江苏省苏州中学高三数学上学期期中考试

江苏省苏州中学2008－2009学年度第一学期中考试

高三数学

本试卷文科满分160分，考试时间120分钟．理科满分200分，考试时间150分钟

解答直接做在答案专页上．

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分

1．已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>，则M

N = ▲

2．命题“若a b =-，则2

2

a b =”否命题的真假为 ▲

3．函数()f x =

的定义域为A ，若2A ∉，则a 的取值范围为 ▲

4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若245,,a a a 成等比数列，则2a 的值为 ▲

5．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n = ▲6．等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q = ▲

7．已知函数2log ,0,()2,

0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ▲

8．若函数()lg(42)x f x k =-⋅在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是 ▲ 9． 函数2sin(

2),,662y x x π

ππ⎡⎤

=-∈⎢⎥⎣⎦

的值域为 ▲ 10．为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 ▲ 平移

▲ 个单位长度

11．当04x π

<<时,函数22cos ()cos sin sin x

f x x x x

=-的最小值是 ▲ _

12．①存在)2

,

0(π

α∈使3

1

cos sin =

+a a ②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2

sin(2cos x x y -+=π

既有最大、最小值，又是偶函数

⑤|6

2|sin π

+

=x y 最小正周期为π

以上命题正确的为 ▲

13．若函数()23

k k

h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ▲ 14．函数()22log 1

log 1

x f x x -=

+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最

小值为 ▲

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（本题满分15分）)3

3sin(32)(π

ω+=x x f （ω＞0）

（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x )在（0，3

π

）上是增函数，求ω最大值.

16．（本题满分20分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,)n n S S +在直线1

y kx =+上

（1）求k 的值；

（2）求证{}n a 是等比数列；

（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值.

17．（本题满分20分）设函数2()1f x ax bx =++（a ,b 为实数），()(0)

()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩

.

（1）若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 表达式；

（2）在（1）的条件下，当[]3,3x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；

18．（本题满分15分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足

1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）

． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

4(1)

2(n

a n

n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ）

，试确定λ的值，使得对任意

*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．

19．（本题满分10分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.

（I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；

（II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若2

1

2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.

20．（本题满分10分）已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根. （Ⅰ）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围; （Ⅱ）求证：(1)2f ≥；

（Ⅲ）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.

理科附加题

21．（本题满分10分）计算由2

23,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积

拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭

22．（本题满分10分）周长为12的矩形围成圆柱（无底），当矩形的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？

23．（本题满分20分）如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）是曲

线C ：23y x =

（0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形

（0A 是坐标原点）．

（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；

（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设123

2111

1

n n n n n

b a a a a +++=

++++

，若对任意的正整数n ，当[1,1]m

∈-时，不等式2126

n t mt b -+

>恒成立，求实数t 的取值范围．

拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭