高考数学专题——离心率的值或范围问题
高考数学 专题40 离心率的求值或取值范围问题黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题40 离心率的求值或取值X围问题【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】方法1 定义法解题模板：第一步根据题目条件求出的值第二步代入公式，求出离心率.例1.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为．【答案】【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A B C D【答案】方法2 方程法解题模板：第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.例2.【2018某某省某某市第一高级中学模拟】已知椭圆的左焦点为，右焦点为.若椭圆上存在一点，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点，连接分别是的中点，，且，，根据椭圆的定义，，，两边平方得：，代入并化简得，，，即椭圆的离心率为，故选D.例3.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】.【变式演练2】焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.考点：椭圆的标准方程与几何性质.【变式演练3】【2018某某省某某市第七中学模拟】已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.【答案】C方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，第三步解不等式，确定离心率的X围.例4已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值X围是（）A.B.C.D.【答案】【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.【点评】离心率的X围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值X围是（）A．B．C．D．方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的X围，存在点或直线使方程成立，的X围等；第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值X围是( )A. (1，＋∞)B. (1,2]C. (1，]D. (1,3]【答案】D【解析】双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支一的任意一点，，，当且仅当，即时取等号，，，，，故选D.【变式演练5】【2018某某贺州市桂梧高中模拟】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值X围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，∴，∴.选B.方法5 借助函数的值域求解X围解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步通过确定函数的定义域；第三步利用函数求值域的方法求解离心率的X围.例6. 【2018某某省某某市第一中学模拟】已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则的取值X围为A. B. C. D.【答案】C【变式演练6】是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（）A． B． C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题设可知,即,解之得,即,故.应选A.考点：双曲线的几何性质及运用.【高考再现】1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A双曲线的离心率。
高考数学复习第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题(解析版)
专题二 压轴解答题第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．【典例解剖】类型一 离心率问题典例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)43x y t t t+=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l ：2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【答案】（1）12（2）224513PA PB =（3）详见解析 【解析】【分析】第一问利用离心率的公式直接求解；第二问将直线AP 的方程为1(2)2y x t =+与椭圆C 的方程2223412x y t +=联立求出点P 的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出22PA PB的值；第三问先求出Q 点的坐标，再利用中点坐标公式求出点E 的坐标，然后求出点P 的坐标及直线PF 的斜率、直线EF 的斜率，最后根据tan tan 2PFB θ∠=得出2PFB EFB ∠=∠即可证明．【详解】（1）∵椭圆C ：2222143x y t t +=，∴224a t =，223b t =，22c t =．又0t >，∴2a t =，c t =，∴椭圆C 的离心率12c e a ==． （2）∵直线AP 的斜率为12，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -，∴直线AP 的方程为1(2)2y x t =+．代入椭圆C 的方程2223412x y t +=，得2223(2)12x x t t ++=，即2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去），将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，∴点P 的坐标为3,2t t ⎛⎫⎪⎝⎭．又椭圆C 的右顶点B （2t ，0），∴2222345(2)024PA t t t t ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，2222313(2)024PB t t t t ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴224513PA PB =． （3）直线AP 的方程为(2)y k x t =+，将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，∴(2,4)Q t kt ．∵E 为线段BQ 的中点，∴(2,2)E t kt ，∵焦点F 的坐标为（t ，0），∴直线EF 的斜率2EF k k =．联立222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨+=⎩，，消y 得，()()2222234164430k x k tx k t +++-=．由于()22244334A P k t x x k -=+，2A x t =-，∴()2223434P k t x k -=+，∴点P 的坐标为()22223412,3434k t kt k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，∴直线PF 的斜率()222221242234141(2)23434PFktk kk k k k k ttk ⋅+===----+．而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠，∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上． 【名师点睛】本题主要考查离心率的求值、直线与椭圆的综合问题、点关直线对称问题等． 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 化转为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）． 【举一反三】（2020·陕西渭南期末考试）如图，12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，123F AF π∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值．【答案】（1）12；（2）10,a b ==【解析】【分析】（1）由题意可知，12AF F ∆为等边三角形，2a c ＝，∴1=2e ；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值． 【详解】（1）由题意，A 是椭圆C 的顶点，可知12=AF AF ，又123F AF π∠=，∴12AF F ∆ 为等边三角形，2a c ＝，∴1==2c e a ． （2）由（1）可得224a c ＝，又222+a b c ＝，2234b a ＝．直线AB 的倾斜角为23π，斜率为AB 的方程为 )y x c =-．将其代入椭圆方程 2223412x y c ＋＝，解得 8,5B c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴ 81680555AB c c a =-==，1AF a =，由1211118sin 225AF B S AF AB F AB a a ∆=⋅∠=⋅==10a =，b =类型二 最值、范围问题典例2．（2020上海南模中学月考）某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点B ，D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点C ，D ．（1）若BAD 3π∠=，求圆12,M M 的半径；（结果精确到0．1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0．8千元与每米0．9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0．1°和0．1千元） 【答案】（1）34．6米，16．1米；（2）263．8千元． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α），化简，令1+tanα＝x 换元，利用基本不等式得出最值． 【详解】（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ， ∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD ＝12∠BAD ＝6π，∠M 2AD ＝12π，∴M1B ＝ABtan ∠M1AB ＝60×3＝．6（米），∵tan6π＝22tan121tan12ππ-tan 12π＝2，同理可得：M 2D ＝60×tan12π＝60（2≈16．1（米）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜4π），由（1）可知圆M 1的半径为60tanα，圆M 2的半径为 60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α）＝96πtanα+108π•1tan 1tan αα-+，设1+tanα＝x ，则tanα＝x ﹣1，且1＜x ＜2． ∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（21x -）＝12π•（8x +18x﹣17）≥84π≈263．8， 当且仅当8x ＝18x 即x ＝32时取等号， 当x ＝32时，tanα＝12，∴α≈26．6°，2α≈53．2°．∴当∠BAD 为53．2°时，观景步道造价最低，最低造价为263．8千元．【名师点睛】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例3．（2020上海高三模拟考试）已知圆：()，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；C 22(1)x y a ++=0a >(,0)A m (0,)B n ,m n3a m n ===AB C（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值； （3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．【答案】(1) 相离．(2) ，．(3)【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P 的任意性即可得实数m ，λ的值；（3）设出点P 和点N 的坐标，表示出中点M 的坐标，M 、N 满足圆C 的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P 满足直线AB 的方程，解出半径的取值范围． 【详解】解： (1) 当时，圆心为当时，直线方程为， ∴圆心到直线距离为（2）设点，则，∵，∴，，…………由得，，∴，代入得，，化简得，…………∵为圆上任意一点，∴……… 4a =C P PA PO λ=O ,m λ2,4m n ==AB P C ,M N M PN a 3m =2λ=1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭3a =()1,0-3m n ==AB 30x y +-=d ==<(),P x y PO =PA =PA PO λ=()()22222x m y xy λ-+=+()()222221120x y mx m λλ-+-+-=()2214x y ++=22230x y x ++-=2232x y x +=-()()2213220x mx m λ--+-=()()22221310m x m λλ-+-+-=P C ()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩又，解得，．………………… (3)法一：直线的方程为，设()，， ∵点是线段的中点，∴，又都在圆：上，∴ 即…………………… ∵该关于的方程组有解，即以为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，∴，又为线段上的任意一点，∴对所有成立．而 在上的值域为， ∴∴．……… 又线段与圆，∴． 故实数的取值范围为．……………法二：过圆心作直线的垂线，垂足为，设，，则则消去得，，,0m λ>3m =2λ=AB 124x y+=(),42P t t -02t ≤≤(),N x y M PN ,222x ty M t +⎛⎫-+⎪⎝⎭,M N C ()221x y a ++=()22221,12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩()()()22221,2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩,x y ()1,0-()2,24t t ---()()221249a t t a ≤++-≤P AB ()()221249a t t a ≤++-≤02t ≤≤()()()22124f t t t =++-2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]0,236,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩173695a ≤≤AB C <365a <a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭C MN H CH d ==MN l 222221232d l a d l PC ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩l [)2290,88PC d a a =-∈∴(]2,9PC a a ∈直线方程为 点到直线且为线段上的任意一点， …，，故实数的取值范围为．【举一反三】1．（2020上海高三模拟考试）如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A 相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长． 【答案】(1) 3千米．(2) 【解析】 【分析】（1）先建立以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设直线方程为：，由，运算即可得解；（2）设，，由PQ 与圆A 相切，得，再结合重要不等式即可得解． 【详解】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，AB 240x y +-=∴C AB =3,CA CB ==P AB ∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦361795a a ∴<<≤a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭2+14x yb+=1=(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>2()2ab a b =+-则圆A 的方程为， 由题意可设直线PQ 的方程为，即，， ∵PQ 与圆A，解得，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米． （2）设，， 则直线PQ 方程为，即． ∵PQ 与圆A，化简得，即； 解法一：因此∵，，∴，于是．又，解得，或∵，∴，当且仅当时取等号，∴PQ 最小值为，此时．答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法二：化简得，即．∵22(1)(1)1x y -+-=14x yb+=440bx y b +-=(2)b >1=3b =(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>1x ya b+=0bx ay ab +-=1=202()a ab b -++=2()2ab a b =+-PQ ====2a >2b >4a b +>()2PQ a b =+-22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭04a b <+≤-4a b +≥+4a b +>4a b +≥+()22PQ a b =+-≥+2a b ==2+2a b ==2+202()a ab b -++=2(1)2222a b a a -==+--PQ ====∵，∴． 当且仅当，即时取到等号， 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法三：设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ，设， 则，，且，∴，又∵，∴，∴（当且仅当取等号）答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法四：设PQ 与相切于点B ，设，，则，，，在中，由得：，化简得：，∴，解得：或（舍）=2(2)22a a ==-++-2a >2(2)2222PQ a a =-++≥+=-222a a -=-2a b ==+2+OPA θ∠=APB APO ∠=∠BQA OQA ∠=∠2OPQ OQP π∠+∠=4AQB πθ∠=-AB PQ ⊥1tan PB θ=10,4tan 4BQ πθπθ⎛⎫=∈ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭111111tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan 4PQ θθπθθθθθθ+=+=+=+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭12121(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ⎛⎫=+-=++-- ⎪--⎝⎭1tan 2tan 12122tan 1tan θθθθ-=+++-≥+=+-tan 1θ=2+A BP x =(0,0)BQ y x y =>>1OP x =+1OQ y =+PQ x y =+RT OPQ ∆222OP OQ PQ +=222()(1)(1)x y x y +=+++1xy x y =++212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭2x y +≥+2x y +≤-（当且仅当时等号成立），∴当时，PQ有最小值．答：当P、Q两点距离公路交点O都为PQ最短．2．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的离心率3e=，左、右焦点分别为12,F F，且2F与抛物线24y x=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F的直线交椭圆于,B D两点，过2F的直线交椭圆于,A C两点，且AC BD⊥，求AC BD+的最小值．【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y+=；（2）AC BD+．【解析】（1）抛物线24y x=的焦点为()1,0，∴1c=，又∵13cea a===，∴a=22b=，∴椭圆的标准方程为22132x y+=．12BD x x=-=)22132kk+=+．易知AC的斜率为1k-，∴)222211112332kkACkk⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．()222114313223AC BD kk k⎛⎫+=++⎪++⎝⎭()()()()()()22222222220312031322332232k kk k k k++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦1x y==+2OP OQ==+2+)()222212514k k +==+． 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +的最小值为1635． （ii ）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得AC BD +=>综上：AC BD +． 类型三 面积问题典例3．（2020上海松江区一模）设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．（1）若，求点的坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，． 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程以及抛物线定义，根据求出横坐标，代入，即可得出点的坐标； （2）设，，设直线的方程是：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到，推出恒为钝角，即可得结论成立； （3）设，则，由得，推出直线的斜率．设直线2:4y x Γ=F x (,0)M m lΓA B ||3FA =A 2m =O AB ||||FA FM =1l l 1l ΓE OAE M (2,±(3,0)M ||3FA =24y x =()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+12120OA OB x x y y ⋅=+<AOB ∠()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =1(2,0)+M x AB 12=-AB y k的方程为，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得．设，则，，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，∴点的坐标或 （2）设，， 设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得， ∴，故恒为钝角，故原点总在以线段AB 为直径的圆的内部． （3）设，则，∵，则，由得，故，故直线的斜率． ∵直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得． 设，则，，，当且仅当，即时等号成立， 1l 12y y x b =-+12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==(1,0)F 1x =-()11,A x y ||3FA =12x =24y x=y =±A (2,A (2,A -()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+224x my y x =+⎧⎨=⎩x 2480y my --=121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<AOB ∠O ()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =111-=+m x 0m >12=+m x 1(2,0)+M x AB 12=-AB y k 1l AB 1l 12y y x b =-+211880b y y y y +-=21164320b y y ∆=+=12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==11111111014111222141OAE y x S x y x y x y ∆==+≥-11114y x x y =22114y x =由得，解得或（舍），∴点的坐标为，． 【名师点睛】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．典例4．（2020上海吴淞中学月考）已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上．（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积； （2）若，求证：直线过一定点；（3）若，的外接圆半径为，求的值． 【答案】（1）2（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）求得，由三角形的面积公式，即可求解面积；（2）设，联立方程组，求得，又由，求得，得到，即可得到答案；（3）由题意得：，求得线段的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）由题意，椭圆，可得，故的面积为． （2）根椐对称性，定点必在轴上，利用特殊值可计算得定点为， 设，，，221121144y x y x ⎧=⎨=⎩21144x x =11x =10x =M (3,0)M min ()2OAE S ∆=2214x y +=A ()*,n n P Q n N∈11,P Q 11APQ∆0n n AP AQ ⋅=n n P Q 11n n P Q y y n==-n n AP Q ∆n R lim n n R →∞411(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆():1n n P Q y l kx m m =+≠1212,x x x x +0n n AP AQ ⋅=35m =-3:5n n P Q y kx l =-22112,1n P n nn ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭n AP 332y n=-+2214x y +=11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆11422⨯⨯=y 30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭():1n n P Q y l kx m m =+≠()11,n P x y ()22,n Q x y联立方程组，整理得，可得， ∵，所，即， 可得， 即，可得，又∵，∴，∴，可得必过定点．（3）易知是等腰三角形，外接圆圆心在轴上，由题意得：，线段的中垂线为： 故外接圆圆心的纵坐标为：，∴，∴． 【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =．(1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC 面积最大时，求点C 的坐标．【答案】(1)2211612x y +=(2) 1919⎛- ⎝⎭【解析】(1)由椭圆M 经过点()2,3A --，离心率12e =，可得22491a { 12b c a +==，解得2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()222148410k x kmx m +++-=()122212208144114km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩90n n P AQ ∠=︒0n n AP AQ ⋅=12121210x x y y y y +--+=()()()()12121210x x kx m kx m kx m kx m +++-+-++=()()()()2212121110kx xk m x x m ++-++-=()()5310m m +-=1m ≠35m =-3:5n n P Q y kx l =-30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭n n AP Q ∆y 1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭nAP 112y x n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭332y n =-+3313422n R n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭3lim lim 442n n n R n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2216,12a b ==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=∴直线l 的方程为210x y -+=，设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=由221{ 161220x y x y m +=-+=，整理得()2219164120x mx m ++-= 由()()22164194120m m =-⨯⨯-=，解得276m =，∵m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m <，故m =-解得x =，y =，∴C点的坐标为⎝⎭ 【精选名校模拟】1．（2020·上海闵行区期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x yC a a a +=>-．(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； (2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； (3)若直线:13x yl a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标．【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-． 【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．【详解】（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，∴9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =． （2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -，2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，∴[24TA BA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a-=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a--，∴PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a -，22229||(3)()a PQ a a -=++， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a ----+-=++，整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a---+---++-+=+，即2229(3)30a x a x y y a a---+--=，整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=，对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22(3)(3)9x y a x x y a y -++++++恒为0， ∴二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2(3)390x y x x y y -++=++==， ∴3x =-，0y =，即定点坐标为(3,0)-．2．（2019·上海南模中学高三月考）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称．（1）若已知10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为椭圆上动点，证明：2MC ≤； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）证明见解析；（2）6,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2． 【解析】【分析】（1）设点(),M x y ，则有11y -≤≤，代入椭圆的方程得出2212x y =-，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出MC 的最大值2，从而证明2MC ≤； （2）由A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称，可得出直线AB 与直线12y mx =+，从而可得出直线AB 的斜率为1m -，设直线AB 的方程为1y x b m=-+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，得出>0∆，并列出韦达定理，求出线段AB 的中点M ，再由点M 在直线上列出不等式，结合>0∆可求出m 的取值范围； （3）令1t m-=，可得出直线AB 的方程为y tx b =+，利用韦达定理结合弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式计算出AOB ∆的高d 的表达式，然后利用三角形的面积公式得出AOB ∆面积的表达式，利用基本不等式可求出AOB ∆面积的最大值．【详解】（1）设(),M x y ，则2212x y +=，得2222x y =-，于是MC ====因11y -≤≤，∴当12y时，max MC =，即MC ≤ （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=．∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，即2221b m <+，①由韦达定理得12242bm x x m +=+，()22122212b m x x m -=+，2122212222y y bm bm b m m m +=-⋅+=++，∴线段AB 的中点2222,22mb bm M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-②， 将②代入①得22222222m mm m ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，化简得223>m ．解得3m <-或3m >，因此，实数m 的取值范围是6,,33⎛⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230,2t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2212t b +=-． 则122421tb x x t +=-+，21222221b xx t -=+， 则12AB x x =-=221t==+==，且O到直线AB的距离为2d=设AOB∆的面积为()S t，∴()124S t ABd=⋅=()()222132422t t++-≤⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故AOB∆．3．（2020·上海南模中学期末）已知定点()1,0F，动点P在y轴上运动，过点P作直线PM交x轴于点M，延长MP至点N，使0PM PF⋅=．||||PM PN=点N的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若S，T是曲线C上的两个动点，满足0OS OT⋅=，证明：直线ST过定点；（3）若直线l与曲线C交于A，B两点，且4OA OB⋅=-，||430AB≤≤l的斜率k的取值范围．【答案】(1) ()240y x x=>；(2) 直线ST过定点()4,0；(3)111,,122k⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】(1)设出动点N ，则,M P 的坐标可表示出，利用0PM PF ⋅=，可求得,x y 的关系式，即N 的轨迹方程；(2)设直线:ST x ty m =+，联立直线与(1)中所得抛物线的方程，利用韦达定理表示0OS OT ⋅=，进而求得m 即可；(3)设出直线l 的方程，A ，B 的坐标，根据12124x x y y +=-推断出128y y =-，把直线与抛物线方程联立消去x 求得12y y 的表达式，进而求得2b k =-，利用弦长公式表示出2AB ，再根据AB 的范围，求得k 的范围．【详解】(1)设动点(),N x y ，则(),0M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭，0x >，∵0PM PF ⋅=，即,1,022y y x ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()240y x x =>． (2)设直线:ST x ty m =+，联立()2240440y x x y ty m x ty m⎧=>⇒--=⎨=+⎩． 设()()1122,,,S x y T x y ，则124y y m ⋅=-，()22212212124416y y y y x x m ⋅⋅=⋅==．又0OS OT ⋅=，故由题有12120x x y y +=，即240m m -=．由题意可知0m ≠，故4m =．故直线:ST 4x ty =+，恒过定点()4,0． (3)设直线l 方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，即221212444y yy y ⋅+=-，∴()2121216640y y y y ++=，解得128y y =-，由()()2240440,0y x x ky y b k y kx b⎧=>⇒-+=≠⎨=+⎩，∴12482by y b k k ==-⇒=-， 当216160120kb k ∆=->⇒+>恒成立，()()222121212222211116161141b AB yy y y y y k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22416112k k k ++=． 由题意，||430AB ≤≤()()224161121661630k k k++⨯≤≤⨯，即2422132513121428424k k k ⎛⎫≤+≤⇒≤+≤⎪⎝⎭， ∵21302k +>，故2251311114222k k ≤+≤⇒≤≤，解得2114k ≤≤，∴112k ≤≤或112k -≤≤-． 即所求k 的取值范围是111,,122⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 4．（2020·上海南模中学期末）教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点．（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ，22x xy y 12+=，CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y 在椭圆上，整理化简得2223x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上．【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y ． （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=，于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD =，将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=，∴直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 联立1221y y m 2=-+， 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB ， 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++，即22C C x y 12+=，当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2． （3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y ，设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-， 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=--00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上．5．（2020·上海普陀区一模）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．【答案】（1）2213x y -=；（2）15((,3)33-；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证．【详解】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=．（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即223503m m -<-，则3m <<-或3m <<， 即实数m的取值范围15((,3)． （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -．设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD 的中点，则点00()22x y P+， 直线BD，直线AD ，又BDPQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x yx y -=-，即200000322x x y y x y y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=+，即02(1(33x xx +-+=+，则024x x =，即点Q 的横坐标为024x ，则p q x x -==．故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．6．（2020·上海金山中学期末）已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B ． （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba的值在区间0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(sin , sin )B αα；（2）06πα<<；（3）314m +<<． 【解析】【分析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可；（2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，则问题可转化为抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可．【详解】（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得sin x y α==，∴(sin , sin )B αα． （2）∵04πα<<，0tan 1α<<，∴椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件0403b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴06πα<<；（3）由题意得：1m ，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，∵点(sin ,sin )B αα在抛物线上，∴2sin 4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin t α=，∵06πα<<，∴102t <<， 令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，抛物线①开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<， 抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，∴0? 1m m m ⎧<<或m的取值范围是314m <<． 7．（2020·上海闵行区一模）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F ．（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明：12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”【答案】（1）4；（2）；（3）见解析 【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形TAFB 的面积S =，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线l 的方程为2x =，分别求出M 、P 、Q 、N 四点坐标后即可证明12MP QN PQ ==；必要性：设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，由12MP QN PQ==可得1234y y y y +=+，即可得出t 与m 的关系，进而可得出直线l 的方程为2x =．【详解】（1）由2240x y x +-=可得：()22 24x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心()2,0到Γ的准线2x =-的距离为4．（2）四边形TAFB 的面积为：1222S =⨯⨯===，∴当[]1,4x ∈时，四边形TAFB 的面积的取值范围为．（2）证明(充分性) ：若直线l 的方程为2x =，将2x =分别代入28y x =2240x y x +-=得()2,4M ，()2,2P ，()2,2Q -，()2,4N -．∴122MP ON PQ ===，∴12MP QN PQ ==．(必要性) ：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合，设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则1234y y y y +=+，将x ty m =+代入28y x =得2880y ty m --=，128y y t +=，264320t m ∆=+>即220t m +>，同理可得，()342221t m y y t-+=-+， ∴()22281t m t t--=+即0t =或242m t =--， 而当242m t =--时，将其代入220t m +>得2220t -->不可能成立；．当0t =时，由280y m -=得：1y =2y =- 将x m =代入2240x y x +-=得3y =4y =12MP PQ =，∴12=⋅，∴220m m -=，∴2m =或0m =（舍去），∴直线l 的方程为2x =，12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”．8．（2020·上海川沙中学期末考试）已知两点1(F、2F ，动点(,)M x y 满足12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G ． （1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求△PQG 的面积； （3）证明：△PQG 为直角三角形．【答案】（1）22142x y +=，轨迹是以0)、(为焦点的椭圆；（2）4027；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，根据椭圆定义，即可求出方程；（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，可得111(,),(,0)Q x kx E x --，求出QE 方程，与椭圆方程联立求出G 点坐标，再将2y x =与椭圆方程联立，求出,,P Q G 坐标，即可求解； （2）根据（2）中G 点坐标求出PG 斜率，即可证明结论．【详解】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，M点轨迹就是以12(F F 为焦点的椭圆，其方程为22142x y +=．（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，则111(,),(,0)Q x kx E x --，直线QE 方程为1()2ky x x =-， 联立122()2240k y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2222211(2)280k x k x x k x +-+-=，① 设221(,),G x y x -为方程①的解，222111121212222232,222k x k x k x x x x x x k k k +-=∴=+=+++，323111122122232(),(,)2222k x k x x k x ky x x G k k k +=-=+++， 联立22224y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2424148(,),(,),(,)333399P Q G --， 1414240()239327PQG S ∆=⨯+=．（3）由（2）得231112232(,)22k x x k x G k k +++，3112122111122123222PGk x kx kx k k k x x k x k x k -+===-+--+， PQ PG ∴⊥，即△PQG 为直角三角形．9．（2020·上海东昌中学期末考试）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:14x C y +=．（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上、短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围；（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”和分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）【答案】（1） 相似比为2:1（2）b >（3）详见解析 【解析】【详解】（1）椭圆2C 与1C 相似．∵椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为 而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为 因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1． （2）椭圆b C 的方程为：，设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则2222{14y x tx y b b =-++=， ∴222584()0x tx t b -+-=，则12004,255x x t tx y +===， ∵中点在直线1y x =+上，∴有4155t t =+，53t =-，即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，∴224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即b > （3）作法1：过原点作直线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．10．（2020·上海华师大附中月考）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于A 、B 两点，且3AB =，如图1．（1）求圆C 的方程；（2）如图1，过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点，求证：射线AB 平分PAQ ∠；（3）如图2所示，点M 、N 是椭圆Γ的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆Γ上，若直线RM 与y 轴交于点1M ，直线RN 与x 轴交于点1N ，试问：四边形11MNN M 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）是， 【解析】【分析】（1）根据已知条件设出圆心坐标，半径为圆心纵坐标，利用弦长公式，可求出圆的方程；（2）先求出,A B 点坐标，设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得0AP AQ k k +=，命题得证；（3）设220000(,),28R x y x y +=，求出直线RM 、直线RN 方程，进而求出点1M 与点1N 的坐标，然后四边形11MNN M 的面积用点1M 与点1N 的坐标表示，计算可得定值．【详解】（1）依题意，设圆心(2,),C b r b =，||3AB ==，解得52r =， ∴所求的方程为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． （2）0x =代入圆C 方程，得1y =或4y =，(0,1),(0,4)B A ∴， 若过点B 的直线l 斜率不存在，此时,,A P Q 在y 轴上，0PABQAB，射线AB 平分PAQ ∠，若过点B 的直线l 斜率存在，设其方程为1y kx =+，联立22281x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得，22222(21)460,1624(21)8(83)0,k x kx k kk∆。
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题6 微重点15 离心率的范围问题
跟踪演练3 (2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线 C：ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 与直线 y＝x 有交点，且 双曲线上存在不是顶点的点 P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心 率的取值范围为____( __2_，__2_) __.
专题强化练
考点一
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆
和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则
e1e2 的最小值为
√A.
3 2
B.32
C.
3 4
D.34
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|， 由椭圆和双曲线的定义可得||PPFF11||＋ －||PPFF22||＝ ＝22aa12， ， 得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
A.0，12
B.0，
2
2
C.12，1
√
D.
22，1
如图所示，A为椭圆的上顶点.
依题意∠F1AF2≥90°，即∠OAF2≥45°， 又|AF2|＝a，|AO|＝b，|OF2|＝c， ∴sin∠OAF2＝||OAFF22||＝ac＝e，
∵∠OAF2≥45°，
∴sin∠OAF2∈
22，1，即
√C.0，12
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°，∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23，∴|OP|≤2 33b. 又 P 是 C 上任意一点，则|OP|max≤2 33b， 又|OP|max＝a，∴a≤2 33b，
2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解
2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）ABC ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y − 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+−+−+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a −=， 所以()2221222114b a x ax a −=−+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =−故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅−=−，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=−，故2214b a = 所以椭圆C的离心率ce a= A. 2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b−=，解得2b y a =±，所以22bAB a =,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bca =c =，所以222212a c b c =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32b b c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c −>−，即22b c <时， 42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）A B ．32C D 【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ， 所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a −=532222a a b a ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a −=352222a b a a +−=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y −=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49−=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα−=+−即()sin sin sin a c αββα=+−，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+−，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=−， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα−=−+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=−−，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e =故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =−=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+−=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c =−，代入椭圆方程22234120x y c +−=，整理化简得到：221390y c −−=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =−==⨯⨯⨯=， ∴ 138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫− ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b −=，解得：228124c a =，所以离心率e =7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以=c e a又因为1e >，所以1e <故答案为：2（满足1e <≤。
高考数学复习：离心率范围(最值)模型
解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)高考数学复习：离心率范围(最值)模型自身的性质构造不等关系，从而求解．【例题选讲】[例8] (41)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．[53，＋∞)B ．[54，＋∞)C ．(1，53] D ．(1，54]答案 B 解析 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，所以|AB |＝2b 2a．将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得y ＝±bc a ，不妨取C (c ，bc a )，D (c ，－bc a )，所以|CD |＝2bca．因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54，故选B ．(42)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，59] B ．( C ．( D ．(13，答案 C 解析 如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3．取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，|3b |≥65，解得b ≥2．∴c ∴0<c a ≤∴椭圆E 的离心率范围是(0．故选C ．(43)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1，＋∞) B ．(01) C ．1，1) D ．11)答案 C 解析 由题意可知，A ，B 的横坐标均为c ，且A ，B 都在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，从而可得y ＝±b 2a，不妨令A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．由△ABF 1是锐角三角形知∠AF 1F 2<45°，所以tan ∠AF 1F 2<1，所以tan ∠AF 1F 2＝AF 2F 1F 2＝b 2a 2c <1，故a 2－c 22ac <1，即e 2＋2e －1>0，解得e1或e <1，又因为椭圆中，0<e <11<e <1．故选C ．(44)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得△PF 1F 2C 的离心率的取值范围是( )A ．(12，B ．(12，1)C ．1) D ．1)答案 A 解析 F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，可得2c ＝P ，使得△PF 1F 2，可得12×2m 2－4m ＋3<0，解得m ∈(1，3)，则椭圆C 的离心率为：e(12，．(45)已知椭圆22x a ＋22y b=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在一点P 使12sin a PF F Ð＝21sin cPF F Ð，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．思路点拨 在△PF 1F 2中，使用正弦定理建立|PF 1|，|PF 2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF 2|，利用a －c <|PF 2|<a ＋c 建立不等式确定所求范围．答案 1，1) 解析 根据已知条件∠PF 1F 2，∠PF 2F 1都不能等于0，即点P 不会是椭圆的左、右顶点，故P ，F 1，F 2构成三角形，在△PF 1F 2中，由正弦定理得212sin PF PF F Ð＝121sin PF PF F Ð，则由已知，得2a PF ＝1cPF ，即|PF 1|＝c a |PF 2|，①．根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，②．由①②解得，|PF 2|＝21a c a+＝22a a c +，因为a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以a －c <22a a c+< a ＋c ，即b 2<2a 2<a 2＋2ac ＋c 2，所以c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e <1或e 1，又e ∈(0，1)，故椭圆的离心率e ∈1，1)．(46)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案 2 解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2．(47)已知双曲线方程为224x m +－22y b＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1]B ．，＋∞)C ．(1)D ．，＋∞)答案 A 解析 过焦点的最短弦长有可能是2a 或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为22b a＝，a 2＝m 2＋4≥4，2a ≥4>2，所以过焦点的最短弦长为22b a ＝=2，即b 2＝，e ＝c a ，0<21b ≤12，所以1<1+21b ≤32，，即e ∈(1]．故选A ．(48)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e的最小值是________．答案 解析 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2，∴12≤c 2a 2≤23，e 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在23上是增函数，∴当e 2e －1e取得最小值22(49)已知点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A B C D 答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立{x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a e＝c a ＝1a ≤e 方法2 A (－1，0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为A ′(－3，2)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A ′B |＝所以椭圆C 1故选A ．(50)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 75 解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ．又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a ．当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2．∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈(1，75)．当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．【对点训练】47．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ．若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(14，34)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)47．答案 C 解析 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a (a ＋c )．又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C ．48．已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．∞) B ．(1，52) C ． D ．(148．答案 C 解析 双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A 0)，∴|OA |，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ∴ee e C．49．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A．(0 B．(0，34] C．1) D．[34，1)49．答案 A 解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝4b5≥45，∴1≤b<2．离心率e＝ca＝(0，故选A．50．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|PF1→＋PF2→|≥3|F1F2→|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．1<e≤32 B．e≥32 C．1<e≤43 D．e≥4350．答案 C 解析 由OP为△F1PF2的中线，可得4|PF1→＋PF2→|＝8|PO→|≥3|F1F2→|，因为|F1F2→|≥a，|F1F2→|＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：1<e≤43．故选C．51．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若MF―→1·NF―→1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．1) B．(11) C．(1 D．∞)51．答案 B 解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意可得c2a2－y2b2＝1，得到y＝b2a，不妨设M(c，b2a)，N(c，－b2a)，则MF―→1·NF―→1＝(－2c，－b2a)·(－2c，b2a)＝4c2－b4a2＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－e2＜3＋e＞1，所以1＜e2＜3＋1＜e＜1＋52．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A．21) B．(02 C．21) D．(0252．答案 B 解析设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，所以m2a2＋m2b2＝1>c2a2＋c2b2＝e2＋e21－e2，整理得e4－3e2＋1>0，e20<e B．53．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．53．答案 1) 解析 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故(c a)2＋c a－1>0即e2＋e－1>0，e e0<e<1e<1．54．已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A．1) B．(12，1) C．(0 D．(0，12)54．答案 A 解析 法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|<a，因为∠F1PF2为钝角，所以PF1―→·PF2―→<0有解，即(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)<0，化简得c2>x20＋y20，即c2>(x20＋y20)min，又y20＝b2－b2a2x20，0≤x20<a2，故x20＋y20＝b2＋c2a2x20∈[b2，a2)，所以(x20＋y20)min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝c2a2>12，解得e0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是1)．法二：椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ．如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是1)．55．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1）B ．，12） C ．（12，1） D ．（0，12）55．答案 B 解析 由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos∠PF 1F 2，即|PF 2|＝所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c 又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a 1)c ，<c a <12，e <12．故选B ．56．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．56．答案 (1∪∞) 解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±±b 2a ，设A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，D (0，b )，可得AD →＝(c ，b －b 2a )，AB → ＝(0，－2b 2a )，DB → ＝(－c ，－b －b 2a )，若∠DAB 为钝角，则AD → ·AB →<0，即0－2b 2a·(b －b 2a )<0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<e >1，可得1<e ∠ADB 为钝角，则DA → ·DB →<0，即c 2－(b 2a ＋b )(b 2a －b )<0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0，又e >1，可得eAB → ·DB → ＝2b 2a(b ＋b 2a )>0，∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1∪∞)．57．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈[π12，π6]，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．[21]C ．[2D ．1]57．答案 D 解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈[π12，π6]，∴sin 2β∈[12，，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，1)2]．又e >1，∴e ∈1]．58．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.58．答案 (1 解析 由过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得ba <2．∴e ＝ca ＝∵e >1，∴1<e ∴此双曲线离心率的取值范围为(159．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．[23，1)B ．[13，2C ．[13，1)D ．(0，13]59．答案 C 解析 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ．∴a －c ≤2c ＜a ＋c ．∴e ＝c a ∈[13，1)．60．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1) B ．1) C ．(0 D ．(60．答案 B 解析 ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2．设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2．联立方程组{x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e0<e <1，e <1．61．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1，3]B ．[3，＋∞)C ．(0，3)D ．(0，3]61．答案 A 解析根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1，3]．62．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→ ·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1) B ． C ．[13，12] D ．(062．答案 B 解析 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→ ＝(－c －x ，－y )，PF 2→ ＝(c －x ，－y )．所以PF 1→ ·PF 2→ ＝x 2－c 2＋y 2＝(1－b 2a 2)x 2＋b 2－c 2＝c 2a2x 2＋b 2－c 2．因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→ ·PF 2→≤b 2．所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2≤c a ≤B ．63．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2c ．若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A ．(1 B ．(1C ．(1，2)D ．(1，2]63．答案 A 解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a3c|PF 1|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以1－a3c)|PF1|＝2a ，解得|PF 1|＝6ac3c －a，而|PF 1|>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0e e >1，所以1<e A ．64．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01)B ．1) C ．(0 D ．1，1)64．答案 D 解析在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac ，①．又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②．由①②得，|MF 1|＝2aca ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c ．显然|MF 2|＞|MF 1|，∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c ＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜11＜e ＜1，故选D ．65．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c2，该椭圆的离心率的取值范围为 ．65．答案 1，1) 解析 由1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c 2得ca ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2．又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|．又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为1，1)．。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
离心率的范围问题--2024年高考数学重难点攻略 解析版
微重点 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】 (2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】 A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。
高中数学高考数学离心率题型总结
F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。
圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。
，求椭圆离心率取值范围。
分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。
内，求椭圆离心率取值范围。
分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。
高考数学离心率专题
高考数学离心率离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点,对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围,属于中低档次的题型,对大多数学生来说是没什么难度的;一般来说,求椭圆或双曲线的离心率,只需要由条件得到一个关于基本量a ,b ,c ,e 的一个方程,就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当,则极可能“小题”大作,误入歧途;许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出,一针见血,其实不然,对于这类题,用最淳朴的定义来解题是最好的,此时无招胜有招 例112212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 2122F F F P F PF ∆全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－解法一大多数学生的解法解：由于12F PF ∆为等腰直角三角形,故有122F F PF =,而122F F c =,22b PF a =所以22b c a=,整理得2222ac b a c ==-等式两边同时除以2a ,得221e e =-,即2210e e +-=, 解得28122e -±==-±,舍去12e =-- 因此12e =-+,选D解法二采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 解：如右图所示,有12222||||212122221c c c ea a PF PF c c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D 评以上两种方法都是很好的方法,解法一是高手的解法,灵活运用了“通径”这个二级结论,使题目迎刃而解,但计算量偏大,耗时较长；而解法二则是老手,整个过程没有任何高级结论,只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”,通过几个简单的步骤即可;正所谓此时无法胜有法一、用定义求离心率问题1. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 DC 2- 1- 2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是 AA ．33B ．32C ．22D ．23 3.在ABC △中,AB BC =,7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = ．384、已知正方形ABCD,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；解析：设c=1,则121212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b5、已知长方形ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 ;解析：由已知C=2,2142,43433222====⇒=-⇒=⇒=a c e a a a a b a b6．过椭圆22221x y a b+=0a b >>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为BA B C ．12 D ．137.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 DA ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+8.双曲线22221x y a b-=0a >,0b >的左、右焦点分别是12F F ，,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为 BABCD 9、设F 1,F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F 1AF 2=90º,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线离心率为A52B102C152D5解．设F 1,F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点;若双曲线上存在点A,使∠F 1AF 2=90º,且|AF 1|=3|AF 2|,设|AF 2|=1,|AF 1|=3,双曲线中122||||2a AF AF =-=,22122||||10c AF AF =+=,∴ 离心率102e =,选B; 10、如图,1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,A 和B 是以O 为AB F 2是等边三角形,圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△则双曲线的离心率为 A 3B 5C25D 31+解析：如图,1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△AB F 2是等边三角形,连接AF 1,∠心率为31+,选D;AF 2F 1=30°,|AF 1|=c,|AF 2|=3c,∴ 2(31)a c =-,双曲线的离11.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线r 上存在点P 满1122::PF F F PF =4:3:2,则曲线r 的离心率等于AA.1322或B.23或2C.12或2D.2332或二、列方程求离心率问题1．方程22520x x -+=的两个根可分别作为Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程22520x x -+=的两个根分别为2,12,故选A 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 A ．13B ．33C ．12D ．32解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴ 2a b =,椭圆的离心率32c e a ==,选D; 3、设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,L 与C 交于A ,B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为BA 2B 3 C2 D34.在平面直角坐标系中,椭圆错误!＋错误!＝1a ＞b ＞0的焦距为2c ,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点错误!,0作圆的两切线互相垂直,则离心率e = ．e =5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为y ＝错误!x ,则双曲线的离心率为 A 错误!B 错误!C 错误!D 错误!解析:双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33b c e a a ====可得,故选A6、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,一条渐近线方程为20x y -=,则它的离心率为A B C D ．2 解析：由a b b a 221==得 a b a c 522=+= ,5==ace 选A 7．已知双曲线22212x y a -=a >错误!的两条渐近线的夹角为错误!,则双曲线的离心率为B.错误!C.错误!D.错误!解：双曲线22212x y a -=a >错误!的两条渐近线的夹角为错误!,则2tan 6a π==,∴ a 2=6,双曲线的离心率为错误! ,选D ．8.已知双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0的一条渐近线为y =kxk ＞0,离心率e ,则双曲线方程为 CA 22x a －224y a =1B 222215x y a a -=C 222214x y b b-= D 222215x y b b-= 9设双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的渐近线与抛物线y=x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于A 解：设切点00(,)P x y ,则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+解得: 201,2,b x e a =∴===.命题立意:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上,设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>,则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：ba ,直线FB 的斜率为：b c -,()1b ba c∴⋅-=-,2b ac ∴=222,10c a ac e e e ∴-=∴--=∴=512+ 11．如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .解析 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等;以及直线的方程;直线12A B 的方程为：1x ya b+=-； 直线1B F 的方程为：1x y c b+=-;二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--, 则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--, 解得：275e =-12已知椭圆C ：22221x y a b+=a>b>0的离心率为32,过右焦点F 且斜率为kk>0的直线于C 相交于A 、B 两点,若3AF FB =;则k =A1 B 2 C 3 D2解析B ：1122(,),(,)A x y B x y ,∵ 3AF FB =,∴ 123y y =-, ∵32e =,设2,3a t c t ==,b t =,∴222440x y t +-=,直线AB 方程为3x sy t =+;代入消去x ,∴ 222(4)230s y sty t ++-=,∴212122223,44st t y y y y s s +=-=-++,222222232,344st t y y s s -=--=-++,解得212s =,2k = 13已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF 2FD =,则C 的离心率为 答案：23命题意图本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.解析如图,||BF a ==,作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =,得1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =. 14．过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是解析：过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 1,0作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线2220y x b-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入消元得22(1)210b x x -+-=,∴1221222111x x b x x b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩,x 1+x 2=2x 1x 2,又||||BC AB =,则B 为AC 中点,2x 1=1+x 2,代入解得121412x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴ b 2=9,双曲线M 的离心率e=ca=,选A. 15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =,则双曲线的离心率是 ABCD答案：C解析对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B,C,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,则有 22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭,因222,4,5AB BC a b e =∴=∴=． 16. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点,若4AF FB =,则C 的离心率为 .A ．65 B. 75 C. 58 D. 95解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= 故选A一般来说,求椭圆或双曲线的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆或双曲线点的坐标,利用椭圆或双曲线本身的范围,列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量,它是一个比值,它与圆锥曲线的大小无关,只与其形状有关．在椭圆中,离心率越大,椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越圆,椭圆离心率的取值范围e ∈0,1；在双曲线中,离心率越大,双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔,即双曲线的“张口”逐渐增大,双曲线离心率的取值范围e ∈1,＋∞；在抛物线中,离心率e ＝1． 已知椭圆错误!＋错误!＝1a ＞b ＞0的焦点分别为F 1,F 2,若该椭圆上存在一点P ,使得∠F 1PF 2＝60°,则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：如果我们考虑几何的大小,我们发现当M 为椭圆的短轴的顶点B 1或B 2时∠F 1PF 2最大需要证明,从而有0＜∠F 1PF 2≤∠F 1 B 1F 2．根据条件可得∠F 1 B 1F 2≥60°,易得错误!≥错误!．故错误!≤e ＜1．证明,在△F 1PF 2中,由余弦定理B 2B 1F 1yxO F 2P得,22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()()2212122121212PF PF F F PF PF +-≥+2222a c a -=当且仅当PF 1＝PF 2时,等号成立,即当M 与椭圆的短轴的顶点B 1或B 2时∠F 1MF 2最大．如果通过设椭圆上的点Px ,y ,利用椭圆本身的范围,也可以求出离心率e 的范围．在本题中,运用此法可以做,但比较复杂关键是点P 的坐标不易表示．因此,在解题过程中要注意方法的选择．三、离心率范围问题1.已知椭圆错误!＋错误!＝1a ＞b ＞0的焦点分别为F 1,F 2,若该椭圆上存在一点P ,使得∠F 1PF 2 ＝60°,则椭圆离心率的取值范围是 ．1[,1)22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=,则该双曲线的离心率的取值范围是 ．答案：1,1+3.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 CA ．(0,1) B．1(0,]2C． D ．4、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ,2F ,两条准线与x 轴的交点分别为M N ，,若12MN F F 2≤,则该椭圆离心率的取值范围是 Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎭解析：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ,2F ,两条准线与x 轴的交点分别为M N ，,若2||2a MN c =,12||2F F c =,12MN F F 2≤,则22a c c ≤,该椭圆离心率e≥22,取值范围是1⎫⎪⎪⎭,选D;5.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 BA ．2)B ．C ．(25)，D ．(26. 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为： BA ．43B ．53C ．2D ．737.双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 BA.1,3B.(]1,3C.3,+∞D.[)3,+∞8．已知双曲线12222=-by a x a >0,b <0的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A. 1,2B. 1,2C.2,+∞D.2,+∞解析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ,∴ ba≥3,离心率e 2=22222c a b a a +=≥4,∴ e ≥2,选C。
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。
对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。
求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。
先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。
方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。
根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。
方法三：利用函数的思想分析解答。
根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。
例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。
需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。
2025高考数学总复习离心率的范围问题
由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°， 将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2， 故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知 特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘 应用也可使问题求解更简洁.
高中数学专题52 离心率及其范围问题
专题52离心率及其范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线离心率问题是热点之一，从命题的类型看，有小题，也有大题，就难度来说，小题大难度基本处于中档，而大题中则往往较为简单，小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些，本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.一、基础知识1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e ∈；（2）双曲线：()1,+e ∈∞；2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系（1）椭圆：222a b c=+①2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a +=；②2b ：短轴长；③2c ：椭圆的焦距；（2）双曲线：222c b a=+①2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -=；②2b ：虚轴长；③2c ：双曲线的焦距；3、求离心率的方法：求椭圆双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在等边三角形、平行四边形、圆等等特殊图形，那么可考虑寻求几何关系，进而找到,,a b c 之间的比例，从而可求解；（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解；4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求，例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求，如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率；【注】在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞.【经典例题】例1.【2016年高考浙江卷】已知椭圆1C ：2221x y m +=()1m >与双曲线2C ：2221x y n-=()0n >的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则（）A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <例2.【2018年高考北京卷】已知椭圆()222210x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．例3.【2018年高考全国II 卷】已知1F ，2F 是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（）A.23B ．12C ．13D ．14例4.【2019年高考全国II 卷】设F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）A B C ．2D例5.【2019年高考全国I 卷】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为．例6.【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模】双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是.例7.【江苏省南通、如皋市2018-2019学年第二学期高三年级联考】已知12,F F 分别为椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左，右焦点，点,A B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，若直线AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是.例8.【2016年高考全国III 卷】已知O 为坐标原点，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）A.13B.12 C.23D.34例9.【2009年高考全国II 卷】已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =，则双曲线C 的离心率为（）A ．65B.75C.58D.95例10.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月阶段性测试】如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 在线段AC 上，且25AE AC =，双曲线过C ，D ，E 三点，以A ，B 为焦点，则双曲线离心率e 的值为（）A B ．C ．3D【精选精练】1．【2019年高考模拟试题】设点12,A A 分别为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右顶点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.0,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭2.【云南省昆明市第一中学2018届新课标高三月考卷】已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若2AB AF =，27cos 8BAF ∠=，则双曲线C 的离心率为.3．【2018届四川省成都七中高考数学一诊试卷】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M ，N 均在第一象限，当直线1MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e =．4．【2017届陕西省宝鸡市一模试卷】已知双曲线()22:10C mx ny mn +=<的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则C 的离心率等于（）A.53B.54 C.53或2516D.53或545．【2014年高考数学浙江卷】设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是.6．【湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点,Q P ，使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为.7．【四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测】设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点为,A B ．P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当2233a b mn mn⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()3ln ln m n ++取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．15B ．22C ．45D ．328．【河北省邯郸市2018届第一次模拟考试】设双曲线Ω：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB △，且AF 边上的高h AF =.若AFB △的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（）A ．存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内C ．存在唯一的e ，且31,2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内9.【2014年高考湖北卷】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433B.233C.3D.210．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（）A.,15⎫⎪⎪⎣⎭ B.,12⎫⎪⎪⎣⎭C.0,5⎛ ⎝⎦D.0,2⎛ ⎝⎦。
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【高考数学专题】 求离心率的值或取值范围一．方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222222e ===1()c a b ba a a--双曲线2222222e ===1()c a b ba a a++直接求解；②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线222b c a ＝－消去b ，构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等．二．解题策略类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以抛物线的方程为.因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，不妨设这条渐近线的方程为，即，则，又点在双曲线上，所以，解得，故，即.故选B.【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．【举一反三】1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为抛物线，所以，准线为，将代入得，不妨设为右支上的点，则，因为是等边三角形，则，即，所以，因此双曲线的离心率为.故选A2. 【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为A．B．C．2 D．【答案】B【解析】解：联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B．类型二构造a c，的齐次式，解出e【例2】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知双曲线(a ＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．【答案】2【解析】如图，由可得，∴，，由双曲线的定义可得，，∴在中由余弦定理得在中由余弦定理得，∵，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为：2．【指点迷津】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程，化简整理的运算能力是解决此题的关键.【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ， P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值是（ ） A.233 B. 433C. 2D. 3 【答案】A【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出12a a 、与1PF 、2PF 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.类型三寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.【答案】【解析】的最大值为由题意知故椭圆的离心率的取值范围本题正确结果：【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.（2）图象特征的运用，本题根据题意，从的最大值为，由题意知，由此能够导出椭圆的离心率的取值范围.【举一反三】1.【2019年4月27日三轮《每日一题》】．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点，且切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为( )A．B．5 C．D．3【答案】A【解析】如图，由题意知=，且⊥，又为线段的中点，则||=，⊥，由双曲线的定义知||—||=，∴||=－，又+=，即，即==，即=，∴==，∴双曲线的离心率为=，故选：A．2.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》】已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.根据题意，，所以根据椭圆定义，所以在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得所以，解得， 所以椭圆离心率为故选B 项.【指点迷津】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到关系，求出离心率.类型四 利用圆锥曲线性质【例4】已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为（ ）A. 1213e e = B. 2212143e e += C.2211134e e += D. 221134e e += 【答案】C【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论、焦点三角形的面积公式等.【举一反三】已知椭圆E ： ()222210x y a b a b+=>>的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为（ ） A.32 B. 34 C. 12D. 24 【答案】A【解析】设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则2200221x y a b+=.故()2222002a x b y b =-又k AC ·k BC ＝2202014y b x -=-，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝32，故选A. 【指点迷津】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用22,(,PA PBb k k A B a⋅=-关于原点对称，,,A B P 为椭圆上三点).类型五 利用平面几何性质【例5】【湖南省永州市2019届高三第三次模】过双曲线左焦点的直线与交于两点，且，若，则的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设双曲线右焦点为，取中点，连接，如下图所示：由可知：又为中点，可知为线段的垂直平分线设，由双曲线定义可知：，则，解得：在中，在中，本题正确选项：【指点迷津】注意平面几何知识的运用，对于本题中的双曲线右焦点为，取中点，连接；根据已知可知为线段的垂直平分线，得到；结合双曲线定义可以求解出，从而得到的长度，根据勾股定理构造方程，从而求得离心率.【举一反三】【湖南省永州市2019届高三三模】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，，所以，，因此，整理得,所以离心率为.故答案为【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.类型六利用数形结合【例6】【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D.【指点迷津】本题首先可以通过题意画出图形并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果.【举一反三】【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．三．强化训练1.【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，则t＝2（2﹣）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，化为c2＝（9﹣6）a2，可得e＝＝．故选A.2.【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应】椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解析】设，又，，则的重心.因为∥所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义得，解得，故选D.3．【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，点是点关于坐标原点的对称点，且以为直径的圆过点，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，，所以.所以.因为以AB为直径的圆过点F，所以.所以A(1,2)在双曲线上，所以有.因为,代入化简得，解得，.所以双曲线的离心率. 故选B．4．【内蒙古2019届高三高考一模】已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A．B．C．4 D．2【解析】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．5．【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线：的左焦点为，，为曲线的左、右顶点，点在曲线上，且轴，直线与轴交于点，直线与轴交于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】B由于轴，不妨设，而.故直线的方程分别为，，令，求得，由于，故，化简得，故选B.6．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设因为，所以，因为，所以，所以a=2b,所以.故选：B7．已知双曲线：(，)，过点作直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若为的中点，且，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作直线交双曲线的两条渐近线于、两点，且为的中点，且，所以平分,根据双曲线的渐近线关于y轴对称得到和轴正半轴所成角和角相等，和的夹角为，因为和都是双曲线的渐近线，故得到轴平分角，过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，所以,即,所以, 则双曲线的离心率为.故答案为：B.8．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知是双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点，若，记该双曲线的离心率为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，该双曲线的一条渐近线为，将代入得，，即，，，解得，故选:A9．【宁夏平罗中学2019届高三二模】已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为A．B．C．2 D．3【答案】A【解析】与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，则，则，故选：A．10．【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=d b，∴PH=，又∴OH=即，∴故选：D二、填空题11．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】已知双曲线，其渐近线与圆相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为即圆心到渐近线S的距离为，得在双曲线中，，即12．【贵州省2019届高三高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：13．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试】已知椭圆上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF＝时，椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】设为椭圆左焦点，连接，由椭圆对称性和可知：四边形为矩形又，由椭圆定义可知：本题正确结果：14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，因为，所以15．【广西桂林市2019届高三4月一模】已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．【答案】【解析】设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为将准线方程代入双曲线得到根据等边三角形的性质的到双曲线的离心率为故得到离心率为.故答案为：16．【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次质量检测】已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】因为是等腰三角形且，所以.设，因为，所以，得，,又Q在椭圆上，所以，，又，所以，，，,故答案为.。