安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理

安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题 理

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)}，N ＝{x|x 2

－2x ≥0}，则M ∩U ðN ＝

(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)

(2)设复数z ＝(12

-+)2020

(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在[0，1]内任取两个实数x ，y ，则事件0

2

的概率等于 (A)

18 (B)14 (C)38 (D)12

(4)命题“∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1

a ≥2至少有一个成立”的否定为

(A)∀a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1

a <2至少有一个成立

(B)∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1

a

≥2都不成立

(C)∃a ，b>0，a ＋

1b <2和b ＋1

a <2至少有一个成立 (D)∃a ，b>0，a ＋1

b ≥2和b ＋1

a

≥2都不成立

(5)过圆C 1：x 2

＋y 2

＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2

＋(y －4)2

＝4切线，切点为Q ，则切线段PQ 长的最大值为

(6)关于函数f(x)＝cos 2

x sinxcosx －

1

2

有下述三个结论： ①f(x)在区间[

4π，2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3

π

对称；

③f(x)在区间[

4

π

，π]上的值域为[－1，2]

其中正确结论的个数是

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且()

0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r

，则

AM BC ⋅=u u u u r u u u r

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象 (A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3，0)对称 (9)函数()2

191

x

f x x x x =+

++(x>0)的最小值为

(A)6 (B)

181

30

(C)12 (D)132

(10)已知过点A(t ，0)的直线与抛物线y 2

＝8x 交于B ，C 两点，F 为抛物线的焦点，若

11

BF CF

+为常数，则t 的值为

(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在

(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1的球既是一个正四面体的内切球，又是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为

－－1 (D)2

(12)已知不等式xe 2x －1

－ax －lnx ≥0对一切x>0成立，则实数a 的最大值为

(A)

2

e

(B)2 (C)e (D)2e 第II 卷(非选择题 共90分)

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．

。 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。) (13)过点(－1，－1)与曲线y ＝e x

＋x 相切的直线方程为 。

(14)已知长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆的面积为πab 。现用随机模拟的方法来估计π的近似值，先用计算机产生n 个数对(x i ，y i )，i ＝1，2，3……，n ，其中x i ，y i 均为[0，2]内的

随机数，再由计算机统计发现其中满足条件i y <的数对有m 个，由此可估计π的近

似值为 。

(15)已知△ABC 中，AB ＝9，∠BAC ＝60°，D 为边BC 上一点，且CD ＝2BD ，AD ＝ABC 的面积为 。

(16)已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线分别交

双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，△ABF 2为直角三角形，且∠F 1AF 2＝45°，则双曲线C 的离心率为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。) (17)(本题满分10分)

已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin tan cos cos B C

A B C

+=+。

(1)求角A ；

(2)若a b ＋2c 的取值范围。 (18)(本小题满分12分)

已知公差不等于0的正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，递增等比数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝a n ·b n ，a 1＝b 2＝2，c 1＋c 2＋c 3＝34，4S n ＋1＝(a n ＋1)2

。 (1)求满足∀n ∈N *

，n 3

≤λc n 的λ的最小值； (2)求数列{c n }的前n 项和M n 。