常微分方程的初等解法_论文
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
![浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]](https://img.taocdn.com/s3/m/6c8ab155524de518974b7d0d.png)
， （1）
为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如 ， ，是一阶常微分方程。 是二阶常微分方程。设 定义于区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即
，
就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称 为该解的定义区间。[5]
2.2
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
3 常微分方程的数值
3.1 常微分方程求解的数学思想
从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用联系、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方程问题化为低阶方程问题，在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范例。
常微分方程发展的初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨成专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉则试图用积分因子统一处理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。[8]
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔在1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”，转向“求定解”时代。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数幂级数等近似方法的研究。[8]
， ，其中 （1）
值 称为步长。然后近似解
在 上， （2）
设 ， 和 连续，利用泰勒定理将 在 处展开，对每个值 ，存 在一个 和 之间的值 ，使得
， （3）
将 和 代人等式（3），得到 的表示：
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicitdifferential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................... 1 2.变量分离方程与变量变换 . (1)2.1变量分离方程的解法 ....................... 1 2.2变量分离方程的举例 ....................... 2 2.3变量分离方程的几种类型 (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 .................... 6 3.2伯努利微分方程 . (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 .......................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 .............................. 21 参考文献 ..................... 错误!未定义书签。
(完整版)常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
学年论文一阶常微分方程的初等解法
摘 要
一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程），三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。
一阶隐方程的一般形式为
（1）形如 的方程的解法，这里假设 有连续的偏导数。引进参数 ，则变为 将两边对 求导数，并以 代入，得到
方程是关于 ， 的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出它的解。
若已求得的通解的形式为 将它代入，得到
这就是得通解。
若求得的通解的形式为 ，则得到的参数形式的通解为
，
这里 是任意常数。
齐次微分方程 ，
令 ，方程可化为分离变量的方程， 。
分式线性方程
下面分三种情形来讨论：
ⅰ） ，这时 为齐次方程。
ⅱ） 及 ，这时可作变换 ，其中 是线性代数方程 的唯一解，可将方程化为齐次方程 。
ⅲ） 及 ，这时可设 ，方程可化为 ，
再令 ，则方程可进一步化为 ，这是一个变量可分离方程。
第二项经化简后，成为
例3设有如图的电路，其中 为交流电源的电动势； 为电阻，当
电流为 时，它产生的电压降为 ； 为电感，它产生电压降 ， 为一常数。今设时刻 时，电路的电流为 ，求电流 与时间 的关系。
解根据基尔霍夫定律，有如下关系
整理后，得到关于 的线性方程式
即要求解初值问题
由线性微分方程求解公式有
积分后得到
浅谈常微分方程初值问题数值解法
浅谈常微分方程初值问题数值解法在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中，常常会遇见一阶常微分方程的求解问题：()上述问题，寻求解的具体表达式十分困难，仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式，在大多情况下，初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式，但因为这些表达式过于复杂，要计算它在某些点上的函数值也异常困难。
在实际问题中，经常需要的恰是解在某些点上的函数值，因此研究初值问题的数值解法十分必要。
1 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程的近似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法；第三类是数值解法，即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值，此数值解仅为精确解的近似解。
其基本原理为：一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数，因此求上述问题的数值解，就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题，从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。
由常微分方程的理论可知，只要在区域内连续，且关于满足林普希兹条件，则方程的解存在且唯一。
初值问题的数值解法通常采取“步进法”，而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。
（1）单步法。
所谓“单步法”是指在计算时，只用到前一步的有关信息。
其一般形式为：，主要包括下面三种方法：Euler方法，改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。
（2）线性多步法。
单步法没有用到前几步计算得到的信息，因此为了提高精度，需重新计算多个点处的函数数值，如RK方法，故计算量较大。
线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。
多步法常用方法是线性多步法，求解公式为：构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。
常用的线性多步公式有：四阶Adams显式公式：四阶Adams隐式公式：四阶Milne显式公式：三阶Hamming公式：（隐式公式）预测校正系统和预测校正修正法：一般地，同阶的隐式法比显式法精确，而且数值稳定性好，但隐式公式中的求解较难，需要用到迭代法，这就增加了计算量。
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。
这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。
但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。
这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。
此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。
因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
常微分方程初值解问题数值解的实现和分析
常微分方程初值解问题数值解的实现和分析摘要此次课程设计是简单介绍几种常微分方程的初值问题数值解的求法以及其matlab 实现。
在这次课程设计中我对几种常见的数值解法做了简单介绍如Eulor 方法，改进Eulor 方法，Runge —Kutta 方法，Adams 方法等，在这里我们仅给予了简单的推到和介绍。
对于一些方法我给出相应的流程图以及简单的算法分析，最后参考多种方法选取了三种典型的代表方法并给出相应的程序。
最后我们根据具体的要求针对方程：'''6416cos 8(0)0(0)0y y xy y ⎧+=⎨==⎩我给出相应的程序编写和使用方法，仅供参考使用。
关键词：微分方程的数值解，Eulor 方法，Runge —Kutta 方法，Adams 预测—校验目录1 引言 (1)2 常用的方法 (2)2.1 Euler方法 (2)2.2 改进的Euler方法 (5)2.3 Runge-Kutta方法 (5)2.3.1 二级Runge-Kutta法 (6)2.3.2 常用四阶Runge-Kutta 法 (6)2.4 线性多步法 (7)2.4.1 Adams方法 (8)2.4.2 Adams预测—校正系统 (10)2.5 一阶微分方程组和高阶微分方程 (10)3 程序开发思路及简单注解 (11)3.1 改进欧拉算法级程序 (12)3.2 四阶龙格―库塔算法及其程序： (13)3.3 Adams预测校—正系统 (16)4 求解例题 (19)4.1 高阶方程的转化和真实解的求解 (19)4.2 改进Eulor方法求解 (20)4.3 四阶Runge—Kutta方法求解 (21)4.4 四阶Adams预测—校正系统方法求解 (23)5 结果及误差分析 (24)小结 (26)参考文献 (27)附录： (28)附录1 (28)附录2 (29)附录3 (30)附录4 (31)翻译 (33)1 引言微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分方程数值解。
常微分方程初等解法及其求解技巧
目 录摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ............................................................. I Key words ........................................................... I 1.前 言 ............................................................ 1 2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1 2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1 2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2 2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2 2.2常数变易法 ..................................................... 7 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8 2.3积分因子法 .................................................... 13 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14 3.1几个重要的变换技巧及实例 .. (15)3.1.1变dx dy 为dy dx................................................15 3.1.2分项组合法组合原则 ........................................ 16 3.1.3积分因子选择 .............................................. 17 参考文献 .......................................................... 18 致 谢 (19)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary DifferentialEquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前 言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律. 2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义 1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
《常微分方程的数值解法》论文
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
常微分方程的解法及应用_(常见解法及举实例)——高数论文
华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年 05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution ofdifferential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。
常微分方程的解法及其应用实例
常微分方程的解法及其应用实例常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是应用数学的一个重要分支，它被广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，是研究自然现象、解决实际问题的重要工具。
本文将介绍常微分方程的解法及其应用实例。
一、常微分方程的解法对于一个一阶常微分方程，可以利用变量分离、恰当形式、一次齐次、一阶线性、伯努利等方法解方程；对于高阶常微分方程，需要使用一些特殊的技巧和方法来求解。
1. 变量分离法对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果可以写成f(x)dx=g(y)dy的形式，就可以使用变量分离法求解。
其基本思想是将全部x及y分离到方程等号两边，并进行积分。
例如，求解dy/dx=2x/(1+y)可以写成(1+y)dy=2xdx，从而积分得到y+ln(1+y)=x^2+C，其中C为任意常数。
2. 恰当形式法如果一个方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并且可以找到一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，就称该方程是恰当形式的。
对于恰当形式的方程，解法就是将方程左右两边同时对x和y分别求偏导数，然后利用偏导数的交错性进行积分。
例如，对于方程(2xy+3y)dx+(x^2+3x)dy=0，可以发现∂M/∂y=3和∂N/∂x=3，因此该方程是恰当形式的。
求得u=∫(2xy+3y)dx=(x^2)y+3xy，从而得到其通解为(x^2)y+3xy+(1/3)(x^3)=C，其中C为任意常数。
3. 一次齐次法一阶齐次方程形如dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x的函数。
将y/x表示为u，可以得到dy/dx=u+f(u)，如果对于此方程有一个够好的u的解析解，则可以解出y/x的表达式，从而求得y的解析解。
求解的基本思路是令v=y/x，则y=vx，dy/dx=v+x(dv/dx)，将其代入原方程，即得dv/(v+f(v))=dx/x，从而求得u的表达式，从而得到y的表达式。
常微分方程的解法及其应用
常微分方程的解法及其应用在物理学、工程学、经济学等领域的建模和分析中，常微分方程的解法和应用具有重要的意义。
本文将介绍一些基本的常微分方程的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指只包含一个自变量和它的一阶或高阶导数的方程。
例如，y''+2y'+y=0就是一个二阶常微分方程，其中y是自变量的函数。
常微分方程通常用符号y'(t)表示y对时间t的导数。
在解常微分方程时，主要任务是找到y(t)的函数形式，使得它满足给定的微分方程和初始条件。
初始条件可能是y(0)=a和y'(0)=b之类的信息。
二、常微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是一种适用于第一阶微分的方法。
当方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)时，我们可以将其转化为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边积分即得到y(x)的解析式。
例如，dy/dx=2x/(1+y^2),我们可以将其转化为dy/(1+y^2)=2xdx，然后对两边积分即可求解。
2.常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，其中a 和b是常数。
对于这种类型的微分方程，有特征方程r^2+ar+b=0，解得特征根r1和r2，然后根据通解公式y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)求解。
其中，c1和c2是待定系数，由初始条件求得。
3.欧拉方程的解法欧拉方程是指形如ax^2y''+bxy'+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数。
解欧拉方程需要做一个变量替换，设置y=x^r，然后求得r满足的特征方程ar^2+(b-a)r+c=0的两个根r1和r2，通解为y=c1x^r1+c2x^r2。
4.变换系数法变换系数法是对不齐次线性微分方程使用，它可以将y''+ay'+by=f(x)这样的方程转化为(r^2+ar+b)y=g(x)，其中g(x)是已知的函数。
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]
![浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/b627964ecfc789eb172dc88e.png)
文献综述信息与计算科学浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。
二、主体部分2.1微分方程概念介绍2.1.1 微分方程概况由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx=x ，dy y dx = ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt pθθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ϕ=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dxϕϕϕ=∈. 就称y ＝()x ϕ为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程产生的历史背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法形如，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的，分别是x，y的连续函数。
如果，我们可将（2.1）改写成，这样变量就“分离”开来了。
两边积分得到，（2.2）。
例1：方程就可以用变量分离法求解方程解：变量分离，得到，两边积分，即得，因而，通解为，（c为任意常数）2.2、可化为变量分离方程的类型(1) 形如，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是u的连续函数。
作变量变换，（2.4）即，于是，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为，整理后，得到,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程就是一个可以化为变量分离的方程。
解这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为。
即。
将上式分离变量，既有，两边积分，得到，（为任意常数）整理，得到，令，得到将代入上式，得到方程的通解为(2)形如,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，，，，，，均为常数。
我们分三种情况来讨论：① (常数)情形。
这时方程化为，有通解，其中c 为任意常数。
②情形。
令，这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。
③情形。
如果方程(2.7)中，不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此（2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为。
若令（2.9）。
则（2.8）化为从而（2.7）变为，（2.10）。
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。
如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取变换即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。
例3 方程就可以用上述方法来求解。
解 解方程组得x=1，y=2.令代入原方程，则有,再令,即,则上式化为，两边积分，得 ，因此 ，记，并代回原变量，得，把代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-整理，得 (c 为任意常数)2.3、线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程，（2.9）。
其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。
若Q （x ）=0，（2.9）变为，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。
若，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。
（2.10）是变量分离方程它的解为，（2.11）这里的c 为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x的待定函数c(x).令，（2.12）微分之，得到⎰+⎰=dx x p dx x p e x p x c e dxx dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（ 2.12）,(2.13)代入（ 2.9），得到)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x p dx x p dx x p +⎰=⎰+⎰。
即，积分后得到，这里的是任意常数。
将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解⎰+⎰⎰=-))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p ，（2.14）。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。
常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。
例4 方程（n 为常数）就可以用常数变易法求解。
解 将方程改写为 ，①首先，求齐次线性微分方程的通解从 ，得到齐次线性微分方程的通解其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。
为此，在上式中把c 看成为x 的待定函数c （x ）,即，②微分之，得到 )()1()1()(1x c x n x dxx dc dx dy n n ++++=，③把②，③代入①，得到 ，积分之，求得因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解， （为任意常数）2.4、恰当微分方程与积分因子2.4.1恰当微分方程如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，的左端恰好是某个二元函数的全微分，即+=则称原式为恰当微分方程。
容易验证恰当微分方程的通解就是,这里的c 为任意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质。
和分别对y ，x 求偏导，得到，，由得连续性，可得，故,这就是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。
利用公式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐)(222222y x y x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。
解 把方程重新“分项组合”得到066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x即 033222243=+++dy x dx y dy dx或者写成于是，方程的通解为 ，（c 为任意）2.4.2、积分因子如果存在连续可微的函数，使得x+=0为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的积分因子，而积分因子不是唯一的。
这时是方程的通解，因而也就是0)﹐()﹐(=+dy y x N dx y x M 的通解。
由（2.15）看到，同一方程可以有不同的积分因子，，，。
可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。
因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。
根据上述可知，函数为方程的积分因子的充要条件是，即μμμ)(xN y M y M x N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂。
对于方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M ，如果存在只与x 有关的积分因子，则，这时方程μμμ)(xN y M y M x N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂变成，即，由此可知，方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与x 有关的积分因子的充要条件是，这里仅为x 的函数。
假如条件成立，则根据方程，可知求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子是。
同样，0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是，这里的仅为y 的函数。
从而求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子。
例6 求解方程解：，，，，方程不是恰当的因为只与y 有关故方程有只与y 有关的积分因子以乘方程两边，得到或者写成因而，通解为 (c 为任意常数)例7 求方程0)(2223=+++ydy x dx y x x 的通解。
解： 经判断，所以该方程不是恰当方程。
分组得0)(2223=+++dx y x ydy x dx x显然前两项具有积分因子，相应的全微分为，要使得)(1)(122222x yx y x x ψϕ+=+ 成立。
只需取，即可，这样就找到了一个积分因子。
原方程两边同乘，可得，所以通解为。
例8 解方程 0)84()2(3423=+++++dy y xy x dx x y x y 。
解： 方程各项重新组合为()()()08243243=+++++dy y dx x dy xy ydx x xdy ydx ， ()()03244332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++y x d dy y dx x xy xy d ， ()03234343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x d y x xyd xy d ， 此时，可令，上方程化为，解之得，3.常微分方程的多种解法在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解法。
例1 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解。
解: 解法1 不定积分法。
令,，则，所以该方程为恰当方程。
，关于积分，得，32246),()(6y y x y x N y y x yU +=='+=∂∂ϕ， ，，所以通解为C y y x x y x U =++=42233),(。