(2)求()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”;(3)若()g x 在定义域内存在“()8k k ≥ 倍倒域区间”,求k 的取值范围.(1)()[)[]224,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩;(2)1⎡⎤⎣⎦;(3)256827k ≤<. (1)当[4,0)x ∈-时,(0,4]x -∈,求出()g x -,再根据()()g x g x -=-求出()g x 可得解;(2)设24a b ≤<≤,根据()g x 在[2,4]上单调递减,得228484a a ab b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得结果即可得解;(3)设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ,则04a b <<≤或40a b -≤<<,当04a b <<≤时,根据()g x 在[0,4]上的最大值推出2a ≥,根据()g x 在[,]a b 为递减函数可得()k g a a =,()kg b b=,可得方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解,再构造函数利用导数可解得k 的范围,同理可求得当40a b -≤<<时,k 的范围. (1)因为()g x 为定义在[4,4]-上的奇函数,所以当[4,0)x ∈-时,(0,4]x -∈,22()()4()4g x x x x x -=--+-=--, 因为()()g x g x -=-,所以22()()(4)4g x g x x x x x =--=---=+,所以()[)[]224,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩. (2)因为()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”, 设24a b ≤<≤,因为()g x 在[2,4]上单调递减,所以228484a a a b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,整理得22(2)(24)0(2)(24)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩,解得2,1a b ==+所以()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”为1⎡⎤⎣⎦.(3)设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ,则函数值的取值区间为,k k b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(8)k ≥,所以04a b <<≤或40a b -≤<<,当04a b <<≤时,因为()g x 在[0,4]上的最大值为4,所以4ka≤,又8k ≥,所以2a ≥, 因为()g x 在[2,4]上递减,所以()g x 在[,]a b 上递减,所以()k g a a =,()kg b b=,即2244k a a a k b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,所以32324040a a k b b k ⎧-+=⎨-+=⎩, 所以方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解, 令32()4h x x x k =-+,[2,4]x ∈,则2()38h x x x '=-(38)x x =-,令()0h x '<,得823x ≤<,令()0h x '>,得843x <≤, 所以()h x 在8[2,)3上递减,在8(,4]3上递增,因为(2)80h k =-≥,(4)8h k =≥,所以要使方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解,只需8()03h <,即32884033k ⎛⎫⎛⎫-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得25627k <,所以256827k ≤<.同理可得当40a b -≤<<时,256827k ≤<. 综上所述:k 的取值范围是256827k ≤<.22. 已知函数()sin xf x e ax x =+⋅.(1)求曲线():C y f x =在0x =处的切线方程; (2)当2a =-时, 设函数()()f xg x x=,若0x 是()g x 在(),0π-上的一个极值点,求证:0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点,且()00 2.g x << (1)1y x =+;(2)证明见解析.(1)求出函数的导数,计算'(0),(0)f f ,可求出切线方程;(2)代入2a =-,求出函数导数,得到()g x 在0(,)x π-递增,在0(,0)x 递减,得到00000()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<,从而可证得结论(1)解:由题意得0(0)01f e =+=,由()sin xf x e ax x =+⋅,得'()sin cos x f x e a x ax x =++,则'(0)1f =,所以所求切线方程为1y x =+,(2)证明:当2a =-时,()2sin xf x e x x =-,()2sin xe g x x x=-,(),0x π∈-,则2'2(1)2cos ()x x e x xg x x--=,当[,0)2x π∈-时,'()0g x <, 所以()g x 在[,0)2π-上递减,令2()(1)2cos x h x x e x x =--,(,)2x ππ∈--, '2()4cos 2sin (4cos 2sin )x x h x xe x x x x x e x x x =-+=-+,当 (,)2x ππ∈--时,'()0h x <,所以()h x 在(,)2ππ--上递减,因为221()20,()(1)022h h eeπππππππ-+-=->-=--<,所以()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点,即'()g x 在(,)2ππ--上有唯一零点,设此零点为0x ,当0(,)x x π∈-时,()0h x >,即'()0g x >, 当0(,0)x x ∈时,()0h x <,即 '()0g x <,又因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,'()0g x <,所以()g x 在0(,)x π-递增,在0(,0)x 递减,因为0(,)2x ππ∈--,所以202222(1)()()202e g x g e e πππππππ->-=-=>,因为0(,)2x ππ∈--,所以00000()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<, 所以0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点,且()00 2.g x <<【点睛】关键点点睛:此题考查导数的几何意义的应用,考查函数的单调性、极值,考查利用导数证明不等式,解此题的关键是构造函数2()(1)2cos x h x x e x x =--,(,)2x ππ∈--,然后利用导数判断()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点,即'()g x 在(,)2ππ--上有唯一零点,再利用了函数的单调性求得函数的最值,考查了数学转化思想。

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题及参考答案

江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题及参考答案

江苏省苏州中学2023—2024学年度第一学期期初考试高三数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合AA={xx|yy=lg(1−xx)},BB={yy|yy=xx2},则A∩B=( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.[0,1)D.[0,+∞)2.“a+b>4”是“a>2且b>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ≥2)=0,3,则P(ξ≥-2)=( )A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.函数f(x)=ln (-x²-2x+3)的单调递减区间为( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,1)D.(1,+∞)5.若函数ff(xx)=aa ln xx+3−xx xx−12xx2(aa≠0)既有极大值也有极小值,则a∈( )A.(0,1)B. (0,3)C.(0,1)∪(9,+∞)D.(0,3)∪(9,+∞)6.设函数f(x)=xsinx,若xx1,xx2∈ππ2,ππ2�,且f(x₁)<f(x₂),则下列不等式恒成立的是( )A. x₁<x₂B. x₁>x₂C. x₁+x₂<0D.xx12<xx227.已知aa=�1+1ee�ee,bb=�1+1ππ�ππ,cc=312,其中e是自然对数的底数,则a,b,c的大小关系是( )A. b<a<cB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b8.定义:“各位数字之和为7的四位数叫好运数”,比如1006,2203,则所有好运数的个数为( )A.82B.83C.84D.85二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020.11一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)1.已知集合A ={}260x x x --≤,B ={}24x x >,则A B =A .(2,3)B .[2,3]C .(2,3]D .[2,3] {﹣2}2.角α的终边经过点(3﹣sin α,cos α),则sin α的值为A .15B .14C .13D .343.等差数列{}n a 中,12324a a a ++=-,18192078a a a ++=,则此数列的前20项和等于A .160B .180C .200D .2204.函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6.已知函数()ln f x x x =,若直线l 过点(0,﹣e),且与曲线C :()y f x =相切,则直线l 的斜率为A .﹣2B .2C .﹣eD .e 7.衣棚里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为:e kt V a -=⋅.已知新丸经过50天后,体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ,则需经过的天数为A .125B .100C .75D .508.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若0n a >,112a =,2n S <,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A .(0,34]B .(0,23]C .(0,34)D .(0,23)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.已知函数()cos f x x x =,()()g x f x '=,则A .()g x 的图像关于点(2,0)对称B .()g x 的图像的一条对称轴是x =6πC .()g x 在(56π-,6π)上递减D .()g x 在(3π-,3π)值域为(0,1)10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差d ≠0,则A .若59S S >,则150S >B .若59S S =,则7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则78S S >D .若67S S >,则56S S >11.已知函数()lg(1)f x x =-,1b a >>且()()f a f b =,则A .1<a <2B .a +b =abC .ab 的最小值为1D .11211a b +>--12.函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0,+∞)上有唯一零点0x ,则A .00e 1x x =B .0112x <<C .1k =D .1k >三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数,则不等式(2)()0x f x -<的解集为.14.对任意正数x ,满足224y xy y x +=-,则正实数y 的最大值为.15.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元,用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底街缴房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为.(取1.211=7.5,1.212=9)16.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称,其导函数为()f x ',当x ≥0时,()1xf x '>()f x -.若对任意x ∈R ,不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为.四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω>0,ϕ≤2π)的最小正周期为π.(1)求ω的值及()(6g f πϕ=的值域;(2)若3πϕ=,sin 2cos 0αα-=,求()f α的值.18.(本小题满分12分)已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R).(1)当a =3时,求函数()f x 的单调递减区间;(2)若对于任意x ∈[1,+∞)都有()2(1)f x a <-成立,求实数a 的取值范围.在①c sin B C 2+=a sinC ,②2cosA(b cosC +c cosB)=a ,③(sinB ﹣sinC)2=sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题.在△ABC 中,已知内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c =(1)b ,.(1)求C 的值;(2)若△ABC 的面积为3-,求b 的值.20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,且满足112a b ==,35730a a a ++=,2316b b a =.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T .①是否存在正整数k ,使得1k T +=32k k T b ++成立?若存在,求出k 的值,若不存在,请说明理由;②解关于n 的不等式n n S b ≥.若函数()f x 在x ∈[a ,b ]时,函数值y 的取值区间恰为[k b ,k a](k >0),则称[a ,b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”.定义在[﹣4,4]上的奇函数()g x ,当x ∈[0,4]时,2()g x x =-4x +.(1)求()g x 的解析式;(2)求()g x 在[2,4]内的“8倍倒域区间”;(3)若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”,求k 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数()e sin x f x ax x =+⋅.(1)求曲线C :()y f x =在x =0处的切线方程;(2)当a =﹣2时,设函数()()f x g x x=,若0x 是()g x 在(﹣π,0)上的一个极值点,求证:0x 是函数()g x 在(﹣π,0)上的唯一极大值点,且0<0()g x <2.。

江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合A={x |0≤x ≤2},B={x |﹣1<x ≤1},则A ∩B= . 2.若命题p :∃x ∈R ,使x 2+ax +1<0,则¬p : .3.函数y=的定义域为 .4.曲线y=x ﹣cosx 在点(,)处的切线的斜率为 .5.已知tan α=﹣,则tan (α﹣)= . 6.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且满足:a 1a 9=4,则数列{log 2a n }的前9项之和为 . 7.已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=8x ,则f (﹣)= .8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a 2﹣b 2=2bc ,sinC=3sinB ,则A= .9.已知函数f (x )=,若函数g (x )=f (x )﹣m 有三个零点,则实数m 的取值范围是 .10.若函数y=tan θ+(0<θ<),则函数y 的最小值为 . 11.已知函数f (x )=sin (ωx +)(ω>0),将函数y=f (x )的图象向右平移个单位长度后,所得图象与原函数图象重合ω最小值等于 .12.数列{a n }满足a n +1=a n (1﹣a n +1),a 1=1,数列{b n }满足:b n =a n a n +1,则数列{b n }的前10项和S 10= .13.设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ,若A ,B ,C 依次成等差数列且a 2+c 2=kb 2,则实数k 的取值范围是 .14.已知函数f (x )=,若对于定义域内的任意x 1,总存在x 2使得f (x 2)<f (x 1),则满足条件的实数a 的取值范围是 .二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知函数f (x )=3x +λ•3﹣x (λ∈R ).(1)若f (x )为奇函数,求λ的值和此时不等式f (x )>1的解集;(2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围.16.已知递增等比数列{a n }满足:a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2和a 4的等差中项, (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n•2n+1>62成立的正整数n的最小值.17.已知函数f(x)=2sin(x+)•cosx.(1)若0≤x≤,求函数f(x)的值域;(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且f(A)=,b=2,c=3,求cos(A﹣B)的值.18.如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1:3的左右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;(2)试求x的值,使路EF的长度y最短.19.已知数列{a n}的前n项和为A n,对任意n∈N*满足﹣=,且a1=1,数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0(n∈N*),b3=5,其前9项和为63.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=+,数列{c n}的前n项和为T n,若对任意正整数n,都有T n≥2n+a,求实数a的取值范围;(3)将数列{a n},{b n}的项按照“当n为奇数时,a n放在前面;当n为偶数时,b n放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列:a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,b6,…,求这个新数列的前n项和S n.20.已知f(x)=ax3﹣3x2+1(a>0),定义h(x)=max{f(x),g(x)}=.(1)求函数f(x)的极值;(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求实数a的取值范围;(3)若g(x)=lnx,试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]21.如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,过E作BA的延长线的垂线,垂足为F.求证:AB2=BE•BD﹣AE•AC.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=,并且矩阵M将点(﹣1,3)变换为(0,8).(1)求矩阵M;(2)求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程.[选修4-4:极坐标与参数方程]23.已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin (θ+)+1=0.(1)求圆C的圆心的极坐标;(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证: +++≥.解答题(共2小题,满分20分)25.某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了A、B、C三个测试项目.假定张某通过项目A的概率为,通过项目B、C的概率均为a(0<a<1),且这三个测试项目能否通过相互独立.(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数,求X的概率分布和数学期望E(X)(用a表示);(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数a的取值范围.26.在如图所示的四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E为线段BS上的一个动点.(1)证明:DE和SC不可能垂直;(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时,求二面角S﹣CD﹣E的余弦值.2016-2017学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|﹣1<x≤1},则A∩B={x|0≤x≤1} .【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义和不等式性质求解.【解答】解:∵集合A={x|0≤x≤2},B={x|﹣1<x≤1},∴A∩B={x|0≤x≤1}.故答案为:{x|0≤x≤1}.2.若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则¬p:∀x∈R,使x2+ax+1≥0.【考点】命题的否定.【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则¬p:∀x∈R,使x2+ax+1≥0.故答案为:∀x∈R,使x2+ax+1≥0.3.函数y=的定义域为(﹣2,1] .【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式,解出即可.【解答】解:由题意得:≥0,即≤0,解得:﹣2<x≤1,故答案为:(﹣2,1].4.曲线y=x﹣cosx在点(,)处的切线的斜率为2.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数的导数,由导数的几何意义代入x=,计算即可得到所求切线的斜率.【解答】解:y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx,可得曲线在点(,)处的切线的斜率为1+sin=1+1=2.故答案为:2.5.已知tanα=﹣,则tan(α﹣)=7.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】利用两角差的正切公式求得要求式子的值.【解答】解:∵tanα=﹣,则tan(α﹣)===7,故答案为:7.6.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且满足:a1a9=4,则数列{log2a n}的前9项之和为9.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知结合等比数列的性质求得a5,再由对数的运算性质得答案.【解答】解:∵a n>0,且a1a9=4,∴,a5=2.∴log2a1+log2a2+…+log2a9==9log22=9.故答案为:9.7.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=8x,则f(﹣)=﹣2.【考点】函数奇偶性的性质;函数的周期性.【分析】利用函数的周期性和奇偶性可得f(﹣)=f(﹣)=﹣f(),计算可得结果.【解答】解:函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=8x,则f(﹣)=f(﹣)=﹣f()=﹣=﹣2,故答案为:﹣2.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2﹣b2=2bc,sinC=3sinB,则A=60°.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】已知等式sinC=3sinB利用正弦定理化简,得到c=3b,代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的a,c及b代入求出cosA的值,即可确定出A的度数.【解答】解:已知等式sinC=3sinB,利用正弦定理化简得:c=3b,代入已知等式得:a2﹣b2=6b2,即a=b,∴cosA===,则A=60°.故答案为:60°9.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣m有三个零点,则实数m的取值范围是.【考点】函数零点的判定定理.【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:由g(x)=f(x)﹣m=0得f(x)=m,若函数g(x)=f(x)﹣m有三个零点,等价为函数f(x)与y=m有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图:当x≤0时,f(x)=x2+x=(x+)2﹣≥﹣,若函数f(x)与y=m有三个不同的交点,则﹣<m≤0,即实数m的取值范围是(﹣,0],故答案为:(﹣,0].10.若函数y=tanθ+(0<θ<),则函数y的最小值为2.【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用二倍角公式化简函数,结合三角形函数的图象及性质即可求函数的最小值.【解答】解:由题意:函数y=tanθ+(0<θ<),化简:y=+==;∵0<θ<,∴0<2θ<π,所以:0≤sin2θ≤1.当sin2θ=1时,函数y 取得最小值,即. 故答案为:2.11.已知函数f (x )=sin (ωx +)(ω>0),将函数y=f (x )的图象向右平移个单位长度后,所得图象与原函数图象重合ω最小值等于 3 .【考点】函数y=Asin (ωx +φ)的图象变换.【分析】函数y=sin (ωx +)的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍,由此求出ω的表达式,判断出它的最小值.【解答】解:∵函数y=sin (ωx +)的图象向右平移个单位后与原图象重合,∴=n ×,n ∈z , ∴ω=3n ,n ∈z ,又ω>0,故其最小值是3.故答案为:3.12.数列{a n }满足a n +1=a n (1﹣a n +1),a 1=1,数列{b n }满足:b n =a n a n +1,则数列{b n }的前10项和S 10= .【考点】数列递推式;数列的求和.【分析】由已知a n +1=a n (1﹣a n +1)化简得数列{}是等差数列,即可求出a n 的通项公式,将其代入b n =a n a n +1,求出b n 的通项公式并将其进行变形,根据变形列举出数列的前10项,求出它们的和即可.【解答】解:由a n +1=a n (1﹣a n +1)得:﹣=1,所以得到数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,则=1+(n ﹣1)=n ,所以a n =;而b n =a n a n +1==﹣,则s 10=b 1+b 2+…+b 10=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为13.设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ,若A ,B ,C 依次成等差数列且a 2+c 2=kb 2,则实数k 的取值范围是 (1,2] .【考点】余弦定理.【分析】利用角A、B、C成等差数列B=,利用a2+c2=kb2,可得k=sin(2A﹣)+,即可利用正弦函数的性质求得实数k的取值范围.【解答】解:∵A+B+C=π,且角A、B、C成等差数列,∴B=π﹣(A+C)=π﹣2B,解之得B=,∵a2+c2=kb2,∴sin2A+sin2C=ksin2B=,∴k= [sin2A+sin2(﹣A)]= [sin2A+cos2A+sinAcosA)]=sin(2A﹣)+,∵0<A<,∴﹣<2A﹣<,∴﹣<sin(2A﹣)≤1,∴1<sin(2A﹣)+≤2,∴实数k的取值范围是(1,2].故答案为:(1,2].14.已知函数f(x)=,若对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)<f(x1),则满足条件的实数a的取值范围是a≥0.【考点】函数单调性的性质.【分析】对于定义域内的任意x1总存在x2使得f(x2)<f(x1),即为f(x)在x≠﹣a处无最小值;讨论a=0,a>0,a<0,求得单调区间和极值即可求出a的范围.【解答】解:对于定义域内的任意x1总存在x2使得f(x2)<f(x1),即为f(x)在x≠﹣a处无最小值;①a=0时,f(x)=无最小值显然成立;②a>0时,f(x)的导数为f'(x)=,可得f(x)在(﹣∞,﹣a)上递减,在(﹣a,3a)上递增,在(3a,+∞)递减,即有f(x)在x=3a处取得极大值;当x>a时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.取x1<a,x2≠﹣a即可;当x<﹣a时,f(x)在(﹣∞,﹣a)递减,且x1<<﹣a,f(x1)>f(<),故存在x2=x1+|x1+a|,使得f(x2)<f(x1);同理当﹣a<x1<a时,令x2=x1﹣|x1+a|,使得f(x2)<f(x1)也符合;则有当a>0时,f(x2)<f(x1)成立;③当a<0时,f(x)在(﹣∞,3a)上递减,在(3a,a)上递增,在(﹣a,+∞)上递减,即有f(x)在x=3a处取得极小值,当x>a时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.f(x)min=f(3a),当x1=3a时,不存在x2,使得f(x2)<f(x1)成立.综上可得,a的取值范围是:[0,+∞)故答案为:a≥0.二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知函数f(x)=3x+λ•3﹣x(λ∈R).(1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集;(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围.【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.【分析】(1)直接由f(﹣x)+f(x)=0求得λ值.把求得的λ值代入f(x),由f(x)>1求得3x的范围,进一步求解指数不等式得答案;(2)由题意可得3x+≤6,令t=3x∈[1,9],原不等式等价于λ≤6t﹣t2在t∈[1,9]上恒成立,令g(t)=6t﹣t2,t∈[1,9],求得最小值,即可得到所求范围.【解答】解:(1)∵f(x)=3x+λ•3﹣x为奇函数,∴f(﹣x)+f(x)=3﹣x+λ•3x+3x+λ•3﹣x=(3x+3﹣x)+λ(3x+3﹣x)=(λ+1)(3x+3﹣x)=0,∵3x+3﹣x>0,∴λ+1=0,即λ=﹣1.此时f(x)=3x﹣3﹣x,由f(x)>1,得3x﹣3﹣x>1,即(3x)2﹣3x﹣1>0,解得:(舍),或3x>,即x>.∴不等式f(x)>1的解集为();(2)由f(x)≤6得3x+λ3﹣x≤6,即3x+≤6,令t=3x∈[1,9],原不等式等价于t+≤6在t∈[1,9]上恒成立,亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1,9]上恒成立,令g(t)=6t﹣t2,t∈[1,9],当t=9时,g(t)有最小值g(9)=﹣27,∴λ≤﹣27.16.已知递增等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项,(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n•2n+1>62成立的正整数n的最小值.【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;数列的求和.【分析】(I)由题意,得,由此能求出数列{a n}的通项公式.(Ⅱ),S n=b1+b2+…+b n=﹣(1×2+2×22+…+n×2n),所以数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1,使S n+n•2n+1>62成立的正整数n的最小值.【解答】解:(I)由题意,得,…解得…由于{a n}是递增数列,所以a1=2,q=2即数列{a n}的通项公式为a n=2•2n﹣1=2n…(Ⅱ)…S n=b1+b2+…+b n=﹣(1×2+2×22+…+n×2n)①则2S n=﹣(1×22+2×23+…+n×2n+1)②②﹣①,得S n=(2+22+…+2n)﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1即数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1…则S n+n•2n+1=2n+1﹣2>62,所以n>5,即n的最小值为6.…17.已知函数f(x)=2sin(x+)•cosx.(1)若0≤x≤,求函数f(x)的值域;(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且f(A)=,b=2,c=3,求cos(A﹣B)的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.【分析】(1)利用三角恒等变换化简f(x),根据x的取值范围即可求出函数f(x)的值域;(2)由f(A)的值求出角A的大小,再利用余弦定理和正弦定理,即可求出cos(A﹣B)的值.【解答】解:(1)f(x)=2sin(x+)•cosx=(sinx+cosx)•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+;…由得,,∴,…∴,即函数f(x)的值域为;…(2)由,得,又由,∴,∴,解得;…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得;…由正弦定理,得,…∵b<a,∴B<A,∴,∴cos(A﹣B)=cosAcosB+sinAsinB=.…18.如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1:3的左右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;(2)试求x的值,使路EF的长度y最短.【考点】余弦定理的应用;正弦定理.【分析】(1)当点F与点D重合时,,即,从而确定点E的位置;(2)分类讨论,确定y关于x的函数关系式,利用配方法求最值.【解答】解:(1)∵当点F与点D重合时,由已知,又∵,E是BC的中点(2)①当点F在CD上,即1≤x≤2时,利用面积关系可得,再由余弦定理可得;当且仅当x=1时取等号②当点F在DA上时,即0≤x<1时,利用面积关系可得DF=1﹣x,(ⅰ)当CE<DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=1﹣2x,∠EGF=60°,利用余弦定理得(ⅱ)同理当CE≥DF,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x﹣1,∠EGF=120°,利用余弦定理得由(ⅰ)、(ⅱ)可得,0≤x<1∴=,∵0≤x<1,∴,当且仅当x=时取等号,由①②可知当x=时,路EF的长度最短为.19.已知数列{a n}的前n项和为A n,对任意n∈N*满足﹣=,且a1=1,数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0(n∈N*),b3=5,其前9项和为63.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=+,数列{c n}的前n项和为T n,若对任意正整数n,都有T n≥2n+a,求实数a的取值范围;(3)将数列{a n },{b n }的项按照“当n 为奇数时,a n 放在前面;当n 为偶数时,b n 放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列:a 1,b 1,b 2,a 2,a 3,b 3,b 4,a 4,a 5,b 5,b 6,…,求这个新数列的前n 项和S n .【考点】数列与不等式的综合;数列的应用. 【分析】(1)由,利用等差数列通项公式可得A n ,再利用递推关系可得a n .由b n +2﹣2b n +1+b n =0,可得数列{b n }是等差数列,利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出. (2)由(1)知,再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出. (3)数列{a n }的前n 项和,数列{b n }的前n 项和.对n 分类讨论即可得出. 【解答】解:(1)∵,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,∴,即, ∴,又a 1=1,∴,∵b n +2﹣2b n +1+b n =0,∴数列{b n }是等差数列, 设{b n }的前n 项和为B n ,∵且b 3=5,∴b 7=9,∴{b n }的公差为,.(2)由(1)知,∴T n =c 1+c 2+…+c n ===,∴,设,则,∴数列{R n }为递增数列, ∴,∵对任意正整数n,都有T n﹣2n≥a恒成立,∴.(3)数列{a n}的前n项和,数列{b n}的前n项和.①当n=2k(k∈N*)时,;②当n=4k+1(k∈N*)时,=4k2+8k+1,特别地,当n=1时,S1=1也符合上式;③当n=4k﹣1(k∈N*)时,.综上:,k∈N*…20.已知f(x)=ax3﹣3x2+1(a>0),定义h(x)=max{f(x),g(x)}=.(1)求函数f(x)的极值;(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求实数a的取值范围;(3)若g(x)=lnx,试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(2)问题转化为不等式在x∈[1,2]上有解,根据函数的单调性求出a的范围即可;(3)通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可.【解答】解:(1)∵函数f(x)=ax3﹣3x2+1,∴f'(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2)…令f'(x)=0,得x1=0或,∵a>0,∴x1<x2,列表如下:x (﹣∞,0)0f'(x)+0 ﹣0 +f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)的极大值为f(0)=1,极小值为…(2)g(x)=xf'(x)=3ax3﹣6x2,∵存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),∴f(x)≥g(x)在x∈[1,2]上有解,即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1,2]上有解,即不等式在x∈[1,2]上有解,…设,∵对x∈[1,2]恒成立,∴在x∈[1,2]上单调递减,∴当x=1时,的最大值为4,∴2a≤4,即a≤2…(3)由(1)知,f(x)在(0,+∞)上的最小值为,①当,即a>2时,f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上无零点…②当,即a=2时,f(x)min=f(1)=0,又g(1)=0,∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有一个零点…③当,即0<a<2时,设φ(x)=f(x)﹣g(x)=ax3﹣3x2+1﹣lnx(0<x<1),∵,∴φ(x)在(0,1)上单调递减,又,∴存在唯一的,使得φ(x0)=0.Ⅰ.当0<x≤x0时,∵φ(x)=f(x)﹣g(x)≥φ(x0)=0,∴h(x)=f(x)且h(x)为减函数,又h(x0)=f(x0)=g(x0)=lnx0<ln1=0,f(0)=1>0,∴h(x)在(0,x0)上有一个零点;Ⅱ.当x>x0时,∵φ(x)=f(x)﹣g(x)<φ(x0)=0,∴h(x)=g(x)且h(x)为增函数,∵g(1)=0,∴h(x)在(x0,+∞)上有一个零点;从而h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有两个零点…综上所述,当0<a<2时,h(x)有两个零点;当a=2时,h(x)有一个零点;当a>2时,h(x)有无零点…【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]21.如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,过E作BA的延长线的垂线,垂足为F.求证:AB2=BE•BD﹣AE•AC.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】连接AD,利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系,通过证明A,D,E,F 四点共圆知,BD•BE=BA•BF,再利用△ABC∽△AEF得到比例式,最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC.【解答】证明:连接AD,因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠AFE=90°,则A,D,E,F四点共圆,∴BD•BE=BA•BF,又△ABC∽△AEF,∴,即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•(BF﹣AF)=AB2.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=,并且矩阵M将点(﹣1,3)变换为(0,8).(1)求矩阵M;(2)求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程.【考点】特征向量的意义.【分析】(1)利用特征值、特征向量的定义,建立方程,即可得出结论;(2)求出变换前后坐标之间的关系,即可得出结论.【解答】解:(1)设,由及,得,解得,∴…(2)设原曲线上任一点P(x,y)在M作用下对应点P'(x',y'),则,即,解之得,代入x+3y﹣2=0得x'﹣2y'+4=0,即曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程为x﹣2y+4=0…[选修4-4:极坐标与参数方程]23.已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin (θ+)+1=0.(1)求圆C的圆心的极坐标;(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】(1)消去参数,得圆C的普通方程,即可求圆C的圆心的极坐标;(2)当圆C与直线l有公共点时,圆心(2,2)到直线l的距离为≤r,即可求r的取值范围.【解答】解:(1)由得(x﹣2)2+(y﹣2)2=r2,∴曲线C是以(2,2)为圆心,r为半径的圆,∴圆心的极坐标为…(2)由得l:x+y+1=0,从而圆心(2,2)到直线l的距离为,∵圆C与直线l有公共点,∴d≤r,即…[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证: +++≥.【考点】不等式的证明.【分析】根据基本不等式的性质即可证明.【解答】证明:∵=(a+b+c+d)2=1,又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,∴.解答题(共2小题,满分20分)25.某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了A、B、C三个测试项目.假定张某通过项目A的概率为,通过项目B、C的概率均为a(0<a<1),且这三个测试项目能否通过相互独立.(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数,求X的概率分布和数学期望E(X)(用a表示);(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数a的取值范围.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列和数学期望.(2)由已知条件结合概率的性质列出方程组,能求出a的取值范围.【解答】(本题满分10分)解:(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.,,,.从而X的分布列为X 0 1 2 3PX的数学期望为…(2),,.由和0<a<1,得,即a的取值范围是…26.在如图所示的四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E为线段BS上的一个动点.(1)证明:DE和SC不可能垂直;(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时,求二面角S﹣CD﹣E的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】由题可知,可以直接建立空间直角坐标线证明位置关系和计算角.(1)只要向量恒成立,即可说明DE和SC不可能垂直;也可用反证法:假设DE与SC垂直,即,找出矛盾.(2)求出平面SCD和平面CDE的法向量,用向量角的余弦值来反应二面角的大小.【解答】解:(1)∵SA⊥底面ABCD,∠DAB=90°,∴AB、AD、AS两两垂直.故以A为原点,建立空间直角坐标系,如图…则S(0,0,a),C(a,a,0),D(0,3a,0)(a>0),∵SA=AB=a且SA⊥AB,∴设E(x,0,a﹣x)其中0≤x≤a,…∴,,假设DE和SC垂直,则,…即ax﹣3a2﹣a2+ax=2ax﹣4a2=0,解得x=2a,…这与0≤x≤a矛盾,假设不成立,所以DE和SC不可能垂直…(2)∵E为线段BS的三等分点(靠近B),∴.设平面SCD的一个法向量是,∵,,∴,即,即,取,…设平面CDE的一个法向量是,∵,,∴,即,即,取,…设二面角S﹣CD﹣E的平面角大小为θ,由图可知θ为锐角,∴,即二面角S﹣CD﹣E 的余弦值为…2016年11月15日。

江苏省苏州中学08-09学年高三上学期期中考试(数学)

江苏省苏州中学08-09学年高三上学期期中考试(数学)

江苏省苏州中学2008-2009学年度第一学期中考试高三数学本试卷文科满分160分,考试时间120分钟.理科满分200分,考试时间150分钟 解答直接做在答案专页上.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>,则M N = ▲ 2.命题“若a b =-,则22a b =”否命题的真假为 ▲3.函数()f x =的定义域为A ,若2A ∉,则a 的取值范围为 ▲4.已知等差数列{}n a 的公差为2,若245,,a a a 成等比数列,则2a 的值为 ▲ 5.等差数列{}n a 的公差0d <,且22111a a =,则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n = ▲6.等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,333S a =,则公比q = ▲7.已知函数2log ,0,()2,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =,则a = ▲ 8.若函数()lg(42)x f x k =-⋅在(],2-∞上有意义,则实数k 的取值范围是 ▲ 9. 函数2sin(2),,662y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ 10.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象向 ▲ 平移 ▲ 个单位长度11.当04x π<<时,函数22c o s ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 ▲ _12.①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ②存在区间(a ,b )使x y cos =为减函数而x sin <0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值,又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题正确的为 ▲13.若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数,则实数k 的取值范围是 ▲14.函数()22log 1log 1x f x x -=+,若()()1221f x f x +=(其中1x 、2x 均大于2),则()12f x x 的最小值为 ▲二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分15分))33sin(32)(πω+=x x f (ω>0)(1)若f (x +θ)是周期为2π的偶函数,求ω及θ值 (2)f (x )在(0,3π)上是增函数,求ω最大值.16.(本题满分20分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,121,2a a ==,且点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上(1)求k 的值;(2)求证{}n a 是等比数列;(3)记n T 为数列{}n S 的前n 项和,求10T 的值.17.(本题满分20分)设函数2()1f x ax bx =++(a ,b 为实数),()(0)()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立,求()F x 表达式;(2)在(1)的条件下,当[]3,3x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围;18.(本题满分15分)已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+(2n ≥,*n ∈N ). (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设14(1)2(n a n n n b λλ-=+-⋅为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n b b >+1成立.19.(本题满分10分)已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.(I )求)(x f 、)(x g 的表达式;(II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若212)(xbx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.20.(本题满分10分)已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数,且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根. (Ⅰ)求c 的值,并求出b 和d 的取值范围; (Ⅱ)求证:(1)2f ≥;(Ⅲ)求||βα-的取值范围,并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.拟稿:朱威 张中华 校对:张中华 审阅:王思俭理科附加题21.(本题满分10分)计算由223,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积22.(本题满分10分)周长为12的矩形围成圆柱(无底),当矩形的体积最大时,圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少?23.(本题满分20分)如图,111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y (120n y y y <<<< )是曲线C :23y x =(0y ≥)上的n 个点,点(,0)i i A a (1,2,3,,i n = )在x 轴的正半轴上,且1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点).(Ⅰ)写出1a 、2a 、3a ;(Ⅱ)求出点(,0)n n A a (n *∈N )的横坐标n a 关于n 的表达式; (Ⅲ)设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ,若对任意的正整数n ,当[1,1]m ∈-时,不等式2126n t mt b -+>恒成立,求实数t 的取值范围.拟稿:朱威 张中华 校对:张中华 审阅:王思俭江苏省苏州中学2008-2009学年度第一学期中考试高三数学答案一、填空题(每小题5分,共70分)1. (2,3)2. 假命题3. (1,3)4. -85. 5或66. 12-或1 7. 8. 1(,)-∞9. 21[,]-- 10. 右,3π11. 4 12. ④ 13. [2,)-+∞ 14.23二、解答题(共6小题 共90分)15. (1)13ω=, 6,()k k Z πθπ=+∈.(2) ω最大值为16.16. (1)2k =(2){}n a 是公比为2的等比数列(3)21n n S =-, 11102122036T =-=. 17. 解:(1)∵ (1)0f -=, ∴1b a =+.由()0f x ≥恒成立,知2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤, ∴ a =1. 从而2()21f x x x =++.∴ 22(1)(0)()(1)(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩.(2)由(1)可知2()21f x x x =++,∴2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+.由于()g x 在[]3,3-上是单调函数,知232k --≤-或232k--≥, 解得4k ≤-或8k ≥.18. 解:(1)由已知,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+.(2)∵1n a n =+,∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅,要使n n b b >+1恒成立,∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立,∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立,∴()1112n n λ---<恒成立.(ⅰ)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,∴1λ<.(ⅱ)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-,∴2λ>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-.综上所述,存在1λ=-,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>.19. 解: (I ),2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①又x ax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② 由①②得2=a .∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=(II )由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, 当10≠>x x 且时,)(x h >0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x >0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.(III )设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-所以:11≤<-b 为所求范围.20. 解(1)](]((),0f x -∞ 在上是增函数,在0,2上是减函数20'()0'()32'(0)0x f x f x x bx c f ∴===++∴= 是的根又0c ∴=()0,2,(2)0840'(2)01240384f x f b d f b b d b αβ=∴=∴++=≤∴+≤∴≤-=-- 又的根为又又4d ∴≥(2)(1)1(2)0f b df =++=843(1)18473d b b f b b b∴=--≤-∴=+--=--且2≥(3)()0f x αβ= 有三根,2,32()()(2)()(2)222f x x x x x x b d αβαβαβαβαβ∴=---=-++⋅-++=-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩222222||()4(2)244168412(2)163||3b d b b bb b b b βααβαββα∴-=+-=++=++--=--=--≤-∴-≥ 又当且仅当b=-3时取最小值,此时d=432()34f x x x ∴=-+.理科附加题答案 21. 92S = 22. 1:223. 解:(Ⅰ)12a =,26a =,312a =;(2)依题意,得12n n n a a x -+=,12n n n a a y --,由此及23nn y x =得2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭,即211()2()n n n n a a a a ---=+. 由(Ⅰ)可猜想:(1)n a n n =+(n *∈N ). 下面用数学归纳法予以证明: (1)当1n =时,命题显然成立;(2)假定当n k =时命题成立,即有(1)n a k k =+,则当1n k =+时,由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++,即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=,解之得1(1)(2)k a k k +=++(1(1)k k a k k a +=-<不合题意,舍去), 即当1n k =+时,命题成立.由(1)、(2)知:命题成立. (Ⅲ)12321111n n n n nb a a a a +++=++++ 111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++++++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 令1()2f x x x =+(1x ≥),则21()2210f x x'=-≥->,所以()f x 在[1,)+∞上是增函数,故当1x =时,()f x 取得最小值3,即当1n =时,max 1()6n b =.2126n t mt b -+>(n *∀∈N ,[1,1]m ∀∈-)2max 112()66n t mt b ⇔-+>=,即220t mt ->([1,1]m ∀∈-)222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩. 解之得,实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞ .。

江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题

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江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、多选题三、填空题15.如图,一个半径为上的三等分点,则CF四、双空题16.已知函数()3=f x的取值范围为五、问答题f x=17.已知函数()f x的最小值及取得最小值时(1)求()f x的图象向右平移(2)若()∠的平分线长为18.在①BAC357AH=这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.19中,角A,B,ABC(1)求c;∠的大小(2)若,求BAC注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.如图,在四棱锥∠= ,平面PDB90DAB(1)求证:PD ⊥平面ABCD ;(2)求二面角D PC B --的余弦值.20.已知函数()f x 满足2()e 2x f x x x =-+.(1)求()f x 的单调区间;(2)若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.21.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11a =,21221++=++n n S S n n .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若11b =,1(1)++-=n n n n b b a ,求数列{}n b 的前n 项和n T .六、证明题22.已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x .(1)若()f x 在区间(1,2)上有极值,求实数a 的取值范围;(2)当01a <<时,求证:()f x 有两个零点1x ,2x 12()x x ≠,且12()()0''+<f x f x .。

江苏省苏州市高三上学期数学期中考试试卷

江苏省苏州市高三上学期数学期中考试试卷

江苏省苏州市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题;共16分)1. (1分) (2017高一上·上海期中) 已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a 的取值范围是________.2. (1分) (2018高二下·葫芦岛期中) 有下列四个命题:①若z∈C,则z2≥0;②若a>b ,则a+i>b+i;③若x ,y∈R,则x+yi=1+i的充要条件为x=y=1;④若实数a与复数ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的序号是________.3. (2分) (2019高一上·台州期中) 函数的定义域是________,值域是________.4. (1分) (2019高三上·安顺模拟) 某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列,现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人,则应从高二年级抽取的学生人数为________.5. (1分)执行右侧的程序框图,若输入,则输出 ________.6. (1分) (2018高二下·陆川月考) 9粒种子分种在3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。

假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用表示补种费用,则的数学期望值等于________.7. (1分)若,那么cos(π﹣α)=________8. (1分) (2017高三上·湖南月考) 已知向量夹角为,,对任意,有,则的最小值是________.9. (1分)(2020·阿拉善盟模拟) 已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于________.10. (1分) (2016高二上·中江期中) 圆C1:x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2:x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交,则m的取值范围是________.11. (2分) (2017高二下·海淀期中) 设函数f(x),g(x)在区间(0,5)内导数存在,且有以下数据:x1234f(x)2341f′(x)3421g(x)3142g′(x)2413则曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是________;函数f(g(x))在x=2处的导数值是________.12. (1分) (2018高三上·西安模拟) 设函数,则满足的的取值范围是________.13. (1分) (2018高三上·邹城期中) 已知函数是定义在上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为________.14. (1分) (2018高二上·嘉兴月考) 二次函数 f ( x ) = a x 2 −4 x + c的值域为,且,则的最大值是________.二、解答题 (共12题;共100分)15. (10分)如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点.(1)证明:平面PBE⊥平面PAC(2)试在BC上找一点F,使AD∥平面PEF?并说明理由.16. (10分) (2018高一下·山西期中) 已知 .(1)若,且,求角的值;(2)若,求的值.17. (5分) (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.18. (15分)(2016·江苏模拟) 将一个半径为3分米,圆心角为α(α∈(0,2π))的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于α的函数关系式;(2)当α为何值时,V取得最大值;(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球?请说明理由.19. (5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn , an>0,a1=,且﹣,,成等差数列.求数列{an}的通项公式20. (10分) (2017高三上·宿迁期中) 设命题p:对任意的,sin x≤ax+b≤tanx恒成立,其中a,b∈R.(1)若a=1,b=0,求证:命题p为真命题.(2)若命题p为真命题,求a,b的所有值.22. (5分)(2020·南京模拟) 已知圆经矩阵变换后得到圆,求实数的值.23. (5分)(2017·黑龙江模拟) 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为:,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)已知直线l1:,射线与曲线C的交点为P,l2与直线l1的交点为Q,求线段PQ的长.24. (5分)已知函数f(x)=(x﹣a)2+(x﹣b)2+(x﹣c)2+(a,b,c为实数)①求f(x)的最小值m(用a,b,c表示);②若a﹣b+2c=3,求(1)中m的最小值.25. (10分) (2017高三上·山东开学考) 自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:产假安排(单位:周)1415161718有生育意愿家庭数48162026(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;②如果用ξ表示两种方案休假周数和.求随机变量ξ的分布及期望.26. (10分) (2016高二上·嘉定期中) 已知数列{an}满足条件(n﹣1)an+1=(n+1)(an﹣1),且a2=6,(1)计算a1、a3、a4,请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明;(2)设bn=an+n(n∈N*),求的值.参考答案一、填空题 (共14题;共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共12题;共100分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、。

江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷

江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷

江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题;共12分)1. (1分)(2017·苏州模拟) 已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,X∈U},则A∩(∁UB)=________.2. (1分) (2019高一下·上海月考) 已知函数()的图像经过点,函数的图像经过点,则 ________.3. (1分) (2019高一上·赣榆期中) 已知是上的奇函数,当时, .若在区间上的值域为,则实数的取值范围是________.4. (1分) (2016高一上·浦东期末) 若集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}满足A∩B={1},则实数a=________.5. (1分)在正三棱柱△ABC﹣△A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,若BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________6. (1分)(2017·南开模拟) 某人5次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为m,n,5,6,4.已知这组数据的平均数为5,方差为2,则|m﹣n|的值为________.7. (1分)(2017·温州模拟) 若关于x的不等式|x|+|x+a|<b的解集为(﹣2,1),则实数对(a,b)=________.8. (1分) (2015高二上·柳州期末) 在x(1+ )6的展开式中,含x3项系数是________.(用数字作答)9. (1分)(2017·扬州模拟) 已知一组数据为8,12,10,11,9.则这组数据方差为________.10. (1分)(2017·辽宁模拟) 设偶函数f(x)对任意x∈R,都有,且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=2x,则f(113.5)的值是________.11. (1分)(2017·衡阳模拟) 已知函数f(x)=log (x2+ )﹣| |,则使得f(x+1)<f(2x﹣1)成立x的范围是________.12. (1分)如图甲,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,D为.垂足,则AB2=BD•BC,该结论称为射影定理.如图乙,在三棱锥A﹣BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O在△BCD内,类比射影定理,探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系是________二、选择题 (共6题;共12分)13. (2分) (2017高二下·湖北期中) 已知函数f(x)=x2+ ,则“a<2”是“函数f(x)在(1,+∞)上为增函数”的()A . 充分而不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. (2分) (2016高一下·雅安期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ,则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有()A . 1条B . 2条C . 4条D . 无数条15. (2分)某单位36名员工分为老年、中年、青年三组,人数之比为3:2:1,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本,则青年组中甲、乙至多有一人被抽到的概率为()A .B .C .16. (2分)空间几何体的外接球,理解为能将几何体包围,几何体的顶点和弧面在此球上,且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()A .B .C .D .17. (2分) (2019高一上·杭州期中) 不等式的解集是区间的子集,则实数的取值范围是()A .B .C .D .18. (2分) (2016高二下·温州期中) 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是()B . y=﹣x2+1C . y=2xD . y=lg|x+1|三、解答题 (共5题;共45分)19. (10分)如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?20. (10分) (2016高二上·马山期中) 解答题(1)(1)求不等式的解集:﹣x2+4x+5<0(2)求函数的定义域:.21. (5分) (2016高二上·合川期中) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC 的中点;(I)求异面直线A1B,AC1所成角的余弦值;(II)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值.22. (10分)某单位生产A、B两种产品,需要资金和场地,生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示:资源资金(万元)场地(平方米)产品A2100B350现有资金12万元,场地400平方米,生产每吨A种产品可获利润3万元;生产每吨B种产品可获利润2万元,分别用x,y表示计划生产A、B两种产品的吨数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问A、B两种产品应各生产多少吨,才能产生最大的利润?并求出此最大利润.23. (10分)若函数f(x)=ax3﹣bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值﹣.(1)求函数的解析式;(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.参考答案一、填空题 (共12题;共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共6题;共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题;共45分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

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江苏省苏州中学2008-2009学年度第一学期中考试高三数学本试卷文科满分160分,考试时间120分钟.理科满分200分,考试时间150分钟解答直接做在答案专页上.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>,则MN = ▲2.命题“若a b =-,则22a b =”否命题的真假为 ▲3.函数()f x =的定义域为A ,若2A ∉,则a 的取值范围为 ▲4.已知等差数列{}n a 的公差为2,若245,,a a a 成等比数列,则2a 的值为 ▲5.等差数列{}n a 的公差0d <,且22111a a =,则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n = ▲6.等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,333S a =,则公比q = ▲7.已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =,则a = ▲8.若函数()lg(42)x f x k =-⋅在(],2-∞上有意义,则实数k 的取值范围是 ▲ 9. 函数2sin(2),,662y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ 10.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象向 ▲ 平移▲ 个单位长度11.当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 ▲ _12.①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ②存在区间(a ,b )使x y cos =为减函数而x sin <0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值,又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题正确的为 ▲13.若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数,则实数k 的取值范围是 ▲ 14.函数()22log 1log 1x f x x -=+,若()()1221f x f x +=(其中1x 、2x 均大于2),则()12f x x 的最小值为 ▲二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分15分))33sin(32)(πω+=x x f (ω>0)(1)若f (x +θ)是周期为2π的偶函数,求ω及θ值 (2)f (x )在(0,3π)上是增函数,求ω最大值.16.(本题满分20分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,121,2a a ==,且点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上(1)求k 的值;(2)求证{}n a 是等比数列;(3)记n T 为数列{}n S 的前n 项和,求10T 的值.17.(本题满分20分)设函数2()1f x ax bx =++(a ,b 为实数),()(0)()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立,求()F x 表达式;(2)在(1)的条件下,当[]3,3x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围;18.(本题满分15分)已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+(2n ≥,*n ∈N ). (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设14(1)2(na nn n b λλ-=+-⋅为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n b b >+1成立.19.(本题满分10分)已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.(I )求)(x f 、)(x g 的表达式;(II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.20.(本题满分10分)已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数,且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根. (Ⅰ)求c 的值,并求出b 和d 的取值范围; (Ⅱ)求证:(1)2f ≥;(Ⅲ)求||βα-的取值范围,并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.理科附加题21.(本题满分10分)计算由223,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积拟稿:朱威 张中华 校对:张中华 审阅:王思俭22.(本题满分10分)周长为12的矩形围成圆柱(无底),当矩形的体积最大时,圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少?23.(本题满分20分)如图,111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y (120n y y y <<<<)是曲线C :23y x =(0y ≥)上的n 个点,点(,0)i i A a (1,2,3,,i n =)在x 轴的正半轴上,且1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点).(Ⅰ)写出1a 、2a 、3a ;(Ⅱ)求出点(,0)n n A a (n *∈N )的横坐标n a 关于n 的表达式; (Ⅲ)设12321111n n n n nb a a a a +++=++++,若对任意的正整数n ,当[1,1]m∈-时,不等式2126n t mt b -+>恒成立,求实数t 的取值范围.拟稿:朱威 张中华 校对:张中华 审阅:王思俭江苏省苏州中学2008-2009学年度第一学期中考试高三数学答案一、填空题(每小题5分,共70分)1. (2,3)2. 假命题3. (1,3)4. -85. 5或66. 12-或1 7. 8. 1(,)-∞9. 21[,]-- 10. 右,3π11. 4 12. ④ 13. [2,)-+∞ 14.23二、解答题(共6小题 共90分)15. (1)13ω=, 6,()k k Z πθπ=+∈.(2) ω最大值为16.16. (1)2k =(2){}n a 是公比为2的等比数列(3)21n n S =-, 11102122036T =-=. 17. 解:(1)∵ (1)0f -=, ∴1b a =+.由()0f x ≥恒成立,知2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤, ∴ a =1. 从而2()21f x x x =++.∴ 22(1)(0)()(1)(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩.(2)由(1)可知2()21f x x x =++,∴2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+.由于()g x 在[]3,3-上是单调函数,知232k --≤-或232k--≥,解得4k ≤-或8k ≥.18. 解:(1)由已知,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+.(2)∵1n a n =+,∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅,要使n n b b >+1恒成立,∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立,∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立,∴()1112n n λ---<恒成立.(ⅰ)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,∴1λ<.(ⅱ)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-,∴2λ>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-.综上所述,存在1λ=-,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>.19. 解: (I ),2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①又x ax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② 由①②得2=a .∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=(II )由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, 当10≠>x x 且时,)(x h >0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x >0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.(III )设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-所以:11≤<-b 为所求范围.20. 解(1)](]((),0f x -∞在上是增函数,在0,2上是减函数20'()0'()32'(0)0x f x f x x bx c f ∴===++∴=是的根又0c ∴=()0,2,(2)0840'(2)01240384f x f b d f b b d b αβ=∴=∴++=≤∴+≤∴≤-=--又的根为又又4d ∴≥(2)(1)1(2)0f b d f =++=843(1)18473d b b f b b b∴=--≤-∴=+--=--且2≥(3)()0f x αβ=有三根,2,32()()(2)()(2)222f x x x x x x b d αβαβαβαβαβ∴=---=-++⋅-++=-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩222222||()4(2)244168412(2)163||3b d b b bb b b b βααβαββα∴-=+-=++=++--=--=--≤-∴-≥又当且仅当b=-3时取最小值,此时d=432()34f x x x ∴=-+.理科附加题答案 21. 92S = 22. 1:223. 解:(Ⅰ)12a =,26a =,312a =;(2)依题意,得12n n n a a x -+=,12n n n a a y --,由此及23nn y x =得2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭, 即211()2()n n n n a a a a ---=+. 由(Ⅰ)可猜想:(1)n a n n =+(n *∈N ). 下面用数学归纳法予以证明: (1)当1n =时,命题显然成立;(2)假定当n k =时命题成立,即有(1)n a k k =+,则当1n k =+时,由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++,即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=,解之得1(1)(2)k a k k +=++(1(1)k k a k k a +=-<不合题意,舍去), 即当1n k =+时,命题成立.由(1)、(2)知:命题成立. (Ⅲ)12321111n n n n nb a a a a +++=++++111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++++++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 令1()2f x x x =+(1x ≥),则21()2210f x x'=-≥->,所以()f x 在[1,)+∞上是增函数,故当1x =时,()f x 取得最小值3,即当1n =时,max 1()6n b =.2126n t mt b -+>(n *∀∈N ,[1,1]m ∀∈-)2max 112()66n t mt b ⇔-+>=,即220t mt ->([1,1]m ∀∈-)222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩. 解之得,实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞.。

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