安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理

安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则M ∩U ðN ＝(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)(2)设复数z ＝(12-+)2020(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在[0，1]内任取两个实数x ，y ，则事件0<x －y ≤12的概率等于 (A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为(A)∀a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立(B)∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(C)∃a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 (D)∃a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线，切点为Q ，则切线段PQ 长的最大值为(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π，2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π，π]上的值域为[－1，2]其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且()0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象 (A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3，0)对称 (9)函数()2191xf x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132(10)已知过点A(t ，0)的直线与抛物线y 2＝8x 交于B ，C 两点，F 为抛物线的焦点，若11BF CF+为常数，则t 的值为(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1的球既是一个正四面体的内切球，又是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为－－1 (D)2(12)已知不等式xe 2x －1－ax －lnx ≥0对一切x>0成立，则实数a 的最大值为(A)2e(B)2 (C)e (D)2e 第II 卷(非选择题 共90分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

) (13)过点(－1，－1)与曲线y ＝e x＋x 相切的直线方程为 。

(14)已知长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆的面积为πab 。

现用随机模拟的方法来估计π的近似值，先用计算机产生n 个数对(x i ，y i )，i ＝1，2，3……，n ，其中x i ，y i 均为[0，2]内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件i y <的数对有m 个，由此可估计π的近似值为 。

(15)已知△ABC 中，AB ＝9，∠BAC ＝60°，D 为边BC 上一点，且CD ＝2BD ，AD ＝ABC 的面积为 。

(16)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，△ABF 2为直角三角形，且∠F 1AF 2＝45°，则双曲线C 的离心率为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

) (17)(本题满分10分)已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+。

(1)求角A ；(2)若a b ＋2c 的取值范围。

(18)(本小题满分12分)已知公差不等于0的正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，递增等比数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝a n ·b n ，a 1＝b 2＝2，c 1＋c 2＋c 3＝34，4S n ＋1＝(a n ＋1)2。

(1)求满足∀n ∈N *，n 3≤λc n 的λ的最小值； (2)求数列{c n }的前n 项和M n 。

(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠APC ＝90°，∠BPD ＝120°，PB ＝PD 。

(1)求证：平面APC ⊥平面BPD ；(2)若AB ＝2AP ＝2，求直线AP 与平面PCD 所成角的正弦值。

(20)(本小题满分12分)Fibonacci 数列又称黄金分割数列，因为当n 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数1506182≈-.。

已知Fibonacci 数列的递推关系式为121213nn n a a a a a n --===+≥⎧⎨⎩，。

(1)证明：Fibonacci 数列中任意相邻三项不可能成等比数列；(2)用数学归纳法证明：Fibonacci 数列的通项公式为15155n nn a +-⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎭=。

(21)(本小题满分12分)已知曲线E 上任一点P 到直线l ：x ＝4的距离是点P 到点M(1，0)的距离的2倍。

(1)求曲线E 的方程；(2)过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E 于B 、D 两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD 的面积的最大值。

(22)(本小题满分12分) 已知函数()xaf x e x=+有两个不同的零点x 1，x 2。

(1)求实数a 的取值范围； (2)证明：x 1＋x 2<－2。

安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛（高二）数学（理科）试题答案选择题：1-12 BCCDC DBAAC DB1.B 【解析】 ∵(){|ln1}1,M x y x -=+∞==（），{}2|20N x x x =-≥(][),02,=-∞+∞U ，∴N C R =(0,2)，∴N C M R⋂()1,2．2.C 【解析】设0z =，则20z =，301z =，400z z ==，所以0nz 的值以3为周期呈周期性出现，故202000z z z ==，所以0z z ==象限．3.C 【解析】样本空间为()[][]{},|0,1,0,1x y x y ∈∈，是一个面积为1的正方形，所求事件所包含的样本点在直线y x =与直线12y x =-之间，且在样本空间的正方形内，其面积为38，所以所求事件的概率为38．4.D 【解析】由全称命题的否定形式，易知答案D 正确．5.C 【解析】当点P 到圆心2C 距离最大时，切线段PQ 最长，212min16PC C C =+=，此时PQ =6.D 【解析】21()cos cos sin 226f x x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．可知①正确；由sin 21336f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知()f x 的图象关于直线3x π=-对称，所以②正确；当[,]4x ππ∈时，2132,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()sin 26f x x π⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故③正确． 7.B 【解析】取BC 的中点D ，由()0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r ，得0MD BC ⋅=u u u u r u u u r，所以AM BC ⋅u u u u r u u u r AD BC DM BC =⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r AD BC=⋅u u u r u u u r ()()12AB AC AC AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ()2212AC AB =-u u u r u u u r ()221422=-6=．8.A 【解析】设()00,P x y 为()2y f x =+图象上任一点，则()()()000242y f x f x =+=--，所以点()002,Q x y -在函数()4y f x =-的图象上，而()00,P x y 与()002,Q x y -关于直线1x =对称，所以函数()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于直线1x =对称．9.A 【解析】令1t x x =+，因为0x >，所以2t ≥，则函数()f x转化为96y t t =+≥，当且仅当3t =，即13x x +=，也即x =时，等号成立． 10.C 【解析】设过点(),0A t 的直线方程为x my t =+，代入28y x =得2880y my t --=．设()11,B x y ，()22,C x y ，则128y y m +=，128y y t =-，所以()2221212122y y y y y y +=+-26416m t =+，11BF CF +121122x x =+++21128y =+22128y ++ ()()221222221212825616256y y y y y y ++=+++ ()()22222286416256182412641664162568222m t m t t m t m t t ++++==⋅++++++，要使该式对m所有可能取值均为常数，则21242t +=，故2t =或2-． 11.D 【解析】固定正四面体ABCD 不动，则其内切球也随之固定，考虑顶点A 与正六面体（即正方体）的顶点的距离．当正方体的顶点在球面上移动时，顶点A 到球面上点的距离最小值就是顶点A 与正方体顶点距离的最小值．由正四面体的内切球半径为1，知球心到顶点A 的距离为3，所以顶点A 到球面上点的距离最小值为312-=．12.B 【解析】∵e 1xx ≥+，∴2121ln ee 21ln 12ln x x x x x x x x --+=≥-++=+，等号成立条件为21ln 0x x -+=，∴()21eln 2ln ln 2x x ax x x x ax x a x---≥+--=-，∴只需20a -≥，即2a ≤．填空题13. 【答案】21y x =+．【解析】设切点坐标为()000,e xx x +，由x y e x =+得e 1x y '=+，所以切线方程为()()0000e 1e x xy x x x =+-++，因为切线过点()1,1--，所以()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0x x =，所以00x =，即所求切线方程为21y x =+．14.【答案】8m n ．【解析】 因为i x ，i y []0,2∈，所以i y <(),i i x y 在椭圆2214x y +=的内部，且在第一象限，其面积为2142ππ⨯⨯=，故222m nπ≈⨯，得8m n π≈． 15.．【解析】设AC x =，BD y =，则2CD y =．在ABD △和ACD △中分别由余弦定理得(22292cos y y ADB =+-⋅⋅∠，()(222222cos x y y ADC =+-⋅⋅∠，两式消去角，得2266x y +=，在ABC △中由余弦定理得()2223929cos60y x x =+-⨯⋅⋅︒，即229819y x x=+-，所以()()22362981x x x +=-+，解得6x =或24x =-（舍去）．所以ABC △的面积为1962S =⨯⨯=16.【答案】【解析】设122F F c =．①当190AF B ∠=︒时，设1AF m =，则1BF m =，AB =，22BF m a =-，所以2122a AF AF a =--，所以m =，在12BF F △中由余弦定理，得()()()()()2222222c aa ⎛=+--- ⎝⎭，整理得ce a =②当190ABF ∠=︒时，设1BF m =，则1AF =，AB m =，22BF m a =-，所以(21222a AF AF m a =-=-，所以(4m a =+，在12BF F △中由勾股定理，得()(()(()222242c aa =+++，整理得ce a=解答题17.【解】（1）由sin sin tan cos cos B C A B C +=+得sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+，即sin cos sin cos A B A C+cos sin A B= cos sin A C +，也即sin cos A B cos sin A B -=cos sin A C sin cos A C -，所以()sin A B - ()sin C A =-，所以A B C A -=-或()()+A B C A π--=±（不成立），所以2B C A +=，则3A π=． （4分）（2）由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A ===，所以2sin b B =，2sin c C =．因为3A π=，所以23C B π=-，所以2b c +()()22sin 2sin 22sin 3B B B B B πϕ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中ϕ为锐角，且sinϕ=，cos ϕ=．因为203B π<<，所以23B πϕϕϕ<+<+，易知sin y x =在,2x πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在2,23x ππϕ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭单调递减，所以2B πϕ+=时，2b c +取得最大值又2sin sin 3πϕϕ⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2b c+()B ϕ=+>故2b c +的取值范围为． （12分）18.【解】（1）由()2411n n S a +=+得()211411n n S a +++=+，两式相减并整理得()()1120n n n n a a a a +++--=，∵{}n a 为正项数列，∴120n n a a +--=，∴12n n d a a +=-=，2n a n =．由12334c c c ++=得22426234q q ⨯+⨯+⨯=，即261320q q -+=，解得16q =（舍去）或2q =，所以12n n b -=，2n n c n =⋅． （3分）所以3n n c λ≤⇔22n n λ≥，设22n n n k =，因为()212112n n n k k n ++=≥⇔1n ≤+，则12k k ≤，3n ≥时，{}n k 单调递减，又23918k k =<=，所以{}n k 的最大项为398k =，故λ的最小值为98．（7分） （2）由（1）知2n n c n =⋅．所以1231222322n n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①则()2312 1222122n n n M n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅L ②①-②得123122222n n n M n +-=++++-⋅L 11222n n n ++=--⋅()1122n n +=-⋅-所以()1122n n M n +=-⋅+． （12分）19.【解】（1）证明：记AC 与BD 交点为O ，∵PB PD =，O 为BD 的中点，∴BD OP ⊥，又∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵AC 和OP 是平面APC 内两条相交直线，∴BD ⊥平面APC ． 又BD ⊂平面BPD ，∴平面APC ⊥平面BPD ．（2）设PO m =，∵90APC ∠=︒，∴2AC m =，又120BPD ∠=︒，所以60BPO ∠=︒，所以BO =，因为2BC AB ==，所以在Rt BOC △中，由勾股定理得1m =，∴CP =由（1）知，BD ⊥平面APC ，∴平面APC ⊥平面ABCD ．以O 为原点，OB 方向为x 轴正方向，OC 方向为y 轴正方向，建立如图空间直角坐标系．则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()D，10,2P ⎛- ⎝⎭．10,2AP ⎛= ⎝⎭u u ur ，30,2CP ⎛=- ⎝⎭u u u r，()1,0CD =-u u ur ．设平面CPD 的法向量为(),,n x y z =r，则30y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令1x =，解得y =3z =-，即()1,3n =-r，cos ,AP n AP n AP n⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r ， 所以直线AP 与平面PCD所成角的正弦值sin cos ,AP n θ==u u u r r20.【解】（1）证明：（反证法）假设存在n a ，1n a +，2n a +三项成等比数列，则21+2n n n a a a +=，所以()21+1n n n n aa a a +=+，所以21110n nn n a a a a ++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1n n a a +=，由条件可知Fibonacci 数列的所有项均大于0，所以1n n a a +=，又Fibonacci 数列的所有项均为整数，所以1n n a a +应该为有理数，这与1n n a a +=（无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．（6分） （2）证明：①易验证1,2n =时命题成立．②假设n k ≤（*k ∈N）时命题成立，即k k k a ⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭则1n k =+时，1111k k k k k k k a a a --+-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+=-+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭11k k k k --⎛⎫⎪=+--⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭D1111k k--⎛⎫⎫⎫⎪=-⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭1212k k--⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭11k k++⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以，1n k=+时，命题也成立．由①②可知，Fibonacci数列的通项公式为n nna⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭（*n∈N）．（12分）21.【解】（1）设(),P x y，则由题意得4x-=E的方程为22143x y+=．（4分）（2）易知直线AB的斜率存在且不为0，可设AB的方程为()2y k x=-，与22143x y+=联立并消去y得()2222341616120k x k x k+-+-=，因为2x=是其一个根，所以解得另一根即点B的横坐标为228634Bkxk-=+．因为AB AD⊥，所以把k换成1k-得D的横坐标为228634Dkxk-=+．则B、D的纵坐标之差为()()122B D B Dy y k x xk⎛⎫-=----⎪⎝⎭2212123434k kk k--=+++()()()22212773434k kk k-+=++()242841122512k kk k-+=++．所以四边形ABCD的面积S12B DAB y y=-()2428412122512k kk k-+=++22116811225kkkk⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫++⎪⎝⎭211681121kkkk⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫++⎪⎝⎭116811121kk kk=⎛⎫++⎪⎝⎭+116811121kkkk=+++- 11 - 令1t k k =+，则168112S t t=+（2t ≥），易知S 在2t ≥时单调递减，所以2t =时，S 取得最大值487，此时，1k =．所以四边形ABCD 的面积的最大值为487． （12分）22.【解】（1）()f x 有两个不同的零点e (0)x x a a ⇔⋅=-≠有两个不同的根．令()e x g x x =⋅，则()()1e xg x x '=+⋅，易得1x <-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；1x >-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．当x →-∞时，()e 0e x xx g x x -=⋅=→，当x →+∞时，()e x g x x =⋅→+∞，又()11eg -=-，结合图象可知，要使函数()e x g x x =⋅的图象与直线y a =-有两个不同的公共点，则10e a -<-<，所以，实数a 的取值范围为10ea <<． （2）令()()()11h x g x g x =-+---（0x >），则()()()11h x g x g x '''=-++--()11e e x x x x -+--=⋅+-⋅()e e 0e x x x -=->， 所以()h x 单调递增，故()()00h x h >=，所以()()11g x g x -+>--（0x >）．不妨设12x x <，则结合图象易得121x x <-<，110x -->，由条件知()()()()()()()2111111112g x g x g x g x g x ==----<-+--=-- ，又21x >-，121x -->-，以及函数()g x 在1x >-时单调递增，得212x x <--，所以122x x +<-．。