第4章交流同步电机的数学模型详解
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第4章交流同步电机的数学模型
4.1同步电机的电压、磁链和电感
4.1.1理想同步电机 同步电机分为：隐极机和凸极机。讨论以凸极为对象， 所得结论可推广到隐极机。 理想同步电机： （1）电机铁芯不饱和。磁场和各绕组电流间有线性关 系，在确定气隙合成磁场时有可能运用叠加原理。 （2）电机有完全对称的磁路和绕组。定子三相绕组完 2 全相同，空间位置彼此相隔 3 电弧度；转子每极的励 磁绕组完全相同。 （3）定子绕组的自感磁场、定子与转子绕组间的互感 磁场，沿气隙按正弦分布。即忽略所有谐波磁势、磁通、 电势及电磁转矩。 实践证明，按理想电机条件的分析、计算所得，误差在 允许范围内。
r
dt
图4-2同步电机各回路电路图
考虑理想电机的第二个假设条件，取
ra rb rc
磁链方程
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf M aD M bD M cD M fD LDD M QD M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
ua ra u b uc u f 0 0
rb rc rf rD
式中
——各绕组端电压； ——各绕组电流； i ——各绕组合成磁链； ——各绕组电阻； —— d ；
u
a ia i b b c ic i f f iD D Q rQ iQ
2 M bD maD cos 3 2 maQ cos 3
2 M cD maD cos 3 2 M cQ maQ cos 3
5.定子绕组与交轴阻尼绕组间的互感
4.1.2同步电机的电压和磁链
图4-1同步电机各绕组轴线的正方向
仅列出理想同步电机的假设而不给定磁链、电流、电 压wenku.baidu.com正方向，无法单一的列出同步电机的基本关系式，因 为这些电磁量的取向不同，它们将有不同的书写方式。 取定子各相绕组轴线及其磁链的正方向，转子正、交 轴线（或d 、 q轴线，或纵、横轴线的正方向），励磁绕 组以及正、交轴阻尼绕组磁链的正方向，如图4-1所示。定 子各相绕组电流产生的磁通方向与各该相绕组轴线的正方 向相反时，这些电流为正值。即定子各相正值电流将产生 各该相负值磁链。转子各绕组电流产生的磁通方向，与正 轴或交轴正方向相同时，这些电流为正。也即，正值转子 电流将产生正值转子绕组磁链。图4-1中标注了各绕组电流 的正方向。定子各相端电压和励磁电压的正方向，则如图 4-2所示。在定子回路中，向负荷侧观察，电压降的正方向 与定子电流的正方向一致。在励磁回路中，向励磁绕组侧 观察，电压降的正方向与励磁电流的正方向一致。阻尼绕 组为短接回路，电压为零。 按如上的电磁量取向即可列出如下同步电机电压方程 和磁链方程。 电压方程
2.定子各相绕组间的互感
相似于各相绕组自感与 角的关系，可列出各相绕 组互感与 角的关系式如下
M ab m0 m2 cos2 6 M ca m0 m2 cos2 6 可以证明： m2 l2
M bc m0 m2 cos2 6
式中：系数矩阵的对角元为各绕组的自感系数，非对角元 为两绕组间的互感系数。互感系数对应可逆，即应有
M ab Mba , M af M fa , M fD M Df
4.1.3同步电机的电感
对凸极式同步电机，上式中系数矩阵的多数元素随转 子的位置即时间作周期性变化，下面讨论各类电感系 数的变化规律。 1.定子各相绕组的自感 某一绕组的自感正比于该绕组电流产生磁通路径上的 磁导。由图1-4见，转子正轴与某相绕组的轴线重合时， 该相绕组的自感最大；交轴与某相绕组的轴线重合时， 该相绕组的自感最小。以 表示转子正轴顺转子旋转 方向超前于a相轴线的角度，则a相绕组的自感 将是Laa 角的周期函数，其变化周期为 ；而且是 角的偶函数， Laa 因转子正轴处于 位置时， 的大小相同。
3.定子绕组与励磁绕组间的互感 定子绕组与励磁绕组间的互感与 角的关系式如下
M af maf cos
2 2 M m cos cf af M bf maf cos 3 3
4.定子绕组与正轴阻尼绕组间的互感
M aD maD cos
周期性偶函数进行傅氏分解时只含余弦项，当函数 的变化周期为 时，只有偶次项。考虑到理想电 机忽略谐波分量的假设条件。自感 Laa与 角的关系 Laa l0 l2 cos 式中将只有两项，即 同理可列出b、c相绕组自感与角 的关系式
2 Lbb l0 l2 cos 3 2 Lcc l0 l2 cos 3
4.1同步电机的电压、磁链和电感
4.1.1理想同步电机 同步电机分为：隐极机和凸极机。讨论以凸极为对象， 所得结论可推广到隐极机。 理想同步电机： （1）电机铁芯不饱和。磁场和各绕组电流间有线性关 系，在确定气隙合成磁场时有可能运用叠加原理。 （2）电机有完全对称的磁路和绕组。定子三相绕组完 2 全相同，空间位置彼此相隔 3 电弧度；转子每极的励 磁绕组完全相同。 （3）定子绕组的自感磁场、定子与转子绕组间的互感 磁场，沿气隙按正弦分布。即忽略所有谐波磁势、磁通、 电势及电磁转矩。 实践证明，按理想电机条件的分析、计算所得，误差在 允许范围内。
r
dt
图4-2同步电机各回路电路图
考虑理想电机的第二个假设条件，取
ra rb rc
磁链方程
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf M aD M bD M cD M fD LDD M QD M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
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式中
——各绕组端电压； ——各绕组电流； i ——各绕组合成磁链； ——各绕组电阻； —— d ；
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2 M bD maD cos 3 2 maQ cos 3
2 M cD maD cos 3 2 M cQ maQ cos 3
5.定子绕组与交轴阻尼绕组间的互感
4.1.2同步电机的电压和磁链
图4-1同步电机各绕组轴线的正方向
仅列出理想同步电机的假设而不给定磁链、电流、电 压wenku.baidu.com正方向，无法单一的列出同步电机的基本关系式，因 为这些电磁量的取向不同，它们将有不同的书写方式。 取定子各相绕组轴线及其磁链的正方向，转子正、交 轴线（或d 、 q轴线，或纵、横轴线的正方向），励磁绕 组以及正、交轴阻尼绕组磁链的正方向，如图4-1所示。定 子各相绕组电流产生的磁通方向与各该相绕组轴线的正方 向相反时，这些电流为正值。即定子各相正值电流将产生 各该相负值磁链。转子各绕组电流产生的磁通方向，与正 轴或交轴正方向相同时，这些电流为正。也即，正值转子 电流将产生正值转子绕组磁链。图4-1中标注了各绕组电流 的正方向。定子各相端电压和励磁电压的正方向，则如图 4-2所示。在定子回路中，向负荷侧观察，电压降的正方向 与定子电流的正方向一致。在励磁回路中，向励磁绕组侧 观察，电压降的正方向与励磁电流的正方向一致。阻尼绕 组为短接回路，电压为零。 按如上的电磁量取向即可列出如下同步电机电压方程 和磁链方程。 电压方程
2.定子各相绕组间的互感
相似于各相绕组自感与 角的关系，可列出各相绕 组互感与 角的关系式如下
M ab m0 m2 cos2 6 M ca m0 m2 cos2 6 可以证明： m2 l2
M bc m0 m2 cos2 6
式中：系数矩阵的对角元为各绕组的自感系数，非对角元 为两绕组间的互感系数。互感系数对应可逆，即应有
M ab Mba , M af M fa , M fD M Df
4.1.3同步电机的电感
对凸极式同步电机，上式中系数矩阵的多数元素随转 子的位置即时间作周期性变化，下面讨论各类电感系 数的变化规律。 1.定子各相绕组的自感 某一绕组的自感正比于该绕组电流产生磁通路径上的 磁导。由图1-4见，转子正轴与某相绕组的轴线重合时， 该相绕组的自感最大；交轴与某相绕组的轴线重合时， 该相绕组的自感最小。以 表示转子正轴顺转子旋转 方向超前于a相轴线的角度，则a相绕组的自感 将是Laa 角的周期函数，其变化周期为 ；而且是 角的偶函数， Laa 因转子正轴处于 位置时， 的大小相同。
3.定子绕组与励磁绕组间的互感 定子绕组与励磁绕组间的互感与 角的关系式如下
M af maf cos
2 2 M m cos cf af M bf maf cos 3 3
4.定子绕组与正轴阻尼绕组间的互感
M aD maD cos
周期性偶函数进行傅氏分解时只含余弦项，当函数 的变化周期为 时，只有偶次项。考虑到理想电 机忽略谐波分量的假设条件。自感 Laa与 角的关系 Laa l0 l2 cos 式中将只有两项，即 同理可列出b、c相绕组自感与角 的关系式
2 Lbb l0 l2 cos 3 2 Lcc l0 l2 cos 3