2020版高中数学第四章框图4_1流程图学案新人教B版选修1_2

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高中数学第四章框图 4.1 流程图预习导航新人教B版选修12

高中数学第四章框图 4.1 流程图预习导航新人教B版选修1-2
工序流程图
工序流程图又称统筹图，常见的一种画法是：将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序(即所谓自顶向下)，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号．两相邻工序之间用流程线相连．有时为合理安排工程进度，还在每道工序框上注明完成该工序所需时间，开始时工序流程图可以画得粗疏，然后再对每一框逐步细化．特别提醒 (1)流程图的作用就是表示一个动态过程或者描述一个过程性的活动，从而指导人们完成某一项任务或者用于交流．
(2)流程图的特征是通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，不允许出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路.,(3)流程图比自然语言描述的过程更加直观、明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序.,(4)流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画，并且自顶向下，逐步细化.
思考如果你是班级里的卫生委员，结合你班级实际，如何安排学校组织的大扫除活动？
提示：要具体结合你所处班级的工作量、工作性质及男、女生比例等综合来考虑(答案不唯一)．
1。

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆幂定理 (Word)

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆幂定理（Word）1．3.1 圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1]弦，它们相交于AB的中点P，PD＝a，∠OAP＝30°，求CP的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt△OAP中，求得AP的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P为AB的中点，∴由垂径定理得OP⊥AB.在Rt△OAP中，BP＝AP＝acos30°＝a.由相交弦定理，得BP·AP＝CP·DP，即2＝CP·a，解之得CP＝a.在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．解析：因为AF＝3，EF＝，FB＝1，所以CF＝＝＝2，因为EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，所以＝＝＝＝，所以BD＝＝＝，且AD＝4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，所以CD＝.答案：43[例2] A，M为PA 的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA为圆O的切线，所以MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.因为∠BMP＝∠PMC，所以△BMP∽△PMC，于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析：设PD＝9t，DB＝16t，则PB＝25t，根据切割线定理得32＝9t×25t，解得t＝，所以PD＝，PB＝5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB＝4.答案：4[例3] PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得：EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得：PA2＝PB·PC，∴PA2＝×.∴PA＝.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析：设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ .答案： 6[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为( )A．5.5 B．5C．6 D．6.5解析：由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝＝＝8.∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.答案：A2．如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PA＝AB＝，CD＝3，则PC等于( )A．2或－5 B．2C．3 D．10解析：设PC＝x，由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即×2 ＝x(x ＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD、AE和BC分别切⊙O于D，E，F，如果AD＝20，则△ABC的周长为( )A．20 B．30C．40 D．35解析：∵AD，AE，BC分别为圆O的切线．∴AE＝AD＝20，BF＝BD，CF＝CE.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE＝40.答案：C4．如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )A. B．22C．2 D．1解析：连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC.∴＝.设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由题知AD、AC均为⊙O的切线，AD＝2，∴AC＝2.∴＝，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2.∴4a4＝8a2，∴a＝.∴BE＝2a＝2.答案：B二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.解析：如图所示，由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为____________．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC ＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，EA＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA ＝×＝，所以CE＝.答案：727.如图，⊙O的弦ED、CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________；CE＝________.解析：由切割线定理知，AB·AC＝AD·AE.即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.∵BD⊥AE，且E、D、B、C四点共圆，∴∠C＝90°.在直角三角形ACE中，AC＝6，AE＝8，∴CE＝＝2.答案：5 278．(重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析：由题意得BC＝AB·sin 60°＝10.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则DE＝5.答案：5三、解答题9．如图，PT切⊙O于T，PAB，PDC是圆O的两条割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长和弦BC的长．解：由已知可得PT2＝PA·PB，且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.同理可得PC＝9，∴CD＝5.∵PD·PC＝PA·PB，∴＝，∴△PDA∽△PBC，∴＝⇒＝，∴BC＝6.10．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2 ，OA＝ OM，求MN的长．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.由条件，根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，所以PM2＝PA·PC.(2)依题意得OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，得BN＝6.所以MN＝BN－BM＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD与⊙O2相切，且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长．解：(1)证明：连接AB，CE，∵CA切⊙O1于点A，∴∠1＝∠D.又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴＝.即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.11 / 11。

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)

a＝4 2，解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b，由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形等知识．

(优选)2020版高中物理第四章电磁波及其应用第1讲电磁波的发现学案新人教版选修1-1

第1讲电磁波的发现[目标定位] 1.理解麦克斯韦电磁场理论的两个支柱：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场.了解变化的电场和磁场相互联系形成统一的电磁场.2.了解电磁场在空间传播形成电磁波.3.了解麦克斯韦电磁场理论以及赫兹实验在物理学发展中的贡献.体会两位科学家研究物理问题的方法.一、伟大的预言1.变化的磁场产生电场(1)在变化的磁场中放一个闭合的电路，由于穿过电路的磁通量发生变化，电路里会产生感应电流.这个现象的实质是变化的磁场在空间产生了电场.(2)即使在变化的磁场中没有闭合电路，也同样要在空间产生电场.2.变化的电场产生磁场变化的电场也相当于一种电流，也在空间产生磁场，即变化的电场在空间产生磁场.3.麦克斯韦不仅预言了电磁波的存在，而且揭示了电、磁、光现象在本质上的统一.想一想麦克斯韦从什么现象认识到变化的磁场能产生电场？关于“变化的电场能够产生磁场”的观点，他是在什么情况下提出的？答案麦克斯韦从法拉第电磁感应现象认识到变化的磁场能够产生电场.麦克斯韦确信自然界规律的统一与和谐，相信电场与磁场有对称之美.他认为：既然变化的磁场能够在空间产生电场，那么变化的电场也能够在空间产生磁场.二、电磁波1.电磁波的产生：如果在空间某区域有不均匀变化的电场，那么这个变化的电场就在空间引起变化的磁场；这个变化的磁场又会引起新的变化电场……于是，变化的电场和磁场交替产生，由近及远地传播.电磁场这样由近及远地传播，就形成电磁波.2.特点(1)电磁波可以在真空中传播.(2)电磁波的传播速度等于光速.(3)光在本质上是一种电磁波.(4)光是以波动形式传播的一种电磁振动.想一想空间存在如图4－1－1所示的电场，那么在空间能不能产生磁场？在空间能不能形成电磁波？图4－1－1答案如图所示的电场是均匀变化的，根据麦克斯韦电磁场理论可知会在空间激发出磁场，但磁场恒定，不会再在较远处激发起电场，故不会产生电磁波.三、赫兹的电火花1.赫兹首先捕捉到电磁波，在以后的一系列实验中，证明了电磁波与光具有相同的性质.他还测得，电磁波在真空中具有与光相同的传播速度c.2.赫兹证实了麦克斯韦关于光的电磁理论.3.赫兹被誉为无线电通信的先驱.后人为了纪念他，把频率的单位定为赫兹.想一想是赫兹预言了电磁波的存在，并用实验证实其存在的吗？答案不是.麦克斯韦预言了电磁波的存在，赫兹通过实验证实了电磁波的存在.一、对麦克斯韦电磁场理论的理解1.变化的磁场产生电场如图4－1－2所示，麦克斯韦认为在变化的磁场周围产生电场，是一种普遍存在的现象，跟闭合电路(导体环)是否存在无关.导体环的作用只是用来显示电流的存在.图4－1－2注意在变化的磁场中所产生的电场的电场线是闭合的；而静电场中的电场线是不闭合的.2.变化的电场产生磁场根据麦克斯韦理论，在给电容器充电的时候，不仅导体中的电流要产生磁场，而且在电容器两极板间变化着的电场周围也要产生磁场.(如图4－1－3所示).图4－1－33.小结(1)变化的磁场在周围空间产生电场，变化的电场也在周围空间产生磁场.(2)均匀变化的磁场产生稳定的电场，均匀变化的电场产生稳定的磁场.(3)振荡的磁场产生同频率振荡的电场，振荡的电场产生同频率振荡的磁场.例1关于电磁场理论的叙述正确的是( )A.变化的磁场周围一定存在着电场，与是否有闭合电路无关B.周期性变化的磁场产生同频率变化的电场C.变化的电场和变化的磁场相互关联，形成一个统一的场，即电磁场D.电场周围一定存在磁场，磁场周围一定存在电场答案AB解析变化的磁场周围产生电场，当电场中有闭合回路时，回路中有电流.若无闭合回路，电场仍然存在，A正确；若形成电磁场必须有周期性变化的电场和磁场，B对，C、D错.针对训练1 如图4－1－4所示是某一固定面的磁通量的变化图象，在它周围空间产生的电场中的某一点场强E应是( )图4－1－4A.逐渐增强B.逐渐减弱C.不变D.无法确定答案 C解析由图象可知，磁场在均匀变化，故在磁场周围产生的电场是稳定不变的.二、对电磁波的理解1.电磁波的形成变化的电场和磁场交替产生，形成电磁场，电磁场由近及远传播，形成电磁波.2.电磁波的特点(1)电磁波是横波.电磁波中的电场和磁场互相垂直，电磁波在与二者均垂直的方向传播.(2)电磁波的传播不需要介质.在真空中传播速度等于光速c＝3.00×108 m/s.(3)电磁场储存电磁能，电磁波的发射过程就是辐射能量的过程.(4)电磁波具有波的一切特性，能够发生反射、折射等现象.例2下列关于电磁波的说法中正确的是( )A.只要电场和磁场发生变化，就能产生电磁波B.电磁波的传播需要介质C.停止发射电磁波，发射出去的电磁波仍能独立存在D.电磁波具有能量，电磁波的传播是伴随着能量向外传递的答案CD解析要想产生持续的电磁波，变化的电场(或磁场)产生的磁场(或电场)必须是非均匀变化的，所以A选项错误；电磁波是物质波，电磁波的传播可以不需要介质而在真空中传播，B选项错误；电磁波可以脱离“波源”而独立存在，C选项正确；电磁波可以使电荷移动，说明电磁波具有能量，电磁波传播的过程，也就是能量的传播过程，所以D正确.针对训练2 关于电磁波在真空中的传播速度，以下说法正确的是( )A.电磁波的频率越高，传播速度越大B.电磁波的波长越长，传播速度越大C.电磁波的能量越大，传播速度越大D.所有电磁波在真空中的传播速度都相等答案 D解析电磁波在真空中的传播速度为光速，与其他因素无关.对麦克斯韦电磁场理论的理解1.关于电磁场理论，下列说法中正确的是( )A.在电场的周围空间一定产生磁场B.任何变化的电场周围空间一定产生变化的磁场C.均匀变化的电场周围空间产生变化的磁场D.振荡电场在周围空间产生变化的磁场答案 D解析由麦克斯韦电磁场基本理论知：不变化的电场周围不产生磁场，变化的电场周围一定产生磁场，产生的磁场性质是由电场的变化情况决定的，均匀变化的电场产生稳定的磁场，不均匀变化的电场产生变化的磁场，振荡的电场产生同频率振荡的磁场，反之亦然，故选项D正确.2.在空间某处存在一个变化的磁场，则下列说法正确的是( )A.在变化的磁场周围一定能产生变化的电场B.在磁场中放一个闭合线圈，线圈里一定有感应电流C.在磁场中放一个闭合线圈，线圈里不一定有感应电流D.变化的磁场周围产生电场，跟闭合线圈的存在与否无关答案CD解析均匀变化的磁场周围产生稳定的电场，A错；在磁场中放置一个闭合线圈，如果穿过线圈的磁通量没有变化，则不会产生感应电动势，也就不会有感应电流，B错，C对；变化的磁场周围一定产生电场，与是否存在线圈无关，D对.对电磁波的理解3.关于电磁场和电磁波，下列叙述中正确的是( )A.均匀变化的电场在它周围空间产生电磁波B.电磁波必须依赖于介质传播C.电磁波中每一处的电场强度和磁感应强度总是互相垂直，且与波的传播方向垂直D.只要空间某个区域有振荡的电场或磁场，就能产生电磁波答案CD解析均匀变化的电场在它周围产生稳定的磁场，由电磁场理论知，稳定的磁场不再产生电场，所以不能形成电磁波，故A项错；电磁波是周期性变化的电场与磁场的交替激发，所以传播不需要介质，B项错.4.对于声波和电磁波的比较，下面说法中正确的是( )A.它们都能发生反射现象B.声音是由物体振动产生的，电磁波是由变化的电磁场产生的C.光是一种电磁波，B超利用的是超声波D.它们都能在真空中传播答案ABC解析声波和电磁波都属于波，所以它们都具有波的共性，能发生反射现象，故选项A正确；但它们产生的机理不同，声音是由物体振动产生的，电磁波是由变化的电磁场产生的，故选项B正确；光是一种电磁波，B超利用的是超声波，故选项C正确；电磁波既能在介质中传播又能在真空中传播，而声波只能在介质中传播，故选项D错误.(时间：60分钟)题组一、对麦克斯韦电磁场理论的理解1.下列说法中，正确的有( )A.最早发现电和磁有密切联系的科学家是奥斯特B.电磁感应现象是法拉第发现的C.建立完整的电磁场理论的科学家是麦克斯韦D.最早预见到有电磁波存在的科学家是赫兹答案ABC解析最早预见到有电磁波的科学家是麦克斯韦，赫兹用实验证明了电磁波的存在，D项不正确；由物理学史的知识可知，其他三项都是正确的.2.按照麦克斯韦的电磁场理论，以下说法正确的是( )A.恒定的电场周围产生恒定的磁场，恒定的磁场周围产生恒定的电场B.变化的电场周围产生磁场，变化的磁场周围产生电场C.均匀变化的电场周围产生均匀变化的磁场，均匀变化的磁场周围产生均匀变化的电场D.均匀变化的电场周围产生稳定的磁场，均匀变化的磁场周围产生稳定的电场答案BD解析麦克斯韦的电磁场理论的核心内容是：变化的电场周围产生磁场；变化的磁场周围产生电场.对此理论全面正确的理解为：不变化的电场周围不产生磁场；变化的电场周围可以产生变化磁场，也可以产生不变化磁场；均匀变化的电场周围产生稳定的磁场；周期性变化的电场产生同频率的周期性变化的磁场，由变化的磁场产生电场的规律与以上类似，故正确答案为B、D.3.根据麦克斯韦电磁场理论，下列说法正确的是( )A.电场周围一定产生磁场，磁场周围也一定产生电场B.变化的电场周围一定产生磁场，变化的磁场周围也一定产生电场C.变化的电场周围一定产生变化的磁场D.电磁波在真空中的传播速度为3.00×108 m/s答案BD解析根据麦克斯韦的电磁场理论，只有变化的电场周围产生磁场，变化的磁场周围产生电场，但变化的电场周围不一定产生变化的磁场，如均匀变化的电场产生的是稳定的磁场，所以正确的选项是B、D.4.某电场中电场强度随时间变化的图象如图所示，能产生磁场的电场是( )答案ABC解析根据麦克斯韦电磁场理论可知变化的电场产生磁场，选项A、B、C正确.题组二、对电磁波的理解5.下列说法正确的是( )A.电磁波即电磁场在空间的传播B.麦克斯韦依据光速和电磁波速度相同而预言光是一种电磁波C.赫兹不仅证实了电磁波的存在，还证实了光和电磁波具有相同的性质D.电磁波和机械波最大的不同点是其传播不需要介质答案ABCD6.下列关于机械波与电磁波的说法正确的是( )A.声波是机械波，耳朵能够听到声波，是因为耳朵和声源之间有空气B.水波的传播需要水，没有水就没有水波C.电磁波传播需要空气，没有空气，即使产生了电磁波也传不出来D.电磁波的传播速率等于光速，不受其它因素影响答案AB解析机械波的传播需要介质，在真空中不能传播；电磁波可以在真空中传播，选项A、B正确，C 错误；电磁波只有在真空中的速度才等于光速，选项D错误.7.某电路中电场随时间变化的图象如图所示，能发射电磁波的电场是( )答案 D解析由麦克斯韦电磁场理论，当空间出现恒定的电场时(如A图)，由于其不激发磁场，故无电磁波产生；当出现均匀变化的电场(如B图、C图)，会激发出磁场，但磁场恒定，不会再在较远处激发起电场，故也不会产生电磁波；只有周期性变化的电场(如D图)，才会激发出周期性变化的磁场，周期性变化的磁场又激发出周期性变化的电场……，如此不断激发，便会形成电磁波.8.下列关于电磁波的说法中，正确的是( )A.电磁波可以在真空中传播B.电磁波不能在空气中传播C.麦克斯韦第一次通过实验验证了电磁波的存在D.法拉第第一次通过实验验证了电磁波的存在答案 A解析电磁波可以在真空中传播，A对，B错；麦克斯韦预言了电磁波的存在，赫兹第一次用实验证实了电磁波的存在，故C、D错.9.关于电磁波，下列说法正确的是( )A.光不是电磁波B.电磁波需要有介质才能传播C.只要有电场和磁场，就可以产生电磁波D.真空中，电磁波的传播速度与光速相同答案 D解析光也是一种电磁波，在真空中传播的速度为3.0×108 m/s，传播过程中不需要介质，故A、B错误，D正确；只有非均匀变化的电场或磁场，才能产生电磁波，故C错误.10.有一种“隐形飞机”，可以有效避开雷达的探测，秘密之一在于它的表面有一层特殊材料，这种材料能够______(填“增强”或“减弱”)对电磁波的吸收作用，秘密之二在于它的表面制成特殊形状，这种形状能够________(填“增强”或“减弱”)电磁波反射回雷达设备.答案增强减弱解析题目介绍了电磁波在军事上的用途.电磁波如果遇到尺寸明显大于波长的障碍物就要发生反射，雷达就是利用电磁波的这个特性工作的.要有效避开雷达的探测，就要设法减弱电磁波的反射.据此即可确定答案.。

高中数学(人教B版选修1-2)教师用书第4章 4.1 流程图

流程图
.通过具体实例，进一步认识程序框图.
.了解工序流程图.(重点) .会画简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用.(难点)
[基础·初探]
教材整理流程图
阅读教材～，完成下列问题.
.流程图的一种常见分类
.工序流程图的画法
.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()工序流程图的画法是唯一的.( )
()在流程图中，其基本单元之间用直线连接.( )
()工序流程图是流程图的一种.( )【解析】()错误.工序流程图的画法不是唯一的，因为有的工序可以没有先后
顺序，可并列进行.
()错误.流程图的基本单元之间用流程线连接.
()正确.由工序流程图的定义可知，工序流程图是流程图的一种.
【答案】()×()×()√
.如图--是某创意大赛分类图，
图--
由图可知，影视动画属于.
【解析】由题图知，影视动画属于广告项.
【答案】广告项
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较学案(含解析)新人教B版必修第二

4.5 增长速度的比较学习目标1.能利用函数的平均变化率,说明函数的增长速度.2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.自主预习情境引入杰米是百万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二、三个月该多好!可从21天起,情况发生了转变.第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时,共付给韦伯2千1百多万元!杰米破产了.问题1写出杰米每天收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2写出杰米每天支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.三种常见函数模型的增长差异对比三类函数的增长速度,熟记图像变化规律函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性图像的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随k值而不同形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=a x(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有log a x<kx增长结果存在一个x0,当x>x0时,有课堂探究题型一幂函数的增长速度y=xα,当α>1,x>0时,随x的增加,y增加的越来越快,当0<α<1,x>0时,随x的增加,y增加的越来越慢.例1已知函数y=x2,分别计算函数在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.训练1已知函数y=x12,分别计算函数在区间[0,1]与[1,2]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加一个单位时,函数值变化的规律.题型二指数(对数)函数的增长速度y=a x,当a>1时,随x的增加,y值增加的越来越快,可以远远超过y=xα(α>1)的增长速度;y=log a x,当a>1,x>0时,y随x的增加而增加,但增加的速度越来越慢例2分别计算函数y=3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明函数值变化的规律.训练2计算函数y=log3x在区间[1,2]与 [2,3]上的平均变化率,并以此说明函数值变化的规律.题型三不同函数在同一区间上平均变化率的比较例3已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.训练3已知函数y=log3x在[a,a+1](0<a<1)上的平均变化率小于1,求a的取值范围.核心素养专练1.下列函数中随x 的增长而增长最快的是( ) A.y=e xB.y=ln xC.y=x1 000D.y=2x2.已知函数f (x )在任意区间上的平均变化率为5,则当自变量减少2个单位时,函数值单位.3.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s 与时间t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点参考答案自主预习问题1 y=107x (x ∈N *) 问题2 y=2x-1(x ∈N *) 填表略增函数增函数增函数 a x >kx>log a x课堂探究例1 解:因为Δx Δx =x 22-x 12x2-x1=x 2+x 1,所以y=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3,在区间[2,3]上的平均变化率为5,不难看出,当自变量大于零时,自变量每增加1个单位,区间的左端点值越大,函数值增加越快.训练1 解:因为ΔxΔx =x 212-x 112x2-x1=1x 212+x 112,所以y=x 12在[0,1]上的平均变化率为1,在[1,2]上的平均变化率为√2-1,可以看出自变量每增加1个单位,区间左端点值越大,函数值增加越慢.例2 解:因为Δx Δx =3x 2-3x 1x2-x 1,所以函数y=3x在区间[1,2]上的平均变化率为32-312-1=6,在[2,3]上的平均变化率为33-323-2=18,可以看出,当自变量每增加1个单位时,区间左端点值越大,函数值增加越快.训练2 解:因为Δx Δx=log 3x 2-log 3x 1x 2-x 1,所以y=log 3x 在区间[1,2]上的平均变化率为log 32-log 312-1=log 32.在区间[2,3]上的平均变化率为log 33-log 323-2=log 332,∵函数y=log 3x 在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数,又log 32>log 332,∴函数值y 增加的速度越来越慢.例3 解:因为Δx Δx =2x +1-2x(x +1)-x =2a,Δx Δx =(x +1)-x(x +1)-x=1, Δx Δx=log 2(x +1)-log 2x(x +1)-x=log 2(1+1x ),又因为a>1时,有2a>21=2>1, log 2(1+1x )<log 2(1+11)=1,因此在区间[a ,a+1]上,f (x )的平均变化率最大,h (x )的最小. 训练3 解:∵Δx Δx=log 3(x +1)-log 3x (x +1)-x=log 3(1+1x )<1,∴log 3(1+1x )<log 33,∴0<1+1x <3,又0<a<1, ∴12<a<1,即a 的取值范围为(12,1).核心素养专练1.A2.减少10个解析:设f (x )=5x+b ,x ∈R,则f (x-2)-f (x )=5×(x-2)+b-(5x+b )=-10.3.D 解析:由图知,甲、乙两人s 与t 的关系均为直线上升,路程s 的增长速度不变,即甲、乙均为匀速运动,但甲的速度快.又甲、乙的路程s 取值范围相同,即跑了相同的路程,故甲用时少,先到终点.学习目标1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)自主预习平均变化率1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为.(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是()A.a1>a2B.a1<a2C.a1=a2D.无法确定4.y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2课堂探究有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么?为什么?问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗?怎么刻画它们的增长速度呢?问题3:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)上的平均变化率怎么表示?问题4:平均变化率有怎样的意义?问题5:平均变化率的几何意义是什么?探究1:函数平均变化率的计算例1求函数y=2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.变式训练求函数y=log2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.探究2:函数增长速度的比较例2已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.要点归纳:平均变化率大小比较常用方法引申:①当0<a<1时,g(x)的平均变化率还一定比h(x)大吗?②比较三个函数的平均变化率的变化趋势,你能得到什么结论?③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子?例3回扣情境与问题我们再来研究本节课开始的问题:有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子()A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起核心素养专练A组1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是()3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99 3 4 5.1 6.12y1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是())xA.y=2x-2B.y=(12(x2-1)C.y=log2xD.y=124.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法,其中正确的说法是()A.前5 min温度增加的速度越来越快B.前5 min温度增加的速度越来越慢C.5 min以后温度保持匀速增加D.5 min以后温度保持不变5.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图像,A对应;B对应;C对应;D对应.6.同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图像,并比较x+5与2x的大小.B 组7.某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:年份2016 2017 2018 2019 x (年份代码)123生产总值y (万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图像,猜想y 与x 之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较; (3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.参考答案自主预习1.32.(1)平均变化率 (2)Δx Δx =x (x 2)-x (x 1)x 2-x 1(3)ΔxΔx3.A4.C 课堂探究问题:略例1 解:因为Δx Δx =2x 2-2x 1x2-x 1=2x 1(2x 2-x 1-1)x 2-x 1,所以y=2x在[1,2]上的平均变化率为21(22-1-1)2-1=2.y=2x在[2,3]上的平均变化率为22(23-2-1)3-2=4.变式训练解:因为Δx Δx=log 2x 2-log 2x 1x 2-x 1=log 2x 2x 1x2-x 1,所以g (x )=log 2x 在[1,2]上的平均变化率为log 2212-1=log 22=1.g (x )=log 2x 在[2,3]上的平均变化率为log 2323-2=log 232.例2 解:因为Δx Δx =2x +1-2x(x +1)-x =2a,Δx Δx =(x +1)-x (x +1)-x=1,Δx Δx=log 2(x +1)-log 2x(x +1)-x=log 2(1+1x ),又因为a>1时,2a>21=2>1,log 2(1+1x )<log 2(1+11)=1,因此在区间[a ,a+1](a>1)上,f (x )的平均变化率最大,h (x )的最小.引申:略例3 解析:设经过x 年后,房价为p (x )万元,这个人攒下的钱共有r (x )万元,则这两个函数的解析式分别为:p (x )=200×1.1x,r (x )=40x ,(x ∈N).在区间[a ,a+1],a ∈N 上,Δx Δx =200×1.1x +1-200×1.1x(x +1)-x=20×1.1a ,Δx Δx =40(x +1)-40x(x +1)-x=40.令Δx Δx >ΔxΔx ,得20×1.1a >40,所以a>log 1.12≈7.3.即a ≥8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p (x ) 220 242 266 293 322 354 390 429 472 r (x ) 40 80 120 160 200 240 280 320 360x 的值每增加1,r (x )的值稳定地增长40,而p (x )的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p (x )的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子. 核心素养专练1.B 解析:Δy=f (x+Δx )-f (x )=f (2+0.1)-f (2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B. 2.C 解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.3.D 解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选D.法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选D. 4.BD 解析:因为温度y 关于时间t 的图像是先凸后平,所以前5 min 每当t 增加一个单位,相应的增量Δy 越来越小,而5 min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确.5.(4) (1) (3) (2) 解析:A 容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B 容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D 容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C 容器细,D 容器粗,故水高度的变化为C 容器快,与(3)对应,D 容器慢,与(2)对应.6.解:如图,根据函数y=x+5与y=2x的图像增长差异,得当x<3时,x+5>2x;当x=3时,x+5=2x;当x>5时,x+5<2x.7.解:(1)画出函数图像,如图所示.从函数的图像可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0).把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.所以函数关系式为y=0.677 7x+8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为0.677 7×1+8.206 7=8.884 4(万亿元),0.677 7×2+8.206 7=9.562 1(万亿元).与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.(3)2033年,即x=17时,由(1)得y=0.677 7×17+8.206 7=19.727 6,即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元.。

人教版B版高中数学选修1-2(B版)流程图

2.3.
程序框图如下所示.
迁移与应用
程序框图如图所示.
1.程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形,能清楚地展现算法的逻辑结构,具有直观、形象的特点.
2.程序框图要基于它的算法,在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图,在设计流程图的时候要分步进行,把一个大的流程图分解成若干个小的部分,按照顺序结构、条件结构、循环结构来局部安排, 最后再对各部分进行组装,从而完成完整的程序框图.
迁移与应用
(1)画工序流程图遵循的一般原则 ①从需要管理的任务的总进度着眼,进行合理的工作或工序的划分. ②明确各工作或工序之间的关系.即衔接关系,各工作或各工序之间的先后顺序. 平等关系,各工作或各工序之间可以独立进行,根据实际情况,可以安排它们同时进行. 交叉关系,一次工作或工序进行时,另外一些工作或工序可以穿插进行. ③根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排. ④开始时流程图可以画得粗疏,然后再对每一框进行逐步细化. (2)在程序框图中允许有闭合回路,而在工序流程图中不允许有闭合回路.
出的结果 i=
.
答案:4
一、程序框图及其画法活动与探究
例1 某市的士收费办法如下：不超过2.3公里收7元，超过2.3公里的里程每公里收2.6元，另没车次收燃油附加费1元（其他因素不考虑）画出相应收费系统的程序框图.
思路分析：由已知需判断行驶的路程，计算收费情况运用条件画出程序框图.
解:设收费为
y,则
y=
8
+
8,0 < �� ≤ 2.3, 2.6(��-2.3),�� >
实际问题的流程图活动与探究例4某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤如下：首先受理产品请求，如果由公安部发证的产品，则审核考察、领导复核，不同意，则由窗口信息反馈;同意，则报公安部审批，再由窗口把反馈信息反馈出去.如果不是由公安部发证的产品，则直接由窗口把信息反馈出去. 试画出公安消防局对消防产品的监督流程图.

人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-弦切角定理 (Word)

1．2.3弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1]如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨]本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析]由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.[例2]已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.[思路点拨]本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析]法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，∴AC＝CE.又∵∠DAC的度数＝1CE的度数．2∠CAB的度数＝1AC的度数．2∴∠DAC＝∠CAB.法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°.又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E.∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.。

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程

1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a ，b
x2 y2
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1
94
49
49
(4)4x2 y2 64
（六）例题讲解，巩固强化
已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0), 双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，
F1 o F2
注意
（1）2a<2c ；（2）2a >0 ；问是题什1么：?若2a = 0,则图形
问题2:定义中为什么要强调差的绝对值？
1.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
则图形为 ___双__曲__线__右__支___________
F1
F2
2.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
F1 O F2 x
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
y M
x2 a2
c2
y2 a2
1
c2 a2
b2
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
(2)双曲线方程中 a 0,b 0 ,但 a 不一定椭大圆于中:b用；“+”相连
(3)双曲线标准方程中左边用“-确”定相焦连点，位右置边: 为1.
椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；
(4)如果 x2 的系数是正的，那么双焦曲点线在看系x数轴的上正，负,焦点跟着正的去.
如果 y2 的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
一个动点
笔尖滑动图钉不动

2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案

2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案目录第一章1.11.1.1相似三角形判定定理第一章1.11.1.2相似三角形的性质第一章1.11.1.3平行截割定理第一章1.11.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.21.2.1圆的切线第一章1.21.2.2圆周角定理第一章1.21.2.3弦切角定理第一章1.31.3.1圆幂定理第一章1.31.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结第二章2.1平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需相似三角形的判定12022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF311＝BC，FD＝CA.33∴DEEFFD1＝＝＝.ABBCCA3由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EPFP＝.BPCP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．ACBCab①当＝时，△ABC∽△CDB，即＝.BCBDbBDb2∴BD＝时，△ABC∽△CDB.aa2－b2ACABa②当＝时，△ABC∽△BDC，即＝.BCBDbBD22022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案ba2－b2∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.aba2－b2b2故当BD＝或BD＝时，aa△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴ADAE＝.ABAC又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.[例3]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.3相似三角形的应用2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，PCPF所以＝，所以PC2＝PE·PF.PEPC因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．adba(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，cbac再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，ADDP①当△ADP∽△PCQ时，＝，PCCQ112113∴＝，∴CQ＝，∴BQ＝1－＝.1CQ44421ADDP12②当△ADP∽△QCP时，＝，∴＝，QCCPQC12∴CQ＝1，∴BQ＝0.3综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或.442022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案即S△DEC1＝.S△ABD61．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．利用相似三角形的性质解决实际问题[思路点拨]本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为某mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.102022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案APEH所以＝.ADBC300－2某某所以＝，3002006001200解得某＝(mm)，2某＝(mm)．776001200答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.77将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴ACBC＝.AEDE∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.21.6∴＝，20DE∴DE＝16m.答：古塔的高度为16m.[例3]如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.相似三角形性质的综合应用112022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为某，试求△PEF的面积S△PEF关于某的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF1＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线2解决．[精解详析](1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.S△APEAP2(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝.S△ADQAD因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.1所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝某2.3同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，S△PDFPD2所以＝.S△ADQAD因为PD＝3－某，所以S△PDF＝(3－某)2.3因为PE∥DQ，PF∥AQ，所以四边形PEQF是平行四边形．1所以S△PEF＝SPEQF21＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)23113某－2＋.＝－某2＋某＝－33243所以当某＝时，即P是AD的中点时，23S△PEF取得最大值，最大值为.4122022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q 点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过4点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝3，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，1∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.21∵AM＝AC，∴AM＝OM.4在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝3，∴BD＝AB2＋AD2＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝1＋a2.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，132022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AEAM∴△AEM∽△ACD，∴＝.ACAD11又AM＝AC＝1＋a2，442AC·AM1＋a∴AE＝＝.AD4a由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴AEAM1＝＝，∴HC＝3AE.HCMC331＋a2a2－3又BH＝BC－HC＝a－＝，4a4a1而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB222a2－111＋aa－3＝(＋)·1＝.24a4a4a∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，22∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a，99a2－12∴＝a，4a9解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有△AEG∽△DCA，∴AGAE＝.ADDCAG∵DC＝1，∴AE＝.ADS△AEG11∵S△AEG＝AE·AG，＝，2S多边形EGBCD6∴S△AEG1＝.S矩形ABCD7AE·AG21AE·AG2∴＝，即＝.AD·DC7AD7214∴AE2＝，AE＝.77 [对应学生用书P7]一、选择题1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC 的周长是16，142022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3C．4,3B．8,6D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A2．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则A．1C．3 EFAF解析：∵EF∥BC，∴＝，BCACFGCF又∵FG∥AD，∴＝，ADAC∴EFFGAFCFAC＋＝＋＝＝1.BCADACACACB．2D．4EFFG＋＝()BCAD答案：A3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3C．1∶2B．1∶4D．2∶3解析：设正方形边长为某，则由△AFE∽△ACB，某1－某可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝.212AF1所以某＝，于是＝.3FC2答案：CAD4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADEDB与四边形DBCE的面积比是()2A.32B．5152022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案4C.54D．9解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADEAD2∴＝2.S△ABCAB∵∴S△ADE4ADAD2＝2，∴＝，∴＝，DBAB3S△ABC94＝.S四边形DBCE5S△ADE答案：C二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，1CF交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.3AD解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，3∴S△AEG1＝.S△ABC4AE1由相似三角形的性质定理，得＝，AB2∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点，∴CFAF1＝＝.ADAD21答案：26．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．162022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.AEAD ∵D为AC中点，∴＝＝1.CFDC∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上△CDF的面积且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.△AEF的面积解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，△CDF的面积CD2AB2于是＝＝＝9.△AEF的面积AEAE答案：98．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为某cm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴8－某某AEPN＝，∴＝.ADBC812解得某＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8cm.答案：4.8三、解答题9．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于172022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案S△BEFF，求的值．S四边形DEFC解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，BFBE1所以＝＝，BMBD3因为EF∥DM，S△BEF1所以＝，SBDM9即S△BDM＝9S△BEF，因为D为AC的中心，且AF∥DM，则M为FC的中点．S△DMC2所以＝，S△BDM32即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，3所以S四边形DEFC＝14S△BEF，S△BEF1因此＝.S四边形DEFC14 10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为某cm，则长为2某cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，24所以(8－某)∶8＝2某∶12，即某＝(cm)．71152则S矩形EFGH＝2某2＝(cm2)．49182022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．1152即加工成的铁片的面积为cm2或18cm2.4911．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由．(2)设AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结BC论，并求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.EFAF∴△AEF∽△DCE，∴＝.ECDE∵AE＝DE，∴EFAF＝.ECAE又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在，由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴ABCDCD33＝＝＝，即k＝.BCBC2DE223DE1时，＝，∠DCE＝30°，2CD3反过来，在k＝∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.192022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.3平行截割定理[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．ABDE(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.BCEF2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：ADAEDE如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.ABACBC[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．[对应学生用书P9]202022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用定理证明“比例式”[例1]已知：如图，l1∥l2∥l3，ABm＝.BCnDEm求证：＝.DFm＋nDE[思路点拨]本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得EF＝ABDE，然后利用比例的有关性质求出即可．BCDF[精解详析]∵l1∥l2∥l3，∴∴即ABDEm＝＝.BCEFnEFnEF＋DEn＋m＝，＝，DEmDEmDFm＋nDEm＝，∴＝.DEmDFm＋n解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：ac＝(bd≠0)ad＝bc；bdab＝(bc≠0)b2＝ac；bcacbd＝(abcd≠0)＝.bdacaca±bc±d(2)合分比性质：如果＝，那么＝.bdbda＋c＋＋maacm(3)等比性质：如果＝＝＝(b dn≠0，b＋d＋＋n≠0)，那么＝.bdnb＋d＋＋nb1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：111＝＋.ADABAC证明：过D点作DE∥AB交AC于E点，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°.212022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴∴∵∴ADDECE＝＝.ABABACADADCEADCEAE＋＝＋＝＋.ABACACACACACCEAEACADAD＋＝＝1，∴＋＝1.ACACACABAC111＋＝.ABACAD[例2]如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨]借助平行线分线段成比例定理即可证得．EFEBCABC[精解详析]法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即FDBKADBKCAAD＝.BCBK∵AD＝BE，∴CABEEFCA＝，∴＝.BCBKFDCB利用定理证明“乘积式”即EF·CB＝FD·CA.图1法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.∵AB∥EP，∴CBCACAAP＝，即＝.BEAPCBBE在△DPE中，∵AF∥PE，∴EFAP＝.FDADCAEF∵AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.CBFD222022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案图2法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N.EBEF∵ND∥EB，∴＝，DNDFBCCA∵DN∥BC，∴＝，DNAD即CAAD＝.CBDNEFCA＝，即EF·CB＝FD·CA.FDCB∵AD＝EB，∴图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的CAEF平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．CBFD2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点．FAAG∵AG∥BD，∴＝.FBBD又∵BD＝DC，∴FAAG＝.FBDCAGAE∵AG∥DC，∴＝.DCEC∴AEFA＝，即AE·FB＝EC·FA.ECFB[例3]如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED2利用定理进行计算232022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值．[思路点拨]本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值．[精解详析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.1∵BE＝AB，2∴EFBE1BF＝＝＝.EDAE3AD设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k.FGFC2∵BC∥AD，∴＝＝.GDAD3∴FG246＝，∴FG＝k，GD＝k，FD55546∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，55即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE＝________.解析：设DE＝某，∵DE∥AC，EF∥BC，∴∴BE某15某＝，解得BE＝.15某＋4某＋4BDBEBE某＝＝＝.DCEA15－BE4又∵AD平分∠BAC，∴BDBA15某＝＝＝，DCAC某＋44解得某＝6.答案：6[对应学生用书P11]242022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案一、选择题1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为()10A.cm35C.cm2解析：∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，110∴BO＝OC，∴OB＝BE＝cm.33答案：A2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1C．4∶1B．3∶1D．5∶1B．5cmD．3cm解析：要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，1所以DG＝EC，又AE＝2EC，2故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.2答案：C3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC 于F，下列结论：①④ECEFFGBGAEBD＝；②＝；③＝；CDAFAGGDAGDGAFAE＝，其中正确的个数是()CDDEB．2个D．4个A．1个C．3个ECEFFGBG解析：∵BC∥AD，∴＝，＝，∴①、②正确．CDAFAGGD252022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AFCD由BC∥AD得＝，EFCE∴即AFCD＝.AF＋EFCD＋CEAFCDAFAE＝，即＝，∴④正确．AEDECDDE答案：CBP2CQ3AR4．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝() CP5QA4RPA．3∶14C．17∶3解析：过点P作PM∥AC，交BQ于M，则ARAQ＝.RPPMBP2＝，CP5B．14∶3D．17∶14∵PM∥AC且∴QCBC7＝＝.PMBP2CQ3又∵＝，QA4∴即答案：B二、填空题5．如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________．AB∥EM∥DCE为AD中点，M为BC的中点．解析：AE＝EDEF∥BCEF＝MC＝12cm.262022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cmBCAB6．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为BMBN________．ABDM解析：∵AD∥BM，∴＝.BNMNDMMC又∵DC∥AN，∴＝，MNMB∴∴DM＋MNMC＋MBDNBC＝，即＝.MNMBMNBMBCABDNDMMN－＝－＝＝1.BMBNMNMNMN答案：17.如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5cm，AG＝3cm，BG＝5cm，EF＝12.9cm，则DH＝________，EK＝________.DHBG解析：由l1∥l2∥l3，可得＝，CHAGBG·CH5某4.5所以DH＝＝＝7.5(cm)，AG3同理可得EK的长度．答案：7.5cm34.4cm8.梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．解析：易知EF＝(AD＋BC)，21EM＝FN＝AD.2又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak，则BC＝bk.1∵EF＝(AD＋BC)，2k2m∴m＝(a＋b)，∴k＝.2a＋b11∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak22mb－a＝m－ak＝.a＋bmb－a答案：a＋b三、解答题272022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案9．如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE＝2，AD＝6.求：AF∶AC的值．解：∵AD∥BC，∴AFAEAFAE＝，∴＝.FCNCAF＋FCAE＋NC∵AM＝MB，∴∴AEAM＝＝1，∴AE＝BN.BNMBAFAEAE＝＝.ACAE＋BN＋BC2AE＋BCAF21＝＝.AC2某2＋65∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴即AF∶AC＝1∶5.10．如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点，∴DF綊BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ.∴AP＝PQ＝QC.11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEOE＋的值；ADBC112＋＝.ADBCEF28(3)求证：2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.OEAEOFDF∵EF∥BC，∴＝，＝.BCABBCDCAEDF∵EF∥AD∥BC，∴＝.ABDC∴OEOF＝，∴OE＝OF.BCBCOEBE(2)∵OE∥AD，∴＝.ADABOEAE由(1)知＝，BCAB∴OEOEBEAEBE＋AE＋＝＋＝＝1.ADBCABABABOEOE(3)证明：由(2)知＋＝1，ADBC∴∴∴1．1.4锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12]2OE2OE＋＝2.又EF＝2OE，ADBCEFEF＋＝2，ADBC112＋＝.ADBCEF[读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：α的对边α的邻边对边inα＝，coα＝，tanα＝.斜边斜边邻边292022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是R t△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13]302022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用射影定理解决求值问题[例1]如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨]本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析]∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD ＝25某4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4某29.∴BC＝229.AC2＝AD·AB＝25某29，∴AC＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝某，则AD＝9某(某>0)．∴CD2＝9某2，CD＝3某.BD某1Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.CD3某31答案：3[例2]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F.DFAE求证：＝.AFEC[思路点拨]本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析]由三角形的内角平分线定理得，利用射影定理解决证明问题312022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案DFBD在△ABD中，＝，①AFABAEAB在△ABC中，＝，②ECBC在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即BDAB＝.③ABBCDFAB由①③得：＝，④AFBCDFAE由②④得：＝.AFEC将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC等于()A.53B.213322022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案C.5231D．3解析：由射影定理知，4CD2＝BD·AD，∴AD＝.313∴AB＝AD＋BD＝.∴AC2＝AD·AB＝某＝.339∴AC＝52.3答案：C2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD ＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是()A．6cmC．18cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝32cm.答案：BAC3BD3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝() AB4CD3A.416C.9解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC.AC2CD32CD9∴2＝＝4.即＝.ABBDBD16∴BD16＝.CD94B．39D．16B．32cmD．36cm答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD周长的相似比为()A．2∶3C.6∶3B．4∶9D．不确定332022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2＝CDBDAD·BD，即＝.ADCD又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2某，BD＝3某(某>0)，∴CD2＝6某2.∴CD＝6某.AD2某6∴△ACD与△CBD周长的相似比为＝＝，CD6某3即相似比为6∶3.答案：C二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________．解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4某16＝8，1所以直角三角形的面积为某20某8＝80.2答案：806．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝15cm，BD＝3cm，则AD的长是________．解析：∵BC2＝BD·AB，∴15＝3AB，∴AB＝5(cm)．∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．答案：2cma7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F2分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEAa斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.2a答案：28．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C作CE⊥AB于E.342022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，AC2＝AE·AB，∴AE＝3.6cm，BE＝AB－AE＝6.4cm.又∵CE2＝AE·BE，∴CE＝6.4某3.6＝4.8(cm)．又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.10＋3.6某4.8∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．2答案：32.64cm2三、解答题9．已知∠CAB＝90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE⊥DF.证明：如图，在Rt△BAC中，AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，AC∴＝ABCD＝BDCD2＝CD·BDCD2CDAD＝＝.AD2ADBD∵AC＝AE，AB＝BF，∴AEADAEBF＝，即＝.BFBDADBD又∠FBD＝∠60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∠ABD＝∠CAD，∴∠FBD＝∠E AD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF＝∠ADE.∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF＝90°.∴DE⊥DF.10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)Rt△ABC中，AD⊥BC，11∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.22352022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.11．如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5.∴CDCE＝2.510＝34＝BCAC.3∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.362022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.2圆周角与弦切角1．2.1圆的切线[对应学生用书P15][读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？37。

数学：4.1《流程图》教案(新人教B版选修1-2)

4.1流程图教学目标：①通过具体实例，进一步认识程序框图；②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。

教学重点：能绘制简单实际问题的流程图教学过程一、引入新课1。

工序流程图又称统筹图工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称与代号。

两个相邻工序之间用流程线相连。

两相邻工序之间用流程线相连。

有时为合理安排工作进度，还在每道工序框上注明完成该工序所需时间。

2。

绘制流程图的一般过程绘制流程图的一般过程:首先，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否可以直接表达，或需要借助于逻辑结构来表达；再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程。

3。

流程图的优势鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端，人们开始用流程图来表示算法，这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长，又消除了起义性，且能清晰准确地表述该算法的每一步骤，因而深受欢迎。

设计算法解决问题的主要步骤：第一步、用自然语言描述算法；算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。

第二步、画出程序框图表达算法；第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。

课堂小结1、程序框图的特点和本质及不足特点:用程序框图表示的算法,比用自然语言描述的算法更加直观、明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序。

作用：可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤。

本质：程序框图就是算法步骤的直观图示。

不足：不能轻易地从中分解出算法的本步骤。

2。

绘制流程图的一般过程首先，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否可以直接表达，或需要借助于逻辑结构来表达；再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程。

课堂练习：第93页练习课后作业：略。

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系(Word)

【2019-2020年度】人教B 版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word ）[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝rsin φ·cos θ，y ＝rsin φ·sin θ，z ＝rcos φ. [小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[例1][思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为，∴r ＝5，φ＝，θ＝.由变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2，y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).[例[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝＝＝2.由rcos φ＝z ＝，得cos φ＝＝，φ＝.又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.又tan θ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.[例3] O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )OPA．－ B.3π4C.D.π3解析：选A ∵φ＝，∴OP 与OP0之间的夹角为＝. 2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，则点M 关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x ，－y ，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，所以⎩⎨⎧ r′sin φ′cos θ′＝－rsin φcos θ，r′sin φ′sin θ′＝－rsin φsin θ，r′cos φ′＝－rcos φ，可得⎩⎨⎧ r′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1， y ＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，z ＝rcos φ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P(5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．P(1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．P ，B(1,1,5)D ．P(1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.设P 点的直角坐标为(x ，y ，z)，则x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，，.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π4 6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________．解析：由坐标变换公式，得r ＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M 的球坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 8．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M(R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin 3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝，AO ＝.∴C ，D ，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]1的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB|＝2a ，|CD|＝2b ，动点P 满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x ，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·错误!＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P 的轨迹方程为x2－y2＝.设点点P(X ，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝. 该曲线是以为圆心，为半径的圆.1F(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(ρ，θ)．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.1M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V＝Sh ＝πr2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D′A′B′C′中，OA ＝OC ＝a ，BB′＝OA ，对角线OB′与BD′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a ，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P 的球坐标为.[对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.，k∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝π＋2k π，k ∈Z.即点M 的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选 C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：238．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：23三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝13x ，Y ＝12y.10．已知A ，B 两点的极坐标分别是，，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足＝，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM ＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ，又θ1＝θ，所以⎩⎨⎧ ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得ρ2－6·ρcos ＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ＋50＝0为P 点的轨迹方程．。

高中数学《综合法和分析法》素材1 新人教B版选修1-2

综合法和分析法教材精析在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理〔归纳、类比等〕所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑〔演绎〕推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为：其中P表示条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，12Q Q，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P∵，1Q∴；又∵，2Q∴；，nQ∴；又∵，Q∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论，1230Q Q Q Q，，，，分别表示使12nQ Q Q Q，，，，成立的充分条件，Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为：要证Q，只需证1Q，只需证2Q，，只需证Q，由于Q显然成立，所以Q成立．综合法、分析法都是直接利用条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导〔综合法〕，甚至难于寻求到使之成立的充分条件〔分析法〕的“疑难〞证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致〞，即：“P Q⇒〞⇔“Q P⌝⇒⌝〞．用反证法证题的格式一般为：假设Q不成立，假设()Q⌝，，那么p⌝，这与P〔定义、公理、定理等〕相矛盾，∴假设()Q⌝不成立，Q∴成立．1．综合法的每一步都是三段论〔或其简略形式〕，大前提一定要正确，否那么证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析〞的语气对待的，因而证明格式上应表达出“分析〞探讨性〔“要证…，只需证…〞〕，而非直接肯定结论. 例1 求证3725+<．错证：3725+<∵，22(37)(25)+<∴，1022120+<∴，215<∴，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成条件来用了. 正：只需将“∵〞改为“要证〞，“∴〞改为“只需证〞.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明〔教科书99P 例3〕.一般是先用综合法由条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++，只需证22222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-，即证224sin 2sin 1αβ-=③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将中的①②代入上式，即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例3证明〔一〕：假设成等差数列，即=，下面〔用分析法〕证明只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．证明〔二〕：假设成等差数列，即=，下面〔用综合法〕证明2125≠∵，5，10≠∴，即3720+≠，即2≠，≠不成等差数列．。

2021_2022学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.3二项分布与超几何分布学案含解析新人教B

二项分布与超几何分布4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)知识点一 n 次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．知识点二二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，发生的概率为p ，不发生的概率q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝____________(k ＝0,1,2，…，n )，于是得到X 的分布列n n nq n －k ＋…＋C n n p n q 0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记做____________．知识点三超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件(M <N )，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，则这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为________________(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．[基础自测]1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的概率是相等的； ④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 37C 510表示()A ．5件产品中有3件次品的概率B ．5件产品中有2件次品的概率C ．5件产品中有2件正品的概率D ．5件产品中至少有2件次品的概率题型一独立重复试验中的概率问题例1(1)某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是3； ②他第三次击中目标的概率是；③他恰好2次击中目标的概率是2×2×； ④他恰好2次未击中目标的概率是3××2.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．题型二二项分布例2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．状元随笔(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．方法归纳1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．题型三超几何分布的分布列例3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．状元随笔方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．跟踪训练3袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．题型四独立重复试验与二项分布综合应用状元随笔1.王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．例4甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．状元随笔(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23.(2)AB 表示事件A ，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．题型五二项分布与超几何分布的综合应用例5在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10X 奖券，其中有一等奖奖券1X ，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3X ，每X 可获价值10元的奖品，其余6X 没有奖品．(1)顾客甲从10X 奖券中任意抽取1X ，看完结果后放回抽奖箱， ①若只允许抽奖一次，求中奖次数X 的分布列； ②若只允许抽奖二次，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10X 奖券中任意抽取2X ， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．状元随笔(1)从10X 奖券中抽取1X ，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B(2，p)(2)从10X 奖券中任意抽取2X ，其中含有中奖的奖券的X 数X(X ＝1,2)服从超几何分布．方法归纳区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N 件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M 件，从所有元素中一次任取n 件，这n 件中含甲类元素数目X 服从超几何分布．2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．教材反思4．二项分布与超几何分布新知初探·自主学习知识点一重复地做n 次相互独立知识点二 C k n p k q n －k X ～B (n ，p ) 知识点三P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N[基础自测]1．解析：由n 次独立重复试验的定义知①②③④正确．答案：①②③④2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.答案：383．解析：根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B. 答案：B 课堂探究·素养提升例1【解析】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④. (2)①记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×2×3＝0.051 2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15××4＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14××3×＝0.02 048≈，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.【答案】(1)①②④(2)见解析跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. 答案：2027例2【解析】(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为跟踪训练2 解析：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A －∩B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (A ∩B ＋A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为例3【解析】X 的可能取值是1,2,3.P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为跟踪训练3 解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 例4【解析】(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡23×13×12＋13×23×12＋⎦⎤13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243. 跟踪训练4 解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是方法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是例5【解析】(1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为②从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B ⎝⎛⎭⎫2，25(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2X 奖券中有1X 中奖或2X 都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为跟踪训练5 解析：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A －)＝C 14×C 22C 36＝420＝15， P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－233＋C 23×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A －B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12＋C 34C 36＝45，则X 的分布列为。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版

4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根.①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n 有意义的时候,√n n称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(√n n )n=a.②√n n n ={n ,当n 为奇数时,|n |,当n 为偶数时.(4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√n n有意义时,规定n 1n = ;当√a n没有意义时,称n 1n 没有意义.对于一般的正分数n n,也可作类似规定,即n nn = = .但值得注意的是,这个式子在n n不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s有意义且a ≠0时,规定a -s= . (5)有理数指数幂的运算法则:a s a t= ,(a s )t= ,(ab )s= . 点拨(1)在(√a n )n 中,当n 为奇数时,a ∈R;当n 为偶数时,a ≥0.但在√n n n中,a ∈R . (2)分数指数幂n nn 不可以理解为n n个a 相乘. 2.实数指数幂一般地,当a>0且t 是时,a t 是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为时,可以认为实数指数幂a t都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0). (1)n 25;(2)n -53.要点归纳在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示n -12n 23(x>0,y>0).例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√n 65; (2)√3; (3)√n 3n 24; (4)√(-n )6.要点归纳指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,n nn 有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在nn 取任何有理数时,n nn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式: (1)5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);(2)n +n -1+2n 12+n -12.变式训练3 化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= . 2.已知3a=2,3b=15,则32a-b= .3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√n 72√n -33÷√√n -83√n 153÷√√n -3√n -13.参考答案自主预习1.(1)底数指数 (2)x n=a ①0 √0n=0②相反数 n 次算数根 √n n -√n n没有意义③√n n 正数负数(3)根式根指数被开方数 (4)√n n (√n n)n √n n n1n n(5)a s+ta sta sb s2.无理数任意实数课堂探究例1 (1)√n 25(2)√3变式训练1√23√n例2 (1)3 (2)25变式训练2 (1)n 65(2)n -23(3)n 34n 12(4)a 3例3 (1)24n 16(2)n 12+n -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√n2.203.-64.(1)2 (2)325.n 16第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂n n n(a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n= . 如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况. 如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= .课堂探究任务一类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根.当√a n 有意义的时候,√n n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. 方程x n=a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= . 当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= .思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题? 要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. 学生举例并总结根式的性质-n (n <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√n n对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√n n只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-n )33;√(-7)44;√(3-π)66;√(n -n )2(a<b ).任务二阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√n )2=a 1=(n 12)2能成为(a m )n =a mn的特例吗?√n √n =√nn 能成为a m b m=(ab )m的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗?观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根.一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定n 1n=√a n; 当√n n没有意义时,称n 1n 没有意义. 规定n n n=√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -nn =n n n =√nn n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√n n n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√n 23= ;√n3= .(2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③任务三分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√n = ,a 3·√a 23= ,√a √a = (式中a>0).例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32. 变式训练化简:①√n 2√n (a>0);②√n (√n 25)2(x ≠0);③(n 23n 14)3;④(n 12+n 12)2.课堂练习1.√a 3·√-n 6的值为( )A.-√-nB.-√nC.√-nD.√n 2.625的4次方根是( ) A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( )①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√n n n=|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n )n 与√n n n相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8n3125n 3)46. 作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3B.-3C.±3D.812.化简(√-n )2是( ) A.-bB.bC.±bD.1n3.化简√(n -n )66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 .5.化简a+√(1-n )44的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( )A.√n 33+√n 2=a+bB.(√|n |+√n )2=a 2+b 2+2√nnC.√(n 2+n 2)44=a 2+b 2D.√n 2+2nn +n 2=a+b7.当8<x<10时,√(n -8)2-√(n -10)2= .8.若√n 2-2n +1+√n 2+6n +9=0,则y x= .9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ . 10.化简:(1)(3649)32;(2)√n 2n √n 3n √nn 3.11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√n 2-2n +1=a-1,求a 的取值范围.13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√n +2√n -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义分数指数幂的意义n n =√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -n =n n n=√n n n (a>0,m ,n ∈N *,n>1). 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .①② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=aC.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-√n =(-x )12(x>0) B.√y 26=n 13(y<0)C.n -34=√(1x )34(x>0)D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n>n 1n.推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s. 利用例1的结论可以证明(课后练习) (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s>1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s>a t. 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);②4n 23n -13÷(-23n -13n -13).(2)已知n 12+n -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③n 32-n -32n 12-n -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-n 12n -3)6;(2)n +n -1+2n 12+n -12.任务三情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若n 12+n -12=√6,求n +n -1-1n 2+n -2-2的值. 2.若3x=a ,5x=b ,则45x=( ) A.a 2bB.ab 2C.a 2+bD.a 2+b 23.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习): (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( )A.√6B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( ) A.2B.-2C.±2D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√n 24B.√n 3C.√n 6D.√-n 54.下列各式化简错误的是( ) A.n -25n 13n 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6C.(n 14n -13)(n 14n 23)(n -12n 23)=y D.-15n 12n 13n-3425n -12n 13n 54=-35ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√n =(-x )12(x ≠0) B.n -13=-√x 3C.(x y )-34=√(y x )34(x ,y ≠0) D.√n 26=n 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.7.已知x=a -3+b -2,求√x 2-2a -3x +a -64的值.8.已知x+x -1=3,求下列各式的值:(1)x 12+n -12,(2)n 32+n -32.9.探究:当√n n n +(√n n)n =2a 时,实数a 和整数n 所应满足的条件.参考答案第1课时自主预习略课堂探究略课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√33 (2)425a 2b -2 核心素养专练略第2课时自主预习略自我检测1.C2.C3.3 课堂探究例1 求证:如果是a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n . 证明:假设n 1n ≤n 1n ,即 n 1n <n 1n 或n 1n =n 1n .根据不等式的性质与根式的性质,得a<b 或a=b. 这都与a>b 矛盾,因此假设不成立,从而n 1n >n 1n . 推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s .证明:设s=n n (m ,n 为正整数).因为a>b>0,所以n 1n >n 1n>0. 根据不等式的性质,得(n 1n )n>(n 1n )n>0. 所以n n n >n n n ,即a s >b s.应用:比较大小 ①< ②< ③> ④<例2 (1)3 (2)25 跟踪练习1.-1679 2.2716例3 (1)①24n 16 ②-6a(2)①7②47③8跟踪练习(1)210m17n12(2)n12+n-12课堂练习2.A3.-21.4核心素养专练略。

人民教育出版社B版高中数学目录(全)

人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样显示全部信息第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（B版）选修1－1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离高中数学（B版）选修1－2目录：第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析单元回眸第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明单元回眸第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算单元回眸第四章框图4.1流程图4.2结构图单元回眸高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－1第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行截割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定本章小结阅读与欣赏欧几里得附录不可公度线段的发现与逼近法第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义本章小结阅读与欣赏吉米拉•丹迪林附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结阅读与欣赏完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法数学归纳法简史附录部分中英文词汇对照表。

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4.1 流程图明目标、知重点 1.通过实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图.2.能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决问题中的作用.
1.流程图表示算法，可以清晰准确地表述算法的每一步骤.
2.工序流程图又称统筹图，分为若干道工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号.两相邻工序之间用流程线相连.
探究点一程序框图
思考1 程序框图有什么作用？
答程序框图用来表示算法，比用自然语言描述的算法更加直观、明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序.
思考2 程序框图有哪些基本要素？
答程序框图是算法步骤的直观图示，算法的输入、输出、条件分支结构、循环结构等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建立.
思考3 算法的三种基本逻辑结构是什么？
答顺序结构、条件分支结构和循环结构.
思考4 以下给出对程序框图的几种说法：①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①③
解析进一步了解程序框图的结构，其中①③正确.②不正确，输出框有可能在程序中间.④不正确，判断框内条件不一定是唯一的.
例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x <0，2，x ＝0，
2＋x ，x >0，
设计一个输入x 值，输出y 值的流程图.
解流程图如下图所示：
反思与感悟分段函数因包含多种情况，故需采取条件分支结构即判断框分情况进行. 跟踪训练1 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )
A.－1
B.1
C.2
D.12 答案 A
解析这是一个循环结构，通过计算a 的前三个值依次为12
，－1,2，因此输出的a 值具有周期性，且周期为3，所以最后输出的值为－1.
探究点二工序流程图
思考怎样画工序流程图？
答要画工序流程图，首先要弄清整项工程应划分为多少道工序，这当然应该由上到下，先粗略后精细，其次是仔细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度，最后要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行.一旦上述问题都考虑清楚了，一种合理的工序流程图就成竹在胸了，据此去组织生产，指挥施工，确能收到统筹兼顾的功效.
例2 某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品.画出生产该产品的工序流程图.
解生产该产品的工序流程图如图：
跟踪训练2 在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min.试给出“喝茶问题”中最快能喝到茶的流程图，并指出此时的时间是多少.
解上述这些工作，有些没有先后顺序关系，可以同时进行，有些有先后顺序关系，需要依次完成.最快能喝上茶的流程图如图所示.
上述流程图需要时间18分钟.
探究点三流程图在实际生活中的应用
思考流程图在实际生活中还有哪些应用？
答流程图描述一个过程性的活动，在实际生活中有广泛的应用，如医院有就诊导医图，借书有借阅流程图，解题时也可用解题过程流程图等等.
例3 高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生.
试画出该事件的流程图.
解流程图如下：
反思与感悟实际生活中的流程图没有程序框图那样严格规范，但要弄清楚各步之间的逻辑关系，画流程图时可利用流程线来体现它们之间的逻辑关系.
跟踪训练3 某保险公司业务流程如下：
(1)保户投保：填单交费、公司承保、出具保单；
(2)保户提赔：公司勘查：同意，则赔偿；不同意，则拒赔.试画出该公司的业务流程图. 解该公司业务流程图如下：
1.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于( )
A.－3
B.－10
C.0
D.－2
答案 A
解析 (1)s ＝2×1－1＝1，k ＝2；
(2)s ＝2×1－2＝0，k ＝3；
(3)s ＝2×0－3＝－3，k ＝4，输出－3.
2.某一程序框图如图，输入x ＝1的结果为________.
答案－92
解析 ∵x ＝1>0，∴y ＝12×1－5＝－92
. 3.某工程的工序流程图如图(工时单位：天)，现已知工程总时数为10天，则工序c 所需工时数为________天.
答案 4
解析设工序c 所需工时数为x 天，由题设知关键路线是a →c →e →g ，需工时1＋x ＋4＋1＝10，
∴x ＝4，即工序c 所需工时数为4天.
[呈重点、现规律]
1.流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画.程序框图有一定的规范和标准，而日常生活中用到的流程图则相对自由一些，可以使用不同颜色的矩形框，也可以添加一些生动的图形元素.
2.画工序流程图时，不能出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路.。